2024-2025學年廣東省廣州市黃埔區高一下學期3月月考數學檢測試卷一、單選題（每題只有一個正確答案，請把選好的選項填涂到答題卡相應位置，每小題5分）1.若向量，，則=（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據向量，得到其相反向量，然后與利用加法求解.【詳解】因為向量，所以向量，又所以，故選：A.本題主要考查平面向量的坐標運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2.設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的條件是（）A B. C. D.且【正確答案】C【詳解】若使成立，則選項中只有C能保證，故選C[點評]本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.3.設，向量，，，且，，則＝A. B. C. D.10【正確答案】B【詳解】試題分析：∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．考點：向量的垂直、平行的充要條件，向量的模．4.函數的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據周期即可求解，代入最高點即可求解.【詳解】由圖象知函數周期，，把?代入解析式，得，即?.?又?故選：A5.是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】試題分析：設，，∴，，，∴.【考點】向量數量積【名師點睛】研究向量數量積問題，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質相同，坐標法更易理解和化簡.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質是將“形”化為“數”．向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來．6.點在所在的平面內，以下說法錯誤的是（）A.若，則點為的重心B.若，則點為的外心C.若，則點為的內心D.若，則點為的垂心【正確答案】C【分析】利用向量的線性運算即可判斷A；根據模長相等結合外心的性質即可判斷B，利用向量的數量積和外心的性質判斷C，利用和向量的線性運算和垂心的性質判斷D.【詳解】對于A：設邊，，的中點分別為，∴，∵，∴，∴，∴三點共線，即點在中線上，同理可得點在中線上，∴點是的重心，故A正確；

對于B：若，∴點為的外心，故B正確；對于C：設邊，，的中點分別為，則，∴，∴為線段的垂直平分線，同理可得分別為線段的垂直平分線，∴為三角形三條邊垂直平分線的交點，∴點為的外心，故C錯誤；對于D：由已知可得，即，∴點在邊邊上的高上，同理可得點在邊邊上的高上，點在邊邊上的高上，∴點是的垂心，故D正確.故選：C7.在平面直角坐標系中，，將向量按逆時針旋轉后，得向量則點的坐標是A. B.C. D.【正確答案】A【詳解】試題分析：設，再設，則，由題意可得，從而可得，故答案選A.考點：平面向量.8.已知向量，且．若，則的最小值為（）．A. B.26 C. D.24【正確答案】B【詳解】作正方形，連接對角線，令、分別為對角線、邊上一點，使得，，，.故.二、多選題（每題均不止一個正確選項，請把選好的選項填涂到答題卡相應位置，每小題6分）9.如圖，正方形的邊長為1，延長至，使，連接、，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據給定條件，取定平面的一個基底，再利用向量運算逐項求解判斷.【詳解】在邊長為1的正方形中，令，，對于A，，A正確；對于BD，，，，，因此，BD正確；對于C，，，C錯誤；故選：ABD10.以下各組向量中，可以作為平面向量的一組基底的是（）A.，B.，C.，D.，【正確答案】BC【分析】利用和差角的正余弦公式、二倍角的正弦公式，結合基底的意義逐項判斷.【詳解】對于A，，，A不是；對于B，，不共線，B是；對于C，，不共線，C；對于D，，，D不是.故選：BC11.已知，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱B.的圖象可由向左平移得到C.若的定義域為，則值域為D.集合，若，且，則【正確答案】ACD【分析】利用輔助角公式化簡函數，再結合對稱性、函數圖象變換、最值及零點問題依次求解判斷.【詳解】依題意，，對于A，，的圖象關于直線對稱，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，由，得，，C正確；對于D，由，得，則或，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：（每小題5分，請把答案填寫在答題卡相應的位置）12.已知點，，則與向量同方向的單位向量的坐標是__．【正確答案】【分析】與向量同向的單位向量為，根據坐標形式求得向量及模長即可求得.【詳解】點，，，可得，因此，與向量同方向單位向量為：故13.已知向量夾角為，且，則__________．【正確答案】【詳解】試題分析：的夾角，，，，.考點：向量的運算.【思路點晴】平面向量的數量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當的平面直角坐標系，可起到化繁為簡的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數量積來解決．列出方程組求解未知數.14.函數的所有零點之和等于__________.【正確答案】60【詳解】函數的零點，即為方程在區間上的解.等價于函數的圖象與函數的圖象，在區間上的交點的橫坐標.因為函數的圖象與函數的圖象，均關于點（5，0）對稱，且在區間上共有12個交點（6組對稱點），每組對稱點的橫坐標之和為10，即這12個點橫坐標之和為60.所以函數的所有零點之和等于60.四、解答題（共5題，請把詳細計算和推理過程書寫在答題卡相應的位置，超出答題框部分無效）.15.在平面直角坐標系中，已知，，.（1）若、、三點共線，求實數的值；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的坐標表示及共線向量的坐標表示，列式計算即得.（2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐標表示列式求解.【小問1詳解】依題意，，由、、三點共線，得，則，所以.【小問2詳解】由，得，則，解得，則所以的面積為.16.已知向量，函數的最大值為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象.求在上的值域.【正確答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【詳解】：（Ⅰ）因為的最大值為，所以（Ⅱ）將函數的圖象向左平移個單位，得到再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到因所以的最小值為最大值為所以在上的值域為【考點定位】本題通過向量運算形成三角函數問題，考查了向量的數量積運算、三角函數的圖象變換、三角函數的值域等主干知識，難度較小17.從低壓變壓器輸出的電路中，輸送的是交流電，其電壓變化規律符合三角函數，原理圖如圖（1）所示，線路為零線，線路、、均為火線.如圖（2）則是變壓器的簡單模型，.其中，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：，以此類推，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：，之間的電壓等于之間的電壓，記為，電壓（單位：伏特）隨著時間（單位：秒）的變化關系為：交流電的頻率一般是赫茲，即每秒變化次，其中頻率是周期的倒數.（1）求的值；（2）之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長；同理，之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長；之間的電壓即之間的電壓，可以理解為向量的模長，其中向量、、的模長均為它們對應電壓三角函數的最大值，用戶張先生連接的家庭用電連接的是，用戶李先生的工廠若連接的是，其中之間的電壓等價于之間的電壓，其大小為向量的模長.請分別求出張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值.【正確答案】（1）（2）張先生家庭電壓最大值和李先生工廠電壓的最大值分別為、【分析】（1）求出交流電的最小正周期，結合正弦型函數的周期公式可求得的值；（2）由題意可得出張先生家庭電壓的最大值，利用平面向量數量積的運算性質可求出的值，即可得出李先生工廠電壓的最大值.【小問1詳解】由題意可知，交流電的最小正周期為，則.【小問2詳解】由題意可知，張先生家庭電壓的最大值為，且，，所以，.故李先生工廠電壓的最大值為.18.在中，為邊的中點，為線段的中點.若，，設，.（1）把和分別用和表示；（2）求的最小值.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用向量的線性運算，用，表示；（2）利用數量積運算求出，再利用基本不等式