專題1L1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】.....................................................1

【考點2三線八角中的截線問題】...............................................................2

【考點3根據平行線的判定與性質進行證明】.....................................................3

【考點4直線旋轉中的平行線的判定】............................................................5

【考點5與垂線有關的角度計算或證明】.........................................................6

【考點6利用平行線的判定與性質計算角度】.....................................................8

【考點7平行線的性質在生活中的應用】.........................................................9

【考點8利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】.........................................11

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................12

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................14

【考點11平行線在折疊問題的運用】.............................................................16

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................17

【考點13平行線中的規律問題】................................................................19

【考點14平行線中的轉角問題】................................................................21

【題型15生活中的平移現象】..................................................................22

【題型16圖形的平移】.........................................................................23

【題型17利用平移的性質求解】................................................................24

【題型18利用平移解決實際問題】..............................................................25

腦露〒一更三

【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉?七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.（31和團2是同旁內角B.01和（33是對頂角

C.133和04是同位角D.國1和04是內錯角

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大

拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內角、同位角、內錯角

B.同位角、內錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內角

D.同位角、內錯角、同旁內角

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是（）

B.團2與03是內錯角

C.（3A與I2B是同旁內角

D.團A與幽是同位角

【變式1-3］（2022?河南?商水縣希望初級中學七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內錯角有b對，同旁

內角有c對，則a+b-c的值是

【考點2三線八角中的截線問題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學七年級期末）如圖，已知（31和吸是內錯角，則下列表述正確的是（）

D

E

A.01和團2是由直線A。、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直線AD、AC被BZ）所載形成的

C.團1和（32是由直線D4、被CE所截形成的

D.m1和團2是由直線D4、08被AC所載形成的

【變式2-1］（2022?山東濟寧?七年級期末）如圖，4ABD與乙8。。是（）形成的內錯角

A.直線4D、BC被直線所截B.直線48、。。被直線B。所截

C.直線力8、G）被直線4c所截D.直線力0、BC被直線4c所截

【變式2-2］（2022?甘肅?隴西縣鞏昌中學七年級期末）如圖，02與同3是直線,被第三條直線

所載形成的.

【變式2-3］（2022?全國?七年級）如圖所示，從標有數字的角中找出:

⑴直線C。和被直線AC所截構成的內錯角.

（2）直線CO和AC被直線AO所截構成的同位角.

（3）立線AC和被直線BC所截構成的同旁內角.

【考點3根據平行線的判定與性質進行證明】

【例3】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：Z1=Z2,求證：乙B=笈.

證明：回乙1=42（已知），

0II（）.

0Z/1=乙BED（）.

I3Z/1=Z-D（已知），

0ZFED=ZD（等量代換）.

0II（）.

團4B=LC（）.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖所示，ABWCD,更線￡“分別交A。，CD

于點G,H,"N是團O”G的平分線.

⑴如果GM是團8GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和"N的位置關系;

證明:^ABWCD,

國38GE=（兩直線平行，同位角相等.）

團G做是（3BGE的平分線，

0==；NBGE

-------------------------------2

077/V是回O"G的平分線

團==-Z-DHG

-----------------------------2

豳MGE=I2M7G（等量代換）

團G0和”N的位置關系是,（）.

⑵如果GM是0AG”的平分線，（如圖②）（1）中的結論還成立嗎？（不必證明）

（3）如果G/W是133G〃的平分線，（如圖③〉＜1）中的結論還成立嗎？如果不成立，與"N又有怎樣的

位置關系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式3-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：ABWCD,CD\\EF,AE平分團BAC,AC^CE,有以

卜結論：①②2團1-附=90°：③2團3-團2=180°；④阻*4=135°,其中，正確的結論有.（填序

號）

【變式3-3]（2022?廣東?廣州市第四中學匕年級期末）如圖1,在四邊形/WCO中，AD||BC,0A=0C.

⑴求證：0B=0D；

（2）如圖2,點E在線段4。上，點G在線段4。的延長線上，連接3G,BAEB=2X,求證：BG是（3E8C的

平分線；

（3）如圖3,在⑵的條件下，點石在線段A。的延長線上，團EQC的平分線?！苯籅G于點H,若（MBE=66。,

求的度數.

