2024-2025學年北京市朝陽區高三下學期統練七數學檢測試題一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1．設集合，（）A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}2．復數的虛部為（）A．-IB．IC．D．3．已知，則（）A．B．C．D．4．已知展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是（）A．28B．38C．1或38D．1或285．等差數列的前項和為．已知，．則的最小值為（）A．B．C．D．6．在平面直角坐標系中，角以為始邊，它的終邊與以原點為圓心的單位圓的交點為，則（）A．B．C．D．7．已知圓和兩點，若圓C上存點P，使得，則m的最大值為（）A．B．C．D．8．在中，“對于任意，”是“為直角三角形”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件9．冰箱，空調等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧含量Q呈指數函數型變化，在氟化物排放量維持某種水平時，具有關系式，其中是臭氧的初始量，e是自然對數的底數，.試估計（）年以后將會有一半的臭氧消失.A．267B．277C．287D．29710．某次測試成績滿分為150分，設名學生的得分分別為，（）為名學生中得分至少為分的人數．記為名學生的平均成績．則正確的是（）A．B．C．D．二．填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）11．雙曲線的離心率為2，則_____．12．已知數列滿足，為其前項和.若，則_____．13．已知函數①若在R上單調遞減，則a的取值范圍為______，②若的值域為R，則a的取值范圍為______．14．調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）．月底積分會按照元/分進行自動兌換．①當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換___元；②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為_____．15．如圖，在棱長為的正方體中，，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足．給出下列四個結論：①點可以是棱的中點；②線段長度的最小值為；③點的軌跡是矩形；③點的軌跡圍成的多邊形的面積為.其中所有正確結論的序號是______．三．解答題（本題共6小題，共85分）16．（本小題13分）已知函數的部分圖象如圖所示，在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知．（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）在區間上的最大值和最小值條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個條件組合分別解答，則按第一個解答計分．17．（本小題滿分15分）如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．18．（本小題13分）某地區教育研究部門為了解當前本地區中小學教師在教育教學中運用人工智能的態度、經驗、困難等情況，從該地區2000名中小學教師中隨機抽取100名進行了訪談．在整理訪談結果的過程中，統計他們對“人工智能助力教學”作用的認識，得到的部分數據如下表所示：沒有幫助有一些幫助很有幫助合計性別男21020女354080年齡40歲以下（含40歲）13540歲以上62645假設用頻率估計概率，且每位教師對“人工智能助力教學”作用的認識相互獨立．（1）估計該地區中小學教師中認為人工智能對于教學“沒有幫助”的人數；（2）現按性別進行分層抽樣，從該地區抽取了5名教師，求這5名教師中恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率；（3）對受訪教師關于“人工智能助力教學”的觀點進行賦分：“沒有幫助”記0分，“有一些幫助”記2分，“很有幫助”記4分．統計受訪教師的得分，將這100名教師得分的平均值記為，其中年齡在40歲以下（含40歲）教師得分的平均值記為，年齡在40歲以上教師得分的平均值記為，通過計算比較的大小關系．19．（本小題14分）已知橢圓的左、右頂點分別為，，且，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設直線與軸交于點，點是直線上不同于點的一點，直線與橢圓交于點，直線與直線交于點，判斷是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．20．（本小題15分）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）當時，判斷在上的單調性，并說明理由；（3）當時，求證：任意，都有．21．（本小題15分）已知集合，若存在數陣滿足：=1\*GB3①；=2\*GB3②．則稱集合為“好集合”，并稱數陣為的一個“好數陣”．（Ⅰ）已知數陣是的一個“好數陣”，試寫出的值；（Ⅱ）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數陣”必有偶數個；（Ⅲ）判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件的所有“好數陣”；若不是，說明理由．

