專題17等腰三角形的判定

閱讀與思考

在學(xué)習(xí)了等腰三角形性質(zhì)與判定后，我們可以對等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納

總結(jié)．

1．等腰三角形的判定：

⑴從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；

⑵從角入手，證明一個三角形的兩個角相等．

2．證明線段相等的方法：

⑴當(dāng)所證的兩條線段位于兩個三角形，通過全等三角形證明；

⑵當(dāng)所證的兩條線段位于同一個三角形，通過等角對等邊證明；

⑶尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等．

善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，是解幾何題的一個常用技

巧．常見的構(gòu)造方法有：平分線+平行線、平分線+垂線、中線+垂線．如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，在△ABC中，AB=7，AC=11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，MF∥

AD，則CF的長為____________．

（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）

解題思路：角平分線+平行線易構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵是利用條件“中點(diǎn)M”．

A

F

BC

DM

【例2】如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，則AC與2AB之間的關(guān)系是（）

A．AC＞2ABB．AC＝2AB

C．AC≤2ABD．AC＜2AB

(山東省競賽試題)

解題思路：如何條件∠B=2∠C，如何得到2AB，這是解本題的關(guān)鍵．

A

BC

【例3】兩個全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在

一條直線上，連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MC，試判斷△EMC的形狀，并說明理由．

（山東省中考試題）

解題思路：從△ADE≌△BAC出發(fā)，先確定△ADB的形狀，為判斷△EMC的形狀奠定基礎(chǔ)．

B

M

D

EAC

【例4】如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交

AC于F，求證：AF=EF．

（天津市競賽試題）

解題思路：只需證明∠FAE=∠AEF，利用中線倍長，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形．

A

F

E

B

DC

【例5】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在邊AB上取點(diǎn)D，使AD=BC，求∠BDC度

數(shù)．

（“祖沖之杯”競賽試題）

解題思路：由條件知底角為300，這些角并不是特殊角，但它們的差卻為600，600使我們聯(lián)想到等

邊三角形，由此找到切入口．

如圖1，以BC為邊在△ABC內(nèi)作等邊△BCO；如圖②，以AC為邊作等邊△ACE．

AA

A

DD

DE

O

BC

B

B圖1C

C圖2

能力訓(xùn)練

A級

1．已知△ABC為等腰三角形，由頂點(diǎn)A所引BC邊的高線恰等于BC邊長的一半，則

∠BAC=__________．

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以點(diǎn)C為中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，頂

點(diǎn)B在斜邊A′B′上，A′C與AB相交于D，則∠BDC=_________．

A′

A9

A5

D9

D

BF

1

BEC

B′C

(第2題)(第3題)(第4題)

3．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，F(xiàn)D⊥AB于D，則AD=_______．

（天津市競賽試題）

4．如圖，一個六邊形的六個內(nèi)角都是1200，其連續(xù)四邊的長依次是1cm，9cm，9cm，5cm，

那么這個六邊形的周長是____________cm．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

5．如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上兩點(diǎn)，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，則圖中

等腰三角形共有（）

A．3個B．4個

C．5個D．6個

4442244422

6．若△ABC的三邊長是a，b，c，且滿足abcbc，bacac，

c4a4b4a2b2，則△ABC（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形

（“希望杯”邀請賽試題）

7．等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）

A．300B．300或1500C．1200或1500D．300或1200或1500

（“希望杯”邀請賽試題）

8．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰

三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（）

A．2個B．4個C．6個D．8個

（江蘇省競賽試題）

A

C

AGD

E

CAB

BBDECF

第5題圖第8題圖第9題圖

9．如圖在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC

交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF交AD于G．

⑴求證：AD⊥CF；

⑵連結(jié)AF，度判斷△ACF的形狀，并說明理由．

10．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD．

（天津市競賽試題）

A

B

CD

11．如圖，已知△ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn)D，使得△CDE是等邊三

角形，如果M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，求證：△CMN是等邊三角形．

（江蘇省競賽試題）

D

M

B

N

ECA

12．如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交

CB于點(diǎn)F．

CC

FF

EEE′

BAB

ADDA′D′

圖1圖2

⑴求證：CE=CF；

⑵將圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使點(diǎn)E′落在BC邊上，其他條件不變，如

