2024屆新高三開學摸底考試卷（北京專用）數學·答案及評分標準12345678910ACDDCCDBDA11． （5分）12． （5分）13．5 （5分）14．（5分）15．①③④16．（1）若選①:因為，由余弦定理得，整理得，則，（3分）又，則，，（5分）則；（6分）若選②:因為，即，則，（2分）又，則，又，得，（4分）則；（6分）（2）由正弦定理得：，則，（10分）則，．（13分）17．（1）這10名學生的考核成績（單位：分）分別為：93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1號、7號、8號、9號、10號，共5人,

（2分）所以樣本中學生考核成績大于90分的頻率是.

從該校高二年級隨機選取一名學生，估計這名學生考核成績大于90分的概率為0.5；（4分）（2）由題知，考核成績小于90分的學生共4人，其中兩輪測試至少有一次大于90分學生有2人.

所以可取0,1,2，則，，，（7分）所以的分布列為012所以；（9分）（3）由題可得，，（12分），所以；.（13分）18．（1）如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，（1分）所以，，因為，所以，所以，即，所以，，設平面的法向量為，則，（3分）令，則，所以，平面的法向量為，則，（5分）令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.（6分）（2）易知平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（9分）（3）因為棱上一點，滿足，所以，所以，（12分）所以點到平面的距離.（14分）19．（1）由題得，所以橢圓的方程為，焦距為.（5分）（2）如圖，直線與橢圓方程聯立，化簡得，（7分），即.設,，,，則，．直線的方程為，則，（9分）直線的方程為，則，因為，所以+=0，（11分）所以，所以，把韋達定理代入整理得或，當時，直線方程為，過定點，（13分）即點，不符合題意，所以舍去.當時，直線方程為，過定點.所以直線經過定點.（15分）20．（1）當時，，，所以，（3分）又，所以切線方程為，即.（5分）（2），當時，，解得，故時，，單調遞減；時，，單調遞增，（6分）故時，的極小值為，無極大值；當時，令，解得，，故當或時，，單調遞增，（7分）當時，，單調遞減，故的極大值為，極小值為；當時，令，解得，，故當或時，，單調遞減，當時，，單調遞增，故的極大值為，極小值為；（10分）綜上，當時，的極小值為，無極大值；當時，的極大值為，極小值為.（11分）（3）當時，由（2）知，在和上單調遞增，在上單調遞減，且時，恒成立，（12分）時，，又的極大值為，極小值為，所以存在實數時，函數有三個零點.（15分）21．（1）當時，，，，所以，（2分）（2）設，其中，則，（4分）因，，因，所以，，，，又，，，所以，（6分）因，，，，因，，，，所以，，，，，，，所以所以為定值.（8分）（3），若，則，,故，，此時，不符合題意，（10分）故，猜想，下面給予證明，當時，顯然成立，假設當，時，都有成立，即，此時，，故，，，符合題