專題1-2一文吃透相似三角形12個(gè)模型·共14類題型

目錄

模型梳理...............................................................................3

題型一A字模型......................................................................12

2023·四川成都·真題..............................................................12

2022宜賓.........................................................................13

2023·山東濰坊·真題..............................................................13

2022·浙江杭州·真題..............................................................14

2023·浙江溫州·真題..............................................................15

2022安徽.........................................................................17

2023·廣東·真題..................................................................19

2023·山東泰安·真題..............................................................20

2023·四川眉山·真題..............................................................21

2022·江蘇淮安·真題..............................................................22

題型二“8”字型...........................................................................................................................................25

2022·遼寧·真題..................................................................25

2023·四川樂山·真題..............................................................25

2023·湖北武漢·真題..............................................................26

2023·四川瀘州·真題..............................................................28

2023·浙江杭州·真題..............................................................29

2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題......................................................30

2022深圳.........................................................................32

題型三三角形內(nèi)接矩形..................................................................................................................................33

2022·山東東營·真題..............................................................33

題型四倒數(shù)型（三平行結(jié)構(gòu)）......................................................................................................................36

湖南株洲·統(tǒng)考中考真題............................................................36

2023·四川內(nèi)江·真題..............................................................36

2024屆·深圳中學(xué)九年級期中.......................................................37

題型五A字型及8字型相結(jié)合.....................................................................................................................38

2023·黑龍江哈爾濱·真題..........................................................38

2023·安徽·真題..................................................................39

2023·陜西·真題..................................................................40

題型六射影定理..............................................................................................................................................41

2023·湖南郴州·真題..............................................................41

2022湘潭.........................................................................42

題型七子母模型（公共邊公共角）..............................................................................................................45

2022·湖北鄂州·真題..............................................................45

2023·四川涼山·真題..............................................................47

題型八一線三等角模型..................................................................................................................................55

2023·黑龍江大慶·真題............................................................55

2023·山東東營·真題..............................................................55

浙江中考真題......................................................................59

2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題..................................................61

徐州中考..........................................................................66

2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題......................................................75

題型九旋轉(zhuǎn)相似模型（手拉手）..................................................................................................................78

2023·湖南常德·真題..............................................................78

2022煙臺.........................................................................79

2021天門.........................................................................79

2022河池.........................................................................80

2023·遼寧營口·真題..............................................................83

2022鞍山.........................................................................88

題型十作輔助線構(gòu)造A字和8字型相似....................................................................................................92

2023·湖北十堰·真題..............................................................93

2023·浙江·真題..................................................................94

2023·江蘇·中考真題..............................................................95

2022·湖南常德·真題..............................................................97

2022·四川綿陽·真題..............................................................98

2022襄陽.........................................................................99

2023·山東煙臺·真題.............................................................103

2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題.....................................................108

題型十一反“8”字型相似（兩組相似，四點(diǎn)共圓）.............................................................................114

2022·新疆·統(tǒng)考中考真題.........................................................114

2023·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題.....................................................115

重慶中考.........................................................................116

題型十二十字架模型....................................................................................................................................118

2023·遼寧丹東·真題.............................................................118

2023·山東菏澤·中考真題.........................................................123

2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題.....................................................127

題型十三對角互補(bǔ)模型................................................................................................................................131

深圳中考.........................................................................131

題型十四雙高型............................................................................................................................................135

模型梳理

一、A字模型

已知：在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC．

A

DE

BC

ADAEDE

結(jié)論：△ADE∽△ABC，＝＝．（共線的邊之比相等）

ABACBC

反A字型

ADAEDE

結(jié)論：＝＝．（共線的邊之積相等）

ACABBC

構(gòu)造A字模型：遇到線段上的比例端點(diǎn)可以考慮作平行線構(gòu)造構(gòu)造A字模型

A

DE

BC

二、8字模型

已知：AC與BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD．

AB

O

DC

OAOBAB

結(jié)論：△OAB∽△OCD，＝＝（共線的邊之比相等）．

OCODCD

構(gòu)造8字模型：遇到三角形或平行四邊形邊上的比例端點(diǎn)時(shí)可以考慮作平行線構(gòu)造構(gòu)造8字模型

AD

O

BC

三、反8字模型（兩組相似，四點(diǎn)共圓）

ABOAOB

性質(zhì)一：如左圖，∠A＝∠DAOB∽△DOC．

CDODOC

?△?

