中考數學專題復習《二次函數綜合題》測試卷?附帶答

案

學校:班級:姓名:考號:

1.(2024?上海奉賢二模24)如圖，在直角坐標平面X。)，中，拋物線)，二以2一2辦+。與穴軸

交于點A、B,與軸正半軸交于點。，頂點為。，點A坐標為(-1,0).

(I)寫出這條拋物線的井口方向，并求頂點尸的坐標(用”的代數式表示)；

(2)將拋物線向下平移后經過點(0,1)，頂點P平移至〃.如果銳角NCPP的正切值為

求。的值；

(3)設拋物線對稱軸與/軸交于點。，射線PC與工軸交于點E，如果/EDC=/BPE,

求此拋物線的表達式.

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2.（2024?上海虹口二模24）新定義：已知拋物線），=?2+尿（其中出七二0）,我們

把拋物線y=cx2+ar+〃稱為）,=,4+公+。的“輪換拋物線”.例如：拋物線

），=2尤2+3工+1的“輪換拋物線”為），=J+2x+3.

已知拋物線C］：）=4〃療+（46—5）x+m的“輪換拋物線”為G，拋物線J、C2與）'軸

分別交于點石、尸，點E在點廠的上方，拋物線G的頂點為尸.

（1）如果點七的坐標為（0,1）,求拋物線Q的表達式；

（2）設拋物線C2的對稱軸與直線y=3x+8相交于點。，如果四邊形PQE/7為平行四邊

形，求點E的坐標；

（3）已知點M（-4,〃）在拋物線G上，點N坐標為，2,—7,當NMNSMEF時，

求加的值.

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3.（2024?上海黃浦二模24）問題：己知拋物線心y=^-2x,拋物線W的頂點在拋物線

L上（非拋物線L的頂點）且經過拋物線L的頂點.請求出一個滿足條件的拋物線W的表

（1）解這個問題的思路如下：先在拋物線L上任取一點（非頂點），你所取的點是?

再將該點作為拋物線W的頂點，可設拋物線W的表達式是一②；然后求出拋物線L

的頂點是一③；再將拋物線L的頂點代入所設拋物線W的表達式，求得其中待定系

數的值為一④；最后寫出拋物線W的表達式是?

（2）用同樣的方法，你還可以獲得其他滿足條件的拋物線W,請再寫出一個拋物線W的表

達式.

（3）如果問題中拋物線〃和W在工軸上所截得的線段長相等，求拋物線卬的表達式.

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4.（2024.上海金山二模24）已知：拋物線y=/+云+。經過點A（3,0）、8（0,-3）,頂點

為P.

（I）求拋物線的解析式及頂點P的坐標；

（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點0在直線45上，且點。在y軸右側.

①若點8平移后得到的點。在x軸上，求此時拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與丁軸相交于點。，且△BOQ是直角三角形，求此時拋物線的解析

式.

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5.（2024?上海靜安二模24）如圖，在平面直角坐標系入3,中，已知拋物線關于直線工二|

對稱，且經過點40,3）和點8（3,0）,橫坐標為4的點C在此拋物線上.

（2）聯結48、BC、AC,求tan/BAC的值；

（3）如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且NQ4C=45。，過點。作PQ_L），軸，垂足為

Q,請說明ZAPQ=/BAC,并求點P的坐標.

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6.（2024.上海閔行二模24）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線），二gf十區+。與工

軸相交于A（—1,0）、B兩點,且與），軸交于點。（0,-2）.

1

X

2

I

-2-10I23iix

-I

-2

-3

（1）求拋物線的表達式；

（2）如果點。是工正半軸上一點，ZADC=2ZACO,且四邊形A。。。是菱形，請直接

寫出點。和點Q的坐標（不需要說明理由）；

（3）由平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，對

于平面內的?個多邊形，畫出它的任意?邊所在的直線，如果其余各邊都在這條直線的一側，

那么這個多邊形叫做“凸多邊形”：否則叫做“凹多邊形”.如果點E是拋物線對稱軸上

的一個動點，縱坐標為/,且四邊形AC跖是凹四邊形（線段AE與線段8C不相交），求/

的取值范圍.

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7.（2024.上海浦東二模24）在平面直角坐標系xOy中，已知直線＞二-X+2與4軸、），

軸分別交于點八、點8,拋物線G：丁=-產+辰+。經過點A、B兩點,頂點為點C.

