二次根式

一、單選題

2

1．已知實數(shù)x，y滿足（x-x22008）（y-y-2008）=2008，則3x2-2y2+3x-3y-2007的值為（）

A．-2008B．2008C．-1D．1

2．下列根式中，是最簡二次根式的是()

22

A．0.2bB．12a12bC．xyD．5ab2

3．化簡：633633的結果是（）

A．6B．6C．33D．32

111111S2016

4．記Sn111，則（）

12222232n2(n1)22016

2016201720172018

A．B．C．D．

2017201620182017

5．已知ABC的三邊長為a，b，c，有以下三個結論：（1）以a，b，c為邊長的三角形一定存在；（2）

以a2，b2，c2為邊長的三角形一定存在；（3）以|ab|1，|bc|1，|ca|1為邊長的三角形一定

存在．其中正確結論的個數(shù)是（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

6．如果一個三角形的三邊長分別為1，k，3，則化簡的結果是（）

A．-5B．1C．13D．19-4k

a2b2

7．設a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是4－23，則的值為（）

ab

A．2B．0C．-2D．-1

．已知，將a的整數(shù)部分加上a的小數(shù)部分的倒數(shù)得到a，再將a的整數(shù)部分加上a的小數(shù)部

8a0300111

分的倒數(shù)得到a2，以此類推可得到a3，a4，……，an．如3的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為31，所以

131

a111．根據(jù)以上信息，下列說法正確的有（）

312

①93；②a的小數(shù)部分為31；③33；④

a2022a20a19

3222

11147

；⑤

450

a23a43a43a63a983a1003

．

a1a2a3a401230303

A．2個B．3個C．4個D．5個

二、解答題

9．求3535的值．

解：設x=3535，兩邊平方得：x2(35)2(35)22(35)(35)，即

x235354，x2=10

∴x=±10．

∵3535＞0，∴3535=10．

請利用上述方法，求4747的值．

a2a1a4

10．先化簡，再求值：22，其中a21．

a2aa4a4a2

11．觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：

12121

例1：21

21(21)(21)(2)21

11

例2：32，43，…

3243

1

（1）=；

65

（2）請你用含n(n為正整數(shù))的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律；

1111

（3）利用上面的規(guī)律，求下面式子的值：...

21324320172016

2

12．（1）已知526xy，求x，y的值．

（2）化簡23的結果是______．

2

13．若實數(shù)x，y滿足（x﹣x22016）（y﹣y2016）＝2016．

（1）求x，y之間的數(shù)量關系；

（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．

14．閱讀材料：

材料一：兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理

化因式.

例如：333,(62)(62)624，我們稱3的一個有理化因式是3,62的一個有理化

因式是62.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿印⒎帜竿朔帜傅挠欣砘蚴?，使分母中

不含根號，這種變形叫做分母有理化.

1133

例如：，

3333

88(62)8(62)

2622

62(62)(62)4

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：

(1)13的有理化因式為______，75的有理化因式為______.(均寫出一個即可)

(2)將下列各式分母有理化(要求寫出變形過程)：

3

①.

15

11

②.

253

(3)請從下列A，B兩題中任選一題作答，我選擇題.

1111

A計算：的結果為______.

12233420182019

2222

B計算：的結果為_____.

33533575572019201720172019

2

15．閱讀下列材料，然后回答問題，在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如如一樣的式

31

子，其實我們還可以將其進一步化簡：

22(31)2(31)

＝＝31（1）

31(31)(31)(3)212

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．

2

還可以用以下方法化簡：

31

231(3)212(31)(31)

＝31（2）

31313131

2

①請參照（1）（2）的方法用兩種方法化簡：

75

2

方法一：＝

75

2

方法二：＝

75

22

②直接寫出化簡結果：＝

＝

13111513

22222

③計算：+++…+

+

528511832293532

1

16．定義fx，求f(1)+f(3)…+f(2k1)+…+f(999)的值.

3x22x13x213x22x1

t1tt1t

17．設x，y，求t為何值時，代數(shù)式20x241xy20y2的值為2001.

t1tt1t

18．閱讀下列兩則材料，回答問題：

材料一：我們將ab與ab稱為一對“對偶式”因為abab(a)2(b)2ab，

所以構造“對倆式”相乘可以有效地將ab和ab中的“”去掉.例如：已知25x15x2，

求25x15x的值．解：

25x15x25x15x25x15x1025x15x2，

25x15x5

Ax,yBx,yCx,yACxx

材料二：如圖，點11，點22，以AB為斜邊作RtABC，則21，于是12，

BCyy，所以22反之，可將代數(shù)式22的值看作點x,y

12AB(x1x2)(y1y2).(x1x2)(y1y2)11

到點x2,y2的距離.

