專題18解直角三角形（10個高頻考點）（舉一反三）

【考點1銳角三角函數的定義】..................................................................1

【考點2銳角三角函數的增減性】................................................................2

【考點3同角三角函數的關系】..................................................................3

【考點4互余兩角三角函數的關系】..............................................................3

【考點5特殊角的三角函數】....................................................................4

【考點6解直角三角形】........................................................................5

【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】...................................................7

【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】.....................................................9

【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】..................................................10

【考點10解直角三角形應用之其他問題】........................................................12

【要點1銳角三角函數】

在RfAABC中,ZC=90\則乙4的三角函數為

定義表達式取值范圍關系

正弦4/A的對邊0<sinA<1

sinA=—rm-----sinA=—

斜邊c（ZA為銳角）sinA=cosB

余弦.4的鄰邊,b0<cosA<1cosA=sinB

8sA=——------cosA=—

斜邊c（ZA為銳角）sin2A+cos2A=1

正切4乙4的對邊tanA>0,1

tailA=------,,、,tan>4=—tanA=------

NA的鄰邊b（ZA為銳角）tanB

【考點1銳角三角函數的定義】

【例1】（2022?湖北荊州?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8分別在x軸

負半軸和y軸正半軸上，點C在。8上，OC-.BC=1:2,連接4C,過點。作。尸II48交AC

的延長線于P.若P（l,l）,則taM。4P的值是（）

B.立

A.叵C.-D.3

2

【變式1-1]（2022?上海?上海市進才中學校考一模）在RtAABC中，Z.C=90°,AB=5,

AC=4.下列四個選項，正確的是（）

44

A.tanB=：B.sinB=-C.sinB=-D.cosBc="4

【變式1-2]（2022?山東濱州?陽信縣實驗中學校考模擬預測）如圖所示,已知O。是△48。

的外接圓，AD是。。的直徑，連接，若40=3,AC=2,則cos。的值為（)

李三2

B.C,D.

223

【變式1-31（2022?四川宜賓?統考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCZ）中，AB=5,BC=3,

則cos乙4D/7的值為（）

E

A.—D,總

1715

【考點2銳角三角函數的增減性】

【例2】（2022?上海靜安?統考一模）如果0。〈44V45,那么2nA與co安的差（)

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【變式2-1]（2022?上海校考模擬預測）如果銳角A的度數是25。，那么卜.列結論中正確的

是（）

B.0<cos^<^

A.0<sin/l<-

y/3

C.一<tanA<1D.1<coL4<y/3

【變式2-2]（2022?甘肅張掖?統考模擬預測）若0。Va<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小

B.C.tana隨a的增大而堵大D.0<sina<l

【變式2-3]（2022?浙江寧波?校聯考一模）sin70。，cos700,tan70。的大小關系是（）

A.tan70ycos700Vsin70'B.cos700<tan70°Vsin700

C.sin70°Vcos70°Vtan70°D.cos700<sin700<tan700

【考點3同角三角函數的關系】

【例3】（2022春?湖南邵陽?九年級邵陽市第二中學校考自主招生）已知用為實數,且sin%

cosa是關于x的方程4/一in%+1=0的兩根，則sin4a+cos4a的值為（）

A2!C-5D-1

【變式3-1］（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預測）在&448。中，ZC=900,若

sinA=1,則cosA=（）

A.叵B.叵CTD.它

3232

【變式3-2］（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預測）已知tana=5,則

3sinacosa

2sinza+cosza----------------'

【變式3-3］（2022?湖北?校聯考模）已知：實常數*b,c,d同時滿足下列兩個等式：

（l）asin0+bcosJ—c=0；⑵acos。-bsin。+d=0（其中。為任意銳角），則Q、b>c>d之

間的關系式是：

【考點4互余兩角三角函數的關系】

【例4】（2022?福建南平統考二模）如圖，將矩形A8CQ放置在一組等距的平行線中，恰

好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1,若乙DCE=。,則矩形ABC。的

周長可表示為（）

A

CE

A-2島+就）B-2島+品）

仁2（磊+扁）D-2島+高）

【變式4-1］（2022?安徽宣城?校聯考一模）在RSA8C中，ZC=90°,下列式子不一定成

立的是（）

A.sin/l=sinBB.cosA=sin8

C.sinA=cos8D.sin（4+B）=sinC

/4、2019/用、2020/斤、2021/x.2022

A.2X俘）B.2x（y）C.2x停）D.2xz（/）

【變式5-1]（2022?山東日照?統考中考真題）在實數&,』（/0）,COS30。，弼中，有理

數的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式5-2]（2022?福建泉州?統考二模）如圖，在菱形A8c。中，AC=CDf則cos/3的值為