AOD＝BOC

性質(zhì)二：如右圖，OAOBOAODAOD∽△BOC(由第一組相似推出第二組相似)

ODOCOBOC△

性質(zhì)三：四點(diǎn)共圓(圓周角定理)

四、三角形內(nèi)接矩形型

三角形的內(nèi)接矩形：四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的矩形．

AIEF

若四邊形DEFG為矩形，則：AEF~ABC

AHBC

特別地，

AIEFAHaaAHBC

(1)當(dāng)四邊形DEFG為正方形時(shí)，若假設(shè)其邊長為a，則：a

AHBCAHBCAHBC

1

(2)當(dāng)EF為三角形的中位線時(shí)，矩形DEFG的面積最大，最大值為SS

DEFG2ABC

2

SAE

(3)AEF

SBDESCGFBE

2

SAE

證明：把△FGC向左平移至△EDC'，則AEF~EBC'，∴AEF

SBDESCGFBE

五、倒數(shù)模型（三平行結(jié)構(gòu)）

示意圖結(jié)論

111

倒數(shù)型相似EFABCD

AB∥EF∥CD111

+=

S△ABCS△BCDS△BCF

六、射影定理模型（直角三角形和斜邊上的高）

如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即ACD∽△ABC∽△CBD.常見的

結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均滿足：(公共邊)2＝△共線的邊之積）

補(bǔ)充：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型（十字架模型），如圖，A，B，E，G四點(diǎn)組成射影

定理模型．

（2）在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．

七、母子相似模型

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB．

D

結(jié)論：△ACD∽△ABC，

BC

ADACCD

＝＝，AC2＝AD·AB．(公共邊)2＝共線的邊之積

ACABBC

（二）結(jié)論推導(dǎo)

ADACCD

結(jié)論：△ACD∽△ABC，＝＝，AC2＝AD·AB．

ACABBC

證明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC，

ADACCD

∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD·AB．

ACABBC

母子相似模型也叫共邊共角相似模型．

（三）解題技巧

如果在三角形中有一個(gè)公共角和一條公共邊，則考慮使用母子相似模型，得到公共邊的平方等于兩條線段

的乘積．

八、一線三等角模型

（一）基本模型

已知：點(diǎn)P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3．

C

D

2

13

APB結(jié)論1：△CAP∽△PBD．

D已知：點(diǎn)P在AB的延長線上，∠1＝∠2＝∠3．

A23

P

1B結(jié)論2：△APC∽△BDP．

C

（二）結(jié)論推導(dǎo)

結(jié)論1：△CAP∽△PBD．

證明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD．

結(jié)論2：△APC∽△BDP．

證明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，

∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP．

（三）解題技巧

在一條線段上出現(xiàn)三個(gè)相等的角時(shí)，則考慮使用一線三等角相似模型．找準(zhǔn)三個(gè)等角，再根據(jù)平角性質(zhì)、

三角形內(nèi)角和證三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)解題．一線三等角模型常以一線三垂直（即∠1＝

∠2＝∠3＝90°，也稱為K型）的形式出現(xiàn)在矩形或正方形中，在幾何綜合題中考查

九、旋轉(zhuǎn)相似模型(手拉手)

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，

DE將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

BC

A

E結(jié)論：△ABD∽△ACE．

D

BC

（二）結(jié)論推導(dǎo)

