第12講反比例函數的圖象、性質及應用

錄

考點三反比例系數k的幾何意義

一、考情分析

題型01一點一垂線

二、知識建構題型02一點兩垂線

考點一反比例函數的相關概念

題型03兩點一垂線

題型01用反比例函數描述數量關系

題型04兩點兩垂線

題型判斷反比例函數

02題型05兩點和原點

題型03根據反比例函數的定義求字母的值

題型06兩曲一平行

考點二反比例函數的圖象與性質考點四反比例函數與一次函數綜合

題型判斷反比例函數圖象

01題型01一次函數圖象與反比例函數圖象綜

題型反比例函數點的坐標特征

02合

題型03已知反比例函數圖象，判斷其解析式

題型02一次函數與反比例函數交點問題

題型04由反比例函數解析式判斷其性質

題型03一次函數與反比例函數綜合應用

題型05由反比例函數圖象分布象限，求k值考點五反比例函數的實際應用

題型06判斷反比例函數經過象限

題型01行程問題

題型已知反比例函數增減性，求參數的取

07題型U2工程問題

值范圍

題型03物理問題

題型08已知反比例函數增減性，求k值

題型04分段問題

題型09由反比例函數的性質比較大小

題型05幾何問題

題型10求反比例函數解析式

題型11與反比例函數有關的規律探究問題

第1頁共154頁

0000)

考點要求新課標要求命題預測

反比例函數是非常重要的函數，年年都

反比例函數相

>理解與掌握反比例函數相關概念.會考，總分值為15分左右，?？伎键c為：反

關概念

比例函數圖象的性質k的幾何意義、雙曲線

>能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表上點的坐標特征、反比例函數與一次函數的

達式y=3也*0）探索并理解k>0和交點問題以及反比例函數的應用與綜合題

反比例函數的

k<0時圖象的變化情況.等.其中前三個考點多以選擇、填空題的形

圖象與性質

>能根據已知條件確定反比例函數的表式出題，后三個考點則是基礎解答題以及壓

達式.軸題的形式出題.在填空題中，對反比例函

數點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐

反比例系數k的

>理解與掌握反比例系數k的幾何意義.漸增大，常結合其他規則幾何圖形的性質一

幾何意義

起出題，多數題目的技巧性較強，復習中需

反比例函數與要多加注意.另外壓軸題中也常以反比例函

一次函數綜合數為背景，考察一些新定義類問題.

綜合反比例函數以上特點，考生在復習

反比例函數的

>能用反比例函數解決簡單實際問題該考點時，需要準備堂握其各性質規律，并

實際應用bl多注意其與幾何圖形結合題的思考探究.

第2頁共154頁

一般地，形如y二k/x（k為常數，kwO）的函數稱為反比例曲數.

