建筑工程制圖四月25

點直線平面的投影

3－1點的投影一.點的兩面投影

僅有點的一個投影不能確定點的空間位置。需要增加投影面。

點是最基本的幾何元素，下面用點的投影說明正投影的規律。b

●VB1●B2●B3●點在兩投影面體系的投影規律：1)點的兩面投影連線垂直于投影軸aa′

⊥OX2）點的投影到投影軸的距離就等于空間點到相鄰投影面的距離。(aax=Aa′,a′ax＝Aa)二.點的三面投影

三投影面體系的建立：

用三個相互垂直的投影面構成投影面體系。正面投影面（V

面）水平投影面（H

面）側面投影面（W

面）V∩H=OX

軸V∩W=OZ

軸H∩W=OY

軸

兩投影面相交，其交線稱為投影軸：三投影面體系：

VHWXYOZ點的投影a

點A的正面投影。a點A的水平投影。a

點A的側面投影。

規定：空間點用大寫字母表示，點的三個投影都用同一個小寫字母表示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加兩撇。2.點的投影及影射規律OXYZWa

●a●a

●A●VHX●●●●Z投影面展開HVWaaZaa

yayaX

YH

YW

O

●●az●x●●●YOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動

在投影時，投影的大小不受限制，通常不必畫出投影面的邊框。Zaa

XYH

YWO

●●a●xaazyaay●2、V、W兩投影都反映高標，且投影連線垂直Z軸；a

a

⊥OZ軸。3點的投影規律Zaa

XYHYW

●a1、V、H兩投影都反映橫標，且投影連線垂直X軸；a

a⊥OX軸。

其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直OYH，中間可用折線、45。斜線或以O為圓心的圓弧聯系起來。●xa3、H、W兩投影都反映縱標，投影連線是一條折線。azyaayOaax=a

az=y=A到V面的距離a

ax=a

ay=z=A到H面的距離aay=a

az=x=A到W面的距離aaZaa

yayaXYH

YWO

●●az●x1、點的投影連線垂直于相應的投影軸。2、點的投影到投影軸的距離等于空間點到投影面的距離。小結：Zaa

XYH

YWO

●●a●xaazyaay例1

已知點A、B的兩面投影求作第三面投影。a''b由點的三面投影規律可知：點的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸；點的正面投影與側面投影的連線垂直于OZ軸；點的水平投影到OX軸的距離等于該點的側面投影到OZ軸的距離，都反映該點到V面的距離。

點的每個投影反映兩個坐標：

V投影反映高標和橫標(a′aX

和a′aZ

)，

H投影反映縱標和橫標(aaX

和aaYH)，

W投影反映高標和縱標(a″aYW

和a″aZ)。三.點的投影和坐標

點的每個投影反映兩個坐標，兩個投影就能反映出三個坐標，根據點的兩面投影，畫出第三面投影。。點的投影反映點的坐標點的投影反映了點的坐標，根據坐標畫投影圖。A(x,y,z

)一般位置點（X、Y、Z）1)投影面上的點：V面上點（X、0、Z）

H面上點（X、Y、0）

W面上點（0、Y、Z）3)原點上的點:（0、0、0）2)投影軸上點:

X

軸上點（X、0、0）

Y

軸上點（0、Y、0）

Z

軸上點（0、0、Z）注意:

點的各個投影一定要寫在它所屬的投影面區域內。各種位置點的投影特殊位置點各種位置點的投影3.各種位置點的投影投影面上的點，在該投影面上的投影與空間點重合，另兩個投影均在投影軸上；投影軸上的點，有兩個投影與空間點重合，另一個投影在原點。作圖步驟：1）在a′左方12mm，上方8mm處確定b′；2）作b′b⊥OX軸，且在a前10mm處確定b；3）按投影關系求得b″。例2］如圖，已知點A的三投影，另一點B在點A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求:點B的三個投影。ayayZaa