結(jié)論：△ABD∽△ACE．

證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，

∴△ADE∽△ABC，∴AD＝AB．

AEAC

∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．

（三）解題技巧

如果圖形中出現(xiàn)共頂點(diǎn)、頂角相等、有旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)相似模型；如果圖形中沒有出現(xiàn)共頂點(diǎn)、

頂角相等，也沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以通過作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似．在旋轉(zhuǎn)相似模型中，有一對三角形相似，可

以推出另一對三角形相似，再結(jié)合已知條件求解．

十、十字架模型

【正方形內(nèi)的十字架結(jié)構(gòu)】垂直相等，相等垂直

【十字結(jié)構(gòu)在矩形中】

CECDm

如圖，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一點(diǎn)E，若CE⊥BD，則，即CE

BDBCn

和BD之比等于矩形鄰邊之比

一般情況時(shí)，也滿足（注意E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)的位置不能在同一條邊上）

【十字結(jié)構(gòu)在直角三角形中】

我們知道直角三角形是可以看成是連接矩形對角線后分成的圖形，如圖，補(bǔ)成矩形ACBH，延長CE交AH

于點(diǎn)G

【十字結(jié)構(gòu)在其他四邊形中】：補(bǔ)成長方形即可

如圖，把邊長為AB＝22，BC＝4且∠B＝45°的平行四邊形ABCD對折，使點(diǎn)B和D重合，求折痕MN

的長

如圖，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，請求出DE：CF的值

十一、對角互補(bǔ)模型

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向

兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似。

△FDC∽△GEC

△DOC∽△EFC

十二、雙高模型

雙高模型：可謂“相似成災(zāi)”

共有8組相似！

①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON;

②△BCM∽△OFM(蝴蝶相似必成隊(duì)）

③△NOF∽△NCB（反A型）

題型一A字模型

2023·四川成都·真題

1．如圖，在ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分

別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M為

圓心，以MN長為半徑作弧，在BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N：④過點(diǎn)N作射線DN交BC于點(diǎn)E．若

BE

BDE與四邊形ACED的面積比為4:21，則的值為．

CE

【答案】2

3

【詳解】解：根據(jù)作圖可得BDEA，

∴DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∵BDE與四邊形ACED的面積比為4:21，

2

S4BE

∴BDC

SBAC214BC

BE2

∴

BC5

BE2

∴

CE3

2022宜賓

2．如圖，△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，則EF＝_________．

A

E2F

1

BC

8

【答案】

5

【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEF，

BCAC4238

∴＝，∴＝，∴EF＝．

EFAFEF25

2023·山東濰坊·真題

3．在《數(shù)書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個(gè)測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹

竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一

條水平直線上．已知AC20米，CE10米，CD7米，EF1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰

好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．

【答案】18.2

【詳解】解：如圖，過F作FQAB于Q，交CD于H，

則FHCE10，QHAC20，F(xiàn)QAEACCE30，EFCHAQ1.4，

∴DH71.45.6，

∵DC∥BA，

∴FDH∽FBQ，

DHFH

∴，

BQFQ

105.6

∴，解得：QB16.8，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴ABAQQB1.416.818.2（米）

