專題07整式的加減

閱讀與思考

整式的加減涉及許多概念，準(zhǔn)確地把握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解決有關(guān)問

題的基礎(chǔ)，概括起來就是要掌握好以下兩點：

1．透徹理解“三式”和“四數(shù)”的概念

“三式”指的是單項式、多項式、整式；“四數(shù)”指的是單項式的系數(shù)、次數(shù)和多項式

的系數(shù)、次數(shù)．

2．熟練掌握“兩種排列”和“三個法則”

“兩種排列”指的是把一個多項式按某一字母的升冪或降冪排列，“三個法則”指的是

去括號法則、添括號法則及合并同類項法則．

物以類聚，人以群分．我們把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次數(shù)也相同的

單項式作為一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類

項．這樣，使得整式大為簡化，整式的加減實質(zhì)就是合并同類項．

例題與求解

[例1]如果代數(shù)式ax5＋bx3＋cx－5，當(dāng)x＝－2時的值是7，那么當(dāng)x＝7時，該式的

值是______．

(江蘇省競賽試題)

解題思路：解題的困難在于變元個數(shù)多，將x兩個值代入，從尋找兩個多項式的聯(lián)系入

手．

[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代數(shù)式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，對于

任意a，b對應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是()

A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．a(chǎn)＋b2D．a(chǎn)2＋b

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：采用賦值法，令a＝1，b＝－1，計算四個式子的值，從中找出值最大的

22

式子．

[例3]已知x＝2，y＝－4時，代數(shù)式ax2＋1by＋5＝1997，求當(dāng)x＝－4，y＝－1時，

22

代數(shù)式3ax－24by3＋4986的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的．解本例的關(guān)鍵是：將給定

的x，y值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知與待求式子之間的聯(lián)系，整體代入求值．

[例4]已知關(guān)于x的二次多項式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．當(dāng)x＝2時的值為－

17，求當(dāng)x＝－2時，該多項式的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：解題的突破口是根據(jù)多項式降冪排列、多項式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，

b的等式．

[例5]一條公交線路上起點到終點有8個站．一輛公交車從起點站出發(fā)，前6站上車

100人，前7站下車80人．問從前6站上車而在終點下車的乘客有多少人？

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：前7站上車總?cè)藬?shù)等于第2站到第8站下車總?cè)藬?shù)．本例目的是求第8站下

車人數(shù)比第7站上車人數(shù)多出的數(shù)量．

[例6]能否找到7個整數(shù)，使得這7個整數(shù)沿圓周排列成一圈后，任3個相鄰數(shù)的和

等于29？如果，請舉出一例；如果不能，請簡述理由．

(“華羅庚金杯”少年邀請賽試題)

解題思路：假設(shè)存在7個整數(shù)a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，滿足題意，由

此展開推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立．

能力訓(xùn)練

A級

1．若－4xm－2y3與2x3y7－2n是同類項，m2＋2n＝______．

3

(“希望杯”初賽試題)

2．當(dāng)x＝1，y＝－1時，ax＋by－3＝0，那么當(dāng)x＝－1，y＝1時，ax＋by－3＝______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．若a＋b＜0，則化簡|a＋b－1|－|3－a－b|的結(jié)果是______．

4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值為______．

2xy3z32,

5．設(shè)則3x－2y＋z＝______．

x4y5z36,

(2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，則C＝()．

A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2

A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c2

7．同時都有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項式共有()．

A．4個B．12個C．15個D．25個

(北京市競賽題)

8．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

ba0c

第8題圖

則代數(shù)式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化簡后的結(jié)果是為()．

A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a(chǎn)

9．已知a＋b＝0，a≠b，則化簡b(a＋1)＋a(b＋1)得()．

ab

A．2aB．2bC．＋2D．－2

10．已知單項式0.25xbyc與單項式－0.125xm－1y2n－1的和為0.625axnym，求abc的值．

11．若a，b均為整數(shù)，且a＋9b能被5整除，求證：8a＋7b也能被5整除．

(天津市競賽試題)

B級

1．設(shè)a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

2．當(dāng)x的取值范圍為______時，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒為一個常數(shù)，

這個值是______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．當(dāng)x＝2時，代數(shù)式ax3－bx＋1的值等于－17，那么當(dāng)x＝－1時，代數(shù)式12ax－3bx3

