2024-2025學年北京市東城區(qū)高二下學期3月月考數學檢測試卷一、單選題（每小題4分，共40分）1.在等差數列中，，則（）A.9 B.11 C.13 D.15【正確答案】C【分析】根據等差數列的通項公式進行求解即可.【詳解】由題意知，解得，所以，所以.故選：C.2.已知為等比數列，公比，則（）A.81 B.27 C.32 D.16【正確答案】A【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解.【詳解】根據可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A3.已知等差數列的前項和為，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據給定條件，利用等差數列通項公式及前項和公式求解即可.【詳解】設等差數列的公差為，由，得，解得，所以.故選：B4.已知數列的前n項和為，且，，則（）A.7 B.13 C.18 D.63【正確答案】A【分析】根據題意判斷得數列為等比數列，進而得到其基本量，從而利用等比數列的求和公式即可得解.【詳解】因為，，所以數列為等比數列，公比，又，解得，所以.故選：A5.下列導數運算錯誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用常見函數的導數公式和導數的四則運算法則逐一判斷即可.【詳解】對于A選項：利用導數除法法則，，正確；對于B選項：直接利用常見函數的導數公式判斷，正確；對于C選項：利用導數乘法法則，，正確；對于D選項：，故不正確.故選：D.6.下列四個函數中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據平均變化率的計算即可比較大小求解.【詳解】對于A，在上的平均變化率為，對于B，在上的平均變化率為，對于C,在上的平均變化率為，對于D，在上的平均變化率為，由于，故在上的平均變化率最大，故選：B7.在等差數列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是{an}前n項的和，若Sn取得最大值，則n＝()．A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】C【分析】設等差數列首項為，公差為，由3a4＝7a7，得，代入轉化為關于n的二次函數，由二次函數性質和可求得最大值．【詳解】設等差數列首項為，公差為，由題意可知，a1>0，二次函數的對稱軸為，開口向下，又因為，所以當n=9時，取最大值．選C.等差數列常設首項為，公差為，這樣等差數列通項和前n項和轉化為關于n的函數關系，．8.設等比數列的公比為，前項和為，使有最小值的一組和可以為（）A. B.C D.【正確答案】B【分析】根據給定條件，利用并項求和推理判斷A；利用等比數列前項和公式推理判斷B；利用負數和的意義判斷CD.【詳解】對于A，，，數列是首項為，公比為的遞減等比數列，因此，隨著的增大逐漸減小，無最小值，A不是；對于B，，，當時，，即，因此對任意正整數，恒成立，有最小值，B是；對于CD，或，，因此，隨著的增大逐漸減小，無最小值，CD不是.故選：B9.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（）A.曲線在點處的切線斜率小于零B.函數在區(qū)間上單調遞增C.函數在處取得極大值D.函數在區(qū)間單調遞減【正確答案】D【分析】由可判斷A；由圖得函數在區(qū)間上即可判斷B；由圖得區(qū)間上，區(qū)間上即可判斷C；由圖得函數在區(qū)間上，當且僅當時導數值為0可判斷D.【詳解】對于A，由圖可知，即曲線在點處的切線斜率等于零，故A錯誤；對于B，由圖可知在區(qū)間上，所以函數在區(qū)間上單調遞減，故B錯誤；對于C，由圖區(qū)間上，區(qū)間上，所以函數在處取不到極大值，故C錯誤；對于D，由圖可知函數在區(qū)間上，當且僅當時導數值為0，所以函數在區(qū)間上單調遞減，故D正確.故選：D10.在同一平面直角坐標系內，函數及其導函數的圖象如圖所示.已知這兩個函數圖象恰有一個公共點，其坐標為，則（）A.函數的最大值為1 B.函數的最小值為1C.函數的最大值為1 D.函數的最小值為1【正確答案】A【分析】先由圖求出的正負情況，接著研究函數的導函數正負情況即可得解判斷AB，研究函數的導函數正負情況即可得解判斷CD.【詳解】由圖可知恒成立，且不存在導數連續(xù)為0情況，所以函數單調遞增，所以實線表示函數圖象的，虛線表示導函數的圖象，所以時，時，對于AB，函數的導函數為，則時，時，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數有最大值為，故A正確，B錯誤；對于CD，函數的導函數為恒成立，所以函數在R上單調遞增，所以函數無最值，故CD錯誤；故選：A二、填空題（每小題4分，共20分）11.曲線在點處的切線方程為__________．【正確答案】【詳解】分析：根據導數的幾何意義可知函數f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1），利用點斜式可得直線方程．