2024-2025學年廣東省梅縣高二下學期第一次月考數學檢測試卷說明：1．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答策不能答在試卷上．2．填空題直接把答案填寫在答題卡相應橫線上．3．試卷滿分150分，考試用時120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.數列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據已知分奇偶應用遞推公式計算即可.【詳解】因為數列滿足，，所以，，，故選：C.2.已知函數，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據導數的定義，結合指數函數，復合函數的導數公式計算求得.【詳解】因為，所以所以.故選：A.3.若函數f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內有最小值，則實數b的取值范圍是()A.(0,1) B. C.(－∞，1) D.(0，＋∞)【正確答案】B【詳解】由題意得,函數的導數在(0,1)內有零點，且,即,且，∴，故選B.4.用這5個數組數，可以組成（）個無重復數字的三位偶數．A.24 B.30 C.36 D.48【正確答案】B【分析】由個位數是否為0分類討論：①個位是0，則百位、十位從剩余的4個數字中選擇2個排列；②個位不是0，則從2、4中選擇一個放在個位，再從剩余的3個數字（不包含0）中選擇1個放在百位，再從剩余的3個數字中選擇1個放在十位即可.【詳解】由個位數是否為0分類討論：①個位是0，則無重復數字的三位偶數有：個；②個位不是0，則無重復數字的三位偶數有：個；所以共有個.故選：B.5.已知數列滿足，若為遞增數列，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B分析】利用得到，求出時，取得最大值，得到答案.【詳解】要想為遞增數列，則恒成立，故，又時，取得最大值，最大值為，故，故選：B6.已知一個項數為偶數的等比數列所有項之和為所有奇數項之和的3倍，前2項之積為8，則（）A.2 B.-2 C.-1 D.2或-2【正確答案】D【分析】設數列共有項，設所有奇數項之和為，由題意表求出和，利用求出公比，再結合求出即可.【詳解】設首項為，公比為，數列共有項，則滿足首項為，公比為，項數為項，設所有奇數項之和為，因為所有項之和是奇數項之和的3倍，所以，所以，，故滿足，解得，又，所以.故選：D7.已知，對，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據給定條件，求出函數的零點，再由不等式成立的必要條件求出，進而代入并利用導數分析函數的性質求解.【詳解】由，得或1，當或時，；當時，，則“”成立的必要條件是且，得，當時，，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，則當或時，；當時，，因此對成立，所以.故選：C8.已知函數，，當時，函數的圖象始終在函數的圖象的上方，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據題設，將問題轉化成在上恒成立，令，利用導數與函數單調性間的關系，得到的單調區間，從而得到，進而將問題轉化成在上恒成立，再分和兩種情況，當時，，當，轉化成求的最值，即可求解.【詳解】由題意知在上恒成立，即在上恒成立，令，則，由，得，當時，，當時，，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，又時，，故，所以在上恒成立，當時，恒成立，此時；當時，由，得；當時，由，得，令，則，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，當時，，時，，故在上的最小值為，在上的最大值為．綜上所述，實數的取值范圍為，故選：D．【點晴】方法點晴，不等式恒（能）成立問題與最值問題的轉化策略：恒成立，，能成立，，二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若為等差數列，，則下列說法正確的是（）A.B.是數列中的項C.數列單調遞減D.數列前7項和最大【正確答案】ACD【分析】由等差數列，列方程組求得首項與公差，就可得到通項公式，然后對選項逐一判斷即可.【詳解】因數列為等差數列，且，則，解得，，故A選項正確，由，得，故B錯誤，因，所以數列單調遞減，故C正確，由數列通項公式可知，前7項均為正數，，所以前7項和最大,故D正確.故選：ACD10.已知函數，則（）A.函數在上單調遞增B.函數有且僅有一個零點C.函數有且僅有一個極值點D.直線是曲線的切線【正確答案】BC【分析】利用導數求函數單調區間，由函數單調性確定極值點和零點，由導數的幾何意義求切線方程.【詳解】函數的定義域為，則，令，則在上恒成立，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以函數在上單調遞減，當時，，即，所以函數在上單調遞增，所以函數存在極小值，所以A選項不正確，B，C選項正確；由得或，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，同理在點處的切線方程為，所以D選項不正確．故選：BC．11.已知函數，記的最小值為，則（）A. B.，的圖象關于直線對稱C. D.【正確答案】BCD【分析】當時，設，令，求得，得出的單調性與最小值，求得，可判定A；由，可判定B；由A選項，即可求出的最大值，可判定C；由，得到，進而得到，從而可判定D．【詳解】對于A，當時，；當時，設，則，令，可得，其中，當時，，所以，可得；當時，，所以，即，所以，所以A錯誤；對于B，因為，所以函數的圖象都關于直線對稱，所以B正確；對于C，由A選項知，，，所以的最大值為1，即的最大值為1，故C正確；對于D，設，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，又由，所以，即，所以，又，可得，所以，所以D正確．故選：BCD．關鍵點點睛：該題A，C選項的關鍵是，通過換元構造函數，借助導數，求出函數的最大值最小值，從而得解，對于B選項的關鍵是把對稱問題，轉化為證明等式恒成立問題，對于D選項的關鍵是構造函數，再一次借助導數，證明不等式，從而借助不等式性質，和數列求和即可得證.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若為正整數，且，則有序自然數對有_______個．【正確答案】5【分析】根據題意，逐一列舉，即可得到結果.【詳解】因為為正整數，且，所以或或或或，所以有序自然數對有5個.