（）

【變式5-3]（2022?陜西渭南?統考二模）如圖，在△ABC中，NA8C=45。，點〃是高AO

和8￡的交點，ZCAD=30°,。。=4,則線段班/的長度為（）

【要點3解直角三角形的類型和解法】

已知條件圖形解法

已知一直角邊和

-NA,c=",b=(或〃=護-a2)

一個銳角4=90。a

（a,ZA）BsinAtanAv/

/

已知斜邊和一個^^90也靚M=csinA,b=ccosA(物=-7c2-a2)

銳角（c,/A）

已知兩直角邊鄰邊二—0

刀c=Ja2+/，由tanA=—求ZA,NB=90°—N4

（。㈤b

已知斜邊和一條

匕=，。2一〃2,由《門川二色求N4/5=9o。一N/

直角邊（C,。）c

【考點6解直角三角形】

【例6】（2022?江蘇南通?統考中考真題）如圖，點。是正方形力86的中心，AB=3a.Rt△

BE尸中，乙BEF=90°,EF過點D,BE,BF分別交AD,CD于點G,M,連接OE,OM,EM.若BG=

DF.tan^ABG=則^OEM的周長為.

J

E

AD

O

B

【變式6-1］（2022?浙江嘉興?統考中考直撅）如圖，在AA3C中，ZA13C=90°,ZA=60°,

直尺的一邊與重合，另一邊分別交4B,AC于點。，E.點、B,C,。，E處的讀數分別

為15,12,0,1,則直尺寬8。的長為.

【變式6-2］（2022?西藏?統考中考真題）如圖，已知BC為。。的直徑，點。為CE的中點,

過點。作。GIICE,交8c的延長線于點A,連接8。，交CE于點F.

⑴求證：A。是。。的切線；

（2）若E/=3,CF=5,tan^GDB=2,求AC的長.

【變式6-3］（2022?遼寧撫順?統考中考真題）在△ABC中，Z,BAC=90°,AB=AC,線段AB

繞點A逆時針旋轉至AO（4。不與4c重:合），旋轉角記為a,乙04C的平分線力E與射線B0相

交于點E,連接EC.

AA

圖①圖②備用圖

（1）如圖①，當a=20。時，乙4EB的度數是；

（2）如圖②，當0。＜。＜90。時，求證：BD+2CE=V2AE；

⑶當0。＜a＜180°,4E=2CE時，請直接寫出黑的值.

【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】

【例7】（2022?山東聊城統考中考真題）我市某轄區內的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空

心磚塔，塔旁有一棵唐代占槐，稱為“宋塔唐槐〃（如圖①）.數學興趣小組利用無人機測

量古槐的高度，如圖②所示，當無人機從位于塔基8點與古槐底。點之間的地面”點，豎

直起飛到正上方45米七點處時,測得塔的頂端A和古槐CO的頂端C的俯角分別為26.6。

和76。（點8,H,。三點在同一直線上）.已知塔高為39米，塔基8與樹底。的水平距離

為20米,求古槐的高度（結果精確到1米）.（參考數據:sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,

tan26.6°?0.50,sin76°?0.97,cos76°?0.24,tan763?4.01)

【變式7-1］（2022?山東濟南?統考中考真題）數學活動小組到某廣場測量標志性建筑人B的

高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點4的仰角為22。，再向前70m至。點，又測得

最高點A的仰角為58。，點C,D,8在同一直線上，則該建筑物A8的高度約為（）（精

確到1m.參考數據：sin22°?0.37,tan22°?0.40,sin58°*0.85,tan58°?1.60）

A

A.28mB.34mC.37mD.46m

【變式7-2]（2022?江蘇泰州?模擬預測）如圖，小明在大樓45m高（即尸H=45m,且PH_LHC）

的窗口P處進行觀測，測得山坡上4處的俯角為15。，山腳B處的俯角為60。，已知該山坡的坡

度i（即tax4BC）為1:6（點P,H,B,C,4在同一個平面上，點、H,B,C在同一條宜線

上）.