（1）求氏c的值；

（2）如果點。在拋物線G的對稱軸上，射線平分NCAO,求點。的坐標；

（3）將拋物線C平移,使得新拋物線G的頂點E在射線BAI.,拋物線。2與5軸交于點F,

如果△助方是等腰三角形，求拋物線。2的表達式.

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8.（20241：海普陀二模24）在平面直角坐標系X0V中（如圖），已知拋物線

y=-〃2『+〃（〃工0）與x軸交于點A、B,拋物線的頂點?在第一象限，且

（1）當點尸的坐標為（4,3）時，求這個拋物線的表達式；

（2）拋物線y=。（/-/力：「+〃（〃。0）表達式中有三個待定系數，求待定系數〃與〃之間的

數后關系：

（3）以點P為圓心，Q4為半徑作0P,與直線），=x+g相交于點M、N.當點P在

直線y=上時，用含。的代數式表示A/N的長.

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9.（2024?上海青浦二模24）在平面直角坐標系X。），中，拋物線），=以？+法-3的圖像與

x軸交于點4—3,0）和點8（1,0）.與y軸交于點C,D是線段QA上一點.

（1）求這條拋物線的表達式和點C的坐標；

（2）如圖,過點。作/X；Ix軸，交該拋物線干點G,當=時，求

的面積；

（3）點。為該拋物線上第三象限內一點，當。。=1,且NDC5+NP3C=45。時，求點

P的坐標.

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10.（2024.上海松江二模24）如圖，在平面直角坐標系X?中，己知點4（2,0）、點3（0,2）,

拋物線）,=一/+瓜+。經過點A,且頂點。在線段A8上（與點A、B不重合）.

（2）將拋物線向右平移加（相＞0）個單位，頂點落在點P處，新拋物線與原拋物線的對

稱軸交于點。，連接PO,交x軸于點E.

①如果m=2,求M7DP的面積；

②如果上C=￡'P,求加的值.

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11.(2024?上海徐匯二模24)如圖，在平面直角坐標系X。)，中，拋物線

y=ax2-4ax+4(。＞0)與x軸交于點A(l,0)和點8,與丁軸交于點C.

(1)求該拋物線的表達式及點3的坐標；

(2)已知點M(0,m),聯結8C,過點用作MG_L8C,垂足為G,點。是人軸上的動

點，分別聯結G。、MD,以G。、MO為邊作平行四邊形GOMN.

①當機=2時，且uGZXWN的頂點N正好落在)'軸上，求點。的坐標；

2

②當,〃20時，且點。在運動過程中存在唯一的位置，使得aGOMN是矩形，求〃7的值.

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12.（2024?上海楊浦二模24）定義：我們把平面內經過已知直線外一點并且與這條直線相切

的圓叫做這個點與已知直線的點切圓.如圖1,已知直線/外有一點〃，圓Q經過點”且與

直線/相切，則稱圓。是點”與直線/的點切圓.閱讀以上材料，解決問題：

己知直線。4外有一點P,PA1OA,OA=4,AP=2,圓M是點P與直線。4的點切

圓.

圖I圖2

（1）如果圓心M在線段QP上，那么圓M的半徑長是（直接寫出答案）.

（2）如圖2,以。為坐標原點、Q4為x軸的正半軸建立平面直角坐標系點P在第

一象限，設圓心M的坐標是（工,丁）.

①求），關于x的函數解析式；

②點B是①中所求函數圖象上的一點，連接BP并延長交此函數圖象于另一點C.如果

CP:BP=1:4,求點8的坐標.

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13.（2024.上海嘉定二模24）在平面直角坐標系xO.V（如圖）中，己知拋物線y=av2+bx+3

經過點41,0）、B（-2,3）兩點，與＞軸的交點為。點，對稱軸為直線/.

（2）已知以點。為圓心，半徑為圓記作圓C,以點A為圓心的圓記作圓人如果圓

A與圓。外切，試判斷對稱軸直線/與圓A的位置關系，請說明理由；

（3）已知點。在y軸的正半軸上，且在點C的上方，如果N8OC=NB4C,請求出點。的

坐標.

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14.（2024?上海長寧二模24）（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ad+2x+c與X軸分別交于點A、8（點A在

點B左側），與），軸交于點。（0,6）,其對稱軸為直線x=2.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點尸是上述拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與），軸、線段交于

點D、E.