－5的值等于______．

4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，則y2－1xy＋x2＋x3＝______．

5

(“希望杯”邀請賽試題)

5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，則(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．

6．如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋

|1－10x|的值恒為一個常數(shù)，則此值為()．

A．2B．3C．4D．5

(安徽省競賽試題)

623456

7．如果(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5

＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．

A．1，365B．0，729C．1，729D．1，0

(“希望杯”邀請賽試題)

8．設(shè)b，c是整數(shù)，當(dāng)x依次取1，3，6，11時，某學(xué)生算得多項式x2＋bx＋c的值分

別為3，5，21，93．經(jīng)驗證，只有一個結(jié)果是錯誤的，這個錯誤的結(jié)果是()．

A．當(dāng)x＝1時，x2＋bx＋c＝3B．當(dāng)x＝3時，x2＋bx＋c＝5

C．當(dāng)x＝6時，x2＋bx＋c＝21D．當(dāng)x＝11時，x2＋bx＋c＝93

(武漢市選拔賽試題)

9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e為常數(shù)，當(dāng)x＝2時，y＝23；

當(dāng)x＝－2時，y＝－35，那么e的值是()．

A．－6B．6C．－12D．12

(吉林省競賽試題)

10．已知a，b，c三個數(shù)中有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)，n是整數(shù)，如果s＝(a＋n＋1)·(b

＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么()．

A．s是偶數(shù)B．s是奇數(shù)

C．s的奇偶性與n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能確定

(江蘇省競賽試題)

11．(1)如圖1，用字母a表示陰暗部分的面積；

(2)如圖2，用字母a，b表示陰暗部分的面積；

(3)如圖3，把一個長方體禮品盒用絲帶打上包裝(圖中虛線為絲帶)，打蝴蝶結(jié)的部分需

絲帶(x－y)cm，打好整個包裝需用絲帶總長度為多少？

x

a

aay

aab

b

z

圖1圖2圖3

12．將一個三位數(shù)abc中間數(shù)碼去掉，成為一個兩位數(shù)ac，且滿足abc＝9ac＋4c，

如155＝9×15＋4×5．試求出所有這樣的三位數(shù)．

專題07整式的加減

例1－17

例2B

例31998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.

例4原多項式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由題意知，該多項式為

二次多項式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2b＋1）＋2×（b

－3）－5＝－17.

解得b＝－1，故原多項式為－x2－4x－5.

當(dāng)x＝－2時，－x2－4x－5＝－4＋8－5＝－1.

例5設(shè)前7站上車的乘客數(shù)量依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，從第2站到第8站下

車的乘客數(shù)量依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝

b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6

＋b7＝80，即100＋a7＝80＋b8，前6站上車而在終點下車的人數(shù)為b8－a7＝100－80

＝20（人）.

例6如圖，由題意得a1＋a2＋a3＝29,

a2＋a3＋a4＝29,

…

a6＋a7＋a1＝29,

a7＋a1＋a2＝29,

將上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.

2

∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67.

3

這與a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7為整數(shù)矛盾.

故不存在滿足題設(shè)要求的7個整數(shù).

A級

1.292.－63.－24.2003

5.10提示：3x－2y＋z＝2×（2x＋y＋3z）－（x＋4y＋5z）＝2×23－36＝46－36＝10.

6.C

7.C提示：設(shè)滿足條件的單項式為ambncp的形式，其中m，n，p為自然數(shù)，且m＋n＋p

＝7.

8.C9.D

10.1.2提示：由題意得b＝m－1＝n，c＝2n－1＝0，0.625a＝0.25＋（－0.125）.

11.提示：8a＋7b＝8（a＋9b）－65b.

B級

1.－a＋b＋c

4

2.≥1提示：x的系數(shù)之和為零，須使4－7x≤0且1－3x≤0.

7

3.22

1

4.－94提示：由（x＋5）2＋|y2＋y－6|=0得x＝－5，y2＋y＝6.y2－xy＋x2＋x3

5

＝y(tǒng)2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.

1

5.－

2

11

6.B提示：利用絕對值的幾何意義解此題.x的取值范圍在與之間

87

6

7.A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1]=1①