專題2L3根的判別式【十大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】................................................1

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】..................................................3

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍1...............................................................................5

【題型4應用根的判別式證明方程根的情況】......................................................8

【題型5應用根的判別式求代數式的取值范圍】...................................................10

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數等知識的綜合】........................................13

【題型7根的判別式與三角形的綜合】...........................................................16

【題型8根的判別式與四邊形的綜合】...........................................................20

【題型9關于根的判別式的多結論問題】.........................................................23

【題型10關于根的判別式的新定義問題】.........................................................27

，舉一反三

【知識點一元二次方程根的判別式】

一元二次方程根的判別式：△=b2-4ac.

①當△=b2-4ac>0時，原方程有兩個不等的實數根；

②當A=b2-4ac=0時，原方程有兩個相等的實數根；

③當A=b2-4ac<（^、h原方程沒有實數根.

【題型1判斷不含字母的一元二次方程的根的情況】

【例1】（2023春?山東青島?九年級統考期末）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）

A.x2-2x+1=0B.x2+l=0C./-2x-3=0D.x2-2%=0

【答案】A

【分析】根據各選項中各方程的系數，利用根的判別式A=爐-4ac可求出各方程的根的判別式A的值，根據

當A=0時，方程有兩個相等的實數根即可得出結論.

【詳解】解：A.'.'a=1,b=-2,c=1,

=b2—4ac=（-2）2—4x1x1=0,

工方程有兩個相等實數根，故選項符合題意；

B.Va=1,b=0,c=1?

：.X=b2-4ac=02—4xlxl=0—4<0,

，方程無實數根，故選項不符合題意；

C.*.*a=1,b=—2,c=—3,

???△=b2-4ac=(-2y-4x1x(-3)=16>0,

???方程有兩個不相等的實數根，故選項不符合題意；

D.Va=1,b=—2,c=0,

.*.△=b2-4ac=(-2)2—4xlx0=4>0,

???方程有兩個不相等實數根，故選項不符合題意；

故選:A.

【點睛】本題考查了?元二次方程根的判別式，牢記“①當A>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當△二()

時，方程有兩個相等的實數根；③當AV。時，方程無實數根”是解題的關鍵.

【變式1-1](2023春?九年級課時練習)元二次方程丁-20、十2=0的實數根的個數是()

A.0B.1C.2D.無法判斷1

【答案】B

【詳解】試題解析：A=b2-4ac=8-8=0/

???方程有兩個相等的實數根；

故選B.

【變式1-2](2023春?江西?九年級統考階段練習)下列一元二次方程沒有實數根的是()

A.%24-1=0B.%2+2z4-1=0C.x2=4D.x2+x-2=0

【分析】根據一元二次方程的系數及根的判別式，逐一求出選項中一元二次方程的根的判別式么的值，△<

0的選項即為答案.

【詳解】解：A選項：???△二。2—4xlxl=-4<0,

???方程/+1=0沒有實數根，

???A選項符合題意.

B選項：???△=22-4x1x1=0,

???方程/+2x+1=0有兩個相等實數根，

???B選項不符合題意.

C選項:VA=02-4xlx(-4)=16>0,

???方程/=4有兩個不相等實數根，

???C選項不符合題意.

D選項：???△=12—4xlx(-2)=9>0,

???方程/+%-2=0有兩個不相等實數根，

???D選項不符合題意.

故答案選：A

【點睛】本題考查了根的判別式，熟記“當△<（）,一元二次方程沒有實數根”是解題的關鍵.

【變式1-3］（2023春?上海長寧?九年級上海市延安初級中學校考期中）在下列方程中，有實數根的是（）

A.x24-2x4-3=0B.V4x+1+1=0

C.^二六D./+8=0

【答案】D

【分析】根據一元二次方程根的判別式，即可判斷A；根據二次根式有意義的條件，即可判斷B；根據分式

有意義的條件，即可判斷C；根據立方根的定義，即可判斷D.

【詳解】解：A、,??A=/—4QC=22—4X1X3=—8V0,???該方程無實數根，不符合題意；

B、移項，得：V4x+1=-1,VV4x+1>0,J該方程無實數根，不符合題意；

C、去分母，得：x=l,當x=l時，無一1=0,J該方程無實數根，不符合題意；

D、移項，得：/二一8,解得：工二一2,???該方程有實數根，符合題意；

故選:D.

【點睛】本題主要考查了一-元二次方程根的判別式；二次根式有意義的條件：分式有意義的條件：立方根的

定義；解題的關鍵是熟練掌握相關知識點，并靈活運用.

