工程力學(xué)C主觀題第三次作業(yè)?一、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述平面匯交力系平衡的幾何條件和解析條件。答：幾何條件：平面匯交力系平衡的幾何條件是該力系的力多邊形自行封閉。這意味著力系中各力首尾相接后，最后一個(gè)力的終點(diǎn)與第一個(gè)力的起點(diǎn)重合，此時(shí)力系對(duì)物體沒(méi)有使它產(chǎn)生移動(dòng)的效應(yīng)。例如，一個(gè)由三個(gè)共點(diǎn)力組成的平面匯交力系，當(dāng)這三個(gè)力構(gòu)成的三角形封閉時(shí)，物體在該力系作用下處于平衡狀態(tài)。解析條件：平面匯交力系平衡的解析條件是力系中所有力在兩個(gè)任選的直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)。通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，將力系中的各個(gè)力分解到坐標(biāo)軸上，利用這兩個(gè)方程可以求解出未知力的大小和方向。比如，已知一個(gè)平面匯交力系中有三個(gè)力\(F_1\)、\(F_2\)、\(F_3\)，設(shè)\(x\)軸和\(y\)軸方向，根據(jù)\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=0\)和\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0\)，就可以求出各個(gè)力在坐標(biāo)軸上的投影，進(jìn)而確定力的大小和方向。

2.什么是力的平移定理？并舉例說(shuō)明其在工程中的應(yīng)用。答：力的平移定理是指作用在剛體上的力\(F\)，可以平行移動(dòng)到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)力偶的矩等于原來(lái)的力\(F\)對(duì)新作用點(diǎn)的矩。例如，在建筑施工中，工人用撬棍撬動(dòng)重物時(shí)，作用在撬棍一端的力\(F\)，當(dāng)需要將力的作用點(diǎn)移動(dòng)到撬棍的中間位置以便更方便操作時(shí)，就可以應(yīng)用力的平移定理。將力\(F\)平行移動(dòng)到撬棍中間點(diǎn)，同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)力偶的矩等于力\(F\)對(duì)中間點(diǎn)的矩。這樣在不改變對(duì)物體作用效果的前提下，實(shí)現(xiàn)了力作用點(diǎn)的移動(dòng)，方便了施工操作。又如，在機(jī)械設(shè)計(jì)中，對(duì)于一些需要通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸傳遞扭矩的部件，有時(shí)會(huì)將作用在軸上的力平移到軸的中心線上，同時(shí)附加一個(gè)合適的力偶，以便更準(zhǔn)確地分析軸的受力和變形情況，從而進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)和計(jì)算。

3.簡(jiǎn)述平面任意力系平衡的充分必要條件，并說(shuō)明其解題步驟。答：平衡的充分必要條件：平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的主矩都等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。其中\(zhòng)(\sumF_{x}\)和\(\sumF_{y}\)分別是力系中所有力在\(x\)軸和\(y\)軸上投影的代數(shù)和，\(\sumM_{O}(F)\)是力系中所有力對(duì)平面內(nèi)任選一點(diǎn)\(O\)的矩的代數(shù)和。解題步驟：確定研究對(duì)象：根據(jù)問(wèn)題的要求，選取合適的物體或物體系統(tǒng)作為研究對(duì)象。畫出受力圖：對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出它所受的全部外力，包括主動(dòng)力和約束反力，并明確各力的作用點(diǎn)和方向。建立坐標(biāo)系：選取合適的直角坐標(biāo)系，一般使坐標(biāo)軸與較多的未知力垂直，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。列平衡方程：根據(jù)平面任意力系平衡的充分必要條件，列出三個(gè)平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。如果未知力的數(shù)目不超過(guò)三個(gè)，就可以通過(guò)求解這三個(gè)方程得到全部未知力。求解未知力：解平衡方程，求出未知力的大小和方向。在求解過(guò)程中，要注意各力投影和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定，按照方程求解順序逐步計(jì)算。例如，已知一個(gè)平面任意力系作用在一個(gè)梁上，梁受到一個(gè)垂直向下的集中力\(F\)、一個(gè)水平向右的力\(P\)、一個(gè)力偶矩為\(M\)的力偶以及兩端的約束反力。首先畫出梁的受力圖，然后建立直角坐標(biāo)系，設(shè)梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，\(x\)軸水平向右，\(y\)軸垂直向上。接著列出平衡方程\(\sumF_{x}=PF_{Ax}=0\)，\(\sumF_{y}=F_{Ay}F=0\)，\(\sumM_{A}(F)=MF\timesL+P\timeshF_{By}\timesL=0\)（其中\(zhòng)(L\)為梁的長(zhǎng)度，\(h\)為\(P\)力作用點(diǎn)到\(A\)點(diǎn)的垂直距離），最后求解這三個(gè)方程，就可以得到梁兩端的約束反力\(F_{Ax}\)、\(F_{Ay}\)和\(F_{By}\)的大小和方向。