①當b=OF時，求CZ）的長；

②聯結AC,如果△Ab的面積是△COE面積的3倍，求點尸的坐標.

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15.（2024?上海寶山二模24）（本題滿分12分,第⑴小題滿分4分，第（2）小題滿分4分，

第⑶小題滿分4分）

在平面直角坐標系xOy中（如圖11），已知開口向下的拋物線y=o^-2x+4經過點

P（0,4）,頂點為A.

（1）求直線PA的表達式；

（2）如果將繞點。逆時針旋轉90°,點A落在拋物線上的點Q處，求拋物線的表

達式；

（3）將（2）中得到的拋物線沿射線以平移，平移后拋物線的頂點為從與），軸交于點C.

如果尸C=求心〃NP8C的值.v

P。4）

O

圖II

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16.（2024.上海寶山二模24）如圖，已知在平面直角坐標系中，直線）,=且工+3與x

-3

軸相交于點A,與），軸相交于點8,拋物線=+云+c經過點8和點C（L0）,頂點

為。.

（1）求拋物線c的表達式及頂點。的坐標；

（2）設拋物線與1軸的另一個交點為E,若點夕在），軸上，當/~七。=90。時，求點P的

坐標；

（3）將拋物線G平移，得到拋物線C2.平移后拋物線G的頂點。落在x軸上的點M處，

將△M48沿直線A8翻折，得到△QA8,如果點。恰好落在拋物線C2的圖像上，求

平移后的拋物線G的表達式.

參考答案

1.（2024?上海奉賢二模24）如圖，在直角坐標平面xOy中，拋物線），=以2-2〃工+。與x軸

交于點A、B,與），軸正半軸交于點C,頂點為P，點A坐標為（-1,0）.

（1）寫出這條拋物線的開口方向，并求頂點P的坐標（用〃的代數式表示）;

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(2)將拋物線向下平移后經過點(0,1),頂點。平移至P.如果銳角/CPP的正切值為g,

求。的值；

(3)設拋物線對稱軸與x軸交于點。，射線PC與％軸交于點E，如果/EDC=/BPE,

求此拋物線的表達式.

【答案】(1)拋物線開口向下，

3

(2)a=——

2

(3)y=-x2+2x+3

【分析】本題考查了二次函數的綜合應用，角度問題，正切的定義，相似三角形的性質與判

定；

(1)將點(一1,0)代入解析式可得c=-3a,根據拋物線與y軸正半軸交于點C,得出”0,

即拋物線開口向下，然后化為頂點式求得頂點坐標，即可求解；

(2)過點C作CH_LP產于點〃，設向下平移加個單位〃2>0,平移后的拋物線為

y=a(x—l『一4。—加，根據題意得出尸77=2,得出一3々一2=一〃z，點：(0,1)代入

y=a(x—l)2—4。一機，得出a—4。—根=1,聯立解方程組，即可求解；

EDEC

(3)根據題意可得&EDCS二則——二—,根據題意得出直線PC的解析式為

EPEB

y=-ax-^a,進而得出后(一3,0),由拋物線對稱軸與工軸交于點O,得出10a0),則

ED=4,EB=6,勾股定理可得CE,尸E,進而代入比例式，即可求解.

【小問1詳解】

解：:拋物線y=4/2-%r+c與4軸交于點(一1,0)

，a+加+c=0

c=-3a

???拋物線與y軸正半軸交于點c,

/.-3?>0

a<0

，拋物線開口向下，

二拋物線解析式為y=ajc-2ax-=—4a

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???o（ii）

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點C作CH^LP產于點H，

設向卜.平移用個單位機〉0,平移后的拋物線為），=。（刀—if—4。一，〃

???夕（1,―帽），銳角/C"尸的正切值為g，

：?CH=1,則戶〃=2，9（1,7〃一相）

-3a-2=-4a-m?

將點（0,1）代入y=1）2-4a-in

a-4a-m=\?

7

m=—

9

聯立①②得j

a=--

2

【小問3詳解】

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,:y=ajc-2ox-3a=a(;c+l)(x-3)

當y=0時，x}=-l,x2=3

???3(3,0)

VC(0,-3tz),尸(la)

設直線PC的解析式為y=kx+t

t=-3a

??

k+t=-4a

k=-a

t=-3a

???直線PC解析式為y=-ax-3a,

當y=0時，x=-3

.??E(-3,0)

???拋物線對稱軸與％軸交于點D,

???￡)(1,0)

ED=4,EB=6,

勾股定理可得CE=ylco1+ECr=J9+9/=3,1+/，

PE=ylED2+PDr=，16+1而=4vm

?：/CED=/BEP,/EDC=/BPE

：?AEDCS^EPB

■ED_EC

"~EP=~EB

.43.1+/

4/1+4?6

解得：a=T(正值舍去)

???拋物線解析式為尸-/+2x+3.