【考點4直線旋轉中的平行線的判定】

【例4】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板48繞中點。上下轉動，立柱OC與

地面垂直，當橫板回的A端著地時，測得乙。水？=28。，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可

以轉動的角度為（）

B

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式4-1]（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條“，〃與c釘在一起，41=75。，要使木條。與b平

行，木條。順時針旋轉了35。，團2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式4-2]（2022?云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊8C,DF

在同一條直線上，現將三角板。石尸繞點。順時針旋轉，當第一次與AB平行時，4CDF的度數是（

A.15°B.30°C.45°D.75°

【變式4-3]（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線LII%，現將一個含30。角的直角三角板的銳角頂點B放

在直線％上，將三角板繞點B旋轉，使直角頂點C落在。與o之間的區域，邊AC與直角，1相交于點0,若N1=

35。，則圖中的乙2的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考點5與垂線有關的角度計算或證明】

【例5】（2022?湖南?測試?編輯教研五七年級期末）如圖，已知阻幡C,02=03,FGH4C「G,你能說明8。

與AC互相垂直嗎？

【變式5-1]（2022?安徽合肥?七年級期木）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據.

如圖，已知OG〃B4EF1BC,乙1二42.試證明：AD1BC.

解：因為。G〃B4（已知），

所以N2=NB4D（）.

因為△1=Z2（已知）,

所以（等量代換），

所以EF〃（）.

所以NEFB=（兩直線平行，同位角相等）

因為1BC（已知），

所以NEFB=90。（）.

所以44/5F=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式5-2]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，ABLAC,垂足為力，41=30。，ZF=60°.

（1）AD與BC平行嗎？為什么？

（2）根據題中的條件，能判斷力8與。。平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行（不必說明理由）.

【變式5-3]（2022?全國?七年級）己知：直線MN、PQ被A3所截，且MN3PQ,點C是線段從8上一定點,

點D是射線4N上一動點，連接CD.

⑴在圖1中過點C作CE3CD,與射線BQ交于七點.

①依題意補全圖形：

②求證：（L4DC+0BEC=9O°；

⑵如圖2所示，點F是射線BQ上一動點,連接CF,^DCF=a,分別作回NDC與回C/Q的角平分線交于點G,

請用含有a的代數式來表示回。GF,并說明理由.

【考點6利用平行線的判定與性質計算角度】

【例6】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在A/IBC中，點Z）,E分別在AB,AC上，點凡G在BC上,

EF與DG交于點O,Z1+Z2=180°,Z-B=Z3.

⑴判斷QE與BC的位置關系，并證明；

（2）若4IE。+AEFC=118°,求乙4的度數.

【變式6-1]（2022?河南溪河?七年級期末）已知:如圖,0A=a4DE,0C=0E.

（1）若OEDC=3E1C,求阿。的度數;

⑵判斷BE與CD的位置關系，并證明你的猜想.

【變式6-2］（2022?廣東湛江?七年級期末）如圖所示，已知射線C訓04乙C=Z.OAB=110%E、F在CB上,

且滿足，尸。3=/力。8,OE平分乙COF,根據上述條件，解答下列問題：

（1）證明：OCHAB；

⑵求NE08的度數；

⑶若平行移動A8,那么ZOBCOFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由.

【變式6-3］（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是助08的04邊上一點（點C不與點。重合），

點D是MO8內部一點，射線C。不與。8相交.

⑴如圖1,MO8=90。，回。CO=120。，過點0作射線0E,使得。6/CD.（其中點后在財08內部）.

①依據題意，補全圖1;

②直接寫出（38。月的度數.

（2）如圖2,點尸是射線08上一點，且點尸不與點O重合，當乙1。8二履0。＜。4180。）時，過點尸作射線

尸凡使得尸"〃CO（其中點〃在0/10/的外部），用含a的代數式表示00（7。與團"”的數量關系，井證明.