【題型2判斷含字母的一元二次方程的根的情況】

【例2】（2023春?安徽合肥?九年級統考期中）已知關于x的方程辦2一（1一。卜一1=0,下列說法正確的

是（）

A.當Q=0時，方程無實數解B.當QH0時，方程有兩個相等的實數解

C.當Q=-l時，方程有兩個不相等的實數解D.當時，方程有兩個相等的實數解

【答案】D

【分析】直接利用一元二次方程根的判別式分析求出即可.

【詳解】解：A、當Q=0時，方程為1=0,

解得％=1,

故當a=0時，方程有一個實數根，故A不符合題意;

???方程x2+2mx+m（m4-l）=0有兩個不相等的實數根.

【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a視）的根的判別式△;b?-4ac：當4>0,方程有兩個不相等

的實數根：當^=0,方程有兩個相等的實數根：當4V0,方程沒有實數根.

【變式2-3］（2023春?福建廈門?九年級廈門市松柏中學校考期末）關于x的一元二次方程/—5x+c=0,

當。=￡。時，方程有兩個相等的實數根：若將c的值在的基礎上增大，則此時方程根的情況是（）

A.沒有實數根B.兩個相等的實數根

C.兩個不相等的實數根D.一個實數根

【答案】A

【分析】先求解亡0=手，再判斷當c=C>￡o=與，方程/一5%+"0的根的判別式的值的情況，從而可得

44

答案.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程/-5%+c=0,當c=￡°時，方程有兩個相等的實數糧，

???/一5%+無=0有兩個相等的實數根，

2

A=（-5）-4t0=0,

解得：

當c=t>t0=B，方程化為"-5%4-1=0,

/.A=（—5）2—4t=25—4t,

由t>片則4025,

4

.\25-4t<0,

???此時方程沒有實數根.

故選A

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟記根的判別式的含義是解本題的關鍵.

【題型3由方程根的情況確定字母的值或取值范圍】

【例3】（2023春?浙江舟山?九年級校聯考期中）在實數范圍內，存在2個不同的x的值，使代數式％2—3X+C

與代數式為+2值相等，則c的取值范圍是.

【答案】c<6

【分析】根據題意可得方程/-3z+c=x+2有兩個不相等的根，即判別式A>0,即可求解.

【詳解】解?：由題意得，方程/-3x+c="+2有兩個不相等的根，

X3xAc=xI2整理得*2-4x4c—2=0,

:.A=（-4尸-4xlx（c-2）>0,

解得：cV6,

故答案為：eV6.

【點睛】本題考查了根據一元二次方程根的情況求參數，熟練掌握一元二次方程的判別式與根的關系是解題

的關鍵.

【變式3-1]（2023春?北京西城?九年級北京市第三十五中學校考期中）已知關于x的方程租/一3x+1=0

無實數解，則加取到的最小正整數值是.

【答案】3

【分析】根據一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式列出不等式，即可求解.

【詳解】解：???關于x的方程m/-3x+l=0無實數解.，

當血=0時，原方程為一元一次方程，有解，

當6聲0時，原方程為一元二次方程，

:.N=b2-4ac=9-47n<0,

解得：

4

???則〃，取到的最小正整數值是3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的

意義是解題的關鍵.

【變式3-2]（2023春?廣西梧州,九年級校考期中）關于x的方程/+2（機-2）%+巾2-3血+3=0.

⑴有兩個不相等的實數根，求〃?的取值范圍；

⑵若方程有實數根，而且，〃為非負整數，求方程的根.

【答案】（l）m<1

（2）x=3或乃=1

【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式，即可求解；

（2）首先根據m<1且m為非負整數，可求得m=0,再解方程即可求解.

【詳解】（1）解：???關于x的方程/+20-2）%+7*-3m+3=0有兩個不相等的實數根,

△=[2（m-2）]2—4x1x（m2-37n+3）>0,

解得m<1,

故m的取值范圍為m<1：

(2)解：二?關于工的方程/+2(m-2)x+zn?—3m+3=0有實數根，

???△=[2(m-2)]2—4x1x(m2-3m4-3)>0,

解得mW1,

???m為非負整數，

???m=0或m=1,

當仇=。時，原方程化為%2-4%+3=0,

解得與=3,x2=1；

當加=1時，原方程化為/-2%4-1=0,

解得%3=%4=L

所以，原方程的解為％=3或x=1.

【點睛】本題考查了一元二次方程限的判別式及解法，熟練掌握和運用一元二次方程根的判別式及解法足解

決本題的關鍵.