xy=k（k#0.xy*O）

反比例函數-------y=kx'1（k豐。）題型01用反比例函數描述數量關系

題型判斷反比例函數

的相關概念02

等號左邊星由數y,等號右邊星一個分式題型03根據反比例由數的定義求字母的值

特征匕0

分母中含有自變量x,目指激為1

反比例函數的匿象是雙曲線，它的圖象與X軸.y軸都

題型01判斷反比例函數圖象

題型02反比例由數點的生樂特征

反比例的數的使象既是，由對稱圖形，又是中心對稱型形迪03已知反比例隹數圖僚，判斷其解析式

在每個象限內，y題型04由反比例函數解析式判斷其性質

k>0一、三象眼隨x的增大而減小題型05由反比例函數圖象分右象限，求k值

\題型06判斷反比例函數經過象限

反反比例函數的靖在每個象跟內，y題型07已知反比例函數增減性，求參數的取值范圍

4Hk<0二、四象跟隨x的增大而增大

比圖象與性質題型08已知反比例函數增減性，求k值

即型09由反比例函數的性質比較大小

例反比例函數的羽像關于直線y=±>：成軸對

對稱性稱，關于原點成中心對稱.題型10求反比例函數解限

函題型11與反比例函數有關的規律探究向即

雄定反比例函數解析式設、代、解、代

數

的

圖題型01一點一垂線

題型02一點兩垂線

象

題型03兩點一垂線

六種篌型（電難點I

性反比例系數k

遢型04兩點兩垂線

的幾何意義

質皿05兩點和原點

遨型06兩曲一平行

及

應

涉及自發量只需觀察一次函數的圖象與反比例兩數圖象的那

用

取信的圍分所對應的x的挹國

k值同號，兩個函數必有兩個交點

一次函數匿象與反匕例函數圖象綜合

反比例函數與從圖象上看

k值導0,兩個函數可弄點點，施型一次函數與反比例函數交點問煦

一次函數綜合02

求一次函數與反比可有一個交點，可有兩個交點題型03一次函數與反比例函數紇合應用

例函數的交點坐標

一次的數與反比例函數的交點主要取

決于兩函數所姐成的方程組的解的情

從計菖上看況

題生01行程問題

題里02工程問題

市、設、歹!I、寫、解題型03物理問甄

」反比例函數的實際應用

題型04分段問題

題生05幾何問題

考點一反比例函數的相關概念

.鋌JJ絳蝌知識梳理________

反比例函數的概念：一般地，形如y=：（上為常數，kw（D的函數稱為反比例函數.反比例函數的解析式也可以

寫成xy=k（kWO、xyWO）、y=kx~r（kHO）的形式.

反比例函數解析式的特征：①等號左邊是函數y,等號右邊是一個分式；

第3頁共154頁

②k牛0；

③分母中含有自變量x,且指數為1.

易混易錯

1.反比例函數y=：（kH0）的自變量》的取值為一切非零實數，函數y的取值是一切非零實數.

2.反比例函數的表達式中，分子是不為零的常數k,分母不能是多項式，只能是x的一次單項式.

3.反比例函數圖象上的點的橫縱坐標之枳是定值k.

題型01用反比例函數描述數量關系

【例1】（2023?山西忻州?校聯考模擬預測）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件“，要使杠桿平衡，作用在杠桿上

的兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即?也1=芻42?如圖，鐵架臺左側鉤碼的個數與位置都不

變，在保證杠桿水平平衡的條件下，右側力廠與力臂上滿足的函數關系是（）

A.正比例函數關系B.一次函數關系

C.反比例函數關系D.二次函數關系

【變式1-1］（2023?北京朝陽?統考一模）下面的三個問題中都有兩個變量:

①矩形的面積一定，一邊長y與它的鄰邊代

②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總人口小

③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時間￡.

其中，兩個變量之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.??C.（2X3）D.①②③

【變式『2】（2022?北京海淀?北京市十一學校校考二模）右圖是一種古代計時裝置（稱為“漏刻”）的示意圖:

水從上面的貯水壺慢慢漏入下方的受水壺中，假設漏水量是均勻的，受水壺中的浮子和標尺就會均勻升高,

第4頁共154頁

那么，就可以根據標尺上的刻度來反映浮子的高度從而計時.現向貯水壺內注水，則在受水壺注滿水之前,

浮子的高度與對應注水時間滿足的函數關系是（）

D.無法確定

題型02判斷反比例函數

【例2】（2023?湖北恩施?校考模擬預測）下列函數中，不是反比例函數的是（）

A.?v=--XB.Jy=-/XC.-v=—x-lD.3x-v=2

【變式2-1］（2022?福建南平?統考一模）下面四個函數中，圖象為雙曲線的是（）

A.y=5xB.y=2x+3

C.y=（D.y=%2+2x+1

題型03根據反比例函數的定義求字母的值

【例3】（2022上.山東棗莊.九年級校考期末）已知函數、=0+1）丫*-5是關于丫的反比例函數.則帆的值

是.

【變式3-1］（2022?江蘇南京?校聯考一模）已知反比例函數），=，的圖象經過點（1,3）、（〃［，〃），則〃的

值為.

【變式3-2］（2023?浙江杭州??？级＃┮阎c在反比例函數y=的圖象上，則租=—.

【變式3-3］（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十七中學統考二模）如果反比例函數y=曰的圖象經過點

X

（一2,1）,則女的值是（）

A.1B.-2C.-1D.3

第5頁共154頁

考點二反比例函數的圖象與性質

.夯基?必備基礎知識梳理

一、反比例函數的圖象與性質

1）反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，它的圖象與X軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩

個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸.

圖象特征2）反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=±x,對稱中心為原

點.

表達

/y=X-（k為常數，kHO）

式

441r

圖象

性k>0k<0

質經過一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）

象限

增減在每個象限內，y隨x的增大而減小在每個象限內，y隨x的增大而增大

性

①圖象關于原點對稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（-a,-b）在雙曲線的另一支上；

對稱②圖象關于直線y=%對稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（b,a）在雙曲線的另一支上；

性③圖象關于直線y=一無對稱，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則（-b,-a）在雙曲線的另一支上.