（1）2P8A的度數等于度（直接填空）

（2）求A,B兩點間的距離（結果精確到0.1m,參考數據：V2?1.414,百、1.732）

【變式7-3]（2022?四川自貢?統考中考真題）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地

測量，活動過程如下：

里角器圖①

p

圖③圖④

⑴探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心。處，另一端系小重物G.測量

時，使支桿0M、量角器90。刻度線ON與鉛垂線0G相互重合（如圖①），繞點。轉動量角器,

使觀測目標尸與直徑兩端點4,B共線（如圖②），此目標P的仰角ZPOC=/GON.請說明兩

個角相等的理由.

⑵實地測扁：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點K處測得頂

端P的仰角"0Q=60。，觀測點與樹的距離KH為5米，點。到地面的距離。K為1.5米；求

樹高P”.（V3?1.73,結果精確到0.1米）

⑶拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度P"（如圖④），同學

們討論，決定先在水平地價上選取觀測點E,F（E,尸,”在同一直線上），分別測得點尸的仰

角a,6,再測得E,尸間的距離點仇,。2到地面的距離。:「劣尸均為1.5米;求PH（用火0,7九

表示）.

【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】

【例8】（2022?山東泰安?統考模擬預測）因東坡文化遠近聞名的遺愛湖公園，“國慶黃金周〃

期間，游人絡繹不絕，現有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當船在A處時，船上游客

發現岸上P/處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當游船向正東方向行駛600〃?到達

8處時，游客發現遺愛亭在北偏西15。方向；當游船繼續向正東方向行駛400加到達。處時，

游客發現臨呆亭在北偏西60。方向.則臨果亭P/處與遺愛亭P2處之間的距離為.（計

算結果保留根號）

【變式8-1]（2022?遼寧朝陽?模擬預測）如圖，8地在H地的北偏東56。方向上,C地在8地

的北偏西19。方向上，原來從力地到C地的路線為力->8->C,現在沿4地北偏東26。方向新修

「一條直達C地的公路，路程比原來少了20千米.求從A地直達C地的路程（結果保留整數.參

考數據：1.4,V3?1.7）.

【變式8-2］（2022?浙江寧波?一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里/小時的速度筑行,

在A處測得島C在北偏東60。方向，1小時后漁船航行到8處，測得島。在北偏東30。方向,

已知該島周圍9海里內有暗礁.參考數據：V3?1.732,sin75°?0.966,cos75°?0.259.

（1）B處離島C有多遠？如果漁船繼續向東航行，有無觸礁危險？

（2）如果漁船在8處改為向東偏南15。方向航行，有無觸礁危險？

【變式8-3］（2022?四川成都?校聯考三模）如圖，為河流南北兩岸的平行道路，北岸

道路4,8和南岸道路。點處各有--株古樹.已知8,。兩株古樹間的距離為200米，為了

測量A,8兩株古樹之間的距離，在南岸道路C點處測得古樹人位于北偏西42。方向，在。

處測得古樹8位于北偏西30。方向.已知CQ=280米，求A,8兩株古樹之間的距離.（結

果保留整數）

參考數據：缶1.41，參率73,而42。琮，8s42弓，342。*.

北

【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】

【例9】（2022.湖南郴州.統考中考直題）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CO=20m,背

水坡BC的坡度為=為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設計

人員準備把背水坡的坡度攻為i2=l：百，求背水坡新起點A與原起點4之間的距離.（參

考數據：V2?1.41,百*1.73.結果精確到0.1m）

【變式9-1]（2022?湖南株洲?統考中考真題）如圖1所示，某登山運動愛好者由山坡①的

山頂點八處沿線段至止谷點。處，再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖2所

示，將直線，視為水平面，山坡①的坡角乙4cM=30。，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡

度i=l:LBN工I于N,且。村二企千米.

