綜合檢測卷數學試題注意事項：．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為分鐘，滿分分85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等差數列中，，則（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根據等差數列項的性質計算即可.【詳解】因為是等差數列，所以,所以.故選：D.2.正方體的棱長為1，則（）A.1B.0C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據空間向量數量積的運算律，結合垂直關系即可求解.【詳解】,故選：A3.已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是第1頁/共18頁（）A.或B.或C.或D.【答案】D【解析】【分析】根據兩點間斜率公式計算即可.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，結合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D4.在平面直角坐標系中，已知兩點，點為動點，且直線與的斜率之積為，則點的軌跡方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先設點再根據斜率公式計算即可.【詳解】設，可得,x不為0，所以.第2頁/共18頁故選：D.5.設數列的前項和為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據即可得到答案.【詳解】．故選：C．6.已知直線交圓C：于M，N兩點，則“為正三角形”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑后，結合正三角形的性質可計算出當為正三角形時的值，結合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由C：可得其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，若為正三角形，則有，即，即，解得或，故“為正三角形”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.在矩形中，，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，當點與點之間的距離為3時，（A.B.C.D.第3頁/共18頁【答案】B【解析】【分析】根據向量的線性運算可得，利用模長公式，結合數量積的運算即可求解.【詳解】分別作，，垂足為，則．由，可得，所以．因為，則即，故，故選：B．8.已知數列滿足：，（）.正項數列滿足：對于每個，，且，，成等比數列，則的前n項和為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】運用數列的累乘法求得，再由等比數列的中項性質可得，再由數列的裂項相消求和，計算可得所求和.【詳解】（第4頁/共18頁可得，由，可得，可得，由，，成等比數列，可得，可得，則，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系，等比數列，累乘法，數列求和，屬于中檔題.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列直線中，與拋物線只有一個公共點，且過點的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】討論直線的斜率，結合方程聯立，以及直線與拋物線的位置關系，即可求解.【詳解】當直線的斜率存在且時,設，與拋物線方程聯立得，令，解得，則直線的方程為；第5頁/共18頁當時,直線的方程為，此時直線平行于拋物線的對稱軸,且與拋物線只有一個公共點；當不存在時,直線與拋物線也只有一個公共點，此時直線的方程為.故選：ABD10.已知數列，滿足，且，則（）A.B.當時，是等比數列C.當時，是等差數列D.當時，是遞增數列【答案】BCD【解析】【分析】對于A，直接由已知得到，即可說明A錯誤；對于B，證明，結合即可驗證；對于C，說明即可；對于D，驗證，再利用即可驗證.【詳解】對于A，由已知有，故A錯誤；對于B，當時，由于，且，故是等比數列，故B正確；對于C，當時，由，歸納即知.所以C正確；對于D，當時，由于，故.所以，從而是遞增數列，故D正確.故選：BCD.已知三棱錐，，是邊長為2的正三角形，E為中點，，則下列結論正確的是（）A.B.異面直線與所成的角的余弦值為C.與平面所成的角的正弦值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD第6頁/共18頁【解析】【分析】對于A：取AC的中點F，連接PF,BF，證明出面，即可得到.對于B、C：先證明出，，.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標系.D球.即可求解.【詳解】對于A：在三棱錐，，是邊長為2AC的中點FPF,BF.又，所以面，所以.故A正確.對于B：因為，，,所以面，所以，.在三棱錐，，是邊長為2的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，所以.所以.可以以P為原點，為xyz軸正方向建立空間直角坐標系.第7頁/共18頁則，，，，.所以,.設異面直線與所成的角為，則.即異面直線與所成的角的余弦值為.故B錯誤；對于C：，.設平面ABC的一個法向量為，則,不妨設x=1，則.設與平面所成的角為，則.即與平面所成的角的正弦值為.故C正確.對于D：把三棱錐還以為正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球.設其半徑為R，由正方體的外接球滿足,所以.第8頁/共18頁所以球的表面積為.