2.(2024?上海虹口二模24)新定義：已知拋物線)，=ca2+Z?x+c(其中曲。。0),我們把

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拋物線y=c/+〃/+人稱為），=〃/++c的“輪換拋物線”.例如：拋物線

），=2f+3x+l的“輪換拋物線”為），=犬+2尤+3.

已知拋物線C"y=4〃i/+（4機—5）x+〃?的“輪換拋物線”為J拋物線G、。2與y軸

分別交于點E、/，點E在點尸的上方，拋物線G的頂點為夕.

（1）如果點￡的坐標為（0,1）,求拋物線g的表達式；

（2）設拋物線G的對稱軸與直線）'=3工+8相交于點。，如果四邊形PQE/7為平行四邊

形，求點E的坐標；

（3）已知點M（-4,/?）在拋物線C2上，點N坐標為-2,-7g）,當2MNs4PEF時，

求〃？的值.

2

【答案】（1）y=x+4x-\（2）（3）,〃=T或導

【分析】本題考查的是二次函數綜合題，重點考查二次函數的性質、平行四邊形性質及相似

三角形性質，

（1）將點E（O］）代入表達式，求出機的值，根據“輪換拋物線”定義寫出即可；

（2）根據輪換拋物線定義得出拋物線表達式及點心尸坐標，并求出P、。坐標，根據

平行四邊形性質得出PQ=EF列方程并解出，〃值，進而解決問題；

（3）先求M（-4,4m-5）,結合求出的點P、E、尸坐標得虛尸％2及。尸2,根據相似三角

形性質得出關于小的方程，解方程即可解決.

【小問1詳解】

解：拋物線a：y=4/加+（4〃?-5）x+"?與y軸交于點f坐標為（0,1）,

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當/=0,>=1代入，得機=1,

\4/〃-5=-1?

「?拋物線G表達式為y=4/—x+1,

???拋物線C1的“輪換拋物線”為G表達式為>=犬+4%-1；

【小問2詳解】

解：拋物線G：y=4〃笳+（4〃?-5）/+機，

當R=0時，y=m,即與），軸交點為E（O,m）,

??,拋物線C|：）=4/九/+（4根-5）x+〃z的“輪換拋物線”為C”

「?拋物線J表達式為y=nvc+4〃吠+（4〃”5）,

同理拋物線C2與），軸交點為b（0,4〃-5）,

拋物線C對稱軸為直線A=--=-2,

2m

當x=—2時，y=-5,

「?拋物線G頂點坐標為。（一2,-5）,

當工=一2時，y=3x+8=2,

???拋物線G的對稱軸與直線y=3犬+8交點Q（—2,2）,

點上在點尸的上方，

\ni>4m-5?

解得：m<—,

3

\EF=m-4m-5）=5-3m,

四邊形PQE尸為平行四邊形,

\PQ=EF,即2?（?5）=5?3m,

解得：m=~—,

3

第21頁共61頁

(2

:.E0,——

13

【小問3詳解】

解：?.?點在拋物線G上,

當x=-4時,y=//tv2+4mr+(4，〃?5)=4m-5,即M(?4,4必5),

12,-7力，P(-2,-5),E(O,/n),/(0,4〃?-5),

點N坐標為

；：2『〃2機？,

\PN2=(-2+2)2+*5+7,PF=(-2+(4z-5+5)=4+16

vSPEF=^EF?\xp\；(5-3〃z)?25-3m,

S2=JPN?M引=；?|5+7：?(2+4)=：

PMNs&PEF,

妻；笆

SPMNWPN?

,5-3m4+16/w2

V-=^5-，

24

17

解得:in=-

}32

3.（2024?上海黃浦二模24）問題：已知拋物線L：y=r-2x,拋物線W的頂點在拋物線

L上（非拋物線L的頂點）且經過拋物線心的頂點.請求出一個滿足條件的拋物線W的表

達式.