【考點7平行線的性質在生活中的應用】

【例7】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB團直線CD,光線EF經

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，01=1212,團3=團4,卜列結論：①直線EF平行于

直線GH；②團FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③團BFE的角平分線所在的直線垂直于回4的角平

分線所在的直線；④當CD繞點G順時針旋轉90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【變式7-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP,一束光線4B射在其中一

若平行，請給予證明

【變式7-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）（1）若組成21和42的兩條邊互相平行，且N1是N2的2倍小15。,

求/I的度數.

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,汴與上拉桿CF形成的NF=145。，主柱力。

垂直廣地面，通過調整CF和后拉桿8C的位置來調整籃筐的高度,當乙。。8=25。時，點，，Q,B在同一直

線上，求4”的度數.

【變式7-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（4B0CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自力逆時針旋轉至P8便立即回轉，燈。射線自QD

逆時針旋轉至OC便立即回轉，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設燈P轉動的速度是10度/秒,

燈Q轉動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉至P8,或者燈Q自Q。轉至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間；

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚,求團PMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點8利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】

【例8】（2022?河北唐山?七年級期末）己知三角形A3C,￡州力。交直線48于點區DFII4B交直線AC于點。.

圖1備用圖

（1）如圖1,若點、F在邊BC上,直接寫出乙與NEFO的數量關系；

⑵若點尸在邊BC的延長線上，（1）中的數量關系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數量關系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知4MII8N,，是射線AM上一動點（不與點4重合），

BC,8。分別平分M8。與團尸BN,分別交射線AM于點C,D.

（1）若41=50°,求乙C3D的度數；

⑵在點。的運動過程中，回8%與國3D4的數量關系是否隨之發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請

求出團8四與班OA的數量關系；

⑶當點P運動到使時，探究團48c與團￡WN的數最關系，并證明你的結論.

【變式8-2］（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：直線A8IIC0,經過直線4?上的定點P的直線EF交CO于點

。，點M,N為直線。。上的兩點，且點M在點。右側，點N的左側時，連接PM,PN,滿足4MPN=4MNP.

⑵如圖2,射線PQ為乙MPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與ZP0M之間的數量關系，并證明.

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形ABC中，點。在線段AC上，DEIIBC交A8于點E,

點F在線段4B上（點尸不與點4E,B重合），連接。F,過點。作?G1FD交射線CB于點G.

圖1

⑴如圖1,點尸在線段8E上，

①用等式表示因后。尸與回BGf的數量關系，并說明理由；

②如圖，求證：Z-ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵當點尸在線段AE上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示團?。┦c團8G戶的數量關系，不

需證明.

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】

【例9】（2022?四川德陽?七年級期末）己知：AB||CD,點P、0分別在AB、CO上，在兩直線間取一點￡

⑴如圖1,求證：LE=LAPELCQEX

⑵將線段EQ沿。C平移至/G,ZCGF的平分線和NAPE的平分線交于直線A8、CO內部一點依

①如圖2,若乙<=9。。，求N”的度數；

②如圖3,若點/在直線48、CZ）內部，且77平分NBPE,連接若4/一=m。，zF=n°,請直接

寫出，〃與〃的數量關系，不必證明.

【變式9-1］（2022?廣東梅州?八年級期末）已知：財。8=a（0°<a<90o）,一塊三角板CDE中，^CED

=90。，0CD￡=3O%將三角板CO￡如圖所示放置，使頂點。落在04邊上，經過點O作直線交

04邊于點用，且點M在點D的左側.

圖2

（1）如圖1,若CE^OA,EF^MN,?NDE=45°,求a的度數；

⑵若團A/OC的平分線。尸交08邊于點立如圖2,當?！?04,且。=60。時，證明：CEI30A.

【變式9-2］（2022?陜西西安?八年級期末）在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數學活動如圖1，已知兩直線a，b,月⑷歷和直角三角形ABC.4B&4=90°,LBAC=30°.

(1)在圖1中，01=46°,求團2的度數;

⑵如圖2,創新小組的同學把直線a向上平移,并把團2的位置改變，發現42-41=120。，說明理由;

⑶競賽小組在創新小組發現結論的基礎上，將圖2中的圖形繼續變化得到圖3,當AC平分（384M時，此時

發現（31與國2又存在新的數最關系，請寫出團1與團2的數量關系尹證明.

