第=page11頁，共=sectionpages11頁山西省太原市2025年高考數學模擬試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算1+ii的結果是(

)A.?1?i B.1?i C.1+i D.?1+i2.已知集合A={x||x|<1}，B={x|x2?2x<0}，則A∪B=A.(?1,0) B.(0,1) C.(?1,2) D.(?2,1)3.已知向量a=(2,1),b=(m,?1)，且a/?/(a?A.1 B.?1 C.2 D.?24.已知a=32，b=log23，A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b5.已知△ABC的三條邊長分別為3，4，5，△ABC的兩個頂點是橢圓E的焦點，其另一個頂點在橢圓E上，則E的離心率的最大值為(

)A.13 B.12 C.576.將函數f(x)=sin(2x+θ)(?π2<θ<π2)的圖象先向左平移π6A.?π6 B.π6 C.?7.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=4a4A.a5=10 B.S5=15 C.8.已知函數f(x)=|x3?m|+(x?1)x2有三個零點，則實數A.(?127,0)∪(0,1) B.(?127,0)∪(0,1)∪(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知樣本數據x1，x2，…，x5的平均數為3，方差為3，樣本數據y1，y2，…，y10的平均數為3A.數據2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均數為7

B.數據2y1?1，2y2?1，…，2y10?1的方差為11

C.數據x1，x2，…，x5，y1，y2，…，10.已知函數f(x)=lnx2?x+(x?1)3，若0<A.f(x1)<f(x2) B.f(11.已知動點P(x,y)到點F(0,1)和直線y=4的距離和為5，記其軌跡為曲線C.點M(x1,y1)，N(x2A.曲線C的方程為y=?116x2+5

B.對于任意a∈R，都存在點M，N，使得|AM|=|AN|成立

C.當y1≠y2時，若點M，N關于點A對稱，則a∈[52,4)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?2y)5的展開式中x2y313.已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，球O與該圓臺的上、下底面及其側面都相切，則球O的表面積為______．14.對于數列{an}稱{Δan}為數列{an}的1階商分數列，其中Δan=an+1an；稱{Δkan}為數列{an}四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C的對邊，且(a+b)(a?b)=c(a?c)．

(1)求B；

(2)若D是邊AC上一點，且AD=2DC，cosC=35，求tan∠CBD16.(本小題15分)

已知函數f(x)=x?alnx，a∈R．

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)當x∈(0,+∞)時，若f(x)≥cos(x?1)恒成立，求a的值．17.(本小題15分)

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，DE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，△BCF是等邊三角形．

(1)求證：AD⊥EF；

(2)若DE=23，點G是線段BF上一點，二面角D?AG?E的余弦值為15，求18.(本小題17分)

已知圓O：x2+y2=1，點F(2,0)，動點M(x,y)，以MF為直徑的圓與圓O相外切，記點M的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)設點A(2,3)，P(t,0)，Q(2?t,0)(12<t<1)直線AP，AQ分別與曲線C交于點S，T(點S異于點A)．

①求證：直線ST過定點；

②若19.(本小題17分)

某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規則如下：

①顧客在該商場內的消費額每滿100元，可獲得1張獎券；

②每張獎券可以進行1次抽獎活動，即從裝有4個白球、2個紅球的盒子中，隨機摸取1個球(每個球被摸到的可能性相同).獎勵規則：若摸出白球，則沒有中獎，摸出的白球放回原盒子中，本張獎券抽獎活動結束；若摸出紅球，則中獎，獲得禮品1份，且摸出的紅球不放回原盒子中，同時得到一次額外的抽獎機會(該抽獎機會無需使用新的獎券)，繼續從當前盒子中隨機摸取1個球，其獎勵規則不變；

③從第二張獎券開始，使用每張獎券抽獎時均在前一張獎券抽獎活動的基礎上進行；

④若顧客獲得2份禮品(即該顧客將2個紅球都摸出)或使用完所獲獎券，則該顧客本次購物的抽獎活動結束．

(1)顧客甲通過在商場內消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“甲使用第2張獎券抽獎，中獎”的概率；

(2)顧客乙通過在商場內消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“乙獲得第2份禮品時，共使用了3張獎券”的概率；

(3)顧客丙消費了1000元，設X表示顧客丙在這次抽獎活動中所使用獎券的數量，求X的分布列及其期望E(X)．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：復數1+ii=(1+i)ii2=?(?1+i)=1?i