即：反比例函數的圖象關于直線y=±x成軸對稱,關于原點成中心對稱.

反比待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟：

例函1）設反比例函數的解析式為y=：（k為常數，kWO）；

數解

2）把已知的一對x,y的值帶入解析式，得到一個關于待定系數k的方程：

析式3）解方程求出待定系數k：

的確4）將所求的k值代入所設解析式中.

定方【說明】由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖象上的一個點的坐

法

標，即可求出k的值，從而確定其解析式.

第6頁共154頁

易混易錯

1.反比例函數的圖象不是連續的，因此在描述反比例函數的增減性時，?定要有“在其每個象限內”

這個前提.當k>0時，在每一象限（第一、三象限）內y隨X的增大而減小，但不能籠統地說當k>0

時，y隨x的增大而減小.同樣，當k<0時，也不能籠統地說y隨x的增大而增大.

2.反比例函數圖象的位置和函數的增減性，都是由常數k的符號決定的，反過來，由雙曲線所在位置

和函數的增減性，也可以推斷出k的符號。

3.雙曲線是由兩個分支組成的，一般不說兩個分支經過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的

兩個分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）.

.提升?必考題型歸納

題型01判斷反比例函數圖象

【例1】（2022?黑龍江綏化??？既＃┊旈L方形的面積5是常數時，長方形的長。與寬之間關系的函數圖

象是（）

【變式1T】（2O23?安徽亳州?統考三模）如圖，在△力BC中，/-BAC=20°,AB=AC=2,且始終保持NPAQ=

100°.設8P=%,CQ=yC）

【變式「2】（2023?河北滄州?統考模擬預測）在平行四邊形ABCD中,BD是對角線,AE1BD,CFlBDt

垂足分別為￡、"，已知56=2,KZC/JF=^LEAF,設=%,DF=yf假設；v、），能組成函數，則），與x

第7頁共154頁

的函數的圖象為（）

【變式1-3］（2023?河南信陽?統考一模）參照學習函數y=2的過程與方法，探究函數丫=三（工工2）的圖象

XXN

與性質.

1357

X??.-2-10123456??

2222?

24424121

y=?..-1-2■421???

x3537253

212421

?..-1m-2-4■421???

％-2~2-3332

（2）請畫出函數y=X-Z02）的圖象；

（3）觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當“V2時，），隨x的增大而；（填“增大”或“減小”）

②:y=三的圖象是由y=?的圖象向平移個單位長度而得到的;

③圖象關于點中心對稱.（填點的坐標）

題型02反比例函數點的坐標特征

【例2】（2023?廣西北海?統考模擬預測）下列各點在反比例函數、=:圖象上的是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,3）D.（-1,-2）

【變式2-1］（2023.福建寧德?統考模擬預測）下列四個點中，有三個點在同?反比例函數y==的圖象上,

**

則不在這個函數圖象上的點是（）A.（1,6）B.（-pl2）,C.（-2,-3）

第8頁共154頁

D?84)

【變式2-2］（2023?遼寧鞍山?統考一模）如圖，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=￡交于4,8兩點,若力（2,m）,

則點B的坐標為（）

A.（2,2）B.（-2,-1）C.（-2,-2）D.（-1,-4）

【變式2-3］（2019?吉林長春?中考模擬）如圖，函數），=ja>0）、y=：（x>0）的圖象將第一象限分成了A、

8、C三個部分.下列各點中，在B部分的是（）

A.(1,1)B.(2,4)C.(3,1)D.(4,3)

【變式2-4］（2023?陜西渭南?統考一模）已知正比例函數、=QX（。為常數，QX0）與反比例函數y=?的

圖象的一個交點坐標為則另一個交點的坐標為.

【變式2-5］（2022?福建漳州?統考模擬預測）己知直線y=2%與雙曲線y=（相交于A,6兩點.若點八（2,血），

則點4的坐標是.

【變式2-6］（2022?陜西西安?交大附中分校?？寄M預測）己知直線產匕與雙曲線廣^的一個交點的橫坐

標是2,則另一個交點坐標是—.

題型03已知反比例函數圖象，判斷其解析式

【例3】（2023?湖南婁底?統考模擬預測）如圖，下列解析式能表示圖中變量％,y之間關系的是（）

第9頁共154頁

A.y=七B.|y|=iC,y=-^D.|y|=-^

【變式3-1］（2023?江蘇徐州?統考二模）在平面直角坐標系中，對于點P（Q,b）,若Q歷>0,則稱點尸為“同號

點若某函數圖象上不存在“同號點”，其函數表達式可以是.