【變式9-3］（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點C在MN,

ST之間，且滿足（WAC+MCB+@S4C=360°.

（1）證明：MNIIST；

⑵如圖2,若財C8=60。，40|￡從點￡在線段4c上，連接A￡,且團。4￡=2回。47',試判斷團C4E與mCAN

的數量關系，并說明理由；

⑶如圖3,若勖C8=45。，點E在線段8C上，連接A￡,若團M4E=4回CBT,直接寫出回CA氏用C4N的值.

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】

【例10】（2022?云南普洱?七年級期末）已知三角板ABC中，0BAC=6O°,（38=30°,0C=9O°,長方形QEFG

中，DE//GF.如圖（1）,若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊G尸上，BC與。后相交于點M,AB^DE

于點N.

⑴請你直接寫出：0CAF=。，^EMC=

⑵若將一角板ABC按圖（2）所示方式擺放（/IB與。石不垂直），請你猜想I3EMC與團C人尸的數量關系？并

說明理由.

⑶請你總結（1）,（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究WiAG與配加。的數量關系？并說明理由.

【變式10-1】（2022?湖北武漢?七年級期末）直線48IICE,3￡一成?是一條折線段，80平分乙I8E.

圖1

(1)如圖1,若BPIICE,求證：Z.BEC+Z-DCE=180°；

（2）CQ平分NOCE,直線BP,CQ交于點F.

①如圖2,寫出48EC和NBFC的數最關系，并證明；

②當點￡在直線4從CO之間時，若乙3￡C=40。，直接寫出乙BFC的大小.

【變式10-2】（2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末）細觀察，找規律.

（1）下列各圖中的與N4平行.

①圖①中的+乙5度.

②圖②中的匕4+4+乙小=度?

③圖③中的乙4+乙42+乙43+=度.

④圖④中的4Th+4力2+，力3+乙44+乙生=度.

⑤第⑩個圖中的+上力2+乙的+…+441=度.

⑥）第71個圖中的乙41+乙4?+乙%+…+乙*+1=度.

（2）下列各圖4s8〃C0.

①圖甲中乙8、乙C、NBEC的數量關系是

②圖乙中乙E,乙G,乙F,4c的數量關系是.

③圖丙中乙8,乙E,匕F,4乙H,乙M,乙。的數量關系是.

【變式10-3】（2022?北京師范大學附屬實驗中學分校七年級期天）已知，如圖1,射線PE分別與直線A3,

相交于E、F兩點,胡F。的平分線與直線A8相交于點M,射線PM交CO于點M設回PFM=a。，0EMF

=E°,且，80-2。+|4-40|=0

AGE.A￡

（l）a=___，B=____:直線48與。。的位置關系是___；

（2）如圖2,若點G、”分別在射線M4和線段M尸上，且圖WGH=[3PNF,試找出回產MN與回G”產之間存在的

數量關系，并證明你的結論；

⑶若將圖中的射線PM繞著端點尸逆時針方向旋轉（如圖3）,分別與AB、CD相交于點M/和點N/寸，作

助M18的角平分線Ml。與射線FM相交于點Q,問在旋轉的過程中等的值是否改變？若不變，請求出其

值；若變化，請說明理由.

【考點11平行線在折疊問題的運用】

【例11】（2022?山東濰坊?七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD〃8C,則翻折角乙1

與/2一定滿足的關系是（）

A.Z1=242B.41+乙2=90。C.Z1-Z2=30°D.241一342=30°

【變式11-1】（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學七年級期末）如圖，四邊形A8CD中，點M、N分別在

AB.BC上,將團8WN沿MN翻折，得團FMN,若FNWC,則（38=（）

D

\iiir，

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式11-2]（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中,0ACB=9O°,將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE0BC.

【變式11-3】（2022?江蘇?常州市笫二十四中學七年級期末）在0ABC中，13B4C=9O。，點。是BC上一點,

將的和沿A。翻折后得到（MED,邊AE交BC于點、F.

⑴如圖①，當AHaBC時\寫出圖中所有與（3B相等的角：；所有與（3C相等的角：.

（2）若團。一姐=50°,0fiAD=x0（O<^45）.

