8.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結構特征第八章立體幾何初步教學目標

通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征；（重點）01

理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系；（重點、難點）02能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述生活中簡單物體的結構和有關計算.03

04學科素養

理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系數學抽象

通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征

直觀想象

邏輯推理

用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述生活中簡單物體的結構和有關計算數學運算

數據分析

數學建模立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學分支，在解決實際問題中有著廣泛的應用.在小學和初中，我們已經認識了一些從現實物體中抽象出來的立體圖形.學習對象學習內容學習的基本方法形狀,大小,位置關系抽象,看,畫,證,算章前導讀立體圖形各式各樣、千姿百態，如何認識和把握它們呢本章我們將從對空間幾何體的整體觀察人手，研究它們的結構特征，學習它們的表示方法，了解它們的表面積和體積的計算方法：借助長方體，從構成立體圖形的基本元素點、直線、平面入手，研究它們的性質以及相互之間的位置關系，特別是對直線、平面的平行與垂直的關系展開研究，從而進一步認識空間幾何體的性質.立體圖形是由現實物體抽象而成的.直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算，是認識立體圖形的基本方法.由整體到局部，由局部再到整體，是認識立體圖形的有效途徑.學習本章內容要注意觀察，并善于想象.如果我們不考慮這些物體的顏色、質地、材料等因素，只考慮物體的形狀和大小，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體。空間幾何體的相關概念本節我們主要從幾何體的組成元素及其相互關系的角度，認識幾種最基本的空間幾何體.

如圖，這些圖片中的物體具有怎樣的形狀？如何描述它們的形狀？在日常生活中，我們把這些物體的形狀叫做什么？空間幾何體的相關概念

觀察一個物體，將它抽象成空間幾何體，并描述它的結構特征，應先從整體入手，想象圍成物體的每個面的形狀、面與面之間的關系，并注意利用平面圖形的知識.思考.上述物體中哪些具有相同特點，能不能將它們按面的曲平進行分類？圍成它們的每個面都是平面圖形圍成它們的每個面不都是平面圖形——多面體——旋轉體

一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.多面體的相關概念★多面體的面：

圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；

（面ABE，面BAF，面CDE……）★多面體的棱：

兩個面的公共邊叫做多面體的棱；

（AB，AF，BE……）★多面體的頂點：

棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.

（A，B，C，D，E，F）拓展正四面體正六面體（正方體）正八面體正十二面體正二十面體1.多面體由平面多邊形圍成，這里的多邊形包括它內部的平面部分；2.多面體至少有4個面；3.各個面是相同的正多邊形的多面體叫做正多面體，正多面體有如下五種——

一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸.

圖中的旋轉體就是由平面曲線OAA′O′繞軸OO′旋轉形成的.

圖8.1-1中的紙杯、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體都具有旋轉體的形狀.

下面，我們從多面體和旋轉體組成元素的形狀、位置關系入手，進一步認識一些特殊的多面體和旋轉體.旋轉體的相關概念棱柱的結構特征

觀察下面的長方體，它的每個面是什么樣多邊形？不同的面之間有什么位置關系？

它的每個面是平行四邊形，并且相對的兩個面，給我們以平行的形象，如同教室的地板和天花板一樣.棱柱的結構特征

一般地,有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.在棱柱中，★底面：兩個互相平行的面，簡稱底；★側面：其余各面；★側棱：相鄰側面的公共邊；★頂點：側面與底面的公共頂點.

底面側棱頂點側面棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′（4）(1)(2)(3)(7)(5)(6)（8）【練習1】

觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？追問

棱柱有怎樣的結構特點？①底面互相平行且全等．②側面都是平行四邊形．③側棱平行且相等．棱柱的分類1：

棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形、……我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱棱柱的結構特征棱柱的分類2：