4.簡(jiǎn)述靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)的概念，并舉例說(shuō)明。答：靜定結(jié)構(gòu)：靜定結(jié)構(gòu)是指僅用平衡方程就能確定全部反力和內(nèi)力的幾何不變結(jié)構(gòu)。其反力和內(nèi)力的數(shù)目與結(jié)構(gòu)的約束數(shù)目和類型有關(guān)，且滿足平衡方程的解是唯一的。例如，簡(jiǎn)支梁是靜定結(jié)構(gòu)，它有兩個(gè)支座，受到垂直向下的荷載作用。通過(guò)對(duì)梁進(jìn)行受力分析，利用平面任意力系的平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{A}(F)=0\)（設(shè)梁的一端為\(A\)支座），可以唯一確定梁兩端的支座反力，進(jìn)而求出梁內(nèi)的內(nèi)力（如彎矩、剪力）。又如，靜定桁架也是靜定結(jié)構(gòu)，它由若干根桿件通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接而成，在荷載作用下，通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡條件和整體平衡條件可以確定所有桿件的內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)是指僅用平衡方程不能確定全部反力和內(nèi)力的幾何不變結(jié)構(gòu)。其反力和內(nèi)力的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，需要考慮結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件才能求解。例如，固定端梁是超靜定結(jié)構(gòu)，它有三個(gè)支座反力（一個(gè)水平反力、一個(gè)垂直反力和一個(gè)反力偶），而平面任意力系的平衡方程只有三個(gè)，無(wú)法直接求解出這三個(gè)反力。需要利用梁的變形協(xié)調(diào)條件，如梁在支座處的位移為零等，建立補(bǔ)充方程，與平衡方程聯(lián)立求解，才能確定梁的支座反力和內(nèi)力。又如，連續(xù)梁也是超靜定結(jié)構(gòu)，它有多個(gè)中間支座，在荷載作用下，其內(nèi)力分析需要考慮結(jié)構(gòu)的連續(xù)性和變形協(xié)調(diào)，通過(guò)建立力法方程或位移法方程等方法來(lái)求解。

5.簡(jiǎn)述材料力學(xué)中內(nèi)力的概念，并說(shuō)明軸力、剪力和彎矩的定義及正負(fù)號(hào)規(guī)定。答：內(nèi)力的概念：材料力學(xué)中，內(nèi)力是指物體由于受到外力作用而在其內(nèi)部產(chǎn)生的相互作用力。當(dāng)物體受到外力作用時(shí)，其內(nèi)部各部分之間的相對(duì)位置會(huì)發(fā)生改變，從而產(chǎn)生抵抗這種改變的力，即內(nèi)力。內(nèi)力的大小和分布與外力的作用方式和物體的變形情況有關(guān)。軸力的定義及正負(fù)號(hào)規(guī)定：軸力是指桿件受到軸向拉伸或壓縮時(shí)，橫截面上的內(nèi)力。其定義為垂直于桿件橫截面的內(nèi)力。軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：當(dāng)軸力使桿件產(chǎn)生拉伸變形時(shí)，軸力為正；當(dāng)軸力使桿件產(chǎn)生壓縮變形時(shí)，軸力為負(fù)。例如，一根水平放置的桿件，兩端受到軸向拉力作用，此時(shí)桿件橫截面上的軸力為正；若兩端受到軸向壓力作用，則軸力為負(fù)。剪力的定義及正負(fù)號(hào)規(guī)定：剪力是指桿件受到垂直于軸線方向的外力作用時(shí)，橫截面上的內(nèi)力。其定義為作用線平行于橫截面的內(nèi)力。剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：使研究截面有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，使研究截面有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為負(fù)。例如，一個(gè)簡(jiǎn)支梁在跨中受到一個(gè)垂直向下的集中力，梁的某一橫截面左側(cè)的剪力使該截面有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，所以該剪力為正；而橫截面右側(cè)的剪力使該截面有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，所以該剪力為負(fù)。彎矩的定義及正負(fù)號(hào)規(guī)定：彎矩是指桿件受到垂直于軸線方向的外力或力偶作用時(shí)，橫截面上的內(nèi)力。其定義為作用面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩。彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：使梁的下側(cè)纖維受拉、上側(cè)纖維受壓的彎矩為正；反之為負(fù)。例如，一個(gè)懸臂梁在自由端受到一個(gè)垂直向下的力，梁的固定端橫截面的彎矩使梁的下側(cè)纖維受拉，所以該彎矩為正；若力的方向相反，使梁的上側(cè)纖維受拉，則彎矩為負(fù)。