例如：x22xy22y2x22x1y22y1(x1)2(y1)2=(x1)2[y1]2．

所以可將代數(shù)式x22xy22y2的值看作點x,y到點(1,-1)的距離．

1利用材料一，解關于x的方程：20x4x2，其中x4；

2①利用材料二，求代數(shù)式x22xy216y65x24xy24y8的最小值，并求出此時y與x的

函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍；

②將①所得的y與x的函數(shù)關系式和x的取值范圍代入y2x25x122x23x6中解出x，直接寫

出x的值．

30

19．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：30235，由于30沒有大于1的平方約數(shù)，因此為有理數(shù)的條件是正整數(shù)a30t2

a

（其中t為正整數(shù)）．

301

(1)若正整數(shù)a使得，則a的值為_________．

a2

303030

(2)已知a、b、c是正整數(shù)，滿足abc．當1時，稱a,b,c為“三元數(shù)組”．

abc

①若a,b,c為“三元數(shù)組”，且abc，則abc________；

②若a,270,c為“三元數(shù)組”，且ac，則a________，c________；

③“三元數(shù)組”共有_________個．

三、填空題

20．計算2005200620072008+120062，所得的結果是______.

1515

21．已知a，b是正整數(shù)，且滿足2是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對a,b共有________對．

ab

22．已知122x2102x21，則122x2102x2=_______

23．設x表示最接近x的整數(shù)(xn0.5，n為整數(shù))，則122334100101的

值為______.

24．觀察下列等式：

1

第1個等式：a121，

12

1

第2個等式：a232，

23

1

第3個等式：a323，

32

1

第4個等式：a452，

25

…

按上述規(guī)律，計算a1a2a3an___________．

參考答案：

1．D

2

【詳解】由（x-x22008）（y-y-2008）=2008，可知將方程中的x,y對換位置，關系

式不變，

那么說明x=y是方程的一個解

由此可以解得x=y=2008，或者x=y=-2008，

則3x2-2y2+3x-3y-2007=1，

故選D.

2．C

5b

【詳解】解：A．0.2b，不是最簡二次根式；

5

B．12a12b=23a3b，不是最簡二次根式；

C．x2y2是最簡二次根式；

D．5ab2b5a，不是最簡二次根式；

故選C．

【點睛】本題考查了最簡二次根式，在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根

式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方

數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．

3．D

【分析】利用完全平方公式化簡633633即可.

【詳解】633633

12631263

22

93639363

22

32233(3)232233(3)2

22

(33)2(33)2

22

33336

32

222

故選D

【點睛】本題考查多重二次根式的化簡，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵.

4．D

112

【分析】1利用完全平方公式可化簡為11k11，再利

221

k(k1)k2(k1)2kk1

用二次根式的性質即可開方，再分別取k=1，2，3，4，…，n，并相加求得Sn，取n=2016

即可求得結果．

2222

11121k121k11

【詳解】11．

k2(k1)2kk(k1)2kkk1kk1

11k1111

所以11，

k2(k1)2kk1kk1

11111111

故S1111

n122222323242n2(n1)2

11111111

1111

122334nn1

1

n1

n1

n(n2)