【變式3-3](2023春?北京平谷?九年級統考期末)關于x的一元二次方程a/—2a%+b+l=0("翔)有

兩個相等的實數根仁則下列選項成立的是()

A.若-IVaVO,>7B.若±則0<。<1

abab

C.若0<4<1,則巴<2D.若則-1<〃VO

abab

【答案】B

【分析】根據一元二次方程的根的情況利用判別式求得。與〃的數量關系，再代入方程求2的值，然后結合

。的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程a/-2ax+b+l=0("翔)有兩個相等的實數根%,

:.△=(—2a)2—4a(b+1)=0,

4a2-4ab-4a=0,

又,.,Qb=0,

:.a-b-\=0,即。=6+1,

:.加-20￥+4=0,

解得：X/=X2=1，

?'Al,

-k-.k--1-.1—_1

abaa-1a(a—1)

當時,即y>o,

abab

即一7j>0,

a(a-l)

??a(a-1)<0?

解得()<4<1

當時，即七一AVO,

abab

即一T-”o,

a(a-l)

：.a(?-l)>0,

即「*或｛「之

解得:a>\或a<0.

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據一元二次方程根的情況求得。與。之間的等量關系是解

題關鍵.

【題型4應用根的判別式證明方程根的情況】

【例4】(2023春?廣東珠海?九年級統考期末)已知關于工的一元二次方程/一2小%+m2-1=0.

(1)求證：方程總有兩個實數根；

(2)若方程的一根大于2,一根小于1,求〃?的取值范圍.

【答案】(I)見解析

(2)1<m<2

【分析】(1)表示出A,根據△的數值判斷即可；

(2)利用公式求出兩根，根據兩根及其條件列出不等式，并解不等式即可.

【詳解】(1)解：依題意，得

'：X=(-2m)2-4x1x(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0

???方程總有兩個實數根：

(2)解；方程/2mx+m2—1=0

由(1)得△=4

...x=-(-2-)±"=zn±1,X,=771+1?X2=m-1,

2x1-1N

丁方程的一根大于2,一根小于1,TH+1>TH-1

.(771+1>2

*-1<1

/.1<m<2.

???加的取值范圍是1VHIV2.

【點睛】本題考查了一元二次方程，相關知識點有：根的判別式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的

知識點是解題關鍵.

【變式4-1](2023春?九年級課時練習)已知關于x的一元二次方程27+2mx4-zn-l=0,求證：不論m為

什么實數，這個方程總有兩個不相等實數根.

【答案】見解析

【分析】根據一元二次方程根的判別式的意義計算證明即可.

【詳解】證明：△=b2-4ac=(2n)2-4x2x(m-1)=4m2-8m+8=4(m-I)2+4,

V4(m-1)2>0,

.*.4(m-l)2+4>0,即△>(),

???不論m為什么實數，這個方程總有兩個不相等的實數根.

【點睛】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ay+/xr+c=0(啟0)的根與力=〃—4死有女I下關系：①

當1>0時，方程有兩個不相等的實數根；②當4=0時，方程有兩個相等的實數根；③當/V。時，方程無

實數根.

【變式4-2](2023春?九年級課時練習)已知關于x的一元二次方程/一3%+2=6(％-1).

⑴求證：方程總有兩個實數根；

(2)若方程兩個根的差是2,求實數m的值.

【答案】(I)見詳解

(2)1或一3

【分析】(1)將方程化為一般形式，計算判別式即可；

(2)由因式分解法求出方程的解，根據兩個根的差是2方程即可求出加.

(1)證明：x2—(m+3)x+m+2=0,VA=(m+3)2—4(m+2)=(m+l/K),，方程總有兩個實數根;

(2)解：x2—(m+3)x+m+2=0,:.(x-1)(x-m-2)=0,.\x/=l,刈=m+2,,方程兩個根的差是2,

?,?若m+2-1=2,則m=1；若1一(771+2)=2,則m=-3.，實數m的值為1或-3.

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式得到方程的根的情況，解一元二次方程，正確學握一元二次方

程的知識是解題的關鍵.

【變式4-3](2023春,九年級課時練習)已知關于x的一元二次方程(w-2)x+2m-8=0.

(1)求證：方程總有兩個實數根.

⑵若方程有一個根是負整數，求正整數〃，的值.

【答案】(I)見解析

(2)1或2或3

【分析】(1)先計算根的判別式的值得到△=(，H-6)2>0,然后根據根的判別式的意義得到結論;

(2)利用求根公式得到x/=,〃-4,芯=2,則〃>4V0,從而得到正整數，〃的值.

【詳解】⑴解:證明：???△=(w-2)2-4(2m-8)

=nr-12〃?+36

=(w-6)2>0?

???方程總有兩個實數根;

(2)^-b+x^-4ac_m-2±|m-6|

2

XZ=2,

???方程有一個根是負整數,

?、〃卜4V0,

，正整數加的值為1或2或3

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程a&/”+c=0(〃卻)的根與A=/-4.c有如下關系：當△>()

時，方程有兩個不相等的實數根；當A=0時，方程有兩個相等的實數根；當AV0時，方程無實數根.

