2024年高考數學第一次模擬考試數學（廣東卷01）全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再根據交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：A.2．已知為虛數單位，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按復數的除法進行運算即可.【詳解】由題意：.故選：B.3．已知，是單位向量，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知可推得，進而即可求出投影向量.【詳解】根據已知可得，所以，.所以，在上的投影向量為.故選：D.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，利用正切的倍角公式，求得，再結合誘導公式、三角函數的基本關系式和兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】因為，所以，解得或，因為，所以，所以.故選：A．5．三位同學參加某項體育測試，每人要從跑、引體向上、跳遠、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出三個同學選擇兩個項目的試驗的基本事件數，再求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件含有的基本事件數，即可列式作答.【詳解】三個同學選擇兩個項目的試驗的基本事件數有個，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的事件含有的基本事件數有個，所以有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率.故選：C6．為落實黨的二十大提出的“加快建設農業強國，扎實推動鄉村振興”的目標，銀行擬在鄉村開展小額貸款業務．根據調查的數據，建立了實際還款比例關于還款人的年收入（單位：萬元）的模型：．已知當貸款人的年收入為9萬元時，其實際還款比例為50%．若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入約為（

）（參考數據：，）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】D【分析】根據題意將代入模型中求出的值，再將代入可求得答案【詳解】由題意得當時，，則，得，所以，得，所以，當時，，得，所以，所以，解得，所以當銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入約為5萬元，故選：D7．設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數利用導數研究其單調性比大小即可.【詳解】令，，∴，∴在上單調遞增，，∴；令，，，設，，則，即單調遞減，∴∴，即在單調遞減，故，∴，∴.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是觀察各式子的形式，構造函數與，從而利用導數即可得解.8．設拋物線的準線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于，兩點．設線段的中點為，過點作軸的平行線交拋物線于點．已知的面積為2，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用拋物線的圖象與性質、直線方程、一元二次方程根與系數的關系、三角形面積公式運算即可得解.【詳解】解：

如上圖，由題意，拋物線的準線為，可得．∵直線與拋物線交于，兩點，∴直線的斜率存在且不為，∴設直線方程為，將其代入，化簡并整理得：．由，得．設，，則，，∴．∵是的中點，∴．過點平行軸的直線為，與拋物線交點為知，所以．又∵，則，∴的面積．由已知條件知，∴，解得（滿足），解得：.∴直線的方程為，即，∴直線的斜率為．故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（

）A．若隨機變量服從正態分布，且，則B．一組數據的第60百分位數為14C．若線性相關系數越接近1，則兩個變量的線性相關性越強D．對具有線性相關關系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數的值是－4【答案】ACD【分析】根據正態分布概率性質計算判斷A，由百分位數定義計算判斷B，根據相關系數的概念判斷C，把中心點代入回歸方程求解后判斷D．【詳解】選項A，由已知，因此，A正確；選項B，總共有10個數，由于，因此第60百分位數為，B錯；選項C，線性相關系數越接近1，兩個變量的線性相關性越強，越接近0，兩個變量的線性相關性越弱，C正確；選項D，由已知，解得，D正確．故選：ACD．10．已知函數的部分圖象如圖所示.則（

）

A．B．在區間內有兩個極值點C．函數的圖象向右平移個單位長度可以得到函數的圖象D．A，B，C是直線與曲線的從左至右相鄰的三個交點，若，則【答案】ABD【分析】結合“五點法”求出解析式，判斷A，求出極值點判斷B，利用圖象變換求得判斷C，結合函數周期分類討論確定點橫坐標（取特殊情形），計算后判斷D.【詳解】A.由的部分圖象可知，，可得，所以，由五點作圖法可得，解得，，又，所以，所以函數的解析式為，故A正確；B.令得，，所以在區間上有和兩個極值點，故B正確；C.函數的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，故C錯誤；D..若，不妨設A，B，C的位置如圖1所示，

圖1則，，同理時，如圖2，，，所以，故D正確.

圖2故選：ABD.11．已知正方體的棱長為，為底面內（包括邊界）的動點，則下列結論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點，使得平面C．若，則P點在正方形底面內的運動軌跡長為D．若點是的中點，點是的中點，經過三點的正方體的截面周長為【答案】AC【分析】根據等體積法可計算出三棱錐的體積，可判斷選項A，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標與向量的坐標，設，根據垂直得向量數量積為列式，從而判斷選項BC，作出過三點的正方體的截面，計算周長即可判斷選項D．【詳解】對于A，由等體積法，三棱錐的高等于，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，，，，，，，，，，，若平面，則，，則，，解得，不符合，故B錯誤；

對于C，，若，，即，所以點的軌跡就是線段，軌跡長為，故C正確；對于D，連接PQ并延長交DC的延長線于，連接交于，連接QF，延長QP交DA的延長線于，連接交于，連接PE，則五邊形即為經過三點的正方體的截面，如圖：