故選2.【答案】C

【解析】解：由A={x||x|<1}={x|?1<x<1}，

B={x|x2?2x<0}={x|0<x<2}，

得A∪B={x|?1<x<2}．

故選：C．

解不等式確定集合A，B3.【答案】D

【解析】解：∵a=(2,1),b=(m,?1)，

∴a?b=(2,1)?(m,?1)=(2?m,2)，

由a/?/(a?b)，得2×2?1×(2?m)=04.【答案】B

【解析】解：由b=log23>log28=32，即b>a，

a=32=log3332=log35.【答案】C

【解析】解：已知△ABC的三條邊長分別為3，4，5，因為32+42=52，所以△ABC是直角三角形．

設△ABC的兩個頂點為橢圓E的焦點，另一個頂點在橢圓E上．

情況一：若焦距2c=5，則橢圓上一點到兩焦點距離之和2a=3+4=7．

此時離心率e3=ca=2c2a=57．

情況二：若焦距2c=3，則橢圓上一點到兩焦點距離之和2a=4+5=9．

此時離心率e1=ca=2c2a=6.【答案】C

【解析】解：函數f(x)=向左平移π6個單位，再向上平移1個單位后，

得到g(x)=sin(2(x+π6)+θ)+1=sin(2x+π3+θ)+1．

當x=π4時，g(π4)=sin(2?π4+π3+θ)+1=2，

即sin(56π+θ)=1，

則5π6+θ=π2+2kπ，其中k∈Z7.【答案】B

【解析】解：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，

因為S5=4a1?1，所以5a1+5(5?1)2d=4(a1+3d)?1，

得到5a1+10d=4a1+12d?1，即a1=2d?1，

因為{2Snan}是以1為公差的等差數列，所以2S2a2?2S1a1=1，

則2(2a1+2(2?1)2d)a8.【答案】A

【解析】解：令f(x)=0?|x3?m|=(1?x)x2≥0，

則x≤1，兩側平方得(x3?m)2=(x2?x3)2，

即2x5?2mx3?x4+m2=0，

所以(2x3?x2?m)(x2?m)=0，

對于y=2x3?x2且x≤1，

有y′=6x2?2x=2x(3x?1)，

x∈(?∞,0)∪(13,1]時，y′>0，

即y=2x3?x2在(?∞,0),(13,1]上單調遞增，

x∈(0,13)時，y′<0，

即y=2x3?x2在(0,13)上單調遞減，

當x=0時，有y=0；當x=13時，有y=227?19=?127；當x=1時m，有y=1，

所以在(?∞,0)上值域為(?∞,0)，

在(0,13)上值域為(?127,0)，

在(13,1]上值域為(?127,1]；

當m<0時，x2?m>0，

則m=2x3?x2有三個根，則?9.【答案】ACD

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于A，樣本數據x1，x2，…，x5的平均數為3，則數據2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均數為2×3+1=7，A正確；