故513.若方程有且僅有一個實數，則實數的取值范圍為_________.【正確答案】或，【分析】分離參數，構造函數，求導得函數的單調性，即可作出函數圖象，結合函數圖象即可求解.【詳解】由可得，記，則，故當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，且當，時，故作出的大致圖象如下：故有且僅有一個實數，則或，故或，14.設數列滿足，，其中等于的個位數，則________．【正確答案】12108【分析】由，，于是，，進一步有，，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，．一般地：．．于是，，進一步有，．因此，．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知公比大于1的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）列出關于與公比的方程，代入計算，即可得到，從而得到通項公式；（2）由條件可得數列為等比數列，結合等比數列的求和公式，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】設等比數列的公比為，則，因為，則，解得或（舍）則.【小問2詳解】由（1）可得，則，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，則.16.已知是函數的極值點．（1）求的值；（2）若函數在上存在最小值，求的取值范圍．【正確答案】（1）12（2）【分析】（1）直接求導代入得到，再驗證即可；（2）計算出，，再比較兩者大小即可.【小問1詳解】因為，所以，因為是函數函數的極值點，所以，，此時，所以在上，在上，在上，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時為函數極值點，故所求的值為12.【小問2詳解】當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，，，，因為，所以，所以，所以的取值范圍.17.如圖，某小區有一塊矩形地塊，其中，，單位：百米.已知是一個游泳池，計劃在地塊內修一條與池邊相切于點的直路（寬度不計），交線段于點，交線段于點.現以點為坐標原點，以線段所在直線為軸，建立平面直角坐標系，若池邊滿足函數的圖象，若點到軸距離記為.（1）當時，求直路所在的直線方程；（2）當為何值時，地塊在直路不含泳池那側的面積取到最大，最大值時多少？【正確答案】（1）；（2）；面積的最大值為.【分析】（1）把代入函數，得的坐標，再利用導數求切線的斜率，即可得到答案；（2）先求出面積的表達式為，再利用導數求函數的最大值，即可得到答案；【詳解】解：（1）把代入函數，得，∵，∴，∴直線方程為；（2）由（1）知，直線的方程為，令，，令，，∴，.∴，∴，令，∴當時，，當時，，當時，，，所以所求面積的最大值為.本題考查函數模型解決面積問題、導數幾何意義的運用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.18.已知是等差數列，公差，，且是與等比中項.（1）求的通項公式（2）數列滿足，且.（ⅰ）求的前n項和.（ⅱ）是否存在正整數m，n（），使得，，成等差數列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，，．【分析】（1）由等差中項得到，由等比中項得到，解出，求得的通項公式；（2）（ⅰ）根據，由累加法得到數列的通項公式進而得到數列的通項公式，裂項相消法求和；（ⅱ）假設存在，分別表示出，，，由等差中項得到，得到或，解得，符合題意.【小問1詳解】因為為等差數列，且，所以．又是與的等比中項，所以，即．化簡得，解得或（舍），所以．【小問2詳解】（i）由，得，所以（），又，當時，，又也適合上式，所以，則，所以．（ⅱ）假設存在正整數m，n，使得，，成等差數列，則，即，整理得，顯然是25的正約數，又，則或，當，即時，與矛盾；當，即時，，符合題意，所以存在正整數使得，，成等差數列，此時，．方法點睛：裂項相消法求和常見的裂項方法（1），特別地當時，；（2），特別地當時，；（3）（4）（5）19.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若關于的不等式無整數解，求的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）首先求函數的導數，再分三種情況討論的單調性；（2）不等式轉化為，設函數，利用導數求函數的取值范圍，再結合不等式，討論的取值，即可求解.【小問1詳解】，當，得，當時，時，，單調遞增，時，，單調遞減，當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，當時，，函數在上單調遞增，綜上可知，時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是，時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，