PAGEPAGE13.2.2函數模型的應用實例A級基礎鞏固一、選擇題1．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時間t的關系圖象如圖，則t＝2時，汽車已行駛的路程為(C)A．100km B．125kmC．150km D．225km[解析]t＝2時，汽車行駛的路程為：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故選C．2．某公司聘請員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x1≤x＜10，x∈N*,2x＋1010≤x＜100，x∈N*,1.5xx≥100，x∈N*))，其中，x代表擬錄用人數，y代表面試人數，若應聘的面試人數為60，則該公司擬錄用人數為(C)A．15 B．40C．25 D．130[解析]令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿意題意：若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意，故擬錄用人數為25，故選C．3．設某產品2024年12月底價格為a元(a>0)，在2024年的前6個月，價格平均每月比上個月上漲10%，后6個月，價格平均每月比上個月下降10%，經過這12個月，2024年12月底該產品的價格為b元，則a，b的大小關系是(A)A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能確定[解析]由題意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故選A．4．一天，亮亮發燒了，早晨6時他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午12時亮亮的體溫基本正常，但是下午18時他的體溫又起先上升，直到半夜24時亮亮才感覺身上不那么發燙了．則下列各圖能基本上反映出亮亮一天(0～24時)體溫的改變狀況的是(C)[解析]從0時到6時，體溫上升，圖象是上升的，解除選項A；從6時到12時，體溫下降，圖象是下降的，解除選項B；從12時到18時，體溫上升，圖象是上升的，解除選項D．5．(2024·濟南濟鋼中學高一期中測試)某種新藥服用xh后血液中殘留量為ymg，如圖所示為函數y＝f(x)的圖象，當血液中藥物殘留量不小于240mg時，治療有效．設某人上午800第一次服藥，為保證療效，則其次次服藥最遲的時間應為(C)A．上午1000 B．中午1200C．下午400 D．下午600[解析]由圖象可知，當x∈[0,4]時，設y＝kx，代入點(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.當x∈[4,20]時，設y＝kx＋b，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝320,20k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－20,b＝400)).∴y＝400－20x.當x∈[0,4]時，由80x≥240，得3≤x≤4，當x∈[4,20]時，由400－20x≥240，得4≤x≤8，∴3≤x≤8.∴其次次服藥應在第一次服藥8小時后，即當日1600時．6．某企業生產總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]設年平均增長率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C．二、填空題7．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特別動物．已知該動物繁殖數量y(只)與引入時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數量為100，則到第7年它們的數量為__300__.[解析]將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，則y＝100log2(x＋1)，所以當x＝7時，y＝100log2(7＋1)＝300.8．某商人購貨，進價已按原價a扣去25%，他希望對貨物訂一新價b，以便按新價讓利20%銷售后仍可獲得售價25%的純利，則此商人經營這種貨物的件數x與按新價讓利總額y之間的函數關系式是__y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)__.[解析]依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．三、解答題9．某企業生產A，B兩種產品，依據市場調查與預料，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．(1)分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；(2)已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？②問：假如你是廠長，怎樣安排這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？[解析](1)設A，B兩種產品分別投資x萬元，x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元．由題意可設f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).依據圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴總利潤y＝8.25萬元．②設B產品投入x萬元，A產品投入(18－x)萬元，該企業可獲總利潤為y萬元．則y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，則y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴當t＝4時，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此時x＝16,18－x＝2.∴當A，B兩種產品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業獲得最大利潤，約為8.5萬元．B級素養提升一、選擇題1．一個人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25m時，交通燈由紅變綠，汽車以1m/s2的加速度均加速開走，那么(D)A．人可在7s內追上汽車B．人可在10s內追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5mD．人追不上汽車，其間距最少為7m[解析]設汽車經過ts行駛的路程為sm，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，當t＝6時，d取得最小值為7，故選D．