【題型5應用根的判別式求代數式的取值范圍】

【例5】(2023春?浙江溫州?九年級校考期中)已知關于義的一元二次方程/-2%+3m=0有實數根，設此

方程的一個實數根為3令y=t2-2t+4m+L則y的取值范圍為

【答案】yW4

【分析】由一元二次方程根的判別式先求解mW3,根據一元二次方程的解的定義得出/-2￡=3m代入代

數式，進而即可求解.

【詳解】解：關于x的一元二次方程M-2x+3m=0有實數杈，

b2-4ac=4-12m>0,

解得：m<3,

設此方程的一個實數根為3

???tz-2t=-3m

:.y=t2-2t+4m+l

=-3m+4m+1

=m+1

vm<3

Tn+1<4即y<4

故答案為：yW4.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質，熟練的運用一

元二次方程根的判別式是解本題的關鍵.

【變式5-1］（2023春?安徽合肥?九年級統考期中）關于x的一元二次方程a/+^:+c=0（a工0）有兩個相

等的實數根刈，則下列關于2a~+匕的值判斷正確的是（）

A.2axQ4-b>0B.2ax0+b=0C.2ax0+b<0D.2ax0+h<0

【答案】B

【分析】根據方程有兩個相等的實數根，得到根的判別式等于0,表示出這個根，即可得到結論.

【詳解】解：???關于》的一元二次方程以2+版+。=0有兩個相等的實數根與，

二b2—4ac=0,且%。=?

則2aX。+b=2a-^+b=—b+b=0.

故選：B.

【點睛】此題考杳了根的判別式，熟練掌握一元一次方程根的判別式的意義是解本題的關鍵.

22

【變式5-21（2023春?浙江寧波?九年級統考期末）已知實數滿足-—mn+層=3,設p=m+mn-n,

則P的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

2

【分析】由原式得，P=2m-3.將機？一mn+M=3看成關于n的一元二次方程，根據方程有實數解，所

以2=爪2-4（血2一3）20,可得m244,進而得出結論.

【詳解】解：將兩個等式相加得：P+3=2m2,則P=2m2-3.

要求P的最大值，只需求出7,的最大值.

將機2一6九+九2=3看成關于九的一元二次方程，整理得：n2-mn+m2-3=0.

根據方程有實數解，所以A=m2一Mm?一3）NO.

可得租244,即62的最大值為4.

所以當租2=4時，尸的最大值為5.

故選：C

【點睛】本題考查等式性質，一元二次方程根的判別式，將含有多個參數的等式理解為含參數的一元二次方

程，從而運用方程的知識解決問題是解題的關鍵.

【變式5-3]（2023春?浙江杭州?九年級校考期中）已知關于x的一元二次方程%2-2%+m=0有兩個不相

等的實數根，設此方程的?個實數根為〃，令y=4后-8匕十3巾+2,則（）

A.y>1B.y>1C.y<1D.y<1

【答案】A

【分析】先根據一元二次方程根的判別式得到m<1,再根據一元二次方程解的定義求出4b2—助=-4m,

進而推出〉=一根+2,由此求解即可.

【詳解】解：???關于工的一元二次方程/一2%+血=0有兩個不相等的實數根，

/.△=（-2）2—4m>0,

Am<1,

???此方程的一個實數根為協

At2—2b+m=

.\b2—2b=—m,

/.4b2-8b=-4m,

.*.>■=4h2—8b+3m+2=-4m+3m+2=-m+2,

Vm<1,即一m>—1

.*.>?=-m+2>1,

故選A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程解的定義，對于一元二次方程a/+b%+

c=0（aH0）,若△=62-4知>0,則方程有兩個不相等的實數根，若4=爐-4知=0,則方程有兩個相

等的實數根，若A=b2-4acV0,則方程沒有實數根.

【題型6根的判別式與不等式、分式、函數等知識的綜合】

3X+8,

【例6】（2023春?重慶北陪?九年級西南大學附中校考期中）若關于大的一元一次不等式組-+6

.3x+a>4%—5

的解集為％W4,關于x的一元二次方程（。一1）/+3%+1=0有實數根，則所有滿足條件的整數。的值之

和是?

【答案】5

【分析】先求出不等式組中不等式的解集，根據不等式組的解集求出Q的范圍，再根據根的判別式得出A,。,

求出a的范圍，最后取符合條件的整數Q即可.

