專題08分式方程

閱讀與思考

分母含有未知數(shù)的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化為整式方程，

常用的方法有直接去分母、換元法等．

在解分式方程中，有可能產(chǎn)生增根．盡管增根必須舍去，但有時卻要利用增根，挖掘隱含條件．

例題與求解

2xa

【例1】若關(guān)于x的方程＝－1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是______．

x2

（黃岡市競賽試題）

解題思路：化分式方程為整式方程，注意增根的隱含制約．

2x2x11ABC

【例2】已知，其中A，B，C為常數(shù)．求A＋B＋C的值．

x2x1xx2x1

（“五羊杯”競賽試題）

解題思路：將右邊通分，比較分子，建立A，B，C的等式．

【例3】解下列方程：

5x96x84x192x21

（1）；（“五羊杯”競賽試題）

x19x9x6x8

x23xx2x411

（2）；（河南省競賽試題）

2x22x83x29x12

2

2x

（3）x＋＝3．（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）

x1

解題思路：由于各個方程形式都較復(fù)雜，因此不宜于直接去分母．需運(yùn)用解分式問題、分式方程相

關(guān)技巧、方法解．

x1x8x2x7

【例4】（1）方程的解是___________．（江蘇省競賽試題）

x2x9x3x8

1111

（2）方程的解是________．

x23x2x25x6x27x12x4

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：仔細(xì)觀察分子、分母間的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，尋找解題的突破口．

2kxkx1

【例5】若關(guān)于x的方程只有一個解，試求k的值與方程的解．

x1x2xx

（江蘇省競賽試題）

解題思路：化分式方程為整式方程，解題的關(guān)鍵是對原方程“只有一個解”的準(zhǔn)確理解，利用增根解

題．

1115

【例6】求方程的正整數(shù)解．（“希望杯”競賽試題）

xyz6

111

解題思路：易知x,y,z都大于1，不妨設(shè)1＜x≤y≤z，則，將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)

xyz

化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數(shù)的取值作出估計．逐步縮小其取值范圍，求出結(jié)果．

能力訓(xùn)練

A級

ax1

1．若關(guān)于x的方程10有增根，則a的值為________．（重慶市中考試題）

x1

2x1x2x1

2．用換元法解分式方程2時，如果設(shè)＝y(tǒng)，并將原方程化為關(guān)于y的整式方程，

x2x1x

那么這個整式方程是___________．（上海市中考試題）

211

3．方程x3x40的解為__________．（天津市中考試題）

x2x

13

4．兩個關(guān)于x的方程x2x20與有一個解相同，則a＝_______．

x2xa

（呼和浩特市中考試題）

11111

5．已知方程xa的兩根分別為a，，則方程xa的根是（）．

xaax1a1

111a

A．a(chǎn)，B．，a1C．，a1D．a(chǎn)，

a1a1aa1

（遼寧省中考試題）

2xm

6．關(guān)于x的方程1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）

x1

A．m＞－1B．m＞－1且m≠0

C．m＜－1D．m＜－l且m≠－2

（孝感市中考試題）

22222

7．關(guān)于x的方程xc的兩個解是x1＝c，x2＝，則關(guān)于x的方程xa的

xccx1a1

兩個解是（）．

222a1

A．a(chǎn)，B．a(chǎn)－1，C．a(chǎn)，D．a(chǎn)，

aa1a1a1

8．解下列方程：

2

2x1x1

（1）60；（蘇州市中考試題）

x2x

x21610x4

（2）．（鹽城市中考試題）

9x233x

111

9．已知x3．求x10＋x5＋的值．

xx5x10

2kxkx1

10．若關(guān)于x的方程只有一個解（相等的兩根算作一個），求k的值．

x1x2xx

（黃岡市競賽試題）

m21

11．已知關(guān)于x的方程x2＋2x＋0，其中m為實(shí)數(shù).當(dāng)m為何值時，方程恰有三個互

x22x2m

不相等的實(shí)數(shù)根?求出這三個實(shí)數(shù)根.

（聊城市中考試題）

x1xax2

12．若關(guān)于x的方程無解，求a的值．

x2x1x1x2

（“希望杯”邀請賽試題）

B級

11114

1．方程的解是__________．

x2xx23x2x25x6x27x1221

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

111

2．方程0的解為__________．

x211x8x22x8x213x8

xm

3．分式方程1有增根，則m的值為_________．

x1x1x2

2xa

4．若關(guān)于x的分式方程＝－1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是______．

x2

（黑龍江省競賽試題）

2m

5．（1）若關(guān)于x的方程1無解，則m＝__________．（沈陽市中考試題）

x3x3

25m

（2）解分式方程會產(chǎn)生增根，則m＝______．（“希望杯”邀請賽試題）

x11xx21

311

6．方程x6x的解的個數(shù)為（）．

x3x

A．4個B．6個C．2個D．3個

a

7．關(guān)于x的方程1的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）．

x1

A．a(chǎn)＜lB．a(chǎn)＜1且a≠0C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)≤1且a≠0

（山西省競賽試題）

8．某工程，甲隊獨(dú)做所需天數(shù)是乙、丙兩隊合做所需天數(shù)的a倍，乙隊獨(dú)做所需天數(shù)是甲、丙兩隊合

111

做所需天數(shù)的b倍，丙隊獨(dú)做所需天數(shù)是甲、乙兩隊合做所需天數(shù)的c倍，則的值

a1b1c1

是（）．

A．1B．2C．3D．4

（江蘇省競賽試題）

2

xx

9．已知關(guān)于x的方程（a2－1）2a710有實(shí)數(shù)根．

x1x1

（1）求a的取值范圍；

x1x23

（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且，求