專題4初識非負數

閱讀與思考

絕對值是初中代數中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數、相反數以及后續要學習的

算術根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數中的一個基本概念，在求代數式的值、代數式的化簡、

解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：

1.去絕對值符號法則

aa0

a0a0

aa0

2.絕對值的幾何意義

從數軸上看，a即表示數a的點到原點的距離，即a代表的是一個長度，故a表示一個非負數，

ab表示數軸上數a、數b的兩點間的距離.

3.絕對值常用的性質

2aa

①a0②a2aa2③abab④b0

bb

⑤abab⑥abab

例題與求解

【例1】已知a5,b3，且abba，那么ab.

（祖沖之杯邀請賽試題）

解題思路：由已知求出a、b的值，但要注意條件abba的制約，這是解本題的關鍵.

1010

【例2】已知a、b、c均為整數，且滿足abac1，則abbcca（）

A.1B.2C.3D.4

（全國初中數學聯賽試題）

1010

解題思路：ab≥0，ac≥0，又根據題中條件可推出ab，ac中一個為0，一個為

1.

【例】已知＋＋＋…＋＋＝，求代數式

3x11x22x33x20022002x200320030

2x12x22x3…－2x20022x2003的值.

解題思路：運用絕對值、非負數的概念與性質，先求出…，的值，注意n1n

x1,x2,x3,x2002,x200322

的化簡規律.

abcabacbcabc

【例4】設a、b、c是非零有理數，求的值.

abcabacbcabc

解題思路：根據a、b、c的符號的所有可能情況討論，化去絕對值符號，這是解本例的關鍵.

（希望杯邀請賽試題）

【例】設是六個不同的正整數，取值于，，，，，.

5x1,x2,x3,x4,x5,x6123456

記，求的最小值.

S|x1x2||x2x3||x3x4||x4x5||x5x6||x6x1|S

（四川省競賽試題）

解題思路：利用絕對值的幾何意義建立數軸模型.

【例6】已知(ab)2b5b5，且2ab10，求ab的值.

（北京市迎春杯競賽試題）

解題思路：由2ab10知2ab10，即b2a1，代入原式中，得

(3a1)22a42a4，再對3a1的取值，分情況進行討論.

A級

1.若m,n為有理數，那么，下列判斷中：

（1）若mn，則一定有mn；

（2）若mn，則一定有mn；

（3）若mn，則一定有mn；

（4）若mn，則一定有m2(n)2；正確的是.（填序號）

mnp2mnp

2.若有理數m,n,p滿足1，則.

mnp2mnp

3.若有理數a,b,c在數軸上的對應的位置如下圖所示，則c1acab化簡后的結果

是.

4.已知正整數a,b滿足b2b20，abab0，且ab，則ab的值是.

（四川省競賽試題）

2

5.已知a1,b2,c3,且abc，那么abc.

6.如圖，有理數a,b在數軸上的位置如圖所示：

則在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，負數共有（）

A．3個B．1個C．4個D．2個

（湖北省荊州市競賽試題）

7.若a8,b5，且ab0，那么ab的值是（）

A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－13

8.若m是有理數，則mm一定是（）

A．零B．非負數C．正數D．負數

9.如果x2x20，那么x的取值范圍是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

10.a,b是有理數，如果abab，那么對于結論（1）a一定不是負數；（2）b可能是負數，其中

（）

A．只有（1）正確B．只有（2）正確

C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確

（江蘇省競賽試題）

abbcca

11.已知a,b,c是非零有理數，且abc0，求的值.

abbcca

12.已知a,b,c,d是有理數，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值.

（希望杯邀請賽試題）

B級

x5x2x

1.若2x5，則代數式的值為.

x52xx

21111

2.已知a1ab20，那么的值

ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2002)(b2002)

為.

3.數a在數軸上的位置如圖所示，且a12，則3a7.

（重慶市競賽試題）

abab

4.若ab0，則的值等于

abab

（五城市聯賽試題）

1

5.已知(x5)2y2y60，則y2xyx2x3.

5

（希望杯邀請賽試題）

6.如果0p15，那么代數式xpx15xp15在p≤x≤15的最小值（）

A.30B.0C.15D.一個與p有關的代數式

aa

7.設k是自然數，且kab0，則12等于（）

bb

32

A.3B.2C.3D.2

kk

（創新杯邀請賽試題）

8.已知0a4，那么a23a的最大值等于（）

A．1B．5C．8D．9

（希望杯邀請賽試題）

abcabc

9.已知a,b,c都不等