PAGEPAGE1考點09函數模型及其應用1．了解指數函數、對數函數以及冪函數的改變特征.

2．能將一些簡潔的實際問題轉化為相應的函數問題，并賜予解決..一、常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型(為常數，)反比例函數模型(為常數且)二次函數模型（均為常數，）指數函數模型（均為常數，，，）對數函數模型（為常數，）冪函數模型（為常數，）二、幾類函數模型的增長差異函數性質在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩介于指數函數與對數函數之間,相對平穩圖象的改變隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個，當時，有三、函數模型的應用解函數應用題的一般步驟，可分以下四步進行：（1）細致審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型；（2）建立模型：將文字語言轉化為數學語言，利用數學學問，建立相應的數學模型；（3）求解模型：求解數學模型，得出數學結論；（4）還原解答：將利用數學學問和方法得出的結論，還原到實際問題中.用框圖表示如下：考向一二次函數模型的應用在函數模型中，二次函數模型占有重要的地位.依據實際問題建立二次函數解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等來求函數的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題.典例1依據調查，某地區有300萬從事傳統農業的農夫，人均年收入6000元，為了增加農夫的收入，當地政府主動引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時汲取當地部分農夫進入加工企業工作.據估計，假如有x(x>0)萬人進入企業工作，那么剩下從事傳統農業的農夫的人均年收入有望提高x%，而進入企業工作的農夫的人均年收入為6000a(1≤a≤3)元．（1）在建立加工企業后，多少農夫進入企業工作，能夠使剩下從事傳統農業農夫的總收入最大，并求出最大值；（2）為了保證傳統農業的順當進行，限制農夫進入加工企業的人數不能超過總人數的，當地政府如何引導農夫，即x取何值時，能使300萬農夫的年總收入最大．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）由題意，假如有x(x>0)萬人進入企業工作，設從事傳統農業的全部農夫的總收入為y萬元，則y=6000(1+x%)(300-x)=-60(x則圖象的對稱軸為x=100，拋物線開口向下，即當x=100時，y取得最大值為y=2400000(萬元)．即由100萬人進入企業工作，能夠使剩下從事傳統農業的全部農夫的總收入最大，最大為2400000萬元．（2）設300萬農夫的總收入為f(x)，0<x≤200，則f(x)=-60(x易知圖象的對稱軸為x=50(2+a)=100+50a，①當1≤a<2時，100+50a<200，當x=100+50a時，f(x)取得最大值；②當2≤a≤3時，100+50a≥200，當x=200時，f(x)取得最大值．綜上，當1≤a<2時，x=100+50a，能使300萬農夫的年總收入最大；當2≤a≤3時，x=200，能使300萬農夫的年總收入最大.1．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快削減庫存，商場確定實行適當的降價措施．經調查發覺每件襯衫降價1元，商場平均每天可多售出2件．（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？考向二指數函數、對數函數模型的應用（1）在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型表示.通常可以表示為(其中N為基礎數，p為增長率，x為時間)的形式.求解時可利用指數運算與對數運算的關系.（2）已知對數函數模型解題是常見題型，精確進行對數運算及指數與對數的互化即可.典例2一片森林原來面積為a,安排每年砍伐一些樹,且使森林面積每年比上一年削減p%,10年后森林面積變為.為愛護生態環境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林面積為.（1）求p%的值;（2）到今年為止,該森林已砍伐了多少年?（3）今后最多還能砍伐多少年?【解析】（1）由題意得,即,解得

