數學學科試題卷出卷人：馮葉審核人：何杭杰85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據正弦函數的性質求出集合，即可求交集.【詳解】由可得，，所以，所以，又，所以，故選：C.2.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求點到坐標原點的距離，結合三角函數定義求結論.【詳解】因為點的坐標為，所以點到原點的距離，所以.故選：D.3.命題：，的否定是（）A.，B.，第1頁/共14頁C.，D.，【答案】D【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接判斷即可.【詳解】命題“，”全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：D.4.，，，則下列正確的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據對數的定義可得，根據指數函數單調性可得，，即可得結果.【詳解】因為，，，即，所以.故選：B.5.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和正弦和余弦公式及同角三角函數的基本關系式可化簡三角函數式.【詳解】原式．故選：C.6.函數的大致圖象是（）第2頁/共14頁A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的奇偶性及函數值的符號排除即可判斷；【詳解】因為，即，所以，所以函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除；當時，，即，因此，故排除A.故選：D.7.“”是“函數在區間上單調遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】在區間合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】二次函數圖象的對稱軸為，若函數在區間上單調遞增，第3頁/共14頁根據復合函數的單調性可得，即，若，則，但是，不一定成立，故“”是“函數在區間上單調遞增”的充分不必要條件．故選：A8.對于函數與點是函數的一對“隱對稱點”.若函數的圖象存在“隱對稱點”，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】轉化為方程的零點問題，再結合基本不等式即可求解.【詳解】由隱對稱點的定義可知函數的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與函數的圖象關于原點對稱，令，則，所以，所以，因為，又，所以函數的圖象存在“隱對稱點”等價于與在上有交點，即方程有零點，則，第4頁/共14頁又，當且僅當，即等號成立，所以.故選：.“隱對稱點”與在上有交點的問題，從而求解.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列函數中，是奇函數且在區間上是減函數的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據給定的條件，逐一分析各選項中函數的奇偶性及在上的單調性作答.【詳解】對于A，函數的定義域為，是增函數，A不是；對于B，函數的定義域為，是奇函數，并且在上單調遞減，B是；對于C，函數的定義域為，是奇函數，并且在上單調遞減，C是；對于D，函數的定義域為，是偶函數，D不是.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.若不等式的解集為，則C.當時，的最小值是5第5頁/共14頁D.函數（，且）過定點【答案】BD【解析】ABCD的指數等于0即可判斷．A；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A不正確；對于B，由題意可知，，2是的兩根，且，則，解得，，則，故B正確；對于C，因為，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，顯然等號不成立，故C不正確；對于D，令，則，所以，所以函數過定點，故D正確．故選：BD.已知函數，是（）A.B.C.D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】作出函數圖象，結合圖象可得的范圍，再由，即可求得的取值范圍?！驹斀狻扛鶕}干可畫出函數圖象，如下圖：第6頁/共14頁根據圖象可知，，根據得不出，所以選項A正確，B錯誤；由于，所以，即，所以，又在單調遞增，因此，所以選項C正確；由于，所以，所以，又在上單調遞增，所以，所以選項D正確。故答案為：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知實數，滿足，則的值為________．【答案】【解析】【分析】通過指對互化，結合對數換底公式完成計算.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：.13.函數的定義域為_____．【答案】【解析】【分析】根據函數有意義求解即可.第7頁/共14頁【詳解】由，解得，所以函數的定義域為.故答案為：.14.若正實數滿足：則最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據三元均值不等式求最值.【詳解】因為所以，即時取等號）因此即即當時，取最小值，，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算：（1）.（2）若，求的值.【答案】（1）4（2）【解析】第8頁/共14頁1）根據對數恒等式及對數的運算性質計算即可；（2）運用誘導公式進行化簡，在進行齊次化即可求解.【小問1詳解】【小問2詳解】因為，所以又因為所以16.已知函數.（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）求函數在區間上的最小值和最大值.【答案】（1）最小正周期為，單調遞增區間為（2）最小值為,最大值為【解析】1）根據三角函數周期公式求周期，根據余弦函數單調區間列不等式，可得結果；（2）先確定取值范圍，再根據余弦函數性質求最值.【小問1詳解】所以函數的最小正周期為，第9頁/共14頁由得即函數最小正周期和單調遞增區間為；【小問2詳解】因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為因此當時，取最小值，為，當時，取最大值，為.17.已知函數（其中ab為常量，且，，．（1）求函數的解析式．（2）若不等式在實數R上恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）將兩個點坐標代入函數解析式即可；（2）變換得到，設，計算函數的最大值即可.【小問1詳解】因為函數過，，第10頁/共14頁則，，解得，，或，故；【小問2詳解】因為，即，令，，則，所以，設，則，所以，故實數的取值范圍.18.兩縣城和相距，現計劃在縣城外以為直徑的半圓?。ú缓?，兩點）上選擇一點建造垃圾處理站，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為；對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為.對城和城的總影響度為城和城點到城市的距離為處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為.統計調查表明：當垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為.（1）將表示成的函數；（2）判斷弧上是否存在一點，使得建在此處的垃圾處理廠對城和城的總影響度最??？若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在；出該點到城的距離為【解析】第11頁/共14頁1和城的總影響度為求出即可；（2）由（1）得，令，換元后由基本不等式求解即可；【小問1詳解】由為直徑，得，所以，由已知可得，又當垃圾處理廠建在的中點時，對城和城的總影響度為，即當時，，代入上式可得，解得，所以.【小問2詳解】存在，，令，則，因為，當且僅當即時取等號，所以，此時.19.俄國數學家切比雪夫（1821—1894）是研究直線逼近函數的理論先驅．對定義在非空集合上的函數，以及函數，切比雪夫將函數的最大值稱為的“偏差”．（1）函數，求的“偏差”；第12頁/共14頁（2）函數，若的“偏差”為2，求的值；（3的“偏差”“偏差”的最小值．【答案】（1）3（2）（3）時，函數與的“偏差”取最小值.【解析】1）寫出的解析式，結合，求出值域，可得偏差為3；（2）和分類討論，由“偏差”值得到的值；（3與的“偏差”為出即可得.【小問1詳解】（1），因為，所以，則，所以函數與的“偏差”為.小問2詳解】令，∵，∴是單調減函數，∴由題意，，，且.第13頁/共14頁當，即時，，解得