圖2所示，試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

（山西省中考試題）

B級

1．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，則∠B：∠C的值=__________．

AA

B

BDCDEC

(第1題)(第2題)

2．如圖，△ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，則∠

BAC的度數(shù)是____________．

3．在等邊△ABC所在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)

的點(diǎn)P有_________個．

4．如圖，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別

交AD、CF于Q、S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（）

A．2B．3C．4D．5

D

A

FN

PE

SEA2

QC

BAM

DCA1A3

AB

(第4題)第題

第5題(6)

11

5．如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，則∠D=（）

22

A．300B．450C．600D．67.50

（“希望杯”競賽試題）

0

6．如圖，∠MAN=16，A1點(diǎn)在AM上，在AN上取一點(diǎn)A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一點(diǎn)A3，

使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止，那么作出的最后一點(diǎn)是（）

A．A5B．A6C．A7D．A8

7．若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，則點(diǎn)P叫作△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，

如圖1．

AAB′

P

BCBC

圖1圖2

⑴若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，則PB的值為_____．

⑵如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)P，且

BB′=PA+PB+PC．

（湖州市中考試題）

8．如圖，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別是∠

BAC、∠ABC的角平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

A

Q

C

BP

9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，過M作ME∥AD交BA延長線

1

于E，交AC于F，求證：BE=CF=(AB+AC)．

2

（重慶市競賽試題）

E

A

F

B

DMC

10．在等邊△ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE

是什么三角形？證明你的結(jié)論．

（《學(xué)習(xí)報》公開賽試題）

1

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：yxm與x軸、y軸的正半軸分

2

別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)C(－4，－4)作平行于y軸的直線交AB于點(diǎn)D，CD=10．

⑴求直線l的解析式；

⑵求證：△ABC是等腰直角三角形；

⑶將直線l沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時，直線與x，y軸分別相交于點(diǎn)A′、B′，在直

線CD上存在點(diǎn)P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（寧波市江東區(qū)模擬題）

y

DB

x

OA

C

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A(4，4)．

⑴求B點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵如圖2，若C為x軸正半軸上一動點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=900，連接

OD，求∠AOD度數(shù)；

⑶如圖3，過點(diǎn)A作y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作

AMFM

等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連接FM，等式=1是否成立？若成立，請

OF

證明；若不成立，說明理由．

yyy

AAA

E

F

BxCBxBx

OOOM

DG

H

圖1圖2圖3

專題17等腰三角形的判定

例1延長MF，BA交于E，延長FM至點(diǎn)P，使MP=MF，連BP，則△BMP≌△CMF，∴BP=CF.

∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即

11

AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)=(7+11)=9.

22

例2D

例3提示：△EMC為等腰直角三角形，連AM，易證：△ADE≌△BAC.∴AD=AB，

又∠DAB=90°.又∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，∴AM⊥DB且DM=BM=AM.

又∵∠MDE=∠MAC=105°，

∴△EDM≌△CAM.∴EM=MC，∠DME=∠AMC，

∴∠DME+∠EMA=∠AMC+∠EMA=90°.

∴△EMC為等腰直角三角形.

例4延長AD至G，使DG=AD，連接BG.

由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.

∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，

∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，

故AF=EF.

A

F

E

BDC

G

例5提示：結(jié)合圖1，給出解答過程.

由圖形的軸對稱性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=

∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO=AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.

A級

1.90°或75°或15°2.72°3.24.37

5.D6.D提示：將三式相加7.D8.C

9.⑴先證△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，

∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.

⑵△ACF為等腰三角形.

10.提示：延長DB至E，使BE=AB，連結(jié)AE，證明∠E=∠C，AC=AE.

11.提示：證明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.

12.⑴提示：先證明∠CEF=∠CFE.

⑵作EG⊥AC于G，證明△CEG≌△BE′D′，可得