①求mB的度數；

②是否存在這樣的x的值，使得回DE/中有兩個角相等.若存在，并求4的值；若不存在，請說明理由.

【考點12平行線在三角尺中的運用】

【例12】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，4C邊重合，^BAC=45°,

^DAC=30。.接著如圖2保持三角板88c不動，將三角板4co繞著點C按順時針以每秒15。的速度旋轉90。后

停止.在此旋轉過程中，當旋轉時間t=秒時，三角板AC。'有一條邊與三角板48c的一條邊

恰好平行.

【變式12-1]（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點。與點E重

合，8C邊與EF邊都在直線2上，若直線且MN經過點D,則NCDN=

【變式12-2]（2022?四川達州?八年級期末）一副三角板IDE和ABC按如圖1所示放置，點8在斜邊AD

上，其中團E=I3BAC=90。，0D=45°,0C=3O°.現將三角板AQE固定不動，三角板ABC繞點A順時針旋轉

a（0。<a<180。），使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當團BAZ）=15。時，BCIIDE,則1384。其

他所有可能符合條件的度數為.

圖1圖2

【變式12-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，石在AC

上，ZC=^DAE=90°,ZF=60°,40=45。.小明將△4。石從圖中位置開始，繞點4按每秒6。的速度順

時針旋轉一周，在旋轉過程中，第秒時，邊48與邊OE平行.

【考點13平行線中的規律問題】

【例13】（2022?山東泰安?期末）如圖，ABIICD,點E為兩直線之間的一點

圖1圖2圖3圖4

（1）如圖1,若乙BAE=35°,乙DCE=20°,則乙4EC=；

（2）如圖2,試說明，LBAE+^AEC+^ECD=360°；

⑶①如圖3,若的平分線與NDCE的平分線相交于點R判斷/NEC與乙4FC的數量關系，并說明理由；

②如圖4,若設/E=m,/-BAF=^FAE,^DCF=^FCE,請直接用含機、〃的代數式表示NF的度數.

【變式13-1］（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境：

如圖1,A的CO,團辦8=130。，0PCD=12O°.求（MPC的度數.小明的思路是：過夕作。國4B,通過平行

線性質，可得lMPC=a4PE+團CP￡=50°+60°=110°.

問題解決：

（1）如圖2,A83CQ,直線/分別與A8、CO交于點M、N,點。在直線/上運動，當點尸在線段MN上運

動時（不與點M、N重合），^PAB=a,回產CO=B，判斷財產C、a、B之間的數量關系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時.請直接寫出財PC、a、B之間的數

量關系；

（3）如圖3,AB^CD,點P是48、CO之間的一點（點夕在點A、C右側），連接玄、PC,（28AP和團。CP

的平分線交于點Q.若0Ape=116。，請結合（2）中的規律，求ELAQC的度數.

圖1圖3

【變式13-2]（2022?四川?樹德中學七年級期末）（1）如圖①,已知ABIICD,圖中乙1,△2,r3之間有什

么關系？

（2）如圖②，已知A8IICD,圖中乙1,乙2,乙3,Z4之間有什么關系？

（3）如圖③，已知ABIICD,請直接寫出圖中41,42,匕3,Z4,45之間的關系

（4）通過以上3個問題，你發現了什么規律?

【變式I3-3J（2022?北京市第一零一中學溫泉校區七年級期末）喜歡思考的小澤同學，設計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對邊PN團QM（紙條的長度視為可延伸），在PN,QM上分別找一點A,B,

使得回ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使與BA在同一條直線上，折痕記為

解決下面的問題:

（1）聰明的小白想計算當a=90。時，的度數，于是他將圖2轉化為下面的幾何問題，請幫他補全

問題并求解：如圖3,PN13QM,A,B分別在PN,QM上，且13ABM=90°,由折疊：8%平分,,

求叫/?1"的度數.

（2）聰穎的小桐提出了?個問題：按圖2折疊后，不展開紙條.再沿ARi折疊紙條（如圖4）,是否有可

能他1M〃團BRi?如果能，請直接寫出此時a的度數；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當0。＜0490。時，將圖2；己為第一次折疊：將紙條展開，作第二次折

疊，使與BRi在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使與BR?