axazXYH

YWOa

bybybxbzb

●b●b

●12810

如果兩個點在某一個投影面上的投影重合,則稱這兩點為對該投影面的重影點。2.重影點AB兩點是H面的重影點,A在B的正上方,則H投影A可見,B不可見,打括號.A的V面和W面投影都在B的同面投影的正上方.重影點可見性的判斷：對H面，上遮下;對V面，前遮后;對W面，左遮右3-2直線的投影1.直線的投影，一般情況下仍是直線。2.特殊情況下，當直線垂直于投影面時，積聚成一點。3.直線上的點，其投影仍在直線的同面投影上。4.不垂直于投影面的直線段上的點,分割直線段之比,在投影后仍保持不變。一.直線及直線上點的投影特性

一般情況下，直線的投影仍為直線。兩點確定一條直線，將直線上兩點的同面投影用直線連接起來，就得到直線的三個投影。

直線的投影直線的投影規定用粗實線繪制。aa

a

b

b

b●●●●●●XZYHYWo二.各種位置直線投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面1.一般位置直線

投影長分別是：ab=ABcosαa

b

=ABcosβa

b

=ABcosγ一般位置直線(b)投影圖(a)空間情況

一般位置直線的投影投影特性：三面投影均傾斜于投影軸，投影均為縮短的直線(類似性)。b’a’abb”a”ABVHYWXoZb’a’b”a”abXoYHZYW2投影面平行線正平線（V面平行線）：水平線（H面平行線）：側平線（W面平行線）：∥V面，∠H面，∠W面。真實反映

、

。∥H面，∠V面，∠W面。真實反映、

。∥W面，∠H面，∠V面。真實反映、

。b”a”ABa'b’baa'b’b”a”ABaba'b’a”b”ab

AB

VZHYWXoVZHYWXoVHWoXZ正平線∥V面水平線∥H面側平線∥W面投影特性1、在直線所平行的投影面上，其投影反映實長；2、其余兩面投影為縮短的直線，且平行于相應的軸線。水平線∥H面（∠V和W面）

投影面平行線的投影特性γ空間情況γα名稱正平線∥V面（∠H和W）ααβαγββ側平線∥W面（∠H和V面）γβ投影圖3.投影面垂直線側垂線（W

面垂直線）：⊥W，∥H，∥V。正垂線（V面垂直線）：⊥V，∥H，∥W。鉛垂線（H

面垂直線）：⊥H，∥V，∥W。正垂線⊥V面（∥H和W面）鉛垂線⊥H面（∥V和W）側垂線⊥W面（∥H和V面）a’(b’)b”a”baABVHYWXoZYZVHWXoa’b’a”b”ABa(b)a’b’aba”(b”)ABVHYWXoZ投影面垂直線的投影特性1、在直線所垂直的投影面上，其投影積聚為一點；2、其余兩面投影平行于相應的軸線，反映直線的實長。正垂線⊥V面（∥H和W面）鉛垂線⊥H面（∥V和W）側垂線⊥W面（∥H和V面）投影特性空間情況名稱投影圖1.點和直線的從屬關系三.直線上的點

若點在直線上，則點的各個投影必在直線的同面投影上。如圖所示，C∈AB，則有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。

反之，如果點的各個投影均在直線的同面投影上，則點在直線上。從屬性

在圖中，C點在直線AB上，而D、E兩點均不滿足上述條件，所以都不在AB直線上。例3判斷點C是否在線段AB上例3判斷點C是否在線段AB上2.點分割線段成定比AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

直線上的點分割線段之比等于其投影之比。即：定比定理abca

b

c

XABCVHbcc

b

a

aXe

k

f

efX[例4]已知直線EF及點K的二投影，試判斷:點K是否在直線EF線上。作圖步驟：應用簡單比定理E1

k1。k

1）在H投影上，過f（或e）任作一條直線fE1

;2)在fE1上取fK1=fk,K1E1=k

e;3)連接E1e，過K1作直線平行于E1e，與fe交于k1；因為已知投影k與k1不重合，所以點K不在直線EF上。.K1空間兩直線的相對位置分為：

平行、相交、交叉1、兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。四.兩直線的相對位置aVHc

bcdABCDb

d

a

X［例5］判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

X

對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。［例6］判斷圖中兩條直線是否平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