【詳解】解：解不等式手工x+6得：x<4,

解不等式3%+a>4%—5得：xVa+5,

3X+8公

I--x+b的解集為xv4,

{3%4-a>4%-5

，a+5>4,解得Q>-L

???關于X的一元二次方程（a-l）x2+3x+l=0有實數根，

=32-4（a-1）>0,Q-1芋0,

解得且1,

綜上所述，-1<Q43：且。工1,

???所有滿足條件的整數，的值是0、2、3,

???所有滿足條件的整數。的值之和是0+2+3=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和根的判別式，能求出a的取值范圍是解此題的關鍵，特別注意aH

1.

【變式6-1］（2023春?安徽安慶?九年級安慶市第四中學校考期末）若關于x的一元一次方程一十2丫十上匕十I=

0有兩個不相等的實數根，則一次函數y=kx+b的大致圖象可能是（）

【分析】利用判別式的意義得到A=22-4(k8+l)>0,貝丸bvO,然后根據一次函數的性質對各選項進行

判斷.

【詳解】解：???關于工的一元二次方程%2+2%+kb+1=0有兩個不相等的實數根，

??"=22-4(內?+1)>0,

kb<0,

當k>0,b<0時，一次函數經過第一、三、四象限；

當A<0,b)0時，一次函數經過第一、二、四象限.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了一元二次函數根的判別式，一次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握A=〃一

4ac>0,則方程有兩根不相等的實數根;A=b2-4ac=0,則方程有兩根相等的實數根;A=b2-4ac<0,

則方程有沒有實數根.

【變式6-2](2023春?九年級課時練習)要使關于x的一元二次方程以2+2%-1=0有兩個實數根，且使

關于x的分式方程士+皆=2的解為非負數的所有整數Q的個數為()

A.5個B.6個C.7個D.8個

【答案】B

【分析】根據一元二次方程根的情況得到a工0且d=22-4a-(-l)>0解得：a>一1且a工0,再把分式方

程化簡求值得：x=-Q+6,因為解為非負數，一Q+6N0且-a+6工4即Q<6HaH2,所以-1<a<6

且a不0,a。2,即可得出滿足題意的整數解.

【詳解】解：關于x的一元二次方程a/+2x—1=0有兩個實數根

皿0去°

=22-4a-(-1)?0

:.a>—1且aH0

關于x的分式方程」7+^=2

去分母得：%-(a+2)=2(%-4)

解得：x=-a+6

???分式方程的解為非負數

???-a4-6>0且一。+6H4即Q<6且aH2

-1<a<6且aH0,a。2

???演足題意的整數a的值為—1,1,3,456

故答案為：B.

【點睛】本題考查一元二次方程根的情況、分式方程的解，注意二次項系數不為0及分式方程的解要有意義，

這是此題的易錯點.

【變式6-3](2023?湖北武漢?校聯考模擬預測)已知a,b為正整數，且滿足=2則。+白的值為()

a2+ab+b249

A.4B.10C.12D.16

【答案】D

【分析】將已知方程整理為一元二次方程，結合方程根的情況，得出k的取值范圍，再代入方程即可求解.

【詳解】解：。2；：：+1)2=、變形得，49(a+b)=?a?+帥+川)，

Va,b為正整數,

???存在正整數匕使得a+b=4k①，

.*.G2+ab+b2=49k,即(Q+b]2—ab=49k,

/.ab=(a+b)2-49k=16k2—49〃②，

設a,b關于％的方程為/一4依+(161—49k)=0③，方程有兩個正整數解，

??.A=16k2-4(16/-49k)>0,

."Wk餐，

為正整數,

???A的值為1,2,3,4,可證k為1,2,3時方程③無正整數根，

?2

??當k=4時，方程―4依+(16爐一4%)=0得，X-16x4-60=0,解得，xt=10,x2=6,

G4-b=4/c=4x4=16?

故選:D.

【點睛】本題主要考查將分式轉化為一元二次方程方程，根據根的情況解一元二次方程的參數，再代入計算,

學握以上相關知識的運用是解題的關鍵.

【題型7根的判別式與三角形的綜合】

【例7】(2023春?廣東惠州.九年級校考期中)已知關于x的一元二次方程(a+c)/-2枚+(a-c)=0,其

中分別a、氏c是△/WC的邊長.

(1)若方程有兩個相等的實數根，試判斷△48C的形狀；

(2)若△ABC是等邊三角形，試求該一元二次方程的根.

【答案】(ISEBC是直角三角形

⑵/=0,不=1

【分析】(1)根據方程有兩個相等的實數根，可得A=0,代入化簡即可；

(2)根據△ABC是等邊三角形，可得a=b=c,將原方程化簡求解即可.

