目——錄第一章數與計算.................................

第一講估值百羸............................

第二章趣題與智巧.................................

第一講算式謎.................................

第三章實踐與應用（一）........................

第一講行程問題（一）........................

第一講行程問題（一）........................

第三講行程問題（三）........................

第四講行程問題（四）........................

第四章數論與整除.................................

第一講數字趣題.................................

第二講分解質因數（一）........................

第三講分解質因數（二）........................

第四講最大公因數........................

第五講最小公倍數（一）........................

第六講最小公倍數（二）........................

第五章實踐與應用（二）........................

第一講盈虧問題............................

第二講假設法解題............................

第三講作圖法解題............................

第四講火車行程問題........................

第五講雜題.................................

第六章組合與推理............................

第一講包含與排除........................

第二講置換問題............................

第三講簡單列舉............................

第四講最大最小問題........................

第五講推理問題............................

第一章數與計算

第一講估值問題

【專題導引】

在日常生活中，某些量往往只需要作一個大致的估計，如對某廠下一年生產的總產值的估計就只能是一個大概

數。很難也沒有必要精確到幾元幾角幾分。

估算就是對?些量的粗略運算，不僅現在，就是今后科學技術相當發達了，這類計算仍然十分必要。如果我們的

計算結果與粗略估計大相徑庭，就說明我們的計算過程必然有錯。

估算常采用的方法是：

1.省略尾數取近似值；

2.用放大或縮小的方法來確定某個數或整個算式的取值范圍進行估算。

【典型例題】

［例1］不計算出結果，仔細想一想，盡快選擇或“二"。符號填在()里。

(1)0.14-0.01X0.0014-0.0001()10X1

(2)38.454-0.93()38.45X0.93

(3)18.74X5.6()187.4X564-100

(4)93.36X58.4+3()93.86X(58.4+3)

【試一試】

1.下列算式中，商最小的是()。

A.1.0254-0.05B.10254-5C.1025-F0.5D.1.0254-0.5

2.下列算式中，積最大的是()。

A.999.9X99.99B.999.9X999.9C.9999X99D.99.99X99.99

3、20192019X2019-20192019X2019-20192019的結果是多少?

【例2】在六位數“2019□口”的方框里填上適當的數字，使它能同時被7、8、9整除？

【試一試】

1.有一個六位數，它的前三位是“765”，并且這個六位數是7、8、9的倍數。這個六位數是多少？

2、有一個六位數，它的前四位恰好是2019,并且知道這個六位數既是11的倍數，又是13的倍數。這個六位數的末

尾兩位是多少？

【?例3】從裝有寫著1、2、3、4、5、6、7、8、9的9張卡片中，一次取出6張，計算它們的和，最多有多少種不

同的和？

［*試一試］

1.李明有1角的人民幣4張，2角的人民幣2張，5角的1張，1元的人民幣2張。如果從中取1至9張，那么他取出

的總錢數可以有多少種不同的金額？

2、有1克、2克、3克、4克和5克的跌碼各一個，從中拿3個跌碼放在天平的一邊稱物體，能稱出多少種不同的重

量？

課外作業

家長簽名：

1、如果aT=b+l,則a()b(在括號內填或)

2.比較的大小。

3.在O里填上或J”。

322212024-12131415065432104-2122203

4.在。里填上“V”、或“二”。

45578X87654045677X87655

5.在口里填“V”、或“=”。

(1)a+0.l=b-l,aDb

(2)a-0.l=b+l,aDb

(3)aXO.l=b-?10,aCb

(4)a+0.1=bX10,aDb

*6.被7除或被6除，余數都是1。符合一條件的最大四位數和最小四位數各是多少？

*7、小軍的兩個衣袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3、……、13。從這兩個口袋中各拿出1張卡片