.（2）設經過m年，森林面積變為,則,即，解得m=5,故到今年為止,已砍伐了5年.（3）設從今年起先,以后還可砍伐n年,則n年后的森林面積為,令,即,,,解得n≤15,故今后最多還能砍伐15年.典例3某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量與時間之間的關系為．已知后消退了的污染物，試求：（1）后還剩百分之幾的污染物．（2）污染物削減所須要的時間．（參考數據：，，）【解析】（1）由，可知時，，當時，，所以，當時，，所以個小時后還剩的污染物．（2）當時，有，解得，所以污染物削減所須要的時間為個小時．2．鹽化某廠確定采納以下方式對某塊鹽池進行開采：每天開采的量比上一天削減，10天后總量變為原來的一半，為了維持生態平衡，剩余總量至少要保留原來的，已知到今日為止，剩余的總量是原來的．（1）求的值；（2）到今日為止，工廠已經開采了幾天？（3）今后最多還能再開采多少天？考向三分段函數模型的應用（1）在現實生活中，許多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數．（2）分段函數主要是每一段上自變量改變所遵循的規律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規律找出來，再將其合在一起．要留意各段變量的范圍，特殊是端點．（3）構造分段函數時，要力求精確、簡潔，做到分段合理，不重不漏．典例4某公司利用APP線上、實體店線下銷售產品A，產品A在上市20天內全部售完.據統計，線上日銷售量ft、線下日銷售量gt（單位：件）與上市時間tt∈?N*天的關系滿意：ft=?????（1）設該公司產品A的日銷售利潤為F(t)，寫出F(t)的函數解析式；（2）產品A上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于5000元？【解析】（1）由題意可得：當1≤t≤10時，日銷售量為10t+-t2+20t=-當10<t≤15時，日銷售量為-10t+200+-t2+20t=-當15<t≤20時，日銷售量為-10t+200+-t2+20t=-綜上可得：F(t)=（2）當1≤t≤10時，由40(-t2+30t)≥5000當10<t≤15時，由40(-t2+10t+200)≥5000當15<t≤20時，20(-t故第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于5000元.3．經過市場調查，某種商品在銷售中有如下關系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的銷售價格(單位:元/件)為f(x)=第x天的銷售量(單位:件)為(a為常數),且在第20天該商品的銷售收入為1200元(銷售收入=銷售價格×銷售量).（1）求a的值,并求第15天該商品的銷售收入;（2）求在這30天中,該商品日銷售收入y的最大值.考向四函數模型的比較依據幾組數據，從所給的幾種函數模型中選擇較好的函數模型時，通常是先依據所給的數據確定各個函數模型中的各個參數，即確定解析式，然后再分別驗證、估計，選出較好的函數模型.典例5某工廠第一季度某產品月生產量依次為10萬件，12萬件，13萬件，為了預料以后每個月的產量，以這3個月的產量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量（單位：萬件）與月份的關系.模擬函數；模擬函數.（1）已知4月份的產量為13.7萬件，問選用哪個函數作為模擬函數較好？（2）受工廠設備的影響，全年的每月產量都不超過15萬件，請選用合適的模擬函數預料6月份的產量.【解析】（1）若用模擬函數1：，則有，解得，即，當時，．若用模擬函數2：，則有，解得，即，當時，．所以選用模擬函數1較好．（2）因為模擬函數1：是單調增函數，所以當時，生產量遠大于他的最高限量；模擬函數2：也是單調增函數，但生產量，所以不會超過15萬件，所以應當選用模擬函數2：好．當時，，所以預料6月份的產量為萬件.4．某創業投資公司擬開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資利益，現打算制定一個對科研課題組的嘉獎方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過收益的20%．（1）請分析函數是否符合公司要求的嘉獎函數模型，并說明緣由．（2）若該公司采納函數模型作為嘉獎函數模型，試確定最小正整數a的值．1．某學校開展探討性學習活動，一組同學獲得了下面的一組試驗數據：x1.992.845.18y0.991.582.012.353.00現有如下4個模擬函數：①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02．請從中選擇一個模擬函數，使它比較近似地反映這些數據的規律，應選A．① B．②C．③ D．④2．已知三個變量隨變量改變的數據如下表：則反映隨改變狀況擬合較好的一組函數模型是A． B．C． D．3．國家相繼出臺多項政策限制房地產行業，現在規定房地產行業收入稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為；超過280萬元的部分按征稅．現有一家公司的實際繳稅比例為，則該公司的年收入是A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元4．某高校為提升科研實力，安排逐年加大科研經費投入.若該高校2024年全年投入科研經費1300萬元，在此基礎上，每年投入的科研經費比上一年增長，則該高校全年投入的科研經費起先超過2000萬元的年份是(參考數據：，，)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年5．