題型04由反比例函數解析式判斷其性質

【例4】（2023?山西晉城?統考一模）已知反比例函數y=—（則下列描述正確的是（）

A.圖象位于第一、三象限

B.），隨x的增大而增大

C.圖象不可能與坐標軸相交

D.圖象必經過點%

【變式4-1］（2022?江西九江??？级＃╆P于反比例函數y=：（k￥0）的圖象與性質，下列結論中不正確的

是（）

A.該函數的圖象既是軸對稱圖形，乂是中心對稱圖形

B.當k<0時，該函數的圖象在第二、四象限

C.該函數的圖象與直線y=kx+b有且只有兩個交點

D.當k>0時，函數值y隨匯的增大而減小

題型05由反比例函數圖象分布象限，求k值

【例5】（2023?貴州貴陽?校考一模）反比例函數y=（（k手0）的圖象如圖所示，貝抹的值可能是（）

A.5B.12C.-5D.-12

【變式5-1］（2023?河北滄州?統考三模）在平面直角坐標系中，反比例函數y=：（kKO）的圖象如圖所示,

則太的值可能是（）

第10頁共154頁

D.5

題型06判斷反比例函數經過象限

【例6】（2023?湖南郴州?模擬預測）已知反比例函數y（后0）,當2Vo時，力<力，則它的圖象

一定在（）

A.一，三象限B.二，四象限C.一，二象限D.三，四象限

【變式6-1］（2023?湖南永州?統考二模）當k>2時，反比例函數y=—的圖象位于（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

題型07已知反比例函數增減性，求參數的取值范圍

【例7】（2022?黑龍江哈爾濱?校考模擬預測）反比例函數y=.的圖象在每個象限內，y隨匯的增大而增大，

則a的取值范圍是（）

A.aN—3B.Q>—3C.a￡-3D.aV—3

【變式7-1］（2022.湖北武漢?校考模擬預測）在反比例函數、=等圖象上有兩點4（%,%）,雙八,為），71<

0<y2,xx>x2,則有（）

1111

A.m<——B.m>——C.m>——D.m<——

3333

【變式7-2］（2023?湖北武漢?統考三模）若點（血-1,%）和（加+Ly2）在y=2>0）的圖象匕若%>y2,

則m的取值范圍是（）

A.m>1或m<—1B.-1<m<1

C.-1<m<?；?VmV1D.mH±1

第11頁共154頁

【變式7-31（2022上?陜西渭南?九年級統考期末）若反比例函數y=三在每個象限內,y隨工的增大而減小，

則A的值可能是（）

A.一1B.0C.1D.1

題型08已知反比例函數增減性，求k值

【例8】（2023?安徽蕪湖?統考二模）已知函數yi=§,%=—§（〃>0），當1工工工3時，函數兒的最大值為

a,函數的最小值為Q-4,則4=_.

【變式8-1］（2023?陜西咸陽?二模）己知反比例函數y=：（kH0）的圖象在每個象限內y隨工的增大而增大,

且當1<%<3時，函數y的最大值和最小值之差為4,則k的值為.

【變式8-2］已知反比例函數y=：（k。。），當14%43時，y的最大值與最小值之差是4,則攵=.

題型09由反比例函數的性質比較大小

【例9】（2023?廣東東莞?校聯考一模）若點力（一2,%）、8（-1,力）、C（l/3）都在反比例函數丫=手（因為常

數）的圖象上，則力、加、為的大小關系為（）

A.y1<y2<y3B.y2<y3<為c.y2<yi<y3D.y3<yi<力

【變式9T】（2023?廣東湛江?統考三模）若點4ai，yj、S（x2?力）、。（巧，乃）是反比例函數y=-?圖象

上的點，且%則了1、力、力的大小關系是（）

A.必<y2<門B-V*<y?.<必C.%<治<當D.為<必vy?

