高中數學總復習教學案一

第一單元集合與邏輯推理與證明

本章知識結構一

‘確定性

概念->元素性質-互異性

無序性

'列舉法

表示方法一“描述法

圖示法

集合f屬于關系

關系一>

包含關系

命題及其關系'

交集f且'充要條件

運算〈并集一或，邏輯聯結詞—常用邏輯用語

補集f非存在量詞與

全稱量詞

歸納推理

合情推理一

推理一類比推理

演繹推理

推理與證明->4

'綜合法

直接證明->?

證明-?分析法

間接證明->反證法

本章重點難點聚焦_

重點：(1)與集合有關的基本概念和集合的“并”、“交”、“補”運算。一

(2)全稱量詞、全稱命題、存在量詞、特稱命題等概念及應用。.

(3)充分、必要、充要條件的意義，兩個命題充要條件的判斷。一

(4)合情推理與演繹推理的概念和應用

(5)直接證明與間接證明的基本方法。一

難點：(1)有關集合的各個概念的含義以及這些概念之間的聯系。一

(2)含有一個量詞的命題的否定。一

(3)判斷充要條件時，區分命題條件和結論。.

(4)運用合情推理與演繹推理解決問題。一

(5)反證法的證明。一

本章學習中注意的問題：一

(1)在解答有關集合問題時，首先弄清代表元素，明確元素特點；當集合元素含有參

數時，注意元素互異性；在集合運算中注意邊界點、臨界點及空集可能性。一

（2）注意全稱命題，特稱命題的否定。.

（3）研究充分條件，必要條件，充要條件時注意聯系命題，注意原命題與逆否命題的

等價性。一

（4）注意數形結合，分類討論，等價轉化等思想方法的運用。一

本章高考分析及預測

（1）近幾年來，每年都有考查集合的題目，總體來說這部分試題有如下特點：一是

基本題，難度不大;二是大都以選擇題、填空題形式出現，有時是解答題的一個步驟。對于

集合的考查：一是考查對基本概念的認識和理解，二是對集合知識的應用。無論哪一種形式,

都以其他基礎知識為載體，如方程（組）、不等式（組）的解集等

（2）對于邏輯的考查主要考查四種形式的命題和充要條件，特別是充要條件，已經

在許多省市的試卷中單獨出現，命題形式：?是原命題與逆否命題的等價性（含最簡單的反

證法）；二是充要條件的判定。在考查基礎知識的同時，還考查命題轉換、推理能力和分析

問題的能力以及一些數學思想方法的考查。一

（3）推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實際上對推理的考查無處不在，從近幾

年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉換、邏輯分析和推理能力，證明是高考中常考

的題型之對于反證法很少單獨命題，但是運用反證法分析問題、進行證題思路的判斷經

常用到，有獨到之處。.