并計算2張卡片上的數的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么其中被6整除的乘積有多少個？

第二章趣題與智巧

第一講算式謎

【專題導引】

算式謎一般是指一些含有未知數字或缺少運算符號的算式。解決這類問題，可以根據四則運算的規定、四則運

算算式中的數量關系以及數的組成，逐步確定算式中的未知數字和運算符號。

解答算式謎的關鍵是找準突破口，推理時應注意：

1.認真分析算式中所包含的數最關系，找出盡可能多的隙蔽條件，選擇有特征的部分做出局部判斷。

2、采用列舉和篩選結合的方法，逐步徘除不合題意的數字。

3、算式謎解出后，務必要驗算一遍。

【典型例題】

【例1】有一個六位數，它的個位數字是6,如果將6移至第一位前面，所得的新六位數是原數的4倍。求原六位數。

【試一試】

1.已知六位數，這個六位數的3倍正好是。求這個六位數。

2、下面豎式中每個漢字表示一個數字，不同的漢字表示不同的數字，請說出各個漢字分別表示什么數字？

【例2】下面豎式串卷翠米務括都代表一個數字，請把這個算式寫完整。

［試一試］x華)黯杯2

1.把下面的算式寫定慈＜2口2.在算式的“口”里填上合適的數字。

□□口

&eB□2口口

□9口丹例3】右圖的五個方格中己經填寫入84和72兩個兩位數，請

X89X□6

你在其余的三格中也分別填入一個兩位數，使得橫行的三個數

□□□□□□04

與豎行的一個數之和相等，并且這五個兩位數正好由0-9十個

□□口□□70

數字組成。

□□□□□□□□□

【試一試】

1.把0?9這十個數字填到圓圈內，每個數字只能用一次，使三個算式成立。

2、將1?9九個數字填入下列九個。中.使等式成立。

000X00=00X00=5568

【例4】把0、1.2.3.4.5.6.7、8、9這十個數字填入下面的小方格中，使三個等式都成立。

【試一試】

1.將1.2.3.4.5.6.7、8、9九個不同的數字分別填在。中，使下面的三個算式成立。

2.將0、1.2.3.4.5.6填到下列只有一、兩位數的算式中，使等式成立。

【*例5】把2、3、4、5、7、9這六個數字分別填在六個“口”里，使乘積最大，應該怎樣填？

【*試一試】

1.用9、8、2.1四個數字組成兩個兩位數，并且使它們的積最大。

2、用6、1、2、5、9、7組成兩個二位數，并且使它們的積最小。

課外作業

家長簽名：

1、下面算式里，不同字母代表不同的數字，相同的字母代表相同的數字，這些字母各表示哪些數？

2.下面的算式中，ABCD之相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求這個算式中個漢字表示的數字。

影+ABED年新

3.不同的漢字表方EDCAD導分析出“我們熱愛科學”分別表示什么數字？

□口

4.在口里填上合青陽教學科學

6口□)□□□1

X學

□□7

好好好好好好

□□□□

□□61

0

5.把44.2.11.12.22.33六個數分成二組，使每組中的三個數的積相等。

6.把0、1.2.3.4.5.6填到下面口里,使等式成立。

*7、“我喜歡X小數報”表示兩個三位數相乘，“我、喜、歡、小、數、報”這六個數分別代表3、4、5、6、7、8

這六個數。這個算式的乘積最大是多少？

第三講實踐與應用（一）

第一講行程問題（一）

【專題導引】

行程應用題是專門講物體運動的速度、時間、路程三者關系的應用題。行程問題的主要數量關系是：路程二速度X時間。

知道三個量中的兩個量，就能求出第三個量。

【典型例題】

【例1】甲、乙兩輛汽車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點

32千米處相遇。東、西兩地相距多少千米？

【試一試】

1.小玲每分行100米，小平每分行80米，兩人同時從學校和少年宮相向而行，并在離中點120米處相遇，學校至少年

宮有多少米？

2、一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出，汽車每小時行40千米，摩托車每小時行65千米，當摩托車行

到兩地中點處時，與汽車還相距75千米，甲、乙兩地相距多少千米？

【例2】快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，快車每小時行40千米，經過3小時，快車己駛過中點25千米，這

時快車與慢車還相距7千米。慢車每小時行多少千米？

【試一試】

1.兄、弟二人同時從學校和家中出發，相向而行。哥哥每分鐘行120米，5分鐘后哥哥已超過中點50米，這時兄弟二

人還相距30米。弟弟每分鐘行多少米？

2、汽車從甲地開往乙地，每小時行32千米，4小時后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改月每小時56千米的