⑴求24cB的度數；

（2）求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.

【變式9-2]（2022?河北石家莊?校聯考三模）小明在一段斜坡04-48上進行跑步訓練.在

訓練過程中，始終有一架無人機在小明正上方隨他一起運動，無人機速度為3m/s,距水平

地面的高度總為15m（在宜線y=15上運動）現就小明訓練中部分路段作出如圖函數圖象：

已知O4=10gm,斜坡。4的坡度i=l：3,斜坡4B的坡角為22.5。.

⑵小明在斜坡上的跑步速度是m/s,并求48段y關于x的函數解析式；

⑶若小明沿。-4-8方向運動，求無人機與小明之間距離不超過10m的時長.（參考數據:

sin22.5°?cos22.5°,tan22.5°?-）

131312

【變式9-3］（2022?重慶?西南大學附中校考模擬預測）如圖是某大型商場一層到二層的自

動扶梯側面示意圖，小明在一層的力處用測角儀（測角儀高度忽略不計）測得天花板.上的口

光燈P的仰角為27。，他向正前方走了5米來到扶梯起點B處，乘坐扶梯8。上行13米到達二

層的。處，此時用測角儀測得日光燈P的仰角為53。，已知自動扶梯BD的坡度為1:24

參考數據：sin27°?cos27°?—,tan27°?sin53°?cos53°?tan53°?

⑴求圖中點D到一層地面的高度；

⑵根據規定，商場兩層總樓高要大于10米，判斷該商場樓高是否符合規定，并說明理由.

【考點10解直角二角形應用之其他問題】

【例10】（2022?遼寧盤錦?校考一模）如圖1,圖2分別是網上某種型號拉桿箱的實物圖與

示意圖，根據商品介紹，獲得了如下信息：滑桿。￡、箱長8C、拉桿AB的長度都相等，即

DE=BC=AB,點8、尸在線段AC上，點C在OE上，支桿OF=30c〃?，CE：CD=1：3,

ZDCF=A5°,ZCDF=30-.請根據以上信息，解決下列問題；參考數據：岳1.41,遍=1.73,

V6=2.45.

圖1圖2

⑴求AC的長度（結果保留根號）；

（2）求拉桿端點人到水平滑桿EQ的距離（結果保留到1c”?）.

【變式10-1】（2022?湖北荊門?統考中考真題）如圖，一座金字塔被發現時，頂部已經淡然

無存，但底部未曾受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側

面與地面成60。角，則金字塔原來高度為（）

A.120mB.60V3mC.60信nD.120V3m

【變式10-2】（2022?山東棗莊?校考模擬預測）一酒精消毒瓶如圖1,AB為噴嘴,△BCD為

按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導管,其示意圖如圖2,LDBE=LBEF=108°,BD=

6cm,BE=4cm.當按壓柄△BCD按壓到底時，8。轉動到此時8O||EF（如圖3）.求

點O到直線EF的距離（結果精確到0.1cm）.（參考數據:sin36°?0.59,cos36°?

0.81,tan36°?0.73?sin72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08)

圖3

【變式10-3]（2022?江蘇連云港?校考三模）桔椽俗稱“呂桿”“稱桿〃（如圖1）,是我國古代

農用工具，始見于JT子?備城門》，是?種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔標

示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，OM=3米，/1B是杠桿，且48=6米，。4。8=

2:1.當點八位于最高點時，/-AOM=127°.

⑴求點A位于最高點時到地面的距離；

⑵當點4從最高點逆時針旋轉54.5。到達最低點A/時，求此時水桶B上升的高度.

（考數據：sin37°?0.6,sin17.5°?0.3,tan37°?0.8）

專題18解直角三角形（10個高頻考點）（舉一反三）

【考點1銳角三角函數的定義】..................................................................1

【考點2銳角三角函數的增減性】................................................................2

【考點3同角三角函數的關系】..................................................................3

【考點4互余兩角三角函數的關系】..............................................................3

【考點5特殊角的三角函數】....................................................................4

【考點6解直角三角形】........................................................................5

【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】...................................................7

【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】.....................................................9

【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】..................................................10