（4）預計在2009年的高考中，集合部分的試題還將以選擇題或填空題的形式出現，

主要考查集合語言與集合思想的運用，考查以集合為背景的應用性、開放性問題，命題將構

思巧妙、獨特新穎、解法靈活；而對于命題的考查與其它知識相結合，因此基本概念和技能

一定要落實好。

§1.1集合集合間的基本關系一

新課標要求一

1、了解集合的含義，元素與集合的“屬于關系”。一

2、能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題。一

3、理解集合之間的包含和相等的含義，能識別給定集合的子集。一

4、在具體情景下，了解全集與空集的含義。一

重點難點聚焦_

重點：(1)集合的概念與表示

(2)集合之間的基本關系。一

難點：(1)集合元素的性質：確定性、互異性、無序性。一

(2)元素與集合、集合與集合之間的關系以及符百q、e的應用。一

(3)空集的特殊性。一

高考分析及預測一

集合是數學中最基本的概念之一，集合語言是現代數學的基本語言，因此集合的概念以

及集合之間的關系是歷年高考的必考內容之一，本部分的考查一般有兩種形式：一是考查集

合的相關概念，集合之間的關系，題型以選擇題、填空題為主；：是考查集合語言、集合思

想的理解與應用，這多與其他知識融為一體，題型也是一般以選擇填空為主，單純的集合問

題以解答題形式出出現的幾率較小，多是與函數、不等式等聯系。在復習中還要特別注意，

新課標的中特別強調表達與描述同一問題的三種語言“自然語言、圖形語言、集合語言”之

間的關系，因此要注意利用韋恩圖數軸函數圖象相結合的作用，另外集合新定義信息題在近

幾年的命題中時有出現，注意研究。2009年是新課標命題第三年，預測在高考中部分會繼

續保持穩定難度不會太大，命題形式會更加靈活新穎

提組設計一

再現型題組一

1、填空一

(1)下列說法中①全中國的大胖子，②小于100的所有質數，③幸福中學高三1班同

學，④2008年北京奧運會的所有比賽項目，一

以上四個說法不能組成集合的是

(2)集合A=,2一%,24，則實數k的取值范圍是

2、選擇.

(1)設全集U=R，集合M={x|x<—l},N={x||x|>l}則下列關系中正確的是()_

A、M=NB、NuMC、MuNI)、NcgM=0

(2)給出如下關系式①au{a,b},②a,③0e{a}④0u{a}⑤

{a}工{a,b}⑥{a}q{a},其中正確的是()_

A、①②④⑤B、②③④⑤C、②④⑤D、②④⑤⑥.

鞏固型題組一

b

3.2008年第29屆奧運會在北京召開，現在三個實數的集合，既可以表示為{。,一,1},也可

a

以表示為則/。。8+02008=-

4.已知集合.

1b1c1

A=[x\x=a+-,aeZ},B={x\x=----,Z?GZ},C={X|X=—+—,CGZ},貝IJA,B,C

62326

之間的關系是。_

A.A=8uCB.AczB=CC.AuBuCD.AuBuC

5.設P,Q為兩個非空集合，定義集合P-^Q=[a+b\aeP,beQ},若

尸={0,2,5},Q={1,2,6},則P+。中元素的個數是

A.9B.8C.7D.6_

6.記函數/(1)=，2-三1的定義域為A,g(x)=lg[(x-?-1)(2。-x)](a<l)的定義域

為B..

(1)求A..

(2)若AU8=A,求實數a的取值范圍..

提高型題組.

7.已知dw{1,0,1},求實數x..

8.已知集合4=*，-31_1?0}0.

(1)若A,3={x|m+l?x?2m+l},求實數m的取值范圍.一

(2).若4=5,5={工|m—6<%426—1},求實數111的取值范圍..

(3)若Aq氏3={x|機一6Kx<2加一1},求實數m的取值范圍..

反饋型題組.

9.(08年江西)定義集合運算_

4*6={2|2=外,工￡44￡5},設4={1,2},8={0,2},則集合4*3的所有元素之和為

()o

A.0B.2C.3D.6

b1b1

10.設集合知={x|x=—+一,keZ},N={x|x=—+—女eZ},則正確的是（）

2442

A.M=N

B.MjN

C.M

D.MC\N=0

11.(08福建)設集合A=Jx|」<0},B={x|0<x<3},那么“〃?eA”是“meB”的

1x-1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件.

C.充要條件D,既不充分也不必要條件一

12.已知集合A={x|a—+4x+4=0,ae/?}只有一?個元素，貝!Ia=

13.已知集合A={x|0<ox+145},集合5=x|——<x^2?o

(1)若A項B,求實數a的取值范圍；_

(2)若BqA,求實數a的取值范圍；_

(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由。

14.設A為實數集，滿足〃￡A=＞」一wA,1eA,

1-a一

(1)若2￡A,求A;.

(2)A能否為單元素集？若能把它求出來，若不能，說明理由;

(3)求證：若A,則1一工￡4

a

15.已知集合A=—集合.