【變式9-2］（2023?湖北武漢?校聯考模擬預測）已知力（與,為"（如丫2）在反比例函數y=?的圖象上，/<0<

不，且Ml>|%2l，則下列結論一定正確的是（）

A.%+力>0B.yi-y2>0C.%+y2VoD.yi-y2>0

【變式9-3］（2022?河北邯鄲?校考三模）已知反比例函數y=￡的圖象在第一、第三象限內，設函數圖象上

有兩點力（%1，%）、8（%2，及），若與<%2,則Yi與，2的大小關系是（）

A.%>y2B.yi<y2C.yi=y2D.不能確定

【變式9-4］（2023?湖北武漢?統考二模）已知4（右,力），8（%2，丫2），。（右，丫3），為雙曲線y=—：上的三個點,

且均<x2<x3,則以下判斷正確的是（

A.若>。，則y2y3>0B.若%i%2<。，則<o

c.若<°，則y2y3>oD.若>0,則y2y3<o

第12頁共154頁

題型10求反比例函數解析式

【例10】（2023?陜西商洛?統考二模）已知與8（2,P-3）是反比例函數y=:圖象上的兩個點，則k

的值為.

【變式10-1】（2022?福建泉州?統考模擬預測）若反比例函數y二:的圖象過點（一2,。）、（2,匕），且。一匕二一6,

則A=.

【變式10-2】（2023?廣東廣州?校考一模）反比例函數y=5的圖象上有一點：P（a,b）,且a、〃是方程d一七一

2=。的兩根，則k=_.

【變式10-3]（2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預測）反比例函數y=：（k*0）的圖象經過（a,2）,

（a+1,1）、（瓦6）三點,則b的值為.

【變式10-4】（2022.湖北省直轄縣級單位.統考模擬預測）如圖，直線y=-%+3與y軸交于點A,與反比例

函數y=￡（kH0）的圖象交于點C,過點C作C81%軸于點B,40=38。，求反比例函數的解析式.

題型11與反比例函數有關的規律探究問題

【例11]（2022?河北唐山?統考二模）如圖，平面直角坐標系中，邊長為1的正方形。力匕8的頂點A、8分別

在/軸、y軸上，點Pi在反比例函數y=：（%>0）的圖象上，過P①的中點％作矩形與A41P2，使頂點。2落在

反比例函數的圖象上，再過P2&的中點々作矩形遇2P3,使頂點P3落在反比例函數的圖象上，…，依此

規律可得：

（1）點22的坐標為

（2）作出矩形為847418P19時，落在反比例函數圖象上的頂點P19的坐標為—.

【變式11-11（20231二?湖南?九年級校聯考階段練習）如圖，在反比例函數y=￡的圖象上有4（2,加）、8兩點，

連接力8,過這兩點分別作x軸的垂線交x軸于點C、Q,已知8。="。，點Fi是的中點，連接力居、BF],

得到△力08；點尸2是。&的中點，連接力尸2、BF2,得到△力尸2&……按照此規律繼續進行下去，則△力吊B的

第13頁共154頁

面積為.（用含正整數〃的式子表示）

【變式11-2】（2021上?四川成都?九年級校考期中）在平面直角坐標系中，橫坐標，縱坐標都為整數的點稱

為整點，正方形邊長的整點稱為邊整點，如圖，第一個正方形有4個邊整點，第二個正方形有8個邊整點，

第三個正方形有12個邊整點…按此規律繼續作下去，若從內向外共作了5個這樣的正方形，那么其邊整點

的個數共有一個，這些邊整點落在函數y=1的圖象上的概率是

【變式11-3】（2020上.安徽.九年級校聯考階段練習）如圖，等邊三角形△。。1邑，AERE2,A%//，…

的邊0邑，E[E2,E2E3…，在工軸上，頂點為，。2,。3…，在反比例函數y=#的圖象上.

（1）第1個等邊三角形△。。送1的周長G=；第2個等邊三角形△均外々的周長Q=；第3

個等邊三角形△%出七3的周長。3=；…；

第14頁共154頁

（2）根據（1）的規律，猜想第八（九是正整數）個等邊三角形的周長:

（3）計算：C]+Q+。3+,,,+。10?

【變式11-4】（2023?江蘇徐州??？既＃┤鐖D，在x軸的正半軸上依次截取。&=4力2=力243,過點4,

A2,心，分別作X軸的垂線與反比例函數y=：（無＞0）的圖象相交于點P1，。2，打，得△。匕&，△4$242,

△&P3A3,并設其面積分別為S],S2,S3,以此類推，貝心2024的值為（）

1012C短D?福

考點三反比例系數k的幾何意義

.夯基?必備基礎知識梳理_______

一、一點一垂線

【模型結論】反比例函數圖象上一點關于坐標軸的垂線、與另一坐標軸上一點（含原點）圍成的三角形面

積為浙I.