．

n1

S1201620182018

所以2016．

2016201620172017

故選：D．

【點睛】本題考查了分式的化簡及運算、二次根式的性質，就Sn中項的一般形式化簡是本

題的關鍵．

5．C

【分析】不妨設0＜a≤b≤c，利用作差法求出（a＋b）2－（c）2的符號和三角形的三

邊關系即可判斷（1）；利用舉反例的方法即可判斷（2）；假設|ab|≤|bc|≤ca，根

據(jù)絕對值的性質：xyxy和三角形的三邊關系，即可得出結論．

【詳解】解：ABC的三邊長為a，b，c，不妨設0＜a≤b≤c，

∴a＋b＞c，a＜b＜c

則（a＋b）2－（c）2

=a2abbc

=abc2ab

∵abc0,2ab0

∴abc2ab＞0

∴（a＋b）2＞（c）2

∴a＋b＞c

∴以a，b，c為邊長的三角形一定存在，故（1）正確；

令a=2，b=3，c=4，此時a＋b＞c，符合條件

此時a2＋b2=13，c2=16，

∴a2＋b2＜c2

∴以a2，b2，c2為邊長的三角形不一定存在，故（2）錯誤；

假設|ab|≤|bc|≤ca

根據(jù)絕對值的性質：|ab|＋|bc|≥abbc=acca

∴|ab|＋|bc|＋2＞ca1

∴|ab|1＋|bc|1＞|ca|1

∴以|ab|1，|bc|1，|ca|1為邊長的三角形一定存在，故（3）正確．

綜上：正確的有2個

故選C．

【點睛】此題考查的是三角形的三邊關系、二次根式的運算和絕對值的性質，掌握三角形的

三邊關系、二次根式的運算法則、利用舉反例說明假命題和絕對值的性質是解決此題的關鍵．

6．B

【詳解】由三角形三邊關系得：2＜k＜4，，

，所以原式等于，所以選B．

7．C

【分析】先化簡4－23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根據(jù)題意列出二元一次方程組并

求解求得a和b的值，再代入計算即可．

22

【詳解】解：4－23=3231=3131．

∵方程x2+ax+b=0的一根是4－23，

2

∴4－23+4－23a+b=0．

2

∴3131ab0．

∴a234ab0．

∵a、b是整數(shù)，

a20,

∴

4ab0．

a2,

解得

b2．

22

a2b222

∴==2．

ab22

故選：C．

【點睛】本題考查二次根式的化簡，一元二次方程的解，二元一次方程組的應用，正確構造

二元一次方程組是解題關鍵．

8．B

【分析】根據(jù)定義找到an的規(guī)律，再逐個判斷即可．

13133

【詳解】解：由題意得，a111，它的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分

3122

為31；

2

2

a2223133，它的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為31；

31

1313931

a344，它的整數(shù)部分為5，小數(shù)部分為；

31222

2

a4553136，它的整數(shù)部分為7，小數(shù)部分為31；

31

13131531

a577，它的整數(shù)部分為8，小數(shù)部分為；

31222

2

a6883139，它的整數(shù)部分為10，小數(shù)部分為31；

31

33nn13n131

∴n為奇數(shù)時，a，它的整數(shù)部分為23，小數(shù)部分為；

n2222

3n23n2

n為偶數(shù)時，a3n，它的整數(shù)部分為43，小數(shù)部分為31；

n222

93

∴①a，正確；

32

②a2022的小數(shù)部分為31，錯誤；

57333

③aa330，正確；

201922

111

④

a23a43a43a63a983a1003

111

3669493503

1149

1，錯誤；

950450

⑤a1a2a3a40

a1a3a39a2a4a40

33363127

3336360

222

1036002036303031230，正確；

綜上所述，正確的是①③⑤,共3個；

故選：B．

【點睛】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究、估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，通過計

算找到規(guī)律是解題的關鍵．

9．14

【分析】根據(jù)題意給出的解法即可求出答案即可．

【詳解】設x=47+47，

兩邊平方得：x2=（47）2+（47）2+247?47，

即x2=4+7+4﹣7+6，

x2=14

∴x=±14．

∵47+47＞0，∴x=14．

【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關鍵是正確理解題意給出的解法，本題屬于中

等題型．

10．1

【詳解】分析：將括號內(nèi)的部分通分后相減，再將除法轉化為乘法后代入求值．

a2a1a4a24a2aa2a4a21

解：原式=222．

aa2a2a2aa2a4aa2a4aa2

111

當時，原式=1．

a2121212212121

1

11．（1）65；（2）n1n；（3）2017-1

n1n

【分析】（1）利用分母有理化求解；

（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫出第n個等式即可；

（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計算．

165

【詳解】解：（1）==65.

65(65)(65)

故答案為：65

1

（2）n1n.

n1n

1111

（3）...

21324320172016

=213243...20172016

=2017-1

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次

根式的乘除運算，再合并即可，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二

次根式的性質,選擇恰當?shù)慕忸}途徑,往往能事半功．

1

12．（1）x=3或y=2；x2，y3；（2）62

2

【分析】（1）把等式右邊展開和左邊對比，據(jù)含根號的項相等和不含根號的項相等，列出

關于x、y的方程組，解方程組即可．

82122

（2）變形23，設8212xy運用（1）的方法求出x、y再進

2

行化簡即可

【詳解】解：（1）526xy2xy，

xy5,

xy6,

x3x2,

解得，1，2

y12y23.