對于B，樣本數據y1，y2，…，y10的方差為6，則數據2y1?1，2y2?1，…，2y10?1的方差為22×6=24，B錯誤；

對于C，數據x1，x2，…，x5，y1，y2，…，y10的平均數為5×3+3×105+10=3，C正確；

對于D，數據x110.【答案】AB

【解析】解：由x2?x>0，解不等式可得0<x<2，函數f(x)的定義域為(0,2)，

因為x∈(0,2)，所以2x(2?x)>0，3(x?1)2≥0，則f′(x)=2x(2?x)+3(x?1)2>0，

函數f(x)在(0,2)上單調遞增；

A：已知0<x1<x2<2，因為函數f(x)在(0,2)上單調遞增，

所以f(x1)<f(x2)，故A正確；

B：由0<x1<x2<2且x1+x2<2，可得0<x1<2?x2<2，

因為函數f(x)在(0,2)上單調遞增，所以f(x1)<f(2?x2)，故B正確；

C：由0<x1<x2<2且x11.【答案】BCD

【解析】解：根據題意，列方程：x2+(y?1)2+|y?4|=5．

當y>4時，化簡可得：y=?116x2+5；

當y≤4時，化簡可得：x2=4y，

所以選項A錯誤．

根據A，作出曲線C如下：

可知曲線C關于y軸對稱，因此對于任意a∈R，都存在點M，N，

只要y1=y2，x1+x2=0，就能使得|AM|=|AN|成立，所以選項B正確；

由于y1≠y2，因此M，N一定分別在y=?116x2+5(y>4)和x2=4y(y<4)上．

設N(?x1,x124)，M(x1,?x1216+5)(?4<x1<4)，那么2a=x124?x1216+5=3x1216+5，

由于0≤x12<16，因此5≤2a<8?52≤a<4，所以選項C正確；

如果y1=y2，因為M，N關于A(0,a)對稱，所以當M，N分別對應點(4,4)12.【答案】?80

【解析】解：根據二項式定理可得展開式中含x2y3的項為C53x2(?2y)3=?80x2y3，

13.【答案】12π

【解析】解：設圓臺的高為?，球O的半徑為R，作出圓臺的軸截面如圖所示，

，

已知圓臺的上、下底面半徑分別為r=1，R0=3，圓臺母線長l，

則?=2R，

由球與圓臺側面相切，得OE⊥AD，

則△DOE?△DOO2，△AOE?△DOO1，

∴ED=O2D，AE=AO1，

∴l=AE+ED=AO1+DO2=r+R0=3+1=4，

由勾股定理可得?2+(R0?r)2=l2，

14.【答案】2nn+1【解析】解：根據題目中的定義，數列{bn}的1階商分數列中，

Δbn滿足：Δbn=bn+1bn①，則Δbn+1=bn+2bn+1②；

2階商分數列中，Δbn滿足：Δ2bn=Δbn+1Δbn，

又{(1+2n)Δbn+1}為數列{bn}的2階商分數列，

則Δ2bn=(1+2n)Δbn+1③，

由①②③得：bn+2?bn(bn+1)2=(1+2n)?bn+215.【答案】B=60°；

43?6【解析】解：(1)由(a+b)(a?b)=c(a?c)得a2+c2?b2=ac，

由余弦定理得a2+c2?b2=2accosB，

所以cosB=12，

在△ABC中，0°<B<180°，

所以B=60°；

(2)設∠CBD=α，cosC=35，所以sinC=45，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32×35+12×45=33+410，

在△ABD16.【答案】當a≤0時，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a>0時，函數f(x)在(0,a)上單調遞減，在(a,+∞)上單調遞增．

a=1．

【解析】解：(1)f′(x)=1?ax，

當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a>0時，由f′(x)<0，得0<x<a，f(x)單調遞減；由f′(x)>0，得x>a，f(x)單調遞增，

所以當a≤0時，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增；

當a>0時，函數f(x)在(0,a)上單調遞減，在(a,+∞)上單調遞增．

(2)令g(x)=f(x)?cos(x?1)=x?alnx?cos(x?1)，x>0，

則g′(x)=1?ax+sin(x?1)，

當x∈(0,+∞)時，f(x)≥cos(x?1)恒成立，得?x∈(0,+∞)，g(x)≥0恒成立，而g(1)=0，因此g(1)是函數g(x)的最小值，

又g(x)在(0,+∞)可導，則1是g(x)的極小值點，g′(1)=1?a=0，解得a=1，

當a=1時，g(x)=x?lnx?cos(x?1)，x>0，

令?(x)=x?1?lnx，x>0，求導得?′(x)=1?1x，

由?′(x)<0，得0<x<1；由?′(x)>0，得x>1，

函數?(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，則?(x)≥?(1)=0，即x?lnx≥1，

因此g(x)=x?lnx?cos(x?1)≥1?cos(x?1)≥0，當且僅當x=117.【答案】證明見解析；

1．

【解析】解：(1)證明：設H是BC的中點，連結DH，FH，

∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，

∵△BCF是等邊三角形，∴FH⊥BC，

∵平面BCF⊥平面ABCD，

∴FH⊥平面ABCD，

∴DE//FH，∴D，E，F，H共面，

∵四邊形ABCD邊長為2的菱形，∠BAD=60°，BH=CH=1，

在△CDH中，DH2=CD2+CH2?2CD?CH?cos∠BCD=3，

∴CD2=CH2+DH2=4，∴DH⊥BC，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AD//BC，∴DH⊥AD，

∵DE∩DH=D，∴AD⊥平面DEFH，∴AD⊥EF．

(2)由(1)得AD⊥DE，AD⊥DH，∵DE⊥平面ABCD，

∴DE⊥DH，以D為原點，DA，DH，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖，所示的空間直角坐標系，

則A(2,0,0)，B(1,3,0)，E(0,0,23)，F(0,3,3)，

設BG=λBF(0≤λ≤1)，則AG=AB+BG=(?λ?1,3,3λ)，

設m=(x1,y1,z1)是平面ADG的一個法向量，

則m?DA=0m?AG=0，∴2x1=0,(?λ?1)x1+3y1+18.【答案】x2?y23=1(x>0)；

【解析】解：(1)設N是MF的中點，F1(?2,0)，連接ON，MF1，

因為以MF為直徑的圓與圓O相外切，

可得ON//MF1且|MF1|=2|ON|，

∴|MF1|?|MF|=2(|ON|?|NF|)=2<|F1F|=4，

故點M的軌跡是以F1，F為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支曲線，

則2a=2c=2，

所以a=1，b=c2?a2=3，

∴曲線C的方程為x2?y23=1(x>0)．

(2)①證明：設S(x1,y1)，T(x2,y2)，直線ST的方程為x=my+n，

由x=my+n,x2?y23=1

得(3m2?1)y2+6mny+3(n2?1)=0，

∴y1+y2=?6mn3m2?1，y1y2=3(n2?1)3m2?1，

直線AS的方程為y=y