f13I

B=<y|y=--cos2x-sinx+,xeA>,_

其中‘TTW〃W乃，設全集I=R,欲使8qA,求實數a的取值范圍。

6

§1.2集合的運算

新課標要求

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

(2)理解在給定集合中的?個子集的補集的含義。會求給定子集的補集。

(3)能使用韋恩圖表達集合的關系及運算。

重點難點聚焦

并集、交集、補集的含義，以及兩個集合之間并、交、補的運算

高考分析及對策

(1)以考查集合的并、交、補等運算為主，同時注重韋恩，數軸應用，求并、交、補等數

形結合的思想的考查。

(2)本節在高考中常以選擇、填空題型考查，屬容易題。

題組設計

再現型題組

1.已知集合M={x|x,-3x-28W0},N={x|X)—x—6>0}貝ijAf6N為

A|-4<x<-2§￡3<x<7}B{x|-4<x4-2或3Wx<7}

C|x<>31D{x|x<-2或xN3}

2已知集合4=卜|萬一1<0},6={x|3x—2—X2<0},R是全集。

①AU8=8②A^B^A③(CRA)U8=R④)U(C泮)=R

其中成立的是()

A①②B③④C①②③D①②③④

鞏固形題組

3.設函數〃x)=log2(2x-3)的定義域M,函數g(x)=J(x—3)(x—l)的定義域為N,求

(1)集合M,N

(2)集合MAN,MUN

4.(08湛江模擬)已知集合“=,垃=愴(4一/),)，6/?},N為自然數集合，求

5.(07北京)已知集合A={x||x-akl},B={x|x2-5x+4>O},若An§=0

,求a的取值范圍

提高型題租

6.(08廣東清遠)記函數/(x)=,2—的定義域為A,

g(x)=lg(x-a-l)(2a-x),(a<l)的定義域為B

⑴求A

(2)若AU3=A，求實數a的取值范圍

7.已知A={y|y=x?+2mx+4,xe7?|,B-<x\logjx+log,x<0>且4PI5H0求實

.3.

數m的取值范圍

8.設全集是實數集R,A={x|2/一7X+340},8={x|d+a<()}。

(1)當a=-4時，求AflB和AP|B

(2)若(C?A)n8=B，求實數a的取值范圍

反饋型題組

9.設全集U是實數集R,M={x\x2>4],N={x[l<x<3},則圖中陰影部分所表示的集

合是()

u

N

M

A.{x|-2<x<1}B.{x|-2<x<2）C.{x|1<x<2}D.{x|x<21

10.（08廣東興寧模擬）設數集M=|x|/n<x<w+!|,N={x|"—gwxK〃},M、N都

是集合{x|04xKl}的子集，如果把b-a叫做集合{x|aWxd}的“長度”，那么集合

MAN的“長度”的最小值是

12cl5

A.-B.-C.—D.—

331212

11.定義集合A*B={Z|Z=xy（x+y）,x€4”母，設4={1,2},8={3,4}則集合A*B

所有元素之和為

12.高三某班共有45人，摸底測驗數學20人得優，語文15人得優，兩門都不得優20人，

則兩門都得優的人數

13.已知集合4={y|〉2一（42+4+1）>+4（42+］）>0},

B=1_y|y=^x2-x+-1,O<x<3,

（1）若4口8=0,求實數a的取值范圍

（2）當a取使不等式x2+\>ax恒成立的最小值時，求（「A）。B

§1.3命題、基本邏輯連接詞與量詞

新課標要求：

1.了解命題及逆命題、否命題與逆否命題

2.了解邏輯連結詞“或”“且”“非”的含義。

3.理解全程量詞與存在量詞的意義。

4.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。

5.學會運用等價轉化思想進行推理。

重點難點聚焦：

本節內容的重點是有關命題的概念及四種命題間的相互關系；邏輯聯結詞的含義及命題真假

的判定；全稱量詞與存在量詞的有關概念。

本節內容的難點：是對含有一個量詞的命題的否定，含有邏輯聯結詞的命題的真假的判斷，

以上是重點突破的內容。

高考分析及預測：

1.考查命題轉化，邏輯推理能力和分析問題，解決問題的能力。多以選擇題、填空題的形式

出現。

2.全稱量詞與存在量詞作為新增內容，很有可能在選擇題，填空中出現。

題組設計

再現型題組：

1.分別指出由下列命題構成的“pvq”，“”形式的命題的真假。

(1)p:4e{2},q:2e{2,3}

(2)p:l是奇數，q:l是質數

(3)p：0e0q:|x|x2-3x-5<0|c/?