XZoYHYW2.相交兩直線空間兩直線相交,它們的同面投影必相交,且交點的投影就是投影的交點.兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。判別方法：bdcaHABCDKka’b’abc’d’ZYHYWXod”c”b”a”k”cdk’k2

1

d

b

a

abcdc

3

(4

)2(1)●●34●●●XⅠ、Ⅱ是對H面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是對V面的重影點。3、兩直線交叉AB●

有時，交叉兩直線會出現兩組同面投影平行，另一組相交，有一對重影點的情況。還會出現兩組同面投影相交、另一組平行，有兩對重影點的情況。YWXoYHZb’a’b”aba”c’d’d”c”cdXYHZYWob”b’a’aba”c’d’d”c”cd一對重影點兩對重影點4.兩直線垂直

兩直線垂直包括相交垂直和交叉垂直，是相交和交叉兩直線的特殊情況。兩直線垂直，其夾角的投影有以下三種情況：（1）當兩直線都平行于某一投影面時，其夾角的投影反映直角實形；（2）當兩直線都不平行于某一投影面時，其夾角的投影不反映直角實形；（3）當兩直線中有一條直線平行于某一投影面時，其夾角在該投影面上的投影仍然反映直角實形。這一投影特性稱為直角投影定理。〖例7〗如圖所示，過點C作直線CD垂直與正平線AB,且D點在AB上。

五.直角三角形法

求一般位置直線的實長及傾角

特殊位置直線，比較容易從投影找到它們的實長和傾角，但對于一般位置直線，直接從其三面投影中找不出它的實長和傾角。要求直線AB與H面的夾角α及實長，我們可以自A點引AB1∥ab，得直角三角形AB1B，其中AB是斜邊，∠B1AB就是α角，直角邊AB1=ab，另一直角邊BB1等于B點的Z坐標與A點的Z坐標之差，即BB1=zB-zA=Δz

〖例8〗如圖已知直線AB的水平投影ab和A點的正面投影a′，并知AB對H面的傾角α=30°，B點高于A點，求AB的正面投影a′b′。〖例8〗如圖已知直線AB的水平投影ab和A點的正面投影a′，并知AB對H面的傾角α=30°，B點高于A點，求AB的正面投影a′b′。通常用一組幾何元素的投影來表示空間一個平面，常見的有如下幾種：3-3平面的投影一.平面的表示法不在同一直線上的三點Xob’a’bcc’aX相交兩直線c’cb’aa’boc’平行兩直線d’da”b’acbXo任意平面圖形bb’c’aa’cXo

直線與直線外一點a’ab’bcc’Xo用跡線表示平面:平面與投影面的交線投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側垂面

鉛垂面

正平面

側平面

水平面二.各種位置平面平面對于三投影面的位置可分為三類：1一般位置平面

一般位置平面和三個投影面既不垂直也不平行，與三個投影面都傾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，則它的三個投影均不是實形，但具有相仿性(類似性)一般位置平面：傾斜于H、V、W面投影特性：三面投影均為小于實形的類似形。ABCb’a’c’abcVHYWXoZb”a”c”a’b’c’abcb”c”a”(b)投影圖(a)空間情況XYHYWZo2投影面垂直面

只垂直于一個投影面的平面，稱為投影面垂直面。

根據其所垂直的投影面不同，可以分為三種：

1)鉛垂面——垂直于H面；

2)正垂面——垂直于V

面；

3)側垂面——垂直于W面。abca

c

b

c

b

a

γβXZoYHYW投影面垂直面1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直線，有積聚性；該斜直線與投影軸的夾角反映該平面對相應投影面的傾角；