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（I）解這個問題的思路如下：先在拋物線L上任取一點（非頂點）,你所取的點是①；

再將該點作為拋物線W的頂點，可設拋物線W的表達式是②；然后求出拋物線L

的頂點是一③；再將拋物線L的頂點代入所設拋物線W的表達式，求得其中待定系

數的值為④；最后寫出拋物線W的表達式是

（2）用同樣的方法，你還可以獲得其他滿足條件的拋物線W,請再寫出一個拋物線W的表

達式.

（3）如果問題中拋物線￡和卬在x軸上所截得的線段長相等，求拋物線W的表達式.

【答案】（1）y=-x2（2）y=-（x-2）2

（3）+1或y=++1

【分析】本題考查二次函數的圖像和性質，掌握待定系數法求函數解析式是解題的關鍵.

（1）根據題目所給方法，給定頂點坐標為（0,0）計算即可解題；

（2）仿照（1）中的方法，給定坐標為（2,0）計算即可解題；

（3）拋物線W的頂點坐標為（利,〃22一26）（加工1）,把拋物線/，的頂點是代入求出

”的值，然后再根據拋物線L和W在x軸上所截得的線段長相等得到拋物線M過（陽+1,0）,

代入得T+〃/-26=0、求出〃?值，即可得到解析式.

【小問I詳解】

先在拋物線L上任取一點（非頂點），你所取的點是（0,0）；再將該點作為拋物線卬的頂點，

可設拋物線W的表達式是y=o?；然后求出拋物線L的頂點是再將拋物線L的

頂點代入所設拋物線W的表達式，求得其中待定系數的值為。=-1;最后寫出拋物線W的

表達式是y=.

【小問2詳解】

解：y=x2-2x=（x-l）2-1,

???拋物線L的頂點是（1,-1）,

取拋物線W的頂點坐標為（2,0）,

設拋物線W的解析式為y=把（1,一1）代入得：。二一1,

第23頁共61頁

:.拋物線w的解析式為y=-（x-2）2：

【小問3詳解】

解.：令y=0,則/一2工=0,解得：%,=0,X2=2,

???拋物線L在工軸上所截得的線段長為2，

設拋物線W的頂點坐標為（加,帆2-2機）（加工1）,

設解析式為y=a（x-/〃）2+〃z2-2/〃，把（1,一1）代入得：a（ni-\）2+77Z2-2//z=-l，

整理得（a+l）（〃2-l『=o,即。二一1,

/.y=-（x-/n）"+m2-Im,

又???拋物線L和W在x軸上所截得的線段長相等，

???拋物線M在x軸上所截得的線段長為2，

2

???拋物線M過（m+1,0）,代入得t+m-2m=0，

解得：加二應+1或m=-亞+1,

???拋物線的解析式為），=一（不一夜一l『+i或）,=一（工+&一1『+].

4.（2024?上海金山二模24）已知：拋物線y=/+云+（.經過點水3,0）、8（0,-3）,頂點

為P.

（1）求拋物線的解析式及頂點尸的坐標；

（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點Q在直線AB上，且點。在），軸右側.

①若點B平移后得到的點。在x軸上，求此時拋物線的解析式；

②若平移后的拋物線與y軸相交于點。，且△4。。是直角三角形，求此時拋物線的解析

式.

【答案】（I）），=/2A3,頂點尸的坐標是（1,一1）

第24頁共61頁

（2）?y=x2-4x+3：②y=f-24-1

【分析】（1）把點A和點4的坐標代入二次函數的解析式，用待定系數法求解即可；

（2）①先求直線的解析式，設Q點的坐標是再根據拋物線平稱的規律求解

即可；

②拋物線與），軸的交點是。（0,r+/-3）,分兩種情況：/8。。=90。或/次2。=90。，

根據等腰直角三角形的性質求解即可.

【小問1詳解】

9+3Z?+c=0

由題意得：.，

c=-3

???8=-2,c=-3,拋物線的解析式為y=x2-2x-3,

丁二工2一2工一3二（工一1）~一4,頂點。的坐標是（1,-4）.

【小問2詳解】

①設直線AB的解析式是）'=〃氏+〃，

3m+71=0

???〈-，

72=-3

/.m=1,〃=一3,

???直線AB的解析式是y=X-3,

設。點的坐標是（?"一3）,其中，＞0,此時拋物線的解析式是），=（工一。2十，一3,

???點B平移后得到的點C在x軸上，

???拋物線向上平移了3個單位，

，，-3=-1,即7=2，

???此時拋物線的解析式是y=（x-2『+2-3,即），=f-41+3.