(4)p:5<5q:27不是質數

(5)p:不等式一+2%一8<0的解集是{x|—4<x<2}

q:不等式f+2x—8<0的解集是{x|x<—4或x>2}

2.寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬于全稱命題還是特

稱命題：

(1)所有的有理數是實數。

(2)有的三角形是直角三角形

(3)每個二次函數的圖像都與Y軸相交

(4)Vxe/?,x2-2%>0

鞏固型題組

3.如果命題“pvq”是真命題，命題"pW是假命題，那么()

(A)命題p和命題q都是假命題

(B)命題p和命題q都是真命題

(0命題p和命題非q真值不同

(D)命題p和命題非q真值相同

4.已知。>0,設命題P：函數y=a'在R上單調遞增；命題q:不等式ax?-如+1>0對

VxwR恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。

提高型題組

5設P:關于x的不等式相>1的解集是{x|x<O},Q:函數y=lg(ax2—x+q)的定義域為R,

如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值范圍.

6（2007年江蘇統考）卜列命題中不正確的是（）

A.=a〃+b,有｛。“｝是等差數列

2

B.Ba,beR,an=an+bn,使｛。“｝是等差數列

1

C.Va,￡?eR,Sn=an+bn+c,有｛a“｝是等差數列

2

D.Ba,b,ceR,Sn=an+bn+c,使｛a“｝是等差數列

反饋型題組：

7.已知命題p:VxG1?,sinx之1則（）

A.「p:Bxe/?,sinx>1B."p:VxG7?,sinx>1

C.「p;/?,sinx>1D."p:VxG/?,sinx>1

8.命題“存在xwZ,使/+2x+m<0”的否命題是（）

A.存在xeZ,使/+2x+m>0

B.不存在XEZ,使犬+21+加〉0

C.對于任意xcZ都有尤2+2x+m40

D.對于任意XEZ都有f+2x+m>0

9.命題"若ab=0,則a=0或b=0”的逆否命題是（）

A.若w0,則〃。0或bw0

B.若a或。。0,則。匕。0

C.若abw0,則aw0且h。0

D.若〃且匕。0,則abwO

yIx

10.命題p:不等式——1>——的解集為{x[0<X<l},命題q："A=B”是“sinA=sinB”

x-1x-1

成立的必要非充分條件，則（）

A.p真q假B.“p且q”為真

C."p或q”為假D.p假q真

11.與命題“若"CM,則。仁何”等價的命題是（）

A.若q史M,則匕eMB.若。史M,則aeM

C若a任M貝！]be"D.若be"則aeA/

12.如果命題“飛〃或4）”為假命題，則（）

A.p、q.均為真命題

B.p、q.均為假題

C..p、q.中至少有?個為真命題

D.p、q.中至多有一個為真命題

13.已知命題p：X2-X|>6,q：XCZ,且“p且q”與“非p”同時為假命題，求x的

值。

§1.4充分條件，必要條件與四種命題

新課標要求

1.本節涉及到的主要基礎知識

(1)了解命題及其逆命題，否命題，逆否命題

(2)理解充分條件，必要條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關系

2.常用的數學思想方法

演繹法，特例法，轉化思想法

3.主要能力

運算能力和邏輯思維能力

重點難點聚焦

本節重點難點是四種命題的等價轉化和充分條件，必要條件，充要條件的判斷

高考分析和預測

近幾年的高考命題中，命題成立的充分，必要及充要條件的求解和判斷問題；四種命

題的關系已成為高考命題的首選素材\一方面這類問題具有很深廣的開放性，另一方面命題

的空間廣闊，可與多個知識點進行交匯，命題素材隨處可見。

題組設計

再現型題組

1.分別寫出卜.列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。

(1)若q＜l,則方程Y+2x+q=0有實根；

(2)若ab=O,則。=0或。=0；

(3)若/+丁=0,則全為零

2.在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由

(1)A：同22,peR;8:方程x2+px+p+3=0有實根；

(2)A：圓/+丁=，與直線ax+〃y+c=0相切，B：/

鞏固型題組

3.已知p：1-\?W2,g:X?-2x+W0(加＞0),且一＞〃是一iq的必要而不充分條

件，求實數m的取值范圍。

4.下列命題：(1)“若xy=O則x,y中至少有一個為零”的否命題(2)

面積不相等的三角形不全等，(3)“若mK1,則/―2x+m=0有實根”的逆否命題，(4)

女工0是方程y=履+匕表示直線的充分不必要條件，其中真命題有__

提高型題組

5.分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，命題的否定，并判斷它們的真假:

(1)若qWl,則方程x2+2x+q=0有實根；

(2)若都是奇數，則x+y是偶數：

(3)若孫=0,則x=0或y=0；

(4)若/+y2=o,則全為0.