2．依據統計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))x＜A,\f(c,\r(A))x≥A))(A，c為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30min，組裝第A件產品用時15min，那么c和A的值分別是(D)A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16[解析]由題意知，組裝第A件產品所需時間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產品所需時間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.3．商店某種貨物的進價下降了8%，但銷售價不變，于是這種貨物的銷售利潤率(eq\f(銷售價－進價,進價)×100%)由原來的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于(B)A．12 B．15C．25 D．50[解析]設原來的進貨價為m元，則由題意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故選B．4．一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現以勻稱速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，假如水深h時水的體積為V，則函數V＝f(h)的圖象大致是(D)[解析]水深h越大，水的體積V就越大，故函數V＝f(h)是遞增函數，一起先增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的，故選D．二、填空題5．一種特地侵占內存的計算機病毒，開機時占據內存2KB，然后每3min自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，那么開機后經過__45__min，該病毒占據64MB內存(1MB＝210KB)．[解析]設過n個3min后，該病毒占據64MB內存，則2×2n＝64×210＝216?n＝15.故時間為15×3＝45(min)．6．(2024·濟南濟鋼中學高一期中測試)生物機體內碳14的半衰期(剩留量為原來的一半所須要的時間)為5730年，某古墓一文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的77%，試推算該古墓距出土時約有__2_161__年．(參考數據：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，結果精確到年)[解析]設生物死亡的年數為x年，由題意得(eq\f(1,2))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴該古墓距出土時約有2161年．三、解答題7．某商品在近30天內每件的銷售價格p(元)和時間t(天)的函數關系為：p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25,－t＋10025≤t≤30))(t∈N*)．設商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數關系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天．[解析]設日銷售金額為y(元)，則y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25,t2－140t＋400025≤t≤30)).(1)當0<t<25且t∈N*時，y＝－(t－10)2＋900，所以當t＝10時，ymax＝900元．(2)當25≤t≤30且t∈N*時，y＝(t－70)2－900，所以當t＝25時，ymax＝1125元．綜合(1)，(2)得ymax＝1125元．因此這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天達到日銷售金額最大．8．2024年，某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經驗了從虧損到盈利的過程，如圖所示的二次函數圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤S(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和S與t之間的關系)．依據圖象供應的信息解答下列問題：(1)由已知圖象上的三點坐標，求累積利潤S(萬元)與時間t(月)之間的函數關系式；(2)求截止到第幾月末公司累積利潤可達到30萬元；(3)求第八個月公司所獲利潤是多少萬元？[解析](1)由二次函數圖象可知，設S與t的函數關系式為S＝at2＋bt＋c(a≠0)．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,4a＋2b＋c＝－2,25a＋5b＋c＝2.5))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,4a＋2b＋c＝－2,c＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,16a＋4b＋c＝0,c＝0)).無論哪個均可解得a＝eq\f(1,2)，b＝－2，c＝0；∴所求函數關系式為S＝eq\f(1,2)t2－2t.(2)把S＝30代入，得30＝eq\f(1,2)t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，∴截止到第十個月末公司累積利潤可達到30萬元．(3)第八個月公司所獲利潤為eq\f(1,2)×82－2×8－eq\f(1,2)×72＋2×7＝5.5，∴第八個月公司所獲利潤為5.5萬元．9．諾貝爾獎發放方式為：每年一發，把獎金總額平均分成6份，嘉獎給分別在6項(物理化學、文學、經濟學、生理學或醫學、和平)為人類作出最有益貢獻的人，每年發放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎金數逐年增加．假設基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：2015年諾貝爾發放后基金總額為19800萬美元．設f(x)表示第x(x∈N＋)年諾貝爾獎發放后的基金總額．(2015年記為f(1)，2024年記為f(2)，…，依次類推)(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并依據所求結果歸納出函數f(x)的表達式；(2)試依據f(x)的表達式推斷網上一則新聞“2025年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”是否為真，并說明理由．(參考數據：1.03129≈1.32)[解析](1)由題意知f(2)＝f(