②拋物線y=（x-/）2+7-3,與.y軸的交點是。（0,/+/-3）,

如果N4OQ=9（）。，即OQ_Ly軸不合題意，

如果N3QD=90。,

??ZAO8=900,AO=BO^

第25頁共61頁

，NOW=N。朋=45。，

???/QBD=NBDQ=45。,

/.QB=QD,

作QE_Ly軸，則BE=DE，

QE=^BD,

VQE=t,BD=hf,

解得％=。(不合題意，舍去)或4=1，

/?/=1?

此時拋物線的解析式是y=(x-+1—3,即)，=V-21一1.

5.(2024.上海靜安二模24)如圖，在平面直角坐標系上。)，中，已知拋物線關于直線X=|對

稱，且經過點4(),3)和點8(3,0),橫坐標為4的點C在此拋物線上.

(2)聯結A3、BC、AC,求tan/BAC的值；

(3)如果點P在對稱軸右方的拋物線上，且NA4C=45。，過點P作尸。JLy軸，垂足為

第26頁共61頁

Q,請說明NAR2=N84C,并求點P的坐標.

【答案】(I)該拋物線的表達式為)，=；/一坐工+3；

1<1744A

(2)tanZBAC=-(3)點P的坐標為—.

3139J

【分析】(1)運用待定系數法求解；

(2)先證得以03是等腰直角三角形，可得NABO=45。，AB=0OA=3O,過點。

作CE_Lx軸于E，則N23￡C=9O0,CE=1,。匹=4,進而證得是等腰直角三角形，

可得NC%：=45。，BC=6CE=4i，推出NA3C=90。，再運用三角函數定義即可求

得答案；

(3)連接A3,先證得/4PQ=NB4C,得出tanNAQQ=tan/8AC=:，即梨=?,設

37。

j(1A

=,n

PQ=m,則AQ~?可得。。=3+1%得出夕mf3+-m,代入拋物線解析式求得

“二?,即可求得答案.

3

【小問1詳解】

解：.?拋物線關于直線工=—對稱，

2

=a(x-^]+Z,把40,3)、3(3,0)代入，

一?設拋物線的解析式為y

12)

[250

—a+kz=3

m4

得：j，

-a+k=0

14

i

a=—

2

解得：，

k=--

8

\(5f1

y=—x————=--X2-—x+3>

-212)8：52

15

???該拋物線的表達式為y=~x^2—x+3o；

22

【小問2詳解】

第27頁共61頁

解：在y=-9工+3中，令工=4,得y=1x42-』x4+3=l

2222

...C(4,l),

A(0,3)、8(3,0),

OA=OB=3,

是等腰直角三角形,

?.ZABO=45°,AB=4iOA=30,

如圖，過點。作CE_Lx軸于￡,則N8￡C=90。，CE=T,OE=4,

:.BE=OE-OB=4-3=\,

BE=CE，

「.△BCE是等腰直角三角形,

.-.ZCBE=45°,RC=gCE=6,

/.ZABC=180°-ZAB6>-ZCBE=90°,

..tanNRAC=空=岸」；

AB3夜3

【小問3詳解】

由（2）知JOB是等腰直角三角形,

/.ZBAO=45°,

第28頁共61頁

ZPAC=45°,

ZPAQ+ABAC=180°-ABAO-/PAC=90°,

???P。_Ly軸，

:.APQA=90°,

NB4Q+ZA尸Q=90。，

：.ZAPQ=^BAC,

tanZAPQ=tanZ.BAC=；,

?絲」

"PQ3'

設PQ="2,則AQ=，〃，

OQ=OA+AQ=3+g“z,

JQ11

I3)

點夕在對稱軸右方的拋物線上，

3H—ifi——〃?—-m+3f且m>一,

3222

解得：〃2=:，

217..1fl7f517o44

當膽=—時，V=—X———X-----1-3=——，

3*2I3J239

一（1744]

二點戶的坐標為—I-

6.（2024?上海閔行二模24）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=十陵+。與工

軸相交于4（一1,0）、8兩點，且與），軸交于點。（0,-2）.