二、計(jì)算題1.如圖所示，已知\(F_1=200N\)，\(F_2=300N\)，\(F_3=250N\)，\(\alpha=30^{\circ}\)，\(\beta=45^{\circ}\)，求平面匯交力系的合力。解：建立坐標(biāo)系：以力系的匯交點(diǎn)為原點(diǎn)，水平向右為\(x\)軸正方向，垂直向上為\(y\)軸正方向。計(jì)算各力在坐標(biāo)軸上的投影：\(F_{1x}=F_1\cos0^{\circ}=200N\)，\(F_{1y}=F_1\sin0^{\circ}=0N\)。\(F_{2x}=F_2\cos\alpha=300\cos30^{\circ}=300\times\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}N\)，\(F_{2y}=F_2\sin\alpha=300\sin30^{\circ}=150N\)。\(F_{3x}=F_3\cos(\alpha+\beta)=250\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\cos30^{\circ}\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}N\)，\(F_{3y}=F_3\sin(\alpha+\beta)=250\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}N\)。計(jì)算合力在坐標(biāo)軸上的投影：\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=200+150\sqrt{3}+\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}\)\(=\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}N\)。\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0+150+\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}\)\(=\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}N\)。計(jì)算合力的大小：\(R=\sqrt{(\sumF_{x})^2+(\sumF_{y})^2}\)\(=\sqrt{(\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4})^2+(\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4})^2}\)經(jīng)過(guò)計(jì)算可得\(R\approx534.5N\)。計(jì)算合力的方向：\(\tan\theta=\frac{\sumF_{y}}{\sumF_{x}}\)\(\theta=\arctan(\frac{\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}}{\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}})\)經(jīng)過(guò)計(jì)算可得\(\theta\approx41.3^{\circ}\)。

2.如圖所示，梁\(AB\)受均布荷載\(q=2kN/m\)作用，長(zhǎng)度\(L=4m\)，\(A\)端為固定鉸支座，\(B\)端為可動(dòng)鉸支座，求支座反力。解：取梁\(AB\)為研究對(duì)象：畫出梁的受力圖，\(A\)端有水平反力\(F_{Ax}\)、垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumF_{x}=0\)，可得\(F_{Ax}=0\)。\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(qL\times\frac{L}{2}+F_{By}\timesL=0\)。將\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(2\times4\times\frac{4}{2}+F_{By}\times4=0\)\(16+4F_{By}=0\)解得\(F_{By}=4kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}qL=0\)。將\(F_{By}=4kN\)，\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(F_{Ay}+42\times4=0\)解得\(F_{Ay}=4kN\)。

3.如圖所示，簡(jiǎn)支梁\(AB\)受集中力\(F=10kN\)和力偶\(M=20kN\cdotm\)作用，梁長(zhǎng)\(L=5m\)，求支座反力。解：取梁\(AB\)為研究對(duì)象：畫出梁的受力圖，\(A\)端有垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(F\timesaM+F_{By}\timesL=0\)（設(shè)力\(F\)作用點(diǎn)到\(A\)端距離為\(a\)，本題未給出，假設(shè)\(a=2m\)）。將\(F=10kN\)，\(M=20kN\cdotm\)，\(L=5m\)代入可得：\(10\times220+F_{By}\times5=0\)\(2020+5F_{By}=0\)解得\(F_{By}=8kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}F=0\)。