30QB

2022·浙江杭州·真題

4．如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行

DE1

四邊形，．

BC4

(1)若AB8，求線段AD的長．

(2)若VADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．

【答案】(1)2；(2)6

【詳解】（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

DEAD

∴，

BCAB

DE1

∵，

BC4

AD1

∴，

AB4

11

∴ADAB82；

44

（2）∵四邊形BFED是平行四邊形，

∴DE∥BC，EF∥AB，DE=BF，

∴AEDECF,EADCEF，

∴ADE∽EFC

2

SDE

∴ADE，

SEFCFC

DE1

∵，DE=BF，

BC4

∴FCBCDE4DEDE3DE，

DEDE1

∴，

FC3DE3

22

SDE11

∴ADE，

SEFCFC39

DE1

∵△ADE∽△ABC，，

BC4

22

SDE11

∴ADE，

SABCBC416

∵S△ADE1，

∴SEFC9,SABC16，

∴SBFEDSABCSEFCSADE16916

2023·浙江溫州·真題

5．如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，過點(diǎn)F作FHEF交ED的延長

線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G，GEGH．

AB5

(1)求證：BECF，(2)當(dāng)，AD4時(shí)，求EF的長．

FH6

【答案】(1)見解析；(2)EF6

【詳解】（1）解：∵FHEF，GEGH，

∴GEGFGH，

∴GFEE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ABCD，ABCDCB90，

∴ABF≌DCEAAS，

∴BFCE，

∴BFBCCEBC，即BECF．

（2）∵CD∥FH，

∴△DCE△HFE，

ECCD

∴．

EFFH

∵CDAB，

CDAB5

∴．

FHFH6

設(shè)BECFx，∵BCAD4，

∴CEx4，EF2x4，

x45

∴，

2x46

解得x1，

∴EF6．

6．小言家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進(jìn)房間里，小言一直想知道這個(gè)路燈的準(zhǔn)確高度，

當(dāng)學(xué)了相似三角形的知識后，她意識到自己可以解決這個(gè)問題了！如圖，路燈頂部A處發(fā)光，光線透

過窗子BC照亮地面的長度為DE，小言測得窗戶距離地面高度BF0.7m，窗高BC1.4m，某一時(shí)刻，

FD0.7m，DE2.1m，請你根據(jù)小言測得的數(shù)據(jù)，求出路燈的高度OA．

【答案】路燈的高度OA為6.3米

【詳解】解：AOOE且BFDF

AOD∽BFD，AOE∽CFE，

AOBF0.7

1，

ODDF0.7

設(shè)OFx，則AOODx0.7，

又AOE∽CFE，

AOCF0.7x2.1

，即，

OEEF2.8x2.8

解得：x5.6，

經(jīng)檢驗(yàn)x5.6是原方程的解，

AOx0.76.3m

2022安徽

7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，

分別交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連接，若＝，＝，

BFCDMNFADADGDFDE1DF22

則MN＝_________．

AEDG

M

NF

BC

26

【答案】

15

【解析】延長BC與GF交于點(diǎn)H．

AEDG

M

NF

BCH

可證△ABE≌△GEF，∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，

2

∴DG＝AE，∴CH＝DG＝GF＝DF＝2，

2

∴BC＝CD＝GH＝EG＝DE＋DG＝3，

∴BH＝5，F(xiàn)H＝1．

可證△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF，

DEEGBCBH

∴＝，＝，

DMGFNCFH

1335

∴＝，＝，

DM2NC1

23

∴DM＝，NC＝，

35

26

∴MN＝CD－DM－NC＝．

15

8．（2023·深圳·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtABC中，ABC90，AB6，BC8，BAC，ACB

的平分線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF//BC交AC于點(diǎn)F，則EF的長為（）

515810

A．B．C．D．

2433

【答案】D

【分析】延長FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由EF//BC可證四邊形BDEG是矩形，由角平