【考點10解直角三角形應用之其他問題】........................................................12

【要點1銳角三角函數】

在RfAABC中,ZC=90\則乙4的三角函數為

定義表達式取值范圍關系

正弦4/A的對邊0<sinA<1

sinA=—rm-----sinA=—

斜邊c（ZA為銳角）sinA=cosB

余弦.4的鄰邊,b0<cosA<1cosA=sinB

8sA=——------cosA=—

斜邊c（ZA為銳角）sin2A+cos2A=1

正切4乙4的對邊tanA>0,1

tailA=------,,、,tan>4=—tanA=------

NA的鄰邊b（ZA為銳角）tanB

【考點1銳角三角函數的定義】

【例1】（2022?湖北荊州?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8分別在x軸

負半軸和y軸正半軸上，點C在。8上，OC-.BC=1:2,連接4C,過點。作。尸II48交AC

的延長線于P.若P（l,l）,則taM。4P的值是（）

A.—B.—C.-D.3

323

【答案】C

【分析】由P（l,l）可知，0尸與x軸的夾角為45。，又因為0PII4B,則△。力B為等腰直角形,

設。Ox,OB=2x,用勾股定理求其他線段進而求解.

【詳解】???P點坐標為（1,1）,

則0P與x軸正方向的夾角為45。，

又OP||AB,

則N840=45。，△04?為等腰直角形，

/.OA-OB>

設0C=x,則。8=20C=2i,

則OB=OA=3x,

tanz.OAP

OA3x3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質、勾股定理和銳角三角函數的求解,

根據尸點坐標推出特殊角是解題的關鍵.

【變式1-1]（2022?上海?上海市進才中學校考一模）在RtZkABC中，ZC=90°,AB=5,

AC=4.下列四個選項，正確的是（）

3444

A.tanB=-B.sinB=-C.sinB=-D.cosB=-

4355

【答案】C

【分析】根據勾股定理求出BC的長，根據銳角三角函數的定義判斷即可.

【詳解】解:如圖,

???根據勾股定理得：BC=山一心=V52-42=3,

..0AC4.AC4DBC3

..tanu=—=->smB=-=COSD

BC3ABbAB5

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數的定義，熟練掌握三角函數的定義是解題的關

鍵.

【變式1?2】（2022?山東濱州?陽信縣實驗中學校考模擬預測）如圖所示，己知。0是△ABC

的外接圓，AD是。0的直徑，連接CD,若AD=3,AC=2,貝ijcos。的值為（）

A

B

C

ZT>

A如B巖C.叵

AD-

-T2?3

【答案】B

【分析】由直徑所對圓周角為直角，得出：乙4。。=90。,再由勾股定理求得CO的長，由cos。=

器即可求得結果.

【詳解】解：,.YD是。。的直徑,

4ACD=90°,

vAD=3,AC=2,

CD=V5,

??COSD=黑=*

故選：B.

【點睛】本題考查了圓中直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，靈活運用這些知識求銳角三

角函數是關鍵.

【變式1-3]（2022?四川宜賓?統考中考真題）如圖,在矩形紙片ABC。中，48=5,BC=3,

將ABC。沿8。折疊至ibEE。位置，DE交AB于點F,則cos/力D"的值為（）

E

A.gD

17-

【答案】C

【分析】先根據矩形的性質和折疊的性質，利用"AAS〃證明A//。三AE尸8,得出力F=EF,

DF=BF,設力尸=E/=x,則8/=5—h根據勾股定理列出關于x的方程，解方程得出

x的值，最后根據余弦函數的定義求出結果即可.

【詳解】解：:四邊形ABCO為矩形,

/.CD-AB^S,AB-BC3="=90°,

根據折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,zf=zC=90°,

LA=LE=90°

/.在44尸。和△EFB中Z.AFD=乙EFB,

AD=BE=3

/.AAFD=AEFB(AAS).

/.AF=EF,DF=BF,

設力"二EF=x,則8F=5-%,

在RtABEF中，BF2=EF2+BE2,

即(5-X)2=4+32,

解得：x=l，則DF=BF=5—g=￡,

cosZ-ADF=蔡=與=*故C正確.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數

的定義，根據題意證明A/1FO三AEF8,是解題的關鍵.