6.已知拋物線C:丁=一一+機光一1和點A(3,0),B(0,3).求證：拋物線C與線段AB有兩

個不同的交點的充要條件是3<m<—

3

反饋型題組

7(2007重慶)命題“若x2<l,則一的逆否命題是()

A.若則xNl,或xW-1B.若一1cx<1,則f<1

C.若X>1,或x<-l,則》2>1D.若xNl或xW-1,則

8.(2007北京)平面a//￡的一個充分條件是()

A.存在一條直線a,alia,a〃。

B.存在一條直線a,aua,a〃。

C.存在兩條平行直線ua,bu〃,a〃⑸匕〃a

D.存在兩條異面直線ua,/?u/7,a//￡,b//a

9.(2007天津)“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

10.(2007湖北)已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是

s的必要條件，現有下列命題：()

(1)s是q的充要條件(2)p是q的充分不必要條件(3)??是q的必要不充分條件(4)

「P是「5的必要不充分條件(5)r是s的充分不必要條件

A.(1)(4)(5)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(5)D.(2)(4)(5)

11.已知條件P：A={x|2a〈x〈a2+i}條件，

q:8=卜,_3(a+l)x+2(3a+1)Mo}

若條件p是條件q的充分條件，求實數。的取值范圍

§1.5合情推理與演繹推理

新課標要求

1、了解合情推理的含義，利用歸納與類比等進行簡單的推理。

2、了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能進行簡單的推理。

重難點聚焦

重點：歸納推理與類比推理的一般步驟，演繹推理的''三段論”模式。

難點：合情推理的猜想與演繹推理的證明。

高考分析及預測：

推理是高考的重要的內容，推理包括合情推理與演繹推理，由于解答高考題的過程就

是推理的過程，因此本部分內容的考察將會滲透到每一個高考題中，考察推理的基本思想和

方法，既可能在選擇題中和填空題中出現，也可能在解答題中出現。

題組設計

再現型題組

1.根據右邊給出的數塔猜測123456x9+7=()

A1111110lx9+2=11

B.111111112x9+3=111

C.1111112123x9+4=1111

D.11111131234x9+5=11111

2.下列那個平面圖形與空間中平行六面體作為類比對象比較合適。()

A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形

3.演繹推理是以()為前提，推出某個特殊情況下的結論的推理方法。

A.一般性的原理B.特定的命題

C.一般性的真命題D.定理、公式

鞏固型題組

4.設｛aj是集合｛2'+2'|04s<f,Hs、fez｝中的所有數從小到大排成的數列，即

%=3,%=5,%=6,%=9,%=10,4=12…，將各項按照上小下大，左小右大的原則寫

成如下三角形數列表：

3

56

91012

(1)寫出這個三角形數表的第四、第五行各數;

(2)求“loo

5.請用類比推理完成下表:

平面空間

三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面

的面積

三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上三棱錐的體積等于任意一個底面的面積與該

高的乘積的一半底面上的高的乘積的三分之一

三角形的面積等于其內切圓半徑與三角形周

長的乘積的一半

6.已知函數f(x)=x、x-l,是方程f(x)=o的兩個根(a>P),f'(X)是f(x)的

導數。設ai=l,ami=a「=1,2,…).

/'4)

(1)求夕的值。

(2)對任意的正整數n有a?〉a,記a=In4二2(〃=1,2,…)，求｛〃,｝的前n

a?-a

項和s“。

7.證明：/(x)=-x2+2尤在(—8,1］上是增函數。

8.由圖(1)有面積關s'系*空=PA'?PR'則由圖(2)有體積關系：%v"等

SAPABPA?PBVp_ABC

于多少？

B

B

「/

2c

A'AP^------------

VA

⑴(

2?)

