專題22關于中點的聯想

閱讀與思考

線段的中點把線段分成相等的兩部分，圖形中出現中點，可以引起我們豐富的聯想：首先它和三角形

的中線緊密聯系；若中點是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結論；

其次，中點又與中位線息息相關；另外，中點還可以與中心對稱相連．

解答中點問題的關鍵是恰當地添加輔助線，如作中線倍長、作直角三角形的斜邊上的中線、構造三角

形、梯形中位線、構造中心對稱圖形等，如圖所示：

例題與求解

【例1】如圖，△ABC邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP

⊥AD，M為BC的中點，則PM的值為___________．(安徽省競賽試題)

解題思路：∠A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過作輔助線，點P可變為某線段的中點，利

用三角形中位線定理解題．

【例2】如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF

∥AB，線段CF，DH的中點分別為M，N，則線段MN的長度為()(北京市競賽試題)

101717210

A．B．C．D．

2233

解題思路：連接CG，取CG的中點T，構造三角形中位線、梯形中位線．

【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長AB到D，使BD＝AB，E為AB中點，連接CE，CD，

求證：CD＝2EC．(寧波市競賽試題)

解題思路：圖形中有兩個中點E，B，聯想到與中點相關的豐富知識，將線段倍分關系的證明轉化為

線段相等關系的證明，關鍵是恰當添加輔助線．

例3圖

【例4】如圖1，P是線段AB上一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，

PD＝PB，連接CD，點E，F，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點，順次連接E，F，G，H．

(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；

(2)當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，(1)中

的結論還成立嗎？說明理由；

(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，

并說明理由．（營口市中考試題）

圖①圖②圖③

解題思路：結論隨著條件的改變也許發生變化，但解決問題的方法是一致的，即通過連線，為三角形

中位線定理的應用創造條件．

【例5】如圖，以△ABC的AB，AC邊為斜邊向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，

M是BC的中點，求證：DM＝EM．（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：顯然△DBM不全等于△ECM，必須通過作輔助線，構造全等三角形證明DM＝EM．

例5圖

【例6】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高CH與△ABC的兩條內角平分線AM，BN

分別交于P，Q兩點，PM，QN的中點分別為E，F，求證：EF∥AB．（全國初中數學聯賽題）

解題思路：從圖形的形成過程，逐步探索相應結論．將原問題分解為多個小問題．

例6圖

○能○力○訓○練

A級

1．如圖，若E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是____________．

(1)如果把條件中的四邊形ABCD依次改為矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他條件不變，那么所

得的四邊形EFGH分別為_______________________；

(2)如果把結論中的平行四邊形EFGH依次改為矩形、菱形、正方形，那么原四邊形ABCD應具備的

條件是_______________________．（湖北省黃岡市中考試題）

第1題圖第2題圖

2．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF＝2，ED＝3，

GC＝4，則△ABC的周長為_______________．(重慶市競賽試題)

3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E是AC的中點，若BC＝16，DE＝5，則AD＝

______________．（南京市中考試題）

4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點，D，E為BC上的點，連接DN，

EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，則圖中陰影部分的面積為________________．

（北京市中考試題）

第3題圖第4題圖第7題圖

5．A′，B′，C′，D′順次為四邊形ABCD的各邊的中點，下面條件中使四邊形A′B′C′D′為正方形的條件

是（）

A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形

C．四邊形ABCD是等腰梯形D．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD

6．若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為8cm，則該等腰梯形的面積為（）

A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm2

7．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是BD，AC的中點，若AD＝6cm，BC＝18cm，則EF

的長為（）

A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm

8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，則EF＋GH＝

（）

A．40B．48C．50D．56（泰州市中考試題）

第8題圖第9題圖

1

9．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于點D，M是BC的中點，求證：DM＝AB．

2

10．如圖，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于點P，

Q，求證：AP＝AQ．

第10題圖

11．在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是

正方形．AE的中點是M．

（1）如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH；

（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）

(2009年河北省中考試題)

G(N)FG

FHNFG

N

H

H

BC

ABC(M)DEACAB

圖D

1MDM

E

圖2E圖3

12．在六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分別

是邊AB，BC，DE，EF的中點，A1D1＝B1E1．求證：∠CDE＝∠AFE．

第12題圖

B級

1．如圖，正方形ABCD兩條對角線相交于點E，∠CAD的平分線AF交DE于點G，交DC于點F，

若GE＝24，則FC＝_________________．

2．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點F，M，N分別是AB，CD的中點，MN分別交

BD，AC于點P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，則AC＝_________．（重慶市競賽試題）

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC為邊分別向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，

M為AD的中點，N為AE的中點，P為BC的中點，則∠MPN＝_________．（北京市競賽試題）

4．如圖，已知A為DE的中點，設△DBC，△ABC，△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3

之間的關系是（）

3113

A．S2＝(S1＋S3)B．S2＝(S3―S1)C．S2＝(S1＋S3)D．S2＝(S3―S1)

2222

5．如圖，在圖形ABCD中，AB∥DC，M為DC的中點，N為AB的中點，則()

11

A．MN＞(AD＋BC)B．MN＜(AD＋BC)

22

11

C．MN＝(AD＋BC)D．無法確定MN與(AD＋BC)的關系

22

第4題圖第5題圖第6題圖第7題圖

6．如圖，凸四邊形ABCD的面積是a，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，那么圖中的

陰影部分的面積為()

1111

A．aB．aC．aD．a

8642

（江蘇省競賽試題）

7．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA，CB到點E，F，使DE＝DF，過E，F分別

作CA，CB的垂線，相交于點P．求證：∠PAE＝∠PBF．（全國初中數學聯賽試題）

8．如圖，銳角△ABC中，作高BD和CE，過頂點B，C分別作DE的垂線BF和CG，求證：EF＝

DG．

（全俄奧林匹克數學競賽試題）

第8題圖

9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且∠MDN＝

1

90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝(AB2＋AC2)．（北京市競賽試題）

4

第9題圖

10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如圖1，連接DE，設M為

DE的中點．

(1)求證：