答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）12345678910DCBCAACABA二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）11121314159124①[-1，0），②（-∞，-1]①13，②36②③④三、解答題（本題共6小題，共85分）16．解：（Ⅰ）選條件①②：因為，所以，即，則.……2分由題意可知，則.……………………3分方法一方法二賦分因為，，因為，，……4分所以，即.由圖可知.……5分因為，所以，.………………6分所以.………7分選條件①③：因為，所以，即，則.……2分由題意可知，則.……………………3分方法一方法二賦分因為，，因為，，……4分所以，即.由圖可知.……5分因為，所以，.……………6分所以.………7分選條件②③：因為，，所以，即，則.……2分由題意可知，則..……………………3分方法一方法二賦分因為，，因為，，……4分所以，即.由圖可知.……5分因為，所以，.……………6分所以.………7分解：（Ⅱ）因為所以………………9分當即時，有最大值2…………11分，即時，有最小值…………13分17．解：（Ⅰ）由底面為平行四邊形，知，又因為平面，平面，所以平面.………………2分同理平面，又因為，所以平面平面.………………3分又因為平面，所以平面.………………4分（Ⅱ）連接，因為平面平面，平面平面，，所以平面.則.…………5分又因為，，，所以平面，則.…………6分故兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，為平面的一個法向量.………7分所以，，設平面的一個法向量為，由，，……8分得令，得.………………9分所以.………10分如圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.………………11分（Ⅲ）結論：線段上存在點，使得平面平面.………………12分證明如下：設，所以.設平面的法向量為，又因為，所以，，即………………13分若平面平面，則，即，………………14分解得.所以線段上存在點，使得平面平面，且此時.……15分18．【小問1詳解】根據表格中數據，完善表格，沒有幫助有一些幫助很有幫助合計性別男210820女5354080年齡40歲以下（含40歲）119355540歲以上6261345可以得到100名教師中，認為人工智能對于教學“沒有幫助”的頻率為，………1分用頻率估計概率，估計該地區中小學教師中認為人工智能對于教學“沒有幫助”的人數為；………3分【小問2詳解】男女比例為，故抽取的5名教師，有1名男教師，4名女教師，………4分用頻率估計概率，估計該地區中小學教師中男教師認為對于教學“很有幫助”的概率為，………5分女教師認為對于教學“很有幫助”的概率為，………6分抽取的5名教師中，恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”，則1名男教師認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為，………7分1名女教師認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為，……8分故這5名教師中恰有1人認為人工智能對于教學“很有幫助”的概率為；9分【小問3詳解】，………10分，………11分，………12分因為，所以.………13分19．（Ⅰ）由題設，解得………3分所以橢圓的方程為.………4分（Ⅱ）法一：假設存在點使得.由題可知與平行，所以.………5分設點，，則，．………7分所以．=1\*GB3①………8分直線方程為，………9分由點在直線上，則．=2\*GB3②………10分=1\*GB3①=2\*GB3②聯立，，顯然，解得.………11分又因為點在橢圓上，，所以．………12分所以．將其代入=1\*GB3①，解得．………13分所以.………14分法二：設直線的方程為．由得．………6分因為點在橢圓上，所以．設，則．即．……8分所以．………9分所以．又因為點在直線上，所以點．………10分假設存在點使得.由題可知與平行，所以.………11分所以．即．解得．………13分所以點的坐標為．………14分法三：假設存在點使得.由題可知與平行.………5分所以．所以．………7分設點，.過點作于，………8分則有．………9分所以．………10分所以．所以．代入橢圓方程，得，所以．………11分又因為，………12分所以．………13分所以.………14分20．解：（Ⅰ）當時，，……….…1分.……….…2分得K切=……….…3分所以曲線在處的切線方程為.…….…4分方法1：（Ⅱ）因為，所以……….…5分……….…6分因為，所以.……….…7分所以.所以當時，，……….…8分所以在區間單調遞增..…….…9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，在區間單調遞增，所以時，.結論成立……….…10分當時，設，則，……….…11分隨x的變化情況如下表：x+極大值所以在上單調遞增，在上單調遞減……….…12分因為，，所以存在唯一的實數，使得，……….…13分且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.……….…14分又，，所以當時，對于任意的，.綜上所述，當時，對任意的，均有.……………….…15分方法2：（Ⅱ）因為，所以.……….…5分令，則，……….…6分隨x的變化情況如下表：x+極大值……….…7分當時，.所以時，，即，……….…8分所以在區間單調遞增..…….…9分（Ⅲ）：由（Ⅱ）可知，當時，在區間單調遞增，所以時，.結論成立……….…10分當時，由（Ⅱ）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，，所以存在唯一的實數，使得，……….…13分且當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.……….…14分又，，所以當時，對于任意的，.綜上所述，當時，對任意的，均有..…….…15分21．解：（Ⅰ）解：．………………4分（Ⅱ）證明：當集合為“好集合”時，設是的一個“好數陣”，構造數陣：，記為．因為T是“好數陣”，所以當時，，且．因為，所以也是的一個“好數陣”，一方面，因為，所以.另一方面，假設，因為所以，所以，與矛盾，所以，故集合的“好數陣”必有偶數個；