詳解：∵f（x）=ex∴f（1）=e且f′（x）=ex根據導數的幾何意義可知函數f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1）=e∴函數f（x）=ex在x=1處的切線方程是y﹣e=e（x﹣1），即y=ex故答案為y=ex．點睛：求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為．12.函數在上為增函數，則實數的取值范圍是_______________.【正確答案】【分析】由單調性與導數關系得在上恒成立，再分參利用函數單調性和最值即可求解.【詳解】因為函數在上為增函數，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上單調遞增，所以，即滿足題意的實數的取值范圍是.故13.已知數列的通項公式為，則數列的前項和___________．【正確答案】【分析】利用裂項相消法可直接求得結果.【詳解】，.故答案為.14.設數列的前項和為，若，，且.則______________；使得成立的的最小值為_______________.【正確答案】①.②.【分析】對于空1，由得即可求解；對于空2，依次求出并結合當時即可得解.【詳解】因為，所以，所以由，所以，，又當時，所以使得成立的的最小值為.故；.15.已知等差數列與等比數列是兩個無窮數列，且都不是常數列.給出下列四個結論：①數列不是等比數列;②若與都是遞增數列，則數列是遞增數列;③對任意的，不是等差數列;④存在數列，對任意的，且，使得不能構成等比數列.其中所有正確結論的序號是_______.【正確答案】①③④【分析】通過分析每個結論，利用等差數列和等比數列的通項公式及相關性質，結合特殊例子來判斷其正確性.【詳解】結論①，設等差數列的公差為（），首項為，等比數列的公比為（），首項為.假設是等比數列，則.，，，，的平方不等于，所以數列不是等比數列，結論①正確.結論②，例如是遞增等差數列，是遞增等比數列.，，，，所以不是遞增數列，結論②錯誤.結論③，假設等差數列，則.，，，化簡得，即，，這與不是常數列矛盾，所以對任意的不是等差數列，結論③正確.結論④，，則，若能構成等比數列，則，化簡得，所以，解得，與題干矛盾，所以結論④正確.故①③④.三、解答題（共40分）16.設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，.（1）求，的通項公式；（2）求數列的前項和.【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）設公差為，公比為，根據已知列出方程可求出，，代入通項公式，即可求出結果；（2）分組求和，分別求出和的前項和，加起來即可求出結果.【小問1詳解】設公差為，公比為，因為，則由可得，，即，由可得，，解得，則.所以有，整理可得，解得或（舍去）.所以，則，解得（舍去負值），所以.所以有，.【小問2詳解】由（1）知，，，則..17.已知函數.（1）過點作曲線的切線，求此切線的方程.（2）求的單調區(qū)間；（3）求在上的最大值和最小值.【正確答案】（1）切線方程為或；（2）函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.（3）.【分析】（1）先求導和設切點，接著由導數幾何意義結合兩點間斜率關系求出參數即可得切線切點和斜率，再由點斜式即可得解；（2）求導，根據導數正負情況即可得解；（3）由（2）求出函數單調性，求出端點函數值和極值即可得解.【小問1詳解】由題，設過點與曲線相切的切線的切點為，則切線斜率或，所以切點為或，當切點為時，切線斜率為，則切線方程為；當切點為時，切線斜率為，則切線方程為即；綜上，所求切線方程為或；【小問2詳解】函數定義域為R，，所以當時，，當時，，所以函數的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由（2）可知函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，所以.18.已知數列的前項和為，數列滿足，，.（1）求數列通項公式；（2）求數列的通項公式；（3）若，求數列的前項和.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由分析計算即可求解；（2）由累加法即可求解；（3）由錯位相減法計算求解即可.【小問1詳解】因為數列的前項和為，所以當，；當，；顯然滿足，所以.【小問2詳解】因為數列滿足，，，所以，數列的通項公式.【小問3詳解】由（1）（2）得，所以數列的前項和，所以，所以.所以.19.已知函數.（1）若函數的圖象在點處的切線的斜率為，求此切線方程；（2）求函數的單調區(qū)間和極值；（3）若在上的最小值為，求實數的值.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）利用導數的幾何意義可求出的值，可求出的值，再利用導數的幾何意義可求出所求切線的方程；（2）對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，可得出函數的增區(qū)間和減區(qū)間以及極大值、極小值；（3）對實數的取值進行分類討論，分析函數在區(qū)間上的單調性，結合可求得實數的值.【小問1詳解】因為，則，由導數的幾何意義可得，解得，則，所以，，故所求切線的方程，即.【小問2詳解】函數的定義域為，且，當時，對任意，恒成立，此時函數增區(qū)間