反饋型題組

、=/網，可知扇形面積公

9.已知扇形的弧長為/,半徑為r,類比三角形的面積公式：，

2

式()

r2I2lr

A—B.—c.—D.不可類比

222

10.在數列｛4）中，q=0,0向=2%+2,則4是（）

A.T-2+-B.T-2C.2,,-l+lD.2n+l-4

2

11.若點E、F、G、H順次是空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點,EG=3,FG=4,

則AC2+B》的值是（）

A.25B.50C.100D.200

12.等差數列｛4｝中，an>0,公差d>0,則有為x4〉/、%,類比上述性質，在等比數

列也,｝中，若2>0,q〉0,寫出的一個不等關系。

13.在數列｛《,｝中，q=l,a.T=_jneN*,猜想這一數列的通項公式。

2+%

14.若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積是多少？（只需寫出

一個可能的值）

§1.6直接證明與間接證明

新課標要求：

1.了解直接證明的兩種基本方法--分析法與綜合法，了解兩種方法的思考過程與特點。

2.了解間接證明的一種基本方法--反證法，了解他的思考過程與特點。

重點難點聚焦：

理解綜合法證明與分析法證明的概念及它們的區別，綜合證題是由因索果，分析法證

題是知果索因，這是兩種思路截然不同的方法，在解決問題時可以綜合應用。反證法適用于

不易直接證明的問題，關鍵應把握證題的步驟，且證明中必須用到假設。

高考分析及預測

歷年高考中都要考察證明，以考察綜合法為主，有時也考察到分析法與反證法，2009

年預計仍會考到之一部分的內容，很可能涉及立體幾何，解析幾何，不等式，方程等知識，

因此把握好三中證明方法的思考過程和步驟是關鍵。

題組設計

再現型題組

1.證明分為與,直接證明包括、等；間接證明主要是。

2.綜合法：（1）一般的，利用,經過

最后。這種證明方法叫做綜合法。

（2）綜合法的模式;若用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的

結論，則綜合法可用框圖表示為：

Pn->01=02->。2=。3f…。

3.分析法：一般的，從出發，逐步尋找使___________直至最后，把要證

明的結論歸結為（已知條件、定義、定理、公理等）。這種證明方法

叫做分析法。分析法可用框圖表示為：

。u4-P\uP]fEu6■"P”U4i+i

4.反證法：一般的，假設（即在原命題的條件下，結論不成立），經過

，最后,因此說明,從而,這樣

的證明方法叫做反證法。

鞏固型題組

h"-'11

5.設a+b>0,n為偶數，證明：——+——2—+—。

anb"ab

同+同

6.已知非零向量2,求證:<V2o

\a-b\

7.已知，a,b,cG(0,1),

求證：(l-a)^,(l-&)c,(l-c)a不能同時大于,。

4

提高型題組

8.已知a,b,c為正實數,a+b+c=l

求證：a2+b2+c2>-o

3

9.已知ac>2(b+d)

求證：方程+ax+〃=0與方程/+ex+d=0中至少有一個方程由實數根。

反饋型題組

10.下列四個命題，其中屬于假命題的是()

A.不存在無窮多個角A和夕,使得sin(a+尸)=sinacos/7-cosasin(3。

B.存在這樣的角a和尸，使得cos(a+夕)=cosocos尸+sinasin0。

C.對任意的角a和夕，都有cos(a+夕)=cosacos尸一sinasin0。

D,不存在這樣的角a和田,使得sin(a+￡)hsinacos夕+cosasin夕。

11.下列各式對;oR都成立的式子是()

,,11

A.lg(x"+1)>1g2xB.(x~+l)>2xC.———<1D.x+—>2

X+1X

12.已知x,y是正變數，a,b是正常數，且@+2=1,則x+y的最小值為__。

xy

13.設a,仇ceR+,a+匕+c=1,則&+4b+4c的最大值是。

14.已知數歹"k)g(a“一l)｝(〃€N*)為等差數列，且q=3,a3=9,

(1).求數列｛%｝的通項公式。

(2).證明—1—+—1一+?-?+—1—<1.