【詳解】(1)???方程有兩個相等的實數根，

：?(—2b)2—4(a+c)(a—c)=0,

/.4b2-4a2+4c2=0,

Ac2=b2+c2,

.??zM8c是直角三角形；

(2)當是等邊三角形，

:.(a4-c)x2-2bx+(a—c)=0,

可整理為：2a/_2ax=0,

一%=o,

?.x(x—1)=0,

解得：Xi=0,x2=1.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知關于x的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a*0)：若△>(1,方程有兩個不相等的實數根；若A=0,方程有兩個相等的實數根；若

A<0,方程沒有實數根；是解本題的關鍵.

【變式7-1](2023春?浙江杭州?九年級校考期中)已知關于文的一元二次方程/一(2k+1)無+H+憶=0

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)若4718c的兩邊48,的長是這個方程的兩個實數根，第三邊BC的長為5,

①若k=3時，請判斷aABC的形狀并說明理由：

②若A/IBC是等腰三角形，求攵的值.

【答案】（1）見解析

⑵①△48C是直角三角形，理由見解析：②斤的值為4或5

【分析】（1）先計算出A=l,然后根據判別式的意義即可得到結論；

（2）①k=3代入方程，解方程求得AB=3,AC=4,然后利用勾股定理的逆定理即可判斷445c是直角三

角形；②把5代入方程，求得女的值，然后判斷即可.

【詳解】（1）證明：???△=[—（2k+1）]2-4（/+k）=i>o,

???方程有兩個不相等的實數根.

（2）解：①k=3時，方程為7一7%+12=0,

解得%1=3,%2=4,

*.AB=3,AC=4,

'：BC=5,

：.AB2+AC2=BC2,

???△/IBC是直角三角形；

②TA=1>0,

：.ABHAC,

??"8,力。中有一個數為5.

當x=5時，原方程為：25—5（2女+1）+1+左=0,

即A2-9k+20=0,

解得：3=4,七=5.

當A=4時,原方程為爐-9x4-20=0.

:.勺=4,%2=5.

由三角形的三邊關系，得4、5、5能圍成等腰三角形，

:?k=4符合題意；

當A=5時，原方程為/一11%+30=0,

解得:%1=5,%2=6.

由三角形的三邊關系，得5、5、6能圍成等腰三角形，

:?k=5符合題意.

綜上所述：k的值為4或5.

【點睛】本題主要考杳了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0),當4=

b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；當A=b?-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當A=b?-

4ac<0時，方程沒有實數根是解題的關鍵.也考查了三角形三邊的關系以及直角三角形和等腰三角形.

【變式7-2](2023春?浙江金華?九年級校考期中)已知關于x的方程/—(m+l)x+2(m—l)=0.

(1)當方程一個根為x=3時，求用的值.

(2)求證：無論，〃取何值，這個方程總有實數根.

(3)若等腰△48C的一腰長Q=6,另兩邊氏c恰好是這個方程的兩個根.則△48C的面積為.

【答案】(l)m=4

(2)見解析

⑶回

【分析】(1)把無=3代入求解即可；

<2)求出判別式的符號，即可得證；

(3)根據等腰三角形兩腰相等，得到方程有一個根為6,代入方程，求出m的值，進而求出另外一個根，據

此即可得解.

【詳解】(1)解：當x=3時，方程為9一3(m+1)+2(血-1)=0,

整理得一7幾+4=0,

解得771=4：

(2)證明：VA=[-(m+l)]2-4x2(7n-l)

=m2-6m+9

=(m-3)2>0,

,無論力取何值，這個方程總有實數根；

(3)解：???等腰的一腰長Q=6,

工方程有一個根為6,

將x=6代入原方程，得：36-6(m+l)+2(m-l)=0,

解得：771=7,

???原方程為/一8%+12=0,

解得：xr=2,x2=6.

?：2、6、6能組成三角形,

不妨設A8=4C=6,則8c=2,

作18c于D,則80=DC=^BC=1,

：,AD=V62-l2=V35,

???該三角形的面枳為：x2xV35=V35.

故答案為：V35.

【點睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個數的關系，以及等腰三角形的定義，一元二次方程的解，

解一元二次方程.熟練掌握相關知識，是解題的關鍵.

【變式7-31(2023春福建廈門?九年級廈門市松柏中學校考期末)已知關于K的一元二次方程/—(m+5)%+

57n=0.

(1)求證：此一元二次方程一定有兩個實數根；

⑵設該一元二次方程的兩根為。，b,且6,a,分別是一個直角三角形的三邊長，求機的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)〃1的值為：鬧或JIT.

【分析】(1)利用根的判別式求出關于，〃的代數式，整理成非負數的形式即可判定爐-4碇20；

(2)把原方程因式分解，求出方程的兩個根，分別探討不同的數值為斜邊，利用勾股定理解決問題.