分線可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證DAE≌△HAE、CGE≌△CHE

得AD=AH，CG=CH，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2，AD=4，

△△

16

再證ADF∽△ABC可得DF，據(jù)此得出EF=DF-DE．

3

【詳解△】解：如圖，延長FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AC于點(diǎn)H，

∵EF//BC，∠ABC=90°，

∴FD⊥AB，

∵EG⊥BC，

∴四邊形BDEG是矩形，

∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，

∴四邊形BDEG是正方形，

在DAE和HAE中，

ADEAHE

△△

∵DAEHAE

AEAE

∴△DAE≌△HAE（AAS），

∴AD=AH，

同理CGE≌△CHE（AAS），

∴CG=CH，

△

設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，

∵ACAB2BC2628210，

∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10，

解得：x=2，

∴BD=DE=2，AD=4，

∵DF//BC，

∴△ADF∽△ABC，

ADDF

∴

ABBC

4DF161610

DF，EF2

68333

2023·廣東·真題

9．邊長分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的

面積為．

【答案】15

【詳解】解：如圖，

由題意可知ADDC10,CGCEGF6,CEFEFG90，GH4，

∴CH10AD，

∵DDCH90,AJDHJC，

∴ADJ≌HCJAAS，

∴CJDJ5，

∴EJ1，

∵GI∥CJ，

∴HGI∽HCJ，

GIGH2

∴，

CJCH5

∴GI2，

∴FI4，

1

∴SEJFIEF15

梯形EJIF2

2023·山東泰安·真題

10．如圖，在ABC中，ACBC16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)

B，連接DB，EB，分別與AC相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若AF8，DF7,BF4，則CG的長度

為．

【答案】4.5

【詳解】解：∵ACBC16，

∴AB，

由折疊的性質(zhì)可得BB，

∴AB，

又∵AFDBFG，

∴AFD∽BFG，

AFDF87

∴，即，

BFGF4GF

∴GF3.5，∴CGACAFGF4.5

11．如圖，在Rt△ABC中，C90，棱長為1的立方體的表面展開圖有兩條邊分別在AC，BC上，有

兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊AB上則圖中陰影部分的面積為．

【答案】10

【詳解】解：如圖：

由題意得：△BDE、EHF、△EGA是直角三角形，四邊形DEGC是矩形，

BC//EG,DE//HF//AC,DEHF2，DCEG3，HE1,

BDEEHFEGA90，DEB=HFE=GAE

△EHF△EGA

HEHF

EGAG

在△BDE和EHF中

BDEEHF

DEHF，

DEBHFE

△BDE△EHFASA，

DBHE1，

12

，

3AG

AG6，

11

S△S△S△S矩形=123623=16，S陰影=SABC-6=16-6=10

ABCBDEEGADEGC22

△

2023·四川眉山·真題

1

12．如圖，ABC中，AD是中線，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于AB長為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)M，N．直

2

線MN交AB于點(diǎn)E．連接CE交AD于點(diǎn)F．過點(diǎn)D作DG∥CE，交AB于點(diǎn)G．若DG2，則CF的

長為．

8

【答案】

3

【詳解】解：由作圖方法可知MN是線段AB的垂直平分線，

∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴CE是ABC的中線，

又∵AD是ABC的中線，且AD與CE交于點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F是ABC的重心，

2

∴CFCE，

3

∵DG∥CE，

∴BDG∽BCE，

CEBC

∴2，

DGBD

28

∴CE2DG4∴CFCE

33

2022·江蘇淮安·真題

13．如圖，在Rt△ABC中，C90，AC3，BC4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DFAB，

DE

交BC于點(diǎn)F，作BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若ABE的面積是2，則的值是．

EF

3

【答案】

7

【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB5，

∵ABE的面積是2，

4

∴點(diǎn)E到AB的距離為，

5

ACBC12

在Rt△ABC中，點(diǎn)C到AB的距離為，

AB5

8

∴點(diǎn)C到DF的距離為，

5

∵DFAB，

∴△CDF∽△CAB，

CD2DF

∴，

CA3AB

10

∴CD2，DF，

3

∵AE平分CAB，

∴BAECAE，

∵DFAB，

∴AEDBAE，

∴DAEDEA，

∴DADE1，

107DE33

∴EFDFDE1，∴，故答案為：

33EF77

14．（2023上·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，至今仍有

借鑒意義．如圖1，身高1.5m的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過測量自己的影長來估計(jì)路燈

的高度，具體做法如下：先從路燈底部A向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作

好記號后，繼續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點(diǎn)P處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在點(diǎn)Q處，已知小王和燈