正方體的棱長為2，則，則為等腰直角三角形，則，根據得，，則，則，，同理可得，而，則五邊形的周長為，故D錯誤．故選：AC．12．已知非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，為偶函數，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據為奇函數可求出判斷A，再由為奇函數，為偶函數求出可得周期，據此可判斷B，根據函數的周期可求的周期判斷CD.【詳解】因為非常數函數及其導函數的定義域均為，若為奇函數，則，則的圖象關于點對稱，且，故A錯誤；因為為偶函數，所以，即，則，又，所以，所以，即，所以，故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；對兩邊同時求導，得，所以導函數的周期為8，所以，故C正確；由周期，得，，對兩邊同時求導，得，令，得，所以，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中項的系數為．【答案】80【分析】只需6個因式中3個因式取、3個因式取或2個因式取、1個因式取、3個因式取1，根據組合知識得到答案.【詳解】可以看成6個因式相乘，所以的展開式中含的項為3個因式取、3個因式取或2個因式取、1個因式取、3個因式取1，所以的展開式中含項的系數為．故答案為：8014．已知，，，則的最小值為．【答案】/4.5【分析】根據條件消去，再利用“1”的變形技巧，結合均值不等式求解即可.【詳解】由可得，解得，又，所以，則，當且僅當，即時等號成立.故答案為：15．對于函數，若關于x的方程恰有3個不同的實根,,，則.【答案】/【分析】作出函數的圖像，由圖像可得，，即可得出答案.【詳解】由題意，作出函數的圖象，如圖所示，

若關于x的方程恰有3個不同的實根,,，不妨設，則，此時，又，則，所以.故答案為：.16．在數列中，下列說法正確的是．①若，則一定是遞增數列;②若則一定是遞增數列；③若，則對任意，都存在，使得④若，且存在常數，使得對任意，都有則的最大值是．【答案】②③【分析】對于①，利用構造法得到為等比數列，假設，得到，得到此時為單調遞減數列；對于②，得到，證明出，故得到②正確；對于③，推出，故為遞增數列，③正確；對于④，當時，，由推出時，，故④錯誤.【詳解】對于①，，故，所以為等比數列，公比為2，若，則數列的首項為，故，，由于在R上單調遞減，此時為單調遞減數列，①錯誤；對于②，，令，當時，恒成立，當時，，故恒成立，當時，，故在單調遞增，故，綜上，恒成立，故一定是遞增數列，②正確；對于③，，因為，所以，，……，以此類推，可得為遞增數列，且時，，故對任意，都存在，使得，③正確；對于④，，當時，，又，故，此時為遞增數列，且，故不存在常數，使得對任意，都有④錯誤.故答案為：②③四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）已知的內角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的長.【詳解】（1）由得， 2分由余弦定理，又，所以； 4分（2）因為，所以， 6分設，則，整理得，解得或（舍去）， 8分所以， 9分則. 10分18．（12分）從①，②兩個條件中任選一個填入橫線上，并解答下列問題．已知正項等差數列的前項和為，且________．(1)證明：數列為等差數列．(2)若，證明：．注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分．【詳解】（1）選①設的公差為，由，得， 1分則，則，或（舍去） 3分， 5分所以數列是首項為，公差為的等差數列． 6分選②設的公差為，由，得， 1分則，則，或（舍去） 3分， 5分所以數列是首項為，公差為的等差數列． 6分（2）． 7分因為，所以，解得或（舍去）． 8分， 10分所以． 12分19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，且，，，以為直徑的圓經過點.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【詳解】（1）以為直徑的圓經過點，， 1分四邊形為矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面， 3分平面，，又平面，平面，，，平面，平面； 5分（2）平面，又平面，平面，，，又，，則、、兩兩互相垂直，以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 7分

，，，，在中，由勾股定理得， 8分則點，，，，，則，，，.設平面的法向量為，則得，取，，平面的法向量為，，取， 10分設平面與平面的夾角為，則， 11分所以平面與平面夾角的余弦值為. 12分20．（12分）已知函數(1)求的極值；(2)證明：當時，．【詳解】（1）函數的定義域為，， 1分由可得，，解得，由可得，，解得， 3分所以函數在單調遞增，單調遞減， 4分所以的極大值為，無極小值. 5分（2）若證，即證，即證， 6分設，，令恒成立，所以在上單調遞減， 8分又，所以存在唯一，使得， 9分所以當時，，則，函數單調遞增，當時，，則，函數單調遞減，所以， 11分所以. 12分21．（12分）佛山嶺南天地位于禪城區祖廟大街2號，主要景點有龍塘詩社、文會里嫁娶屋、黃祥華如意油祖鋪、李眾勝堂祖鋪、祖廟大街等，這里的每一處景色都極具嶺南特色，其中龍塘詩社和祖廟大街很受年輕人的青睞.為進一步合理配置旅游資源，現對已在龍塘詩社游覽的游客進行隨機問卷調查，若繼續游玩祖廟大街景點的記2分，若不繼續游玩祖廟大街景點的記1分，每位游客選擇是否游覽祖廟大街的概率均為，游客之間的選擇意愿相互獨立.(1)從游客中隨機抽取3人，記總得分為，求的分布列與數學期望；(2)（ⅰ）若從游客中隨機抽取人，記總得分恰為分的概率為，求數列的前10項和；（ⅱ）在對所有游客進行隨機問卷調查過程中，記已調查過的累計得分恰為分的概率為，探討與之間的關系式，并求數列的通項公式.【詳解】（1）的可能取值為3，4，5，6.，，，. 2分所以的分布列如下：3456則. 4分（2）（ⅰ）總分恰為的概率，所以數列是首項為，公比為的等比數列， 5分前10項為. 7分（ⅱ）已調查的累計得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得到分，再得