第=page11頁，共=sectionpages11頁天津市南開區2025屆高三下學期質量監測（一）數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=2,4,6,8,B=3,6,9A.3,9 B.2,4,8 C.1,3,5,6,7,9 D.1,2,4,5,6,7,82.設x,y∈R，則“x2+y2>0”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設a=log0.63,b=0.6A.b<c<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c4.如圖是由一組實驗數據得到的散點圖，以下四個回歸方程類型中適合作為y與x的回歸方程類型的是(

)

A.y=ax+b B.y=ax2+b C.y=a5.已知fx=2ax?A.?1 B.0 C.1 D.26.把函數y=fx圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移π3個單位長度，得到函數y=gx的圖象，且y=gx的圖象關于點π4,0A.fx=sinx2?7π12 7.已知函數fx=logaax?1a>0,a≠1在2,+∞A.12,1 B.0,1 C.128.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是線段A1A.2:5 B.1:2 C.1:3 D.1:69.設雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點分別是A1A.62 B.213 C.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.i是虛數單位，若復數z=1+i2?aia∈R為純虛數，則a=11.若x?2xn的展開式的二項式系數和為32，且x12.已知圓M:x2+(y?4)2=1與拋物線C:y2=2pxp>0的準線相切于點E,F為13.有編號分別為1,2,3的3個盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球．現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，則從第1個盒子中取到白球的概率是

；從第3個盒子中取到白球的概率是

．14.在?ABC中，AB=2,AC=6,∠BAC=2π3，若點M為BC的中點，點N滿足AN=12NC，點P為AM與BN的交點，用AB和AC表示BN=

15.已知fx=4?x，若方程2x2+1?fx三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在?ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=26(1)求邊b的長；(2)求sinB(3)求cos2C?2π17.如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,PA⊥PD,PA=PD，AB=1,AD=2,AC=CD=5,M為棱AP上一點，且(1)求證：BM//平面PCD；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)求平面PCD與平面ABC夾角的余弦值．18.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過0,?1,(1)求E的方程；(2)過點?4,0，斜率不為0的直線l與橢圓交于A,B兩點，點C?1,1，直線AC與x軸交于P，與y軸交于M，直線BC與x軸交于Q，與y軸交于N.若3S?CMN=19.已知公差大于0的等差數列an的前n項和為Sn，且S3=9,(1)求an的通項公式及S(2)記bm為an在區間a2m,2am+1(i)若Tn+S(ii)設cn=a20.已知函數fx=(1)求曲線y=fx在點e,f(2)若fx<0在區間0,a上恒成立，求實數(3)若方程fx=m?1x2+xm∈R參考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.D

9.C

10.?2

11.?80

12.213.23

；14.13AC?AB15.416.(1)因為sinB=2sinC由余弦定理可得cosA=b2解得c=2，故b=4．(2)由cosA=?14及A∈由正弦定理asinA=解得sinB=(3)由(2)得sinC=12所以sin2C=2所以cos=

17.(1)取DA中點O，連接OC,OP，因為AC=CD,PA=PD，所以OC⊥AD,OP⊥AD．又面PAD⊥面ABCD，OP?面PAD，面PAD⊥面ABCD=AD，所以OP⊥平面ABCD．以O為原點，OC,OA,OP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P所以PD=設n=x,y,z為平面PCD的一個法向量，則n令x=1，則y=?2,z=2，從而n=因為AP=4AM，所以BM=因為BM?n=0，所以BM⊥n，又BM?平面PCD(2)設PB與平面PCD的夾角為θ，則sinθ=(3)顯然，平面ABC的一個法向量為OP=設平面PCD與平面ABC夾角為φ，則cosφ=

18.(1)設E的方程為mx2+n將0,?1,3,1故E的方程為x2(2)依題意，設直線l:x=ty?4,Ax聯立x=ty?4x2+4y2則Δ=(?8t)2?48t2直線AC:y?1=y1?1令x=0，則M0,令y=0，則P?由3S?CMN=S?CPQ整理得3t?3因為t2>12，所以3t所以直線l的斜率為27

19.(1)設等差數列an的公差為d依題意，S3=3aa2+32將①代入②得d2+3d?10=0，因為d>0，解得所以an(2)(i)令a2m≤2n?1<2am+1所以bm=22m所以Tn又Sn=n由Tn+S因為46所以n的最大值為5．(ii)由(i)知cn=34×設Mn則14①?②得34所以Mn因為cn所以i=1n綜上，21

20.(1)f′x=1x?2x+1所以e,fe處的切線方程為y?1?e(2)f′x當x∈0,1時，f′x>0；當x∈所以fx在0,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，則f(x若fx<0在區間0,a上恒成立，則a的取值范圍為(3)由fx=m?1若fx=m?1x2兩式相減得lnx2?不妨設gx=ln所以gx在1,+∞上單調遞增，此時gx>g所以lnx