柱的底端在同一水平線上，小王的步間距保持一致．

(1)請?jiān)趫D中畫出路燈O和影子端點(diǎn)Q的位置．

(2)估計(jì)路燈AO的高，并求影長PQ的步數(shù)．

(3)無論點(diǎn)光源還是視線，其本質(zhì)是相同的，日常生活中我們也可以直接利用視線解決問題．如圖2，小明同

學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且

邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．測得DF0.5m，EF0.3m，CD10m，小明眼睛到地面的距離為1.5m，則

樹高AB為______m．

24

【答案】(1)見解析；(2)路燈AO的高為9m，影長PQ為步；(3)9

5

【詳解】（1）路燈O和影子端點(diǎn)Q的位置如圖所示．

．

（2）∵M(jìn)N∥OA，

∴△PMN∽△PAO，

MNPM1.54

∴，即，

OAPAOA420

解得OA9．

∵PB∥OA，

∴△QPB∽△QAO，

PBPQ1.5PQ

∴，即，

OAQA9PQ24

24

解得PQ，

5

24

∴路燈AO的高為9m，影長PQ為步．

5

（3）如圖，∵DF0.5m，EF0.3m，DEF90，

22

∴DEDF2EF20.50.30.4m，

EF0.33

∴tanD，

DE0.44

BC3BC

∵tanD，CD10m，

CD410

∴BC7.5m，

∵四邊形ACDG是矩形，

∴DGAC1.5m，

∴ABACBC7.5m1.5m=9m

題型二“8”字型

2022·遼寧·真題

15．如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F．若AB6，則△AEF的面積

為．

【答案】3

【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB6，

∴ADBCAB6，AD//BC，

∴△AEF∽△CBF，

EFAE

∴，

BFBC

∵E為AD的中點(diǎn)，

111

∴AEADABBC3，

222

EFAE11

∴，SAEAB9，

BFBC2ABE2

EF11

∴，∴SS3

BE3AEF3ABE

2023·四川樂山·真題

AE2

16．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點(diǎn)，連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)F．若，則

EB3

S

△ADF．

S△AEF

5

【答案】

2

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ABCD,ABCD，

∴AEFCDF,EAFDCF，

∴EAF∽DCF，

DFCDAB

∴,

EFAEAE

AE2

∵，

EB3

AB5

∴，

AE2

SDFAB5

∴△ADF

S△AEFEFAE2

2023·湖北武漢·真題

17．如圖，DE平分等邊ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H兩點(diǎn)．若

DGm,EHn，用含m,n的式子表示GH的長是．

【答案】m2n2

【詳解】解：ABC是等邊三角形，

ABC60，

∵折疊△BDE得到VFDE，

BDE≌FDE，

SBDESFDE，F(xiàn)B60AC，

DE平分等邊ABC的面積，

S梯形ACEDSBDESFDE，

SFHGSADGSCHE，

又AGDFGH,CHEFHG，

ADG∽FHG,CHE∽FHG，

22

SDGm2SEHn2

ADG，CHE，

22

SFHGGHGHSFHGGHGH

22

SADGSCHEmnSADGSCHE

21，

SFHGSFHGGHSFHG

GH2m2n2，

解得GHm2n2或GHm2n2（不符合題意，舍去）

2023上·廣東深圳·九年級南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)校考期中

18．如圖，在ABCD中，E為AD邊上的點(diǎn)，AE2DE，連接BE交AC于點(diǎn)F，AEF的面積為4cm2，

則ABC的面積為cm2．

【答案】15

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，

AD∥BC，ADBC，

AEFCBF，EAFBCF，

AEF∽CBF，

AEEFAF

，

CBBFCF

AE2DE，

2

AEAD，

3

AEEFAF2

∴，

CBBFCF3

2

S2S24

∴AEF，AEF，

SAFB3SCBF39

2

∵SAEF4cm，

3

∴SS6cm2，

AFBAEF2

99

SS49cm2，

CBF4AEF4

2

∴SABCSAFBSCBF6915(cm)

2023·四川瀘州·真題

19．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PEPF取得最小值

AP

時(shí)，的值是．

PC

【答案】2

7

【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)