【考點2銳角三角函數的增減性】

【例2】(2022?上海靜安統考一模)如果0。V4AV45。，那么sinA與cosA的差()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】B

【分析】cos/!=sin(90o-z/l),再根據正弦函數隨著角的增大而增大進行分析即可.

【詳解】Vcos/l=sin(90o-zzl),正弦函數隨著角的增大而增大，

/.當0。</A<45。時，45°<90°-/A<90。，

???sinA<cos/4=sin(90°-Z.A),即sinA-cos4<0,

故選B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的增減性，正弦函數值隨著角的增大而增大.

【變式2-1](2022?上海校考模擬預測)如果銳角4的度數是25。，那么下列結論中正確的

是()

A.0<sin/l<-B.0<cosA<—

22

C.Y<tan/1<1D.1<MA<V3

【答案】A

【分析】根據“正弦值隨著角度的增大而增大'解答即可.

【詳解】解：?.?0。<25。<30°

/.0<sin25°<-

2

/.0<sinA<7.

故選A.

【點睛】本題主要考查了脫角三角形的增減性，當角度在0。~90。間變化時，①正弦值隨著

角度的增大（或減小）而增大（或減小）；②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或

增大）；③正切值隨著隹度的增大（或減小）而增大（或減小）.

【變式2-2]（2022?甘肅張掖?統考模擬預測）若0。Va<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小C.tana隨a的增

大而增大D.0<sina<l

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的。O,CD_LEF,CD,EF均為直徑，BHLOC,AGLOC,48都

在。。上，利用銳角三角函數的定義分析可得答案.

【詳解】解：如圖，作半徑為1的G）O,C。1EF,CD,E/均為直徑，BH1OC,AG10C,

力,8都在。。上，

:.0A=OB=1,

由sin/J?O〃=翳=BII,s\n^AOG=^=AG,

顯然，乙B0H<LA0G,而BHV力G,

所以當0。Va<90。時，sina隨a的增大而增大，故A正確；

D

E

同理可得：

當0。<口<90。時，cosa隨a的減小而增大，故B錯誤；

當0。<。<90。時，tana隨a的增大而增大，故（:正確；

當a=4A0G,當點4逐漸向F移動，邊4G逐漸接近。4,

sina=sin乙40G=”逐漸接近1.

OA

當0。<4<90。時,0<sina<l,故D正確；

故選B.

【點睛】本題考查的是銳育的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函

數的增減性是解題的關鍵.

【變式2-3](2022?浙江寧波?校聯考一-模)sin70。，cos70。，tan70。的大小關系是()

A.tan700<cos700<sin70>B.cos700Vtan700<sin70°

C.sin70o<cos700<tan70°D.cos70o<sin70°<tan700

【答案】D

【分析】首先根據銳角三角函數的概念,知：sin70。和cos70。都小「l,tan70。大「1,故tan70。

最大;只需比較sin70°和cos70。，又cos700=sin20°,再根據正弦值隨著角的增大而增大,進

行比較.

【詳解】根據銳角三角函數的概念，知sin7(TVl,cos7(TVl,tan7CT>l.

Xcos70°=sin20°,正弦值隨著角的增大而增大，sin7CT>cos7(T=sin20。.

故選D.

【考點3同角三角函數的關系】

【例3】(2022春?湖南邵陽?九年級邵陽市第二中學校考自主招生)已知/〃為實數，且sina,

cosa是關于x的方程4A:?-mx十1=0的兩根，貝ijsin4a十cos%的值為()

137

A.-B.-C.-D.1

848

【答案】C

1

sina?cosa=-

【分析】先由一元二次方程根與系數的關系得到｛M再將原式變形為sida+

sina+cosa=—

4

cos4a=(sin2a+cos2a尸-2sin2a?cos2。，再根據二倍角公式進行化簡求值即可.

【詳解】-sina,cosa是關于x的方程4/-mx+1=。的兩根

.1

sina?cosa=-

二由一元二次方程根與系數的關系，可得｛北

sina+cosa=—

4

：?sin4a+cos4a=(sin2a+cos2a7-2sin2a?cos2a

=(sin2a+cos2a)2-2(sina-cosa)2

=l-2x(-)2=l-i=-

W88

故選：c.