第29頁共61頁

（1）求拋物線的表達式:

（2）如果點。是.丫正半軸上一點，ZADC=2ZACO,且四邊形AQC。是菱形，請直接

寫出點。和點Q的坐標（不需要說明理由）：

（3）由平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，對

于平面內的一個多功形，畫出它的仟意一切所在的直線，如果其余各i力都在這條直線的一側，

那么這個多邊形叫做“凸多邊形”：否則叫做“凹多邊形”.如果點￡是拋物線對稱軸上

的一個動點，縱坐標為/,且四邊形ACBE是凹四邊形（線段AE與線段BC不相交），求，

的取值范圍.

【答案】(1)y=ix2-1x-2⑵嗚。｝

.22

（3）0<r<—或？<一5

4

【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可;

（2）先求出3點坐標，勾股定理逆定理求出NAC8=90。，根據NADC=2NACO,得到。

為AN的中點，再根據菱形的性質，求出。點坐標即可:

（3）求出直線ACBC的解析式，分別求出兩條直線與對稱軸的交點坐標，結合凹四邊形

的定義，討論求解即可.

【小問1詳解】

解：把A（—1,0）,。（0,-2）代入），=,/+云+0,得:

2

b=V,

-X(-1)2-/J+C=0

2V7,解得：＜

c=-2

第30頁共61頁

’22

【小問2詳解】

*/y=—x2--x-2，

?22

i3

當丁二一x2—x—2=0時，解得：玉=-1，W=4,

22

6(4,0),

???A(-1,0),C(0,-2)

???AB=5,AC="+22=68。="+2?=2行,

：-AC2+BC2=AB\

???ZACB=90°,

，ZACO+N8co=90。，

???ZCBO+ZBCO=90c，

??,ZACO=ZCBO,

*：ZADC=2ZACO^

???乙\DC=24)BC,

連接CO,則：ZADC=/DCB+/CBD=2NOBC，

???/DCB=/CBD,

/.ZDCB=ZACO,CD=BD,

ZDCB+ZDCA=ZACO+ZOAC=90°，

：.ZDCA=ZOAC,

/.CD=AD=BD，

???。為48的中點，

???唱4

???AQCO是菱形，

??.AQ//CD,

3

把點C光向右平移二個單位，再向上平移2個單位得到點。,

第31頁共61頁

3

，把點。先向右平移7?個單位，再向上平移2個單位得到點A,

2

FT；

13「

.y=-x2—x—2,

’22

???對稱軸為直線x二g

2

.?.對稱軸與X軸的交點坐標為。f,0),

1//

VA（-1,O）,8（4,0）,C（0,-2）,

1

???設宜線BC的解析式為y=履一2,把3(4,0)代入，得：k2-

135

y=-x-2,當x=一時，y=——

.22-4

3_5

???直線3C與對稱軸的交點坐標為產2,-4

(3

同法可得：直線AC的解析式為：>二一2工一2,直線AC與對稱軸的交點坐標為M；,-5

???點E是拋物線對稱軸上的一個動點，縱坐標為3且四邊形ACBE是凹四邊形，

???當點E在。,尸之間或點E在點M下方時，滿足題意，

/.0</<—或/<—5.

4

第32頁共61頁

7.（2024?上海浦東二模24）在平面直角坐標系X。），中，已知直線y=-1+2與x軸、），軸

分別交于點A、點從拋物線G:y=-/+Z?x+c經過點人、B兩點,頂點為點C.

（2）如果點。在拋物線G的對稱軸上，射線A3平分NCAO,求點。的坐標；

（3）將拋物線G平移,使得新拋物線G的頂點石在射線BA上,拋物線C2與），軸交于點F,

如果△2?￡尸是等腰三角形，求拋物線的表達式.

【答案】（1）b=l,c=2：

（3）y=—+1,一立+3或y=-（.r-1）2+1

【解析】

【分析】（1）由待定系數法即可求解：

（2）證明▲”）7/為等腰直角三角形，則點。0在AC上，點Q0D'代入AC的解析式，即

可求解；

（3）分情況討論：當BE=BF時,列出方程，即可求解；當鹿=E/或8/=￡F時，同

理可解.

第33頁共61頁

【小問1詳解】

解：把x=0代入），二一1+2得），=2,

???點B坐標是（0,2）,

把y=O代入y=r+2,得X=2,

???點八坐標是（2,0）,

c=2

將點A、8坐標代入y二一廠+灰+c,得，

0=-22+22>+C，

h=\

解得

c=2

，拋物線的表達式是y=-x2+x+2.