一個放射性物質不斷衰變為其他物質，每經過一年就有的質量發生衰變,剩余質量為原來的.若該物質余下質量不超過原有的，則至少須要的年數是A． B． C． D．6．生產肯定數量商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品萬件時的生產成本為（萬元），商品的售價是每件20元，為獲得最大利潤(利潤收入成本)，該企業一個月應生產該商品數量為A．萬件 B．萬件 C．萬件 D．萬件7．扶貧小組幫助某農戶建立一個面積為100m2的矩形養殖區，有一面利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元，則最低造價須要打算___________元.8．某種產品的產銷量狀況如圖所示，其中：l1表示產品各年年產量的改變規律；l2表示產品各年的銷售量改變（1）產品產量、銷售量均以直線上升，仍可按原生產安排進行下去；（2）產品已經出現了供大于求的狀況，價格將趨跌；（3）產品的庫存積壓將越來越嚴峻，應壓縮產量或擴大銷售量；（4）產品的產、銷狀況均以肯定的年增長率遞增.你認為較合理的是

（把你認為合理結論的序號都填上）.9．美國對中國芯片的技術封鎖，這卻激發了中國“芯”的探討熱潮.某公司研發的A，B兩種芯片都已經獲得勝利.該公司研發芯片已經耗費資金2千萬元，現在打算投入資金進行生產.經市場調查與預料，生產A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產B芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數關系為y=kxa(x>0)（1）試分別求誕生產A，B兩種芯片的毛收入y（千萬元）與投入資金x（千萬元）的函數關系式；（2）假如公司只生產一種芯片，生產哪種芯片毛收入更大？（3）現在公司打算投入4億元資金同時生產A，B兩種芯片，設投入x千萬元生產B芯片，用f(x)表示公司所得的利潤，當x為多少時，可以獲得最大利潤？并求最大利潤.（利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發耗費資金）10．某電動小汽車生產企業，年利潤（出廠價投入成本）年銷售量.已知上年度生產電動小汽車的投入成本為萬元/輛，出廠價為萬/輛，年銷售量為輛，本年度為打造綠色環保電動小汽車，提高產品檔次，安排增加投入成本，若每輛電動小汽車投入成本增加的比例為（），則出廠價相應提高的比例為.同時年銷售量增加的比例為.（1）寫出本年度預料的年利潤（萬元）與投入成本增加的比例的函數關系式；（2）為了使本年度的年利潤最大，每輛車投入成本增加的比例應為多少？最大年利潤是多少？11．在熱學中,物體在常溫下的溫度改變可以用牛頓冷卻定律來描述,假如物體的初始溫度是T0,經過肯定時間t后,溫度T將滿意T-Ta=12th(T0-Ta)12．習總書記在十九大報告中，提出新時代堅持和發展中國特色社會主義的基本方略，包括“堅持人與自然和諧共生，加快生態文明體制改革，建設漂亮中國”.目前我國一些高耗能低效產業（煤炭、鋼鐵、有色金屬、煉化等）的產能過剩，將嚴峻影響生態文明建設，“去產能”將是一項重大任務.十九大后，某行業安排從2024年起先，每年的產能比上一年削減的百分比為.（1）設年后（2024年記為第1年）年產能為2024年的倍，請用表示;（2）若，則至少要到哪一年才能使年產能不超過2024的25%？參考數據：,.13．某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得25萬元~1600萬元的投資收益，現打算制定一個對科研課題組的嘉獎方案：獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加，獎金不超過75萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．(即：設嘉獎方案函數模型為y=f(x)時，則公司對函數模型的基本要求是：當x∈[25，1600]時，①f(x)是增函數;②f(x)75恒成立;③恒成立．（1）推斷函數是否符合公司嘉獎方案函數模型的要求，并說明理由;（2）已知函數符合公司嘉獎方案函數模型要求，求實數a的取值范圍．1．（2024四川文科）某公司為激勵創新，安排逐年加大研發資金投入.若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發資金起先超過200萬元的年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年2．（2015四川文科）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿意函數關系（為自然對數的底數，k，b為常數）.若該食品在0的保鮮時間是192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是A．16小時 B．20小時C．24小時 D．28小時3．（2014湖南理科）某市生產總值連續兩年持續增加.第一年的增長率為，其次年的增長率為，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為A．