【詳解】(1)解：??,/一(m+5)x+5m=0,

：,h2-^ac=[-(m+5)f-4x5m=m2-10m+25=(?n-5)2>0,

???這個一元二次方程一定有兩個實數根；

(2)原方程可變為(％-5)(x-m)=0,

則方程的兩根為=a=m,x2=b=5,

???直角三角形三邊為6,5,〃?；

1<m<11,

①若〃?為直角三角形的斜邊時，則：m=V52+62=V61；

②若6為直角三角形的斜邊時，則：m=倔二號=41.

綜上：，〃的值為：鬧或低.

【點睛】此題考查利用根的判別式b2-4ac探討根的情況，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等

知識點；注意分類討論思想的滲透.

【題型8根的判別式與四邊形的綜合】

【例8】（2023春?四川成都?九年級校考階段練習）已知：矩形/18C0的兩邊<氏8C的長是關于方程/一血工+

；一）二0的兩個實數根.

24

⑴當〃?為何值時，矩形A8C0是正方形？求出這時正方形的邊長；

（2）若AB的氏為2,那么矩形力BCD的周長是多少？

【答案】（l）m=l,矩形A8CZ）是正方形，邊長是：

（2）5

【分析】（1）根據正方形的性質可得48=8C,則有關于入?的方程有兩個相等的實數根，然后根據一元二次

方程根的判別式可進行求解；

（2）根據題意把工=2代入方程求解,然后再求解方程的解，進而問題可求解.

【詳解】（1）解：四邊形力8co是正方形，

:.AB=BC.

又?.NB,BC的長是關于x的方程M一旭工+日一；=0的兩個實數根，

L4

.*.△=（-771）2-4X停-3=（7H-1）2=0,

Am=1,此時四邊形為正方形；

當加=1時，原方程為產一%+；=0,

解得：無1=小=\>

，正方形ABC。的邊長是

(2)??NB的長為2,

???把％=2代入原方程，得22-2加+:-：=0,

24

解得m=（.

將血=3代入原方程，得%2-3%+1=0,

解得=1=2,x2-\

，方程的另一根8C=；,

???矩形力BCD的周長是2x（2+J=5.

【點睛】本題主要考杳正方形的性質及一元二次方程的應用，熟練掌握正方形的性質及一元二次方程的應用

是解題的關鍵.

【變式8-1]（2023春?湖南益陽?九年級統考期末）已知口A8C。兩鄰邊是關于x的方程「心+比1=0的兩個

實數根.

（1）當相為何值時，四邊形ABCD為菱形？求出這時菱形的邊長.

（2）若AB的長為2,那么uABCZ）的周長是多少？

【答案】（1）當，〃為2?寸，四邊形A8C。為菱形，菱形邊長為1;（2）C平行網邊話ABCD=6.

【分析】（I）根據根的判別式得出△=nf-4（m-l）=0即可得出m的值，進而得出方程的根得出答案即可；

（2）由AB=2知方程的一根為2,將x=2代入得，4-2m-l=0,解出m的值，此時方程化為：x2-3x+2=0,得

出方程根，進而得出C平行四邊留ABCD?

【詳解】（1）若四邊形為菱形，則方程兩實根相等.

/.△=m2-4（m-1）=0

m2-4m+4=0

:.nn=iny=2

方程化為f-2x+1=0

解得：Xl=X2=\

???菱形邊長為1.

（2）由48=2知方程的一根為2,將x=2代入得,4-2w-1=0,

解得：〃-3此時方程化為：P3x+2=0,

解得（x-1）（x-2）=0

解得：A/=l,X2=2

**?C平行四邊腦ABCD=2X(1+2)=6.

【點睛】考查了?元二次方程的解法以及菱形的性質等知識，正確應用菱形的性質得出是解題關鍵.

【變式8-21(2023春?浙江杭州?九年級杭州市采荷中學校考期中)已知關于x的一元二次方程/+(m-5)x-

5m=0.

(1)判別方程根的情況，并說明理由.

⑵設該一元二次方程的兩根為小b,且。，。是矩形兩條對角線的長，求矩形對角線的長.

【答案】(I)有兩個實數根，見解析

(2)5

【分析】(1)根據?元二次方程根的判別式，即可進行解答；

(2)根據矩形對角線相等的性質可得Q=b,則該方程有兩個相等的實數根，即可求出機的值，最后將加的

值代入原方程，即可求解.

【詳解】(1)解：這個一元二次方程一定有兩個實數根

理由：△=b2-4ac=(m-5)2+20m=m2+10m+25=(m+5)2>

V(m+5)2>0,

.\b2—4ac>0,

???這個一元二次方程一定有兩個實數根；

(2)解：：小》是矩形兩條對角線的長，

??G—b?