【小問2詳解】

由（1）知，拋物線的表達式為），=一％2+x+2,則其對稱軸為直線x=

作點D關于直線AB的對稱點課DD'交AB于點T,

VAB平分ZCAD,

???由軸對稱的性質可得：DT=D'T，

過點D作x軸的平行線交AZTECH,連接

V4（2,0）,5（0,2）,

???40AB=45°，則NDHB=45°，

第34頁共61頁

則，D7H為等腰直角三角形，

由軸對稱的性質可得：▲￡>'7H為等腰比角三角形,

???_DDH為等腰直角三角形，則點排在AC上，

設點，

^y=ni=-.x+2,則x=2—6，

:.H(2-/77,/??),

：,DH=2-m--=--m=D'H，

22

點O'(?—川，])，

設育線為)'=依+〃，

2。+〃=0_3

????19，解得：，“-2.

—〃+〃=一°

〔24〔〃二3

3

，直線4c的表達y=-：x+3,

2

將點加代入上式得：|=-|(2-w)+3,

解得：m=l,則點嗎/)

【小問3詳解】

設點￡(〃?,一根+2)(例>0),

則拋物線的表達式為：y=-(x-m)2-m+2,

當x=0時，y=-(x-/?!)2-in+2=-tn2一m+2,

即點尸(0,->一加+2),而8(0,2),

?**BF=J(一〃"一〃z+2-2)2=nr+m>BE=+(-/?+2-2)2=\[lm，

FE=yjm2+(一>丫_品2+/,

2

當BE=BF時,則fn4m=42m，

第35頁共61頁

解得：m=0（舍去）或加=血—1，

則拋物線表達式為：），=一（工一加+1）2-&+3：

當BE=EF或BF=EF時,則血機=了或/+m=\/m2+/??4，

解得：〃?=1（不合題意的值已舍去），

即拋物線的表達式為：y=-（x-l）2+l,

綜上，拋物線的表達式為：），=一（無一1『+1或》=一（人一血+1丫一血+3.

8.（2024.上海普陀二模24）在平面直角坐標系X。），中（如圖），已知拋物線

y=+〃（〃工0〉與x軸交于點A、B,拋物線的頂點夕在第一象限，且

ZAPB=90°.

（1）當點P的坐標為（4,3）時，求這個拋物線的表達式；

（2）拋物線y=a^x-m\+〃（。W0）表達式中有三個待定系數，求待定系數a與〃之間的

數量關系；

（3）以點尸為圓心，Q4為半徑作0P,0P與直線），=x+］相交于點M、N.當點P在

直線y=上時，用含口的代數式表示MN的長.

【答案】（I）y=--（r-4）24-3（2）a=--（3）MN=一^~

'3'7〃2a

【分析】（1）4q鉆是等腰直角三角形，當點尸的坐標為（4,3）時，則y=a（x—4『+3拋

物線的對稱軸為直線x=4,得出4（1,0）,B（7,0）,然后待定系數法求解析式，即可求解；

（2）根據（1）的方法求得〃一，0）,待定系數法求解析式，進而得二一;；

（3）根據尸（〃?,〃）在），二：x上得出〃?=2〃，根據（2）的結論得出。=一1,4（加一七0）

第36頁共61頁

即4(〃,0),與直線y=相交于點M、N.設直線y=x+］交x軸于點E，交了軸

于點F，得出P4〃MN,則」?PAS-BOE，求得PD=工〃,在Rt.PM。中勾股定

4

理求得MO,進而求得肋V,即可求解.

【小問1詳解】

解：依題意，..小/是等腰直角三角形，

當點。的坐標為(4,3)時，則)，=。(工一4『+3拋物線的對稱軸為直線x=4,

如圖所示，過點P作PC_Lx軸于點C,

???PC=-AB=AC=CB=3

2

???4(1,0),5(7,0)

將A(l,0)代入y=〃(x—4『+3

0=t/(l-4)2+3

解得：

???拋物線解析式為J=-1(X-4)2+3；

【小問2詳解】

解：???拋物線丁=。(為一間2+，(。/0)與工軸交于點八、8,拋物線的頂點?在第一象限,

第37頁共61頁

???-PBC是等腰直角三角形，拋物線的頂點坐標為（根,〃），

???PC=AC=n,

代入y=z)~+〃(aHO)

/.a(/加一n—\2+n=0

即an2+〃=0，

???拋物線的頂點P在第?象限,則〃>0

【小問3詳解】

,:P（7M?n）在y=—xAL

n=-m,即m=