【拓展一】【拓展二】【拓展三】（前提：OA=AC）

第15頁共154頁

結論：SAAOB=SACODSAAOE=S四邊形CEBDSAAOC=|^|

二、一點兩垂線

【模型結論】反比例函數圖象上一點與坐標軸的兩條垂線圍成的矩形面枳為死|.

【拓展二】【拓展三】

結論：S矩形ABOE二S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS口ABCD=|k|

三、兩點一垂線

【模型結論一】反比例函數與正比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作垂線圍成的三角形面積等于|k|,

B

結論：SAABC=2SAABO=|/^|

第16頁共154頁

【模型結論二】反比例函數與一次函數圖象的交點及坐標軸上任一點構成三角形的面積，等于坐標軸所分

的兩個三角形面積之和.

如左圖，已知一次函數與反比例函數y=：交于A、B兩點，且一次函數與x軸交于點C,

貝SZXAOB=SAAOC+SAROC=1CO*|yA||yB|=|co(IyAI+1YBI)

乙乙乙

如右圖，已知一次函數與反比例函數y=5交于A、B兩點，且一次函數與y軸交于點C,

貝！JSAAOB=SAAOC+SABOC^CO*|XAI+-C0*|XB|CO(|XA|+XB|)

乙乙乙

四、兩點兩垂線

【模型結論】反比例函數與止比例函數圖象的交點及由交點向坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等J--2|k|

第17頁共154頁

方法一：SAAOB=SACOD-SAACC-SzXBOD.【分割】

方法二：作AE±x軸于點E,交0B于點M,BF±x軸于點F,而SAOAM=S四邊形MEFB,則SAAOB=S直角

梯形AEFB.

方法三：SAAOB~S四邊形COFD-SAAOC-SABOF.【補形】

方法四：SAAOB=SAAOD-SABGD=10D*(YAI-IYBI)

-

方法五：SAAOB-SABOC-SAACC~^06*(XB||xA|)

【拓展】

方法一：當AD/AC（或BD/BF）=m時，則S四邊形OADB=m|k|.

方法二：作AEJ_x軸于E,則SAOAB=S直角梯形AEFB（類型一）.

六、兩曲一平行

【模型講解】兩條雙曲線上的兩點的連線與一條（或兩條）坐標軸平行，求這兩點與原點或坐標軸上的點

圍成的圖形面積，過這兩點作坐標軸的垂線，結合k的幾何意義求解.

第18頁共154頁

結論：S陰影=|kl|—|k2|S陰影=|klHk2|-S直角梯形AFDE

類型二兩條雙曲線的k值符號相同

結論：SAAOB=SAACB=1(kl|+|k2|)S陰影=|kl+|k21

.提升?必考題型歸納

以下題型均包括兩種類型：已知比例系數求特殊圖形面積、以及圖形面積求比例系數

題型01一點一垂線

【例1】如圖，A是反比例函數y=￡的圖象上一點，力Bly軸于以點C在x軸上，若而枳為2,則

A.-4B.1C.2D.4

【變式（2023?安徽?九年級專題練習）如圖，等腰直角「角形。A8的斜邊在不軸的負半軸上，頂點力在

反比例函數y=4（%〈0）的圖象上，△AOS的面積為4,則k的值為（）

X

第19頁共154頁

C.-4D.4

【變式『2】（2022上?江西南昌?九年級南昌市第二十八中學校聯考期末）若圖中反比例函數的表達式均為

"%則陰影部分面積為2的是（）

【變式「3】（2022?福建福州??？寄M預測）如圖，在y=g的圖象上有兩點4、C,過這兩點分別向x軸引

【變式（2023?廣西北海?統考模擬預測）如圖，Pi（-1,4）、Pz（-2,2）、是雙曲線上的三點，過

這三點分別作y軸的垂線,得到三個三角形△Pi&。、AP2A2。、AP34。、設它們的面積分別是&、S2、S3,

則S1、52、S3的大小關系為（）

A.=S2=S3B.S]=S3<S2C.S2>S3>SxD.無法確定

【變式1-5]（2020?吉林四平?統考一模）如圖，函數y=：（x>0）和y=：（x>0）的圖象將笫一象限分成

第20頁共154頁

三個區域，點M是②區域內一點，MN_Lx軸于點N,則AMON的面積可能是（）

A.0.5.