2)如用平面圖形表示平面，則在另外兩個投影面上的投影不是實形，但有相仿性。鉛垂面相仿性相仿性積聚性

投影面垂直面的投影特性是：投影面垂直面側垂面（W面垂直面）：⊥W面（∠H、V）正垂面（V面垂直面）：⊥V面（∠H、W）鉛垂面（H面垂直面）：⊥H面（∠V、W）正垂面⊥V面∠H和W面YZVHWXoVHYWXoZYZVHWXop’pp”Pαγp’pPβp”γp’p”pPβα側垂面⊥W面∠H和V面鉛垂面⊥H面∠V和W面α、β、γ——分別表示平面對投影面H、V、W的傾角。投影面垂直面的投影特點1、在平面所垂直的投影面上，該平面的投影積聚為一直線；2、其余兩面投影為縮小的類似形。正垂面鉛垂面側垂面投影特性空間情況名稱投影圖3投影面平行面

垂直于兩個投影面的平面，平行于第三個投影面。

根據其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為三種：

1)水平面——平行于H面；

2)正平面——平行于V面；

3)側平面——平行于W面。a

b

c

a

b

c

abcXZoYHYW投影面平行面投影面平行面的投影特性是：

1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的實形；

2)在另外兩個投影面上的投影均為直線段，有積聚性，且平行于相應的投影軸。水平面積聚性積聚性實形投影面平行面正平面（V面平行面）：水平面（H面平行面）：側平面（W面平行面）：∥V面，⊥H面，⊥W面。∥H面，⊥V面，⊥W面。∥W面，⊥H面，⊥V面。水平面∥H面⊥V面、W面側平面∥W⊥H面、V面正平面∥V面⊥H面、W面p’pp”VHWXYZop’p”pPPVHWXYZoVHWXYZop”p’Pp投影特性1、在平面所平行的投影面上，其投影反映實形；2、其余兩面投影積聚為直線，且平行于相應的軸線。水平面∥H面（⊥V和W面）

投影面平行面的投影特性空間情況名稱正平面∥V面（⊥H和W）側平面∥W面（⊥H和V面）投影圖三平面上的直線和點點在平面上的條件：如果點在平面上的某一直線上，則此點必在該平面上。1平面內的點

直線在平面上的條件:通過平面上的兩個點或通過平面上的一個點且平行于平面上的一條直線。2平面內的直線1）abca

b

c

d

k●d過平面內兩已知點作輔助線求解●k

X2）abca

b

c

d

k●d過平面內一個已知點作平面內已知直線的平行線求解●k

X［例1］已知平面ABC內一點K的H投影k,試求K點的V投影k

。003）abca

b

c

d

d過平面內一個已知點作投影面的平行線求解●k

Xk●［例1］已知平面ABC內一點K的H投影k,試求K點的V投影k

。（4）連接dc、cb得到四邊形的水平投影。作圖步驟：（1）連接a'c'、b'd'得交點k'；（2）連接bd，由k'在bd上求得其水平投影k；（3）連接ak并延長，由c’在ak的延長線上求得其水平投影c；ck’k例2已知平面四邊形ABCD的正面投影和AB、AD邊的水平投影，試完成該四邊形的水平投影。d’c’b’a’dabXO例3判斷點D是否在ΔABC上。例4作出三角形上的直線EF的正面投影。c’cb’a’ab1’1d’doXoX1’12’2a’b’abcc’e’f’feD點不在ΔABC上思考：在平面ABCD上取一點K，使其在H面上方10mm,在V面之前15mm。例5:判斷平面的位置例6:補全下列鉛垂面及平面內點K的投影。例6:補全下列鉛垂面及平面內點K的投影。2-5直線與平面的相對位置直線與平面的相對位置：1.直線與平面相交（包括垂直相交）2.直線與平面平行3.直線位于平面上（前面已經討論）一.直線與平面平行例1：過已知點D作正平線DE使其與ABC平行例2：已知直線AB、△CDE和點P的兩面投影，要求