???該一元二次方程的兩根為。，b,

???/+(機-5)x-5m=0有兩個相等的實數根，

，(m+5)2=0,解得m=-5,

這個一元二次方程為/一10%+25=0,解得％=5.

???這個矩形對角線的長是5.

【點睛】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握當b2-4ac>

0時，方程有兩個不相等的實數根：當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b2-4ac<0時，方程

沒有實數根.

【變式8-31(2023春?廣東佛山?九年級校考期中)關于x的一元二次方程，2-+2m-1=0的兩個根

4

是平行四邊形4BCD的兩鄰邊長.

（1）當m=2,且四邊形力BCO為矩形時，求矩形的對角線長度.

（2）若四邊形A8C。為菱形，求菱形的周長.

【答案】（1）2710

（2）8

【分析】（I）由m=2可以求出方程的兩個根，再由矩形性質即可求值；

（2）由菱形鄰邊相等得到方程有兩等根，再由判別式求值即可.

【詳解】（1）解：當m=2時，-x2-2%+3=0

4

整理得：（4-2）（工-6）二0

??X]—2,%2=6

???四邊形A8CD為矩形

???矩形的對角線長為〃J+&2=V22+62=2/10.

（2）解：???四邊形4BCD為菱形

???關于x的一元二次方程:/一mx+2m-1=0有兩相等的根

4

:?A=——4x：（2m-1）=0

解得：m=1

此時原方程為：/一%+1=0

4

??X]=%2=2

???菱形周長為2x4=8.

【點睛】本題考查一元二次方程與四邊形綜合，解題的關鍵是熟練解方程并理解矩形和菱形的性質.

【題型9關于根的判別式的多結論問題】

[例J9]（2023春?河北保定?九年級保定市第十七中學校考期末）己知關于x的方程依2-（2k-3）%+k-2=

0,則①無論出取何值，方程一定無實數根；②k=0時，方程只有一個實數根；③kW：且AH0時，方程有

兩個實數根；④無論攵取何值，方程一定有兩個實數根.上述說法正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】利用根的判別式，可得出A=9-4k,進而根據各選項的情況得出結論.

【詳解】解：關于x的方程kx2-(2k-3)x+k-2=0,

△=[-(2k-3)]2-4k(k-2)=9-4fc,

當A=0時，關于x的方程為3x-2=0,則％

方程只有一個實數根，故②說法正確；

當9一4k20,解得kW則kW：且kHO時，方程有兩個實數根，故③說法正確，①④說法錯誤；

44

綜上，上述說法正確的是②③，共2個，

故選：B.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，牢記“當AZOE寸，方程有兩個實數根”是解題的關鍵.

【變式9-1](2023春?浙江紹興?九年級統考期末)己知a(a>l)是關于x的方程%2-8工+/,-。=0的實數

根.下列說法：①此方程有兩個不相等的實數根；②當a=t+l時，一定有匕="1；③〃是此方程的根；

④此方程有兩個相等的實數根.上述說法中，正確的有()

A.??B.?@C.①③D.③④

【答案】C

【分析】根據一元二次方程根的定義求出b=Q,以及根的判別式判斷根的情況，進一步可得結論.

[詳解]解：???Q(a>1)是關于A-的方程/一b%+b-Q=0的實數根，

.*.a2—ab+b—a=0,

整理得，(。-1)(。-b)=0

VG>1,

a-1>0,

.\a-b=0,即b=a；

①4=d2-4xlx(b-a)=a2-4xlx(a-a)=a2>l,

???此方程有兩個不相等的實數根，故①說法正確；

②二"=a,

，當a=t+1時，一定有b=￡+1,故②說法錯誤；

③???Q(Q>1)是關于工的方程/一bx+b-a=O的實數根.且力=a,

???￡也是關于x的方程/一bx+b-a=0的實數根.故③說法正確；

④此方程有兩個不相等的實數根，故④說法錯誤：

所以，正確的結論是①

故選：c.

【點睛】本題主要考查了?元二次方程的解的意義，?元二次方程根的判別式，熟練掌握運用根的判別式判

斷根的情況是解答本題的關鍵.

【變式9-2](2023春?浙江杭州?九年級校考期中)對于代數式ax2+bx+c(。工。，小b,c為常數)①若

b2-4ac=0,則a/+匕》+c=0有兩個相等的實數根；②存在三個實數m。nHs,使得am?+bm+c=

22

an+bn+c=as+bs+c；③若a/+/)%+(?+2=0與方程[x+2)(x—3)=0的解相同，則4Q—2b+

c=-2,以上說法正確的是.

【答案]?