2024-2025學年天津市高二下學期第一次（3月）月考數學檢測試題一、單選題(本大題共9小題，共36.0分)1.曲線在點處的切線方程是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求導，得到曲線在點處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因為，所以曲線在點處斜率為4，所以曲線在點處的切線方程是，即，故選：B2.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據導數的幾何意義，進行求解即可．【詳解】已知曲線在點處的切線方程為，∴，切線的斜率k＝-2，即，則.故選：A本題主要考查導數的計算，根據導數的幾何意義，以及切線與曲線之間的關系是解決本題的關鍵，屬于基礎題．3.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則函數在區間內的極小值點的個數為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】結合導函數圖象確定正確選項.【詳解】函數的極小值點需滿足左減右增，即且左側，右側，由圖可知，一共有個點符合.故選：A4.從1，2，3，4這四個數字中任取兩個不同的數字，則可組成不同的兩位數有（）A.9個 B.12個 C.15個 D.18個【正確答案】B【分析】由排列數即可求解；【詳解】由題意可知：從1，2，3，4這四個數字中任取兩個不同的數字，則可組成不同的兩位數有；故選：B5.6名同學排成一排，其中甲?乙兩人必須在一起的不同排法共有（）A.720 B.360 C.240 D.120【正確答案】C【分析】先將甲乙捆綁在一起，然后將其看成一個元素與其余4人一起進行全排列可得.【詳解】先將甲?乙兩人排成一排共種排法，將甲?乙兩人看成一個元素，然后與其余4人一起排成一排，共有種，所以甲?乙兩人在一起的不同排法共有種排法.故選：C6.直線與函數的圖象有三個不同的交點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先用導數法研究函數的單調性與極值，結合數形結合方法即可求解【詳解】因為，所以，令，解得或，由，解得或，由，解得，所以在上遞增，在遞減，在遞增，當時，取得極大值且為，當時，取得極小值且為，因為直線與函數的圖象有三個不同的交點，所以實數的取值范圍為，故選：A7.某地實行高考改革，考生除參加語文，數學，外語統一考試外，還需從物理，化學，生物，政治，歷史，地理六科中選考三科，要求物理，化學，生物三科至少選一科，政治，歷史，地理三科至少選一科，則考生共有多少種選考方法A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】利用間接法求解．從六科中選考三科的選法有，其中包括了沒選物理、化學、生物中任意一科與沒選政治、歷史、地理中任意一科，這兩種選法均有，因此考生共有多少種選考方法有種．8.下列函數中，在內為增函數的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】選項A根據正弦函數的性質進行判斷，選項BCD通過導數進行判斷即可.【詳解】A：因為當時，函數單調遞減，故本選項不符合題意；B：，因為時，，所以函數在內為增函數，故本選項符合題意；C：，當時，，此時函數單調遞減，故本選項不符合題意；D：，當時，，此時函數單調遞減，故本選項不符合題意，故選：B9.若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分離參數，構造新函數，轉化為與新函數最值關系，利用導數求出新函數最值，即可得出結論.【詳解】關于的不等式在上有解，即在上有解，設，，恒成立，即在上為增函數，.故選：C.本題考查不等式能成立問題、應用導數求函數的最值，分離參數構造函數是解題的關鍵，屬于中檔題.二、單空題(本大題共6小題，共24.0分)10.計算：______．【正確答案】9【分析】根據題意，由組合數和排列數公式計算可得答案．【詳解】根據題意，4×3＝21﹣12＝9，故911.已知，則函數的最大值為____________【正確答案】【分析】求導，確定函數單調性，即可求解；【詳解】由，得，由f′x=3x2由，可得：，即在單調遞減，所以在單調遞減，所以最大值為：，故12.已知，則_______【正確答案】【分析】求出函數的導函數，代入求值即可.【詳解】由，得，把代入得：，解得.故答案為.13.6名學生，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，剩下1人既會唱歌又會跳舞，選出2人唱歌2人跳舞，共有______種不同的選法.