【點睛】木題屬于初升高題目，考查了二倍角公式的運用，一元二次方程根與系數的關系，

即如果方程a/+bx+c=0(aH0)的兩個實數根是修,工2，那么％1+X2=-，*=?；

也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二

次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.

【變式3-1](2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預測)在R3ABC中，ZC=90°,若

sinA=g,則cosA=()

A.逗B.四C.叵D.在

3232

【答案】C

【分析】根據siMA+cos2A=1,進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：siMA+cos2A=1,

cos27l=1一：="

99

cosA==,

3

故選c.

【點睛】本題考查了同角三角函數值的關系.解題的關鍵在于熟練掌握siMA+cos2A=1.

【變式3-2]（2022?陜西西安?交大附中分校校考模擬預則）已知tana=5,則

3sinacosa_

2sin2a+cos2a'

【答案】卷

【分析】由于tana=又上:5,貝Usina=5cosa,然后把sina=5cosa代入丁空空二-中利

cosa2sinza+cosza

用分式的性質計算即可.

【詳解】解：vtana=^=5,

cosa

??-sina=5cosa,

...3sinacosa="'a=15cos2a=三，

2sin2a+cos2a50cos2a+cos2a51cos2a17

故答案是:青

【點睛】本題考查了同角三角函數的關系：解題的關鍵是掌握平方關系：sin2?l+cos2/l=1；

正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即

tan/1=■或sinA=tan力?cos/l.

cos/l

【變式3-3]（2022?湖北校聯考一模）已知：實常數a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：

⑴asin。+bcosd—c=0；⑵acos。-bsinO+d=0（其中。為任意銳角）,則a、b>c>d之

間的關系式是：

【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用sin2e+cos26=l,即可找到這四個數的

關系.

【詳解】由①得asinB+bcosB=c,

兩邊平方，a2sin2O+b2cos29+2absin0cosO=c2（3）,

由②得acos8-bsin9=-d?

兩邊平方，a?cos20+b?sin?0-2absin0cos0=d?（4）?

（3）+@Wa2（sin20+cos20）+b2（sin20+cos20）=c2+d2,

a2+b2=c2+d2.

【點睛】本題主要考查了同角二角函數基本關系式的應用，siMe+bcosS-l的應用是解題的

關鍵，屬于基礎題.

【考點4互余兩角三角函數的關系】

【例4】（2022?福建南平統考二模）如圖，將矩形A8CD放置在一組等距的平行線中，恰

好四個頂點都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1,若乙DCE=0,則矩形A8C。的

周長可表示為（）

A

CE

A-2島+就）B.2島+

【答案】B

【分析】構造直角三角形，運用三角函數的定義求得線段8C和CQ的表達式，進而求得矩

形的周長.

【詳解】解：如圖，過。作。凡LCE于點R過B作BG_LCE于點G,

?/Z.DFC=90°,Z.DCE=p,DF=2,

DC=M=告，

sin/?sin/?

,/矩形/WCQ,

乙BCD=90°,

乙BCG+乙DCF=90°,

?/乙BGC=90。,

/.乙GBC+乙BCG=90°,

???乙BCG+乙DCF=90°,

乙DCF=Z-GBC=P，

,/Z.BGC=90°,乙GBC=B，BG=5,

/.8C=黑=告，

cos/?cos/?

???DC二旦=二-,

sin/?sin/?

矩形A8CO的周長為2（BC+DC）=2（總+扁）

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數的定義，構造宜角三角形，運用三角函數的定義求相應線段的

表達式是解題關鍵.

【變式4-1］（2022?安徽宣城?校聯考一模）在RS/WC中，ZC=90°,下列式子不一定成

立的是（）

A.sinA=sin8B.cos4=sin8

C.sinA=cosBD.sin（A+B）=sinC

【答案】A

【分析】根據銳角三角函數的定義依次分析各項即可.

【詳解】如圖，

A.sinA=-,sinB上,...當awb時,sinA/sinB，符合題意;

CC

B.,/cosA=psin8=/,JcosA=sin/3,不符合題意；

C./sinA=-,cosB=3「.sinA=cosB,不符合題意；

cc

D./ZA+ZB=ZC,.,.si