即x3，y2或者x2，y3．

82122

（2）因為23，故設8212xy

2

∴8212xy2xy得

xy8,

xy12,

x6x2,

解得，1，2

y12y26.

8212

∴23

2

(62)262

=

22

1

=62．

2

【點睛】此題考查二次根式的化簡，對于二重根號a2b，其關鍵是要列方程組找到x、

2

y，使得a2bxy成立．

13．（1）x=y；（2）-1.

2

【分析】（1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x﹣x22016＝y(tǒng)+y2016，同理

2

得②式：x+x22016＝y(tǒng)﹣y2016，將兩式相加可得結論；

（2）將x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式結合x2=2016，計算即可．

2

【詳解】解：（1）∵（x﹣x22016）（y﹣y2016）＝2016，

20162016(yy22016)

∴﹣2＝＝＝2①，

xx201622y+y2016

yy22016yy2016

2

同理得：x+x22016＝y(tǒng)﹣y2016②，

①+②得：2x＝2y，

∴x＝y(tǒng)，

（2）把x＝y(tǒng)代入①得：x－x22016＝x+x22016，

∴x2＝2016，

則3x2－2y2+3x－3y－2017，

＝3x2－2x2+3x－3x－2017，

＝x2－2017，

＝2016－2017，

＝－1．

【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡,掌握分母有理化的方法是解題的關鍵.

1520192019

14．(1)13,75；(2)①；②253；(3)A：20191；B：.

52019

【分析】（1）13乘以本身即可得有理數(shù)；75乘以75可得有理數(shù)，因此填13，

75；（2）①中的分母乘以15即可分母有理化；②中分子分母都乘以253；

（3）將每項分母有理化后進行加法計算即可

【詳解】解：(1)13乘以本身即可得有理數(shù)；75乘以75可得有理數(shù)，

因此填13，75；

3315

(2)①.

151515

31515

155

1111(253)

②

253(253)(253)

11(253)

209

253

1111

(3)A：

12233420182019

(21)(32)(43)(20192018)

=20191

2222

B：

33533575572019201720172019

33533575572019201720172019

3153520192017

3355720172019

=1

3355720172019

2019

1

2019

20192019

=

2019

20192019

故A填20191；B填

2019

【點睛】此題是閱讀理解題，理解題意很重要，根據(jù)題意找到相應的分母有理化因式，才能

將每個因式分母有理化.

22(75)2(75)

15．①方法一：＝＝75

75(75)(75)(7)2(5)2

2

275(7)25(75)(75)

方法二：＝75

75757575

23522

②1311；1513；③

3

【分析】①根據(jù)材料運用的兩種方法進行分母有理化即可；

②根據(jù)材料運用的兩種方法進行分母有理化即可；

③先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解.

22(75)2(75)

【詳解】①方法一：＝＝75

75(75)(75)(7)2(5)2

2

275(7)25(75)(75)

方法二：＝75

75757575

22(1311)2(1311)

②＝＝1311

1311(1311)(1311)(13)2(11)2

22(1513)2(1513)

＝＝1513

1513(1513)(1513)(15)2(13)2

故答案為1311；1513

22222

③+++…+

+

528511832293532

2(52)2(85)2(118)2(3229)2(3532)

33333

2

(528511832293532)

3

2

(352)

3

23522

3

【點睛】本題主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，運用材料的方法是解題關鍵.

16．5.

33

【分析】將fx進行分母有理化，分子分母同時乘以x1x1可得

333

1x1x12

fx，進而求得f1，

3x22x13x213x22x122

33333

42641000

f3，f5，則f1f3f2k1f9995

222

1

fx

【詳解】3232

x13x1x1x1

33

x1x1

323233

x13x1x1x1x1x1

33

x1x1

，

2

3333333

242641000998

f1，f3，f5，…，f999．

2222

3

1000

f1f3f2k1f9995．

2

【點睛】本題以新定義型題形式考查了二次根式的運算，解本題的關鍵是通過分母有理化將

33

2k2k2

fx簡化，再代值得到f2k1，即可解題.

2

17．t=2.