。2-4。3-a2an+l~an

15.已知函數/(x)=a'+」——(a>1)

x+1

(1).證明：函數/(x)在(-1,+oo)上為增函數。

(2).用反證法證明f(x)=0沒有負數根。

16.已知函數)，=」~~-(x^—),證明：

2.x—12

(1).經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸。

(2).這個函數的圖像關于直線y=x成軸對稱圖形。

第一章.集合與簡易邏輯、推理與證明單元綜合檢測題

選擇題

1.設全集"=/?,集合V={x|x<l},N={x||x|>l},則下列關系中正確的是（）

A.M=NB.N-uMC.M-uND.NcCllM=0

2.已知全集U=Z,A={-1,0,L2},B={X|X2=X},則4口。乃為（）

A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

3.若命題“尸"。”與“尸人。”中一真一假，則可能是（）

A.P真Q假B.P真Q真C.V真Q假D.P假rQ真

4.命題“對任意的》€/?,/-芯2+140”的否定是（）

A.不存在xeR,d-d+ivoB.存在xeR,x3-x2+l40

C.存在xe/?,—r+1〉0D.對任意xER,T"—廠+1>0

5.設是M,N兩個集合，則“MUNW0”是“MAN。。”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.推理：（1）矩形是平行四邊形；（2）三角形不是平行四邊形；（3）所有三角形不是矩形。

其中的小前提是（）

A.（1）B.（2）C.（3）D.⑴和⑵

填空題

7.集合A={—l,3,2〃z—1},集合8={3,m2},若BqA,則實數機=。

8.已知集合4={了|,一4區1},6={尤|X2-5X+420},若AnB=0，則實數a的取值

范圍是0

9.設p,q為兩個命題，p:10gl（國一3）〉0,z7:x2—>0,則p是q的_________條件。

266

PA'PTVv

10.由圖（1）有面積關系為里二0則由圖（2）有體積關系：'八’火，等于多

SAPABPA?PBVp_ABC

少？

BB

B'B'C

A'AA'A

(1)(2)

三.解答題

11.已知a>Q,b>Q^.a+b>2,求證:匕2,匕區中有一個小于2.

ab

12.已知命題p:方程/+松+1=。有兩個不等的負實根；命題

4：方程4*2+4。〃-2)》+1=0無實根，若〃或q為真，p且q為假，求實數機的取值范

圍。

答案部分

§1.1集合間的基本關系

再現型題組

1.填空

（1）答案：（1）

提示：因為沒有規定大胖子的標準，所以（1）不是集合。由于（2）（3）（4）中的對象具備

確定性因此可以組成集合.