故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知雙曲線的離心率為，則_________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線中的平方關系、離心率公式列出等式直接計算即可.【詳解】由題意，從而雙曲線的離心率為，結合，解得滿足題意.故答案為：.13.已知數列是單調遞增的等比數列，且，，則=______．【答案】81【解析】【分析】利用等比數列的通項公式列方程組求出進而秋季即可.【詳解】因為數列是單調遞增的等比數列，即，則解得或所以，解得，所以，故答案為：81第9頁/共18頁14.已知點列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，是線段的中點，．記，則．______；______．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用中點坐標公式結合題意可求出，從而可求出，再由以及等比數列的定義、通項公式與求和公式即可求出.【詳解】因為是線段的中點，，所以，因為，，所以，，所以，因為，，所以，即，所以數列是以為公比，為首項的等比數列，所以，所以第10頁/共18頁，故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數列的定義、通項公式與求和公式的應用，解題的關鍵是根據已知的遞推式化簡變形得數列是以為公比，2為首項的等比數列，考查數學計算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等比數列為遞增數列，其前項和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公差為3的等差數列，求數列的通項公式及前項和.【答案】（1）（2），【解析】1）設等比數列的首項為，公比為，依題意得到關于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計算可得.【小問1詳解】設等比數列的首項為，公比為，根據題意可得，解得或，因為等比數列為遞增數列，所以，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】第11頁/共18頁因為數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，所以.16.已知數列的前n項和為，且關于x的方程，有兩個相等的實數根．（1）求的通項公式；（2的前n項和為對任意的的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】1）利用方程有等根可知判別式為0，求出，根據關系即可得出通項公式；（2）利用錯位相減法求出，再分離參數后求解即可.【小問1詳解】由關于方程，有兩個相等的實數根，可得，即，，當時，．當時，．當時，上式也成立，所以．【小問2詳解】由（1）可知，，第12頁/共18頁，①，②得：，所以．又對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故，因數列在時單調遞增，所以，當且僅當時取得最小值．所以實數最大值為3．17.已知三棱柱，側棱底面，底面是等邊三角形，是的中點，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析第13頁/共18頁（2）【解析】1）首先根據題目所給信息，求出面，再利用線面垂直推出線線垂直即可求解.（2）首先建立空間直角坐標系，再求出平面與面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.【小問1詳解】∵底面為等邊三角形，為中點，∴，又面，∴，又，面，又面，∴．【小問2詳解】取中點，∴、、兩兩垂直．如下圖，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系．設，∴，，，∴，∴，∴，∴設面的法向量為，∴，令，∴，同理面法向量，∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．18.已知橢圓的短軸長為2，離心率為.（1）求的方程;第14頁/共18頁（2）過點作直線與橢圓相交于兩點，若，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）由題意得，求出，從而可求出橢圓方程；（2）當直線l的斜率不存在時，不合題意，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程，設，將直線方程代入橢圓方程化簡，再利用根與系數的關系，利用弦長公式列方程可求出，從而可求出直線方程.【小問1詳解】依題意：，解得，所以E的方程為．【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，，與題意不符，舍去；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程，設，聯立，消y得：，整理得：，，則，，第15頁/共18頁則，即，則，即，解得或，則直線l的方程為或．19.給定數列，若對任意m，且，是中項，則稱為“H數列”．設數列的前n項和為（1）若，試判斷數列是否為“H數列”，并說明理由；（2）設既是等差數列又是“H數列”，且，，，求公差d的所有可能值；（3）設是等差數列，且對任意，是中的項，求證：是“H數列”．【答案】（1）是“H數列”；理由見解析（2）1，2，3，6；（3）證明見解析【解析】1）根據“H數列”定義判斷即可.（2）由等差數列和“H數列”的定義得到公差的等式關系即可求解.（3）由等差數列的定義與求和公式，進行分情況討論，即可證明是“H數列”.【小問1詳解】因為，當時，，第16頁/共18頁當時，也成立，所以，對任意m，且，，是“H數列”.【小問2詳解】因為，，，所以，所以，由已知得也為數列中的項，令，即，所以，所以d為6正因數，故d的所有可能值為1，2，3，6.【小問