在同一條直線上，折痕記為BR3；...以此類推.

①第二次折疊時，防&"=（用a的式子表示）；

②第n次折疊時，魴（用a和n的式子表示）.

【考點14平行線中的轉角問題】

【例14】（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉學校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現將因CQE繞點C順時針旋轉，旋轉角為a（旋轉角0。＜。＜360。，請探究下列問題：

⑴如圖2,當旋轉角滿足（TVaW60。時，請寫出回3C。與國4CE的關系，并說明理由；

⑵如圖3,當旋轉角滿足60。VaW120。時，請寫出國8CE與國4C。的關系，并說明理由；

⑶當。后〃8c時請直接寫出旋轉角的度數.

【變式14-1】（2022?福建泉州?七年級期末）現有一塊含30。角的直角三角板4。8,其直角頂點。在直線，上,

將三角板力。8繞著點。按逆時針方向旋轉42的度數（0。＜乙2〈360。）.

請你解決下列問題：

⑴當42的度數為多少時，力用〃（不必說理）；

（2）如右圖，作力于點C,BD工I于點、D,試探究：圖中提供的字母或數字能表示的所有角：不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式14-2】（2022?河南?漂河市邸城區邸城初級中學七年級期末）如圖1,已知PQIIMN,點4,8分別

在MN,PQ上,且NB4N=45。，射線AM繞點A順時針旋轉至AN便立即逆時針回轉（速度是a。/秒），射線

8P繞點8順時針旋轉至BQ便立跳逆時針回轉（速度是〃。/秒）、且〃、方滿足|Q—3|+3-1）2=0,

⑴Q=?b=；

（2）如圖2,兩條射線同時旋轉,設旋轉時間為/秒（t<60）,兩條旋轉射線交于點C,過C作CD1AC交PQ

于點D,求乙84。與“CD的數量關系；

（3）若射線BP先旋轉20秒,射線AM才開始旋轉,設射線AM旋轉時間為/秒（tV160）,若旋轉中AM||BP,

求i的值.

【變式14-3]（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,已知直線48IICD,Z.CMN=60°,射線ME從MD出發,

繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉，到達MC后立即以相同的速度返回，到達MD后繼續改變方向，

繼續按上述方式旋轉；射線N尸從M4出發，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉，到達N8后停止運動,

此時ME也同時停止運動.其中a,滿足方程組｛穿｝/；，.

（1）求a,b的值；

⑵若N尸先運動30秒，然后ME一起運動，設ME運動的時間為3當運動過程中ME||N/時，求t的值；

⑶如圖2,若ME與N尸同時開始轉動，在ME第一次到達MC之前，ME與NF交千點P,過點P作PQ_LME于

點P,交直線48于點Q,則在運動過程中，若設2NME的度數為m,請求出NNPQ的度數（結果用含血的代

數式表示）.

【題型15生活中的平移現象】

【例151（2022春?浙江湖州?七年級統考期末）下列現象中屬于平移的是（）

①方向盤的轉動；②打氣筒打氣時，活塞的運動；③鐘搜的擺動；④汽車雨刷的運動

A.①②B.②③C.①②④D.②

【變式15-1】（2022春?重慶璧山,七年級校聯考期中）今年4月，被稱為"豬兒蟲〃的璧山云巴正式運行.云

巴在軌道上運行可以看作是（）

A.對稱B.旋轉C.平移D.跳躍

【變式15-2】（2022春?湖北宜昌,七年級統考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時

從點A出發爬到點8,只考慮路徑、時間、路程等因素，下列結論正確的為（）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同時到D.無法確定哪只螞蟻先到

【變式15-3】（2022春?廣東廣卅七年級統考期末）如圖，人民公園內一塊長方形草地上原有一條1m寬的

筆直小路，現要將這條小路改造成彎曲小路,小路的上邊線向卜.平移1m就是它的卜.邊線，那么改造后小路

的面積（）

A.變大了B.變小了C.沒變D.無法確定

【題型16圖形的平移】

【例16】（2022春?內蒙古興安盟?七年級統考期末）2022年，中國舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運動會,

如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的圖形是（）

___z

■

A.B.