（請用數學作答）【正確答案】12【分析】根據既會唱歌又會跳舞那1個人未選中和選中分類，選中后又選為唱歌還是跳舞再分類求解．【詳解】根據既會唱歌又會跳舞的那1個人未選中，選中唱歌，選中跳舞分類：．故12.本題考查組合的應用，解題關鍵是多面手的安排．可按多面手的作用分類：未選中多面手，選中多面手后安排做一種工作．再確定其它要選的人數．14.若函數恰好有三個單調區間，則實數的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】先求導，若函數有三個單調區間，則只需滿足有兩個不等的實根.【詳解】∵函數，∴，由函數恰好有三個單調區間，得有兩個不相等的零點，∴有兩個不相等的實數根，則只需滿足：，解得且.即，故答案為.本題考查導數與函數單調性的關系，較簡單，解答時將問題靈活轉化是關鍵.15.若函數在區間上是單調遞增函數，則實數取值范圍是_____________________________．【正確答案】【詳解】，令，得，即函數的單調遞增區間為，又因為函數在區間上單調遞增，所以，解得；故填.點睛：已知函數在所給區間上單調遞增，求有關參數的取值范圍，往往采用以下兩種方法：①求出函數的單調遞增區間，通過所給區間是該函數的單調遞增區間的子集進行求解；②將問題轉化為在所給區間上恒成立進行求解.三、解答題(本大題共5小題，共60.0分)16.已知函數在處有極值（1）求實數a、b的值;（2）求函數在上的最值.【正確答案】（1）（2），．【分析】（1）由求解即可；（2）求導確定函數單調性，即可求解；【小問1詳解】由題意得，定義域為因為在處有極值，所以，解得；經驗證符合題意；【小問2詳解】由(1)，所以，，令，在定義域內解得，當時，，所以單調遞減；當時，，單調遞增，當，，易得，所以當時，，．17高二年級(1)班有6人參加數學小組，(2)班有5人參加物理小組，(3)班有4人參加化學小組，問：（1）選其中1人擔任數理化小組組長，有多少種不同的選法?（2）每班選1人參加全國數理化競賽，有多少種不同的選法?（3）選取其中兩人參加不同的學科競賽，有多少種不同的選法?【正確答案】（1）15（2）120（3）74【分析】（1）由分類加法計數原理即可求解；（2）由分步乘法計數原理即可求解；（3）先分類再分步即可求解；【小問1詳解】選其中1人擔任數理化小組組長，可以來自數學或物理或化學，所以共有種選法；【小問2詳解】分三步完成，第一步數學選1人，6種，第二步物理選1人，5種，第三步化學選1人，4種，所以共有種；【小問3詳解】來自數學、物理共有，來自數學化學共有，來自物理化學共有，所以總共由種選法；18.已知函數其中a為實數.（1）當時，求曲線)在點處的切線方程;（2）求函數的單調區間；（3）若函數有且僅有一個零點，求a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）函數的單調遞增區間是，；單調遞減區間是；（3）【分析】（1）求導，確定斜率即可求解；（2）由和即可求解；（3）求得極值，通過極大值小于0，或極小值大于0，求解即可；【小問1詳解】當時，，所以，，所以，所以切線方程為：，即；【小問2詳解】由f′x=3x2由，可得：，所以函數的單調遞增區間是，；單調遞減區間是；【小問3詳解】由（2）知極大值為：，極小值為：，當，故若函數有且僅有一個零點，需滿足：或，解得：或，即a的取值范圍是；19.已知函數的圖像在點處的切線方程為.（1）求的表達式；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據題干和導數的幾何意義得到，解得，，解得，從而得到解析式；（2）原式等價于，令，對函數求導得到函數的單調性，進而得到最值.【詳解】（1），，解得，，解得，所以.（2）當時，，即.令，則.令，，當時，單調遞增，，則當時，即，所以單調遞減；當時，即，所以單調遞增，綜上，，所以.對于函數恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數最值問題；或者直接求函數最值，使得函數最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數．20.設函數.（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導，構建等量關系，解方程可得參數的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二.（1）當a=0時，令得x=1.隨x變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a=1時，，∴在上單調遞增，∴無極值，不合題意.②當，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點睛：導數類問題是高考數