一般地，把側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四邊形的四棱柱也叫平行六面體.直四棱柱斜三棱柱平行六面體正五棱柱棱柱的結構特征思考.什么是四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、長方體、正方體？它們之間的關系如何？四棱柱：底面是四邊形的棱柱.直四棱柱：側棱與底面垂直的四棱柱.正四棱柱：底面是正方形的長方體.長方體：底面是矩形的直四棱柱.正方體：所有棱長都相等的正四棱柱.全集U={四棱柱}斜四棱柱直四棱柱長方體正四棱柱正方體平行六面體斜棱柱棱柱直棱柱側棱垂直底面側棱不垂直底面底面是平行四邊形底面是正n邊形正n棱柱底面是矩形長方體正方體棱柱的結構特征各棱長都相等練習：下列命題中正確的是（）

A、有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱;

B、有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱;

C、有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱;

D、有兩個相鄰側面垂直于底面的棱柱是直棱柱.D(5)(5)(1)(1)(3)(3)(8)觀察下列多面體,有什么相同點？主要結構特征：

①有一個面是多邊形；

②其余個面都是由一個公共頂點的三角形；新知探究棱錐的結構特征一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的多面體叫做棱錐．★底面：棱錐的多邊形面；★側面：有公共頂點的各個三角形面；★側棱：相鄰側面的公共邊；★頂點：各側面的公共頂點．棱錐的特點：

僅有一個底面且是多邊形；

側面都是三角形；

所有側面有且只有一個公共頂點．棱錐S-

ABCDSABCD頂點側面側棱底面棱錐的結構特征棱錐的分類：

按照棱錐的底面多邊形的邊數，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．正四棱錐正三棱錐特別：當正三棱錐的側棱長與底面邊長相等時，稱該三棱錐為正四面體.棱錐的結構特征練習.(多選)下列說法中，正確的是（

）A.棱錐的各個側面都是三角形B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面C.棱錐的側棱平行D.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐AB明礬晶體練習：下面幾何體是棱錐嗎？答：不是，各側面沒有公共點棱臺的結構特征

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺．

側面

上底面下底面

頂點棱臺ABCD-A′B′C′D′棱臺的特點：

上下底面是互相平行且相似的多邊形；

側面都是梯形；

各側棱的延長線交于一點．★底面：原棱錐的底面(下底面)和截面(上底面)；★側面：其余各面；★側棱：相鄰側面的公共邊；★頂點：各側面的公共頂點．棱臺的分類：

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……三棱臺四棱臺五棱臺練習.有下列四種敘述中，正確的有()

①.用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②.兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；④.棱臺的側棱延長后必交于一點.【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①錯；由棱臺的定義知，④正確；②③可用反例去檢驗，如圖所示，側棱延長線不能相交于一點，故②③錯.④判斷:下列幾何體是不是棱臺,為什么(1)(2)（1）不是，側棱不交于一點；（2）不是，沒有兩面平行；判斷一個臺體是棱臺的依據是：看臺體的各側棱延長是否交于一點.例1.將下列各類幾何體之間的關系用Venn圖表示：多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體．練習如圖所示，下列關于這個幾何體的說法正確的有哪些？①這是一個六面體②這是一個四棱臺③這是一個四棱柱④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到【解析】(1)該幾何體由6個面，是六面體，①正確；(2)因為側棱的延長線不能交于一點，所以不是棱臺，②錯誤；(3)把該幾何體的背面當做底面，就是一個四棱柱，③正確；④和⑤都正確，如圖.課堂練習課本P1012.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“√”，錯誤的畫“×”.(1)長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體.（）(2)四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體.（）棱柱(直五棱柱)棱柱(直四棱柱)棱錐棱臺(四棱臺)1.觀察圖中的物體，說出它們的主要結構特征.√×3.填空題(1)一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個幾何體是_______________.(2)一個多面體最少有_____個面，此時這個多面體是________________.直五棱柱四四面體(三棱錐)4.設計一個平面圖形，使它能折成一個直三棱柱.ACBA′C′B′ACBA′C′B′AA′5.長方體按如圖截去一角后所得的兩部分還是棱柱嗎？A'B'C'D'ABCD它們都符合棱柱的定義，是棱柱拓展.如圖都是正方體的表面展開圖，還原成正方體后，其中兩個完全一樣的是（

）A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)B概念性質側面棱柱棱錐棱臺

有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱.

一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺.(1)側棱都相等；(2)側面都是平行四邊形；(3)兩個底面與平行底面的截面是全等的多