B．C．D．4．（2024浙江）已知，函數在區間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________.5．（2024年高考北京文、理數）李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付勝利后，李明會得到支付款的80%．①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．變式拓展變式拓展1．【答案】（1）每件襯衫要降價20元；（2）每件襯衫降價15元時每天盈利最多．【解析】設每件襯衫降價x元，每天獲利y元，則每件盈利元，每天銷量為件．∴．（1）由，得或.因為要盡快削減庫存，在獲利相同的條件下，降價越多，銷售越多，故每件襯衫應降價20元．答：每件襯衫要降價20元．（2），∴當時，元．答：每件襯衫降價15元時每天盈利最多．【名師點睛】本題主要考查二次函數的應用，熟記二次函數的性質即可，屬于常考題型.2．【解析】設總量為，由題意得：（1），解得．（2）設到今日為止，工廠已經開采了天，則，即，解得．（3）設今后最多還能再開采天，則，即，即，得，故今后最多還能再開采25天．3．【答案】（1）a=50，第15天該商品的銷售收入為1575元；（2）當x=5時,該商品日銷售收入最大,最大值為2025元.【解析】（1）當x=20時,由,解得a=50.從而可得,即第15天該商品的銷售收入為1575元.（2）由題意可知y=即y=當1≤x≤10時,.故當x=5時y取最大值,.當10<x≤30時,.故當x=5時,該商品日銷售收入最大,最大值為2025元.【名師點睛】（1）許多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就須要構建分段函數模型.（2）求函數最值常利用基本不等式法、導數法、函數的單調性等方法．在求分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．4．【解析】（1）對于函數模型，當時,為增函數,,所以fx≤9但當x=10時,f10=1故函數模型y=x（2）對于函數模型,即，當3a+20>0,即a>-20為使gx≤9對于x∈10,1000恒成立,即要g為使gx≤x5對于即x2-48x+15a≥0恒成立,即又24∈10,1000,故只需15a-576≥0,所以a≥綜上,a≥9823,故最小的正整數a的值為考點沖關考點沖關1．【答案】C【解析】依據表中數據，畫出圖象如下：通過圖象可以看出，y=log2x能比較近似地反映這些數據的規律．故選C．2．【答案】B【解析】從題表格可以看出，三個變量都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量的增長速度最快，呈指數函數改變，變量的增長速度最慢，呈對數型函數改變，故選B.3．【答案】D【解析】設該公司的年收入為a萬元，則280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，解得a==320．故選D．4．【答案】B【解析】若年是第一年，則第年科研費為，由，可得，得，即年后，到年科研經費超過萬元，故選B．5．【答案】B【解析】設原物質的質量為單位1，一年后剩余質量為原來的，兩年后變為原來的，依此類推，得到年后質量是原來的，只須要故n取4.故答案為B.【名師點睛】本題主要考查函數模型的選擇與應用、增長率的概念、指數函數等基礎學問，考查數學建模實力，屬于基礎題．6．【答案】B【解析】由題意可得，獲得最大利潤時的收入是萬元，成本是，所以此時的利潤為，當且僅當時，取最大值.故選B.【名師點睛】本題主要考查函數的應用，依據題意列出函數的表達式，進而可求出結果，屬于基礎題型.7．【答案】3200【解析】設正面鐵柵長為，兩側墻長為，則,于是造價為,則，當且僅當即時取等號,故填.【名師點睛】本題考查利用基本不等式解決實際問題，主要采納基本不等式求解最小值的方法.8．【答案】（2），（3）【解析】產品產量、銷售量均以直線上升，但表示年產量的直線l1斜率大，上升快，l2斜率小，上升慢，所以隨著x的增加，兩者差距加大，出現了供大于求的狀況，庫存積壓越來越9．【答案】（1），y=x(x>0)；（2）詳見解析；（3）x=4千萬元時，公司所獲利潤最大，最大利潤9【解析】（1）由已知易得生產A芯片的毛收入為；將(1,1)，(4,2)所以，生產B芯片的毛收入y=x（2）由x4>x由x4=x由x4<x所以，當投入資金大于16千萬元時，生產A當投入資金等于16千萬元時，生產A、B芯片的毛收入相等；當投入資金小于16千萬元時，生產B芯片的毛收入大.（3）公司投入4億元資金同時生產A，B兩種芯片，設投入x千萬元生產B芯片，則投入(40-x)千萬元資金生產A芯片，公司所獲利潤f(x)=40-x故當x=2，即x=4千萬元時，公司所獲利潤最大，最大利潤為910．【答案】（1）（）；（2），.【解析】（1）由題意，得（），即（）.（2）.∴當時，取得最大值，為，∴每輛車投入成本增加的比例為時，本年度的年利潤最大，且最大年利潤是萬元.11．【答案】25.9【解析】依題意，可令T0=195，T=105，Ta=75，t=20，代入式子得又若T=