【分析】將x，y部分進行分母有理化可得x2t12tt1，y2t12tt1原代

2

數(shù)式進行整理可得：20x241xy20y220xyxy，代x，y值即可解題

t1t2

【詳解】Qxt1t2t12tt1，

t1t

t1t2

yt1t2t12tt1，

t1t

2

20x241xy20y220xyxy

2

202t12tt12t12tt11

2

204t21320t2320t81．

由題知320t2320t812001．

則t2t60．

t2或t3(舍去)．

當t2時，代數(shù)式20x241xy20y2的值為2001．

【點睛】本題考查了二次根式的運算，解一元二次方程，解本題的關鍵是通過對x，y進行

分母有理化及對代數(shù)式用完全平方公式進行整理即可解題.

5

18．（1）x5；（2）①35，y2x62x1；②1.

2

【分析】1根據(jù)理解材料一的內(nèi)容進行解答，比對這題很容易解決．

2①中把根式下的式子轉化成平方平方的形式，轉化成點到點的距離問題，根據(jù)兩點之

間距離最短，所以當三個點共線時距離最短，可以求出最小值和函數(shù)關系式

②中也根據(jù)材料二的內(nèi)容來解答求出x的值．

【詳解】1根據(jù)材料一；

20x4x20x4x20x4x16,

20x4x2，

20x4x8，

20x5,

4x3,

解得：x5,

y2x62x1；

2①解：由材料二知：

x22xy216y65(x1)2(y8)2，

222222

x4xy8y8(x2)(y2)x2y2，

可將x22xy216y65的值看作點x,y到點1,8的距離

x24xy28y8的值看作點x,y到點2,2的距離，

∴x22xy216y65x24xy24y8

2222

(x1)(y8)x2]y2]，

當代數(shù)式x22xy216y65x24xy24y8取最小值，

即點x,y與點1,8，2,2在同一條直線上，并且點x,y位點1,82,2的中間，

x22xy216y65x24xy24y8的最小值

22

=12]82]4535，

且2x1，

設過x,y，1,8，2,2的直線解析式為：ykxb

8kb

22kb，

k2

解得：b6，

y2x62x1；

②y2x25x122x23x6中，

y2x6，

2x25x122x23x62x6(ⅰ),

又

2x25x122x23x62x25x122x23x62x25x122x23x62x6

2x25x122x23x61(ⅱ)

7

由(ⅰ)ⅱ得：2x25x12x，

2

2525

解得：x1(舍)，x，

1222

5

x的值為1.

2

【點睛】本題是材料閱讀題，屬于新定義題，理解新定義的內(nèi)容是解題的關鍵.

19．(1)120

(2)①270；②a120，c1080；③3

【分析】（1）根據(jù)算術平方根的定義即可求解；

3030301

（2）①由abc可得，即可解答；

abc3

112

②設a30t2，c30m2（t，m為正整數(shù)而且tm），由b270可得，進行求

tm3

解即可；

111

③設a30x2，b30y2，c30z2（x，y，z為正整數(shù)而且xyz），可得1，

xyz

根據(jù)分子為1的分數(shù)和為1的分數(shù)的特點進行討論求解．

301

【詳解】（1）解：∵，

a2

301

∴()2，

a2

∴a120，

故答案為：120；

（2）①∵abc，

303030

∴，

abc

303030

又∵1，

abc

3030301

∴，

abc3

301

∴()2，

a3

∴abc270，

故答案為：270，

②∵b270，

303030

∴1，

a270c

30302

∴，

ac3

設a30t2，c30m2（t，m為正整數(shù)而且tm），

30302112

∴，即，

30t230m23tm3

112

∵+=，

263

1111

∴，，

t2m6

∴t2，m6，

∴a120，c1080；

故答案為：120，1080；

③設a30x2，b30y2，c30z2（x，y，z為正整數(shù)而且xyz），

303030

∵1，

abc

303030

∴1，

30x230y230z2

111

∴1，

xyz

111

又∵

xyz

1111

∴，，

x3z3

11111

當時，1，此時xyz3，abc270，

x3xyz

11111111

當，∴，∴，

x2yz22y4

11

當時，同②，a120，b270，c1080；

y3

1111

當時，，a120，b480，c480；

y4z4

綜上所述：“三元數(shù)組”共有3個．

故答案為：3.

303030

【點睛】本題主要考查了算術平方根的應用，理解題干所給的提示，將1

abc

轉化為幾個分子為1的分數(shù)和為1的分數(shù)的式子求解是解題關鍵．

20．2005

【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化為完全平方的形式，再開

平方，然后再來求值．

【詳解】∵2005×2006×2007×2008+1

=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1

=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1

=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1

=（20052+3×2005+1）2

∴20052006200720081=20052+3×2005+1；

∴