（2）答案：伙MHO且上W3}

提示：利用集合的元素的互異性可得k2-kA2A解得《NO且左

基礎知識聚焦：一般地，某些被考察的對象集在一起，就構成了一個集合（簡稱集）集合中

兩個對象稱為這個集合的元素，又具有三個特性：確定性，無序性，互異性。

確定性：對于一個給定的集合，任何一個對象或者是這個集合中的元素或者不是它的

元素。

互異性：相同對象歸入任何一個集合時，只能算作這個集合的一個元素。

無序性：在一個集合中，通常不考慮元素之間的順序，例如{a,b}={a,b}

變式拓展：（1）下列各組對象中不能形成集合的是（）

A.高一1班全體學生B.高一1班全體女學生

C.張良的所有初中老師，D.李佳的所有好同學

（2）由實數-X,X,|X|,Tp-.-Vx7,所組成的集合中最多含有（）個元素

A2B3C4D5

（3）設P,Q為兩個非空實數集合,定義P?Q={z|z=ab,awP,bGQ},若

P={7,0,l},Q={-2,2}則集合P,Q中元素的個數是（）

A3B4C5D6

答案：（1）D（2）A（3）A

2.選擇題

（1）答案：C

提示：因為N={x|x>l或x<T}所以MuN選C

（2）答案：D

提示：（1）不正確，應為ae{a,b}（3）不正確，集合間的關系應表示為

（2）（4）（5）（6）都正確，選D

基礎知識聚焦：元素與集合之間用屬于e或不屬于e表示。

集合與集合之間的關系用符號U7表示

子集：對于兩個集合與如果對于集合的每一個元素，它也是集合的元素，那么集合叫做集合

的子集，記作A[B或B衛A

真子集：如果集合是集合的子集，并且集合中至少有一個元素不屬于集合那么集合叫做集合

的真子集，記作AuB或BuA

拓展變式：

（2006年江蘇）若A,B,C為三個集合，AUB=BnC,則一定有（）

AAcCBCcACAHCDA*。

答案：A

提示：由AUB=BCIC知AUB@B且AUB@C,所以A^C且B^C,故選A.

鞏固型題組：

3.答案：1

解析：根據集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣需要列方程組

分類談論，顯然復雜又繁瑣。這時若能發現0這個元素，和匕b中a不為0的隱含信息，就

a

能得到如下解法。

b

由已知得一=0,及aH0,所以b=0,于是/9=1,即a=l或a=-l,又根據集合中的互異

a

性a=l應舍去，因而a=T故/須+/鰥=(_1)2oo8=1

方法點撥：1.利用集合中元素的特點，列出方程組求解，但仍然要檢驗，看所得結果是否符

合集合元素的互異性的特征。

2.此類問題還可以根據兩集合中元素的和相等，元素的積相等，列出方程組求解，但仍然要

檢驗。

拓展變式：含有三個實數的集合｛X,2,1｝也可以表示為｛鼠|小+丫,0｝則/-/=

X

答案：-1

4.解法1：分析：用列舉法表示各集合中的元素，再判斷

解：簡單列舉集合中的元素：

…171319i

A=｛-'6VTT'…)

AuB,B=C,即AuB=C

答案：B

點撥：這幾個集合都是無限集，列舉時列舉元素個數不能太少，太少了不便于發現規律，會

導致判斷錯誤。

解法2：用各集合中元素所具備的特征入手

解：在A中，x=6"+1,awZ;在B中,x=——beZ;在C中,x='+LceZ

666

顯然B=C,且AuC

答案：B

點撥：(1)形式統一化

(2)熟悉數的整除性,3b-2(beZ),3c+l(ceZ)都表示被3除余1的整數，而6a+l(aeZ)

表示被6除余1的整數。

5.分析：寫出元素與Q中元素相加和分別為1,2,3,4,6,7,8,11,共8個。

答案：B

方法點撥：在處理集合問題時首先看集合的代表元素，由代表元素確定集合的性質。

拓展變式：已知非空集合Mq｛1,2,3,4,5｝那么集合M的個數為()

A5B6C7D8

答案：D

6.分析：由函數定義域可求得集合A、B對B中含參數的二次不等式要考慮兩根大小，再由

B[A轉化為區間的端點值大小關系的不等式，2aNl,或a+14-l求出a的范圍。

Y-4-?V__1

解：(1)由2------>0=^—>0,或xNL即A=(—8,—l)u[l,+oo)

X+1X+1

(2)由(X-Q-1)(2Q—尤)>0,得<0,<Q<1.tQ+1>2Q

故5=(2。,。+1).vAuB=A,:.B，2。21或Q+1<—1,即a2g或a<-2,

而a<l,.?.‘Ka<l或aV—2。故當AU8=A時，實數a的取值范圍是

2

(-00,-2]ug,l)

點評：(1)利用集合間的關系求參數范圍，一般根據集合的有關概念，借助于數軸，建立不

等關系，注意端點是否取到。

(2)本例中AUB=AQB=A=AnB=B注意等價性。

拓展變式：如果將6中的a>l條件去掉，請寫出集合B。

解析：由題意得(x-aT)(2a-x)>0

所以，[x-(a+l)](x-2a)<0

a=l時,不等式(x—2)2<0

無實數解，此時B=。

a>l時，2a>a+l不等式為a+l<x<2a

此時B={X|a+l<x<2a}

a<l時2a<a+l

不等式為2a<x<a+l

此時B={x|2a<x<a+1}

提高型題組：

7.分析：由元素確定性可知犬=0,1或x.

由互異性知/