【變式16-1】（2022春?全國?七年級期末）卜列汽車標志中可以看作是由某圖案平移得到的是（）

D.

【變式16-2】（2022春?八年級單元測試）觀察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過①平移得到的圖

案是（）

①②③④⑤

A.②B.③C.@D.⑤

【變式16-3】（2022春?廣東深圳?八年級校考期中）下列圖案可以看作某一部分平移后得到的是（）

【題型17利用平移的性質求解】

【例17】（2022春?廣東江門?七年級統考期末）如圖，長方形4.BCQ的長A8為8,寬AD為6,將這個長

方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFG”，則陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.36D.40

【變式17-1】（2022春?全國?七年級專題練習）如圖，直角三角形48C的周長為2021,在其內部有5個小直

角三角形，且這5個小直角三角形都有一條邊與平行，則這5個小直角三角形周長的和為

【變式17-2】（2022秋?山東臨沂?八年級校考期中）如圖，將A/BC沿直線向右平移到達ABDE的位置,

若/C48=55°,Z-ABC=100°,則NCBE的度數為.

【變式17-3】（2022春?廣東韶關七年級統考期中）如圖，把邊長為2的正方形的局部進行圖①~圖④的

變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（）

【題型18利用平移解決實際問題】

【例18】（2022春?北京西城?七年級北京市西城外國語學校校考期中）如圖，公園里長為20米寬為10米

的長方形草地內修建了寬為1米的道路，則草地面積是平方米.

【變式18-1】（2022春?廣東東莞七年級東莞市光明中學?？计谥校┤鐖D，某酒店重新裝修后，準備在大廳

主樓梯上鋪設紅色地毯，其側面如圖所示，則需地毯一米.

【變式18-2】（2022春?全國?七年級專題練習）如圖（單位，m）,一塊長方形草坪中間有兩條寬度相等的

石子路（每條石子路間距均勻），請你求出草坪（陰影部分）的面積.

【變式18-3】（2022春?全國?七年級專題練習）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長方形的長均為10

個單位長度，寬均為5個單位長度）

在圖1中，將線段A8向上平移1個單位長度到得到封閉圖形（陰影部分）；

在圖2中，將折線（其中點B叫做折線ABC的一個"折點"）向上平移1個單位長度到折線〃夕L,得

到封閉圖形AA'B'C'CB（陰影部分）.

圖1圖2

問題解決:

⑴在圖3中，請你類似地畫一條有兩個“折點〃的折線，同樣向上平移1個單位長度，從而得到一個封閉圖

形，并用斜線畫出陰影部分：

（2）設圖1,圖2中除去陰影部分后乘IJ下部分的面積分別為工、S2,則S產平方單位；并比較大小：工

52（填"或"V"）；

⑶聯想與探索：如圖4.在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個單位長度），長

方形的長為小寬為兒請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是平方單位.（用含小人的式

子表示）

專題11.1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點I同位角、內錯角、同旁內角的判斷】....................................................27

【考點2三線八角中的截線問題】...............................................................29

【考點3根據平行線的判定與性質進行證明】....................................................31

【考點4直線旋轉中的平行線的判定】..........................................................37

【考點5與垂線有關的角度計算或證明】........................................................40

【考點6利用平行線的判定與性質計算角度】....................................................44

【考點7平行線的性質在生活中的應用】........................................................48

【考點8利用平行線的判定與性質探究角度之間的關系】.........................................54

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................60

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................67

【考點II平行線在折疊問題的運用】............................................................76

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................80

【考點13平行線中的規律問題】.................................................................84

【考點14平行線中的轉角問題】.................................................................92

【題型15生活中的平移現象】...................................................................99

【題型16圖形的平移】........................................................................101

【題型17利用平移的性質求解】................................................................103

【題型18利用平移解決實際問題】..............................................................105

【考點1同位角、內錯角、同旁內角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.和（32是同旁內角B.（31和03是對頂角

C.四和回4是同位角D.圉1和附是內錯角

【答案】A

【分析】根據對頂角、鄰補角、同位角、內錯角定義判斷即可.

【詳解】A.01和02是鄰補角，故此選項