PAGEPAGE2第9講函數模型及其應用[基礎達標]1．在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數據，現打算用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B．y＝eq\f(1,2)(x2－1)C．y＝log2x D．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x解析：選B.由題中表可知函數在(0，＋∞)上是增函數，且y的改變隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2．某工廠6年來生產某種產品的狀況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變，則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系圖象正確的是()解析：選A.前3年年產量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產量保持不變，故選A.3．一種放射性元素的質量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質量為最初質量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．5.2 B．6.6C．7.1 D．8.3解析：選B.設這種放射性元素的半衰期是x年，則(1－10%)x＝eq\f(1,2)，化簡得0.9x＝eq\f(1,2)，即x＝log0.9eq\f(1,2)＝eq\f(lg\f(1,2),lg0.9)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)＝eq\f(－0.3010,2×0.4771－1)≈6.6(年)．故選B.4．某單位為激勵職工節約用水，作出了以下規定：每位職工每月用水不超過10m3的，按每立方米m元收費；用水超過10m3的，超過部分加倍收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A．13m3 B．14m3C．18m3 D．26m3解析：選A.設該職工用水xm3時，繳納的水費為y元，由題意得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx（0<x≤10），,10m＋（x－10）·2m（x>10），))則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.5.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的隨意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠馬上成交(其他費用忽視不計)．假如他在t4時刻賣出全部商品，那么他將獲得的最大利潤是()A．40萬元 B．60萬元C．120萬元 D．140萬元解析：選C.甲6元時該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×2＝40萬元，乙4元時該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×2＝80萬元，共獲利40＋80＝120萬元，故選C.6.某地區要建立一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅實性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的范圍為()A．[2，4] B．[3，4]C．[2，5] D．[3，5]解析：選B.依據題意知，9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(2BC＋x)eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)>0，))得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x<6)，由y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≤10.5，解得3≤x≤4.因為[3，4]?[2，6)，所以腰長x的范圍是[3，4]．7．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的狀況．加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠起先累計行駛的路程．在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為________升．解析：因為每次都把油箱加滿，其次次加了48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35600－35000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.解析：設出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9，0＜x≤3，,8＋2.15（x－3）＋1，3＜x≤8，,8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x＞8，,))由y＝22.6，解得x＝9.答案：99．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．解析：M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，則eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，則eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104.即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．答案：61000010．(2024·杭州八校聯考)一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為________海里/小時時，總費用最小．解析：設每小時的總費用為y元，則y＝kv2＋96，又當v＝10時，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小時的總費用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時間為eq\f(10,v)小時，故總費用為W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48，當且僅當0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40時等號成立．故總費用最小時輪船的速度為40海里/小時．答案：4011．A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市平安，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？解：(1)x的取值范圍為10≤x≤90.(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因為y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，所以當x＝eq\f(100,3)時，ymin＝eq\f(50000,3).故核電站建在距A城eq\f(100,3)km處，能使供電總費用y最少．12.如圖，GH是一條東西方向的馬路，現打算在點B的正北方向的點A處建一倉庫，設AB＝y千米，并在馬路旁邊建立邊長為x千米的正方形無頂中轉站CDEF(其中邊EF在馬路GH上)．若從點A向馬路和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.(1)求y關于x的函數解析式；(2)假如中轉站四四周墻的造價為10萬元/千米，道路的造價為30萬元/千米，問x取何值時，修建中轉站和道路的總造價M最低？解：(1)由題意易知x>1，BC＝2x，又AB＝y，AC＝y－1，在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos60°，所以y＝eq\f(4x2－1,2（x－1）)(x>1)．(2)M＝30(2y－1)＋40x＝eq\f(120x2－30,x－1)－30＋40x，其中x>1，設t＝x－1，則t>0，所以M＝eq\f(120（t＋1）2－30,t)－30＋40(t＋1)＝160t＋eq\f(90,t)＋250≥2eq\r(160t·\f(90,t))＋250＝490，當且僅當t＝eq\f(3,4)時等號成立，此時x＝eq\f(7,4).所以當x＝eq\f(7,4)時，修建中轉站和道路的總造價M最低．[實力提升]1．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數)．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是()A．16小時 B．20小時C．24小時 D．28小時解析：選C.由已知得192＝eb，①48＝e22k＋b＝e22k·eb，②將①代入②得e22k＝eq\f(1,4)，則e11k＝eq\f(1,2)，當x＝33時，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×192＝24，所以該食品在33℃的保鮮時間是24小時．故選C.2．某類產品按工藝共分10個檔次，最低檔次產品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產最低檔次產品60件，每提高一個檔次將少生產3件產品，則每天獲得利潤最大時生產產品的檔次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：選C.由題意，當生產第k檔次的產品時，每天可獲利潤為y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當k＝9時，獲得利潤最大．選C.3．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．解析：因為m＝6.5，所以[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽車銷售公司在A、B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是________萬元．解析：設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))eq\s\up12(2)＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因為x∈[0，16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元．答案：435．某醫藥探討所開發的一種新藥，假如成年人按規定的劑量服用，據監測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿意如圖所示的曲線．(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式；(2)據進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間．解：(1)由題圖，設y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－a)，t＞1，))當t＝1時，由y＝4得k＝4，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4得a＝3.所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t＞1.))(2)由y≥0.25得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，))解得eq\f(1,16)≤t≤5.因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)(小時)．6．食品平安問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來肯定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