速度行駛，再行幾小時到乙地？

【例3】甲、乙二人上午8時同時從東村騎車到西村去，甲每小時比乙快6千米。中午12時甲到西村后立即返回東村,

在距西村15千米處遇到乙。求東、西兩村相距多少千米？

【試一試】

1.甲、乙二人同時從A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米。甲到達B地后立即返回A地，在離B地3.2

千米處與乙相遇。A.B兩地間的距離是多少千米？

2、小平和小紅同時從學校出發步行去小平家，小平每分鐘比小紅多是20米。30分鐘后小平到家，到家后立即原路返

回，在離家350米處遇到小紅。小紅每分鐘走多少千米？

【例4】甲、乙兩隊學生從相距18千米的兩地同時出發，相向而行。一個同學騎自行車以每小時14千米的速度，在

兩隊之間不停地往返聯絡。甲隊每小時行5千米，乙隊每小時行4千米。兩隊相遇時，騎自行車的同學共行多少千米？

【試一試】

1.兩支隊伍從相距55千米的兩地相向而行。通訊員騎馬以每小時16千米的速度在兩支隊伍之間不斷往返聯絡。已知

一支隊伍每小時行5千米，另一支隊伍每小時行6千米，兩隊相遇時，通訊員共行多少千米？

2、甲、乙兩人同時從兩地出發，相向而行，距離是10（）千米。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，

狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發，碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人

相遇時。這只狗一共走了多少千米？

例5】甲、乙兩車早上8時分別從A、B兩地同時相向出發，到10時兩車相距112.5千米。兩車繼續行駛到下午

1時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩地間的距離是多少千米？

[*試一試]

1.甲、乙兩車同時從A.B兩地相向出發，3小時后，兩車還相距120千米，又行3小時，兩車又相距120千米。A.B

兩地相距多少千米？

2、快、慢兩車早上6時同時從甲、乙兩地相向開出，中午12時兩車還相距50千米，繼續行駛到14時，兩車又相距

170米。甲、乙兩地相距多少千米？

課外作業

1.家長簽名:

甲、乙兩車分別從兩地出發相向而行，甲每小時行80千米，乙每小時行駛40千米，經過4小時后兩車在途中相遇，兩

地相距多少千米？

2.A.B詆鎮相距48千米，甲、乙兩人分別從兩鎮同時出發相向而行，已知甲到達B鎮需8小時，乙到達A鎮需12小

時，他們出發后多少時間相遇？

3.小轎車每小時行60千米，比客車每小時多行5千米，兩車同時從A.B兩地相向而行，在距中點20千米處相遇，求

A.B兩地的路程。

4.學校運來一批樹苗，五（1）班的40個同學都去參加植樹活動，如果每人植3棵，全班同學能植這批樹苗的一半還

多20棵。如果這批樹苗全部給五（1）班的同學去植，平均每人植多少棵樹？

5、甲、乙二人上午7時同時從A地去B地，甲每小時比乙快8千米。上午11時甲到達B地后立即返回，在距B地24

千米處與乙相遇。求A.B兩地相距多少千米？

6.兩隊同學同時從相距30千米的甲、乙兩地相向山發，一只鴿子以每小時20千米的速度在兩隊同學之間不斷往返送

信。如果鴿子從同學們出發到相遇共飛了30千米，而甲隊同學比乙隊同學每小時多走。.4千米，求兩隊同學的行走速

度。

7、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行?，8小時相遇，相遇后兩車繼續行駛，3小時后兩車相距360千米，求A、

B兩地的距離。

我的學習收獲：

一~一——?第二講行程問題（二）

放京儡g：I

jJ乂3內容是“追及問題二

飛夠一般是指兩個物體同方向運動,由于各自的速度不同后者追上前者的問題。追及問題的基本數量關系是:

速度差x追及時間=追及路程

解答“追及問題”，一定要懂得運動快的物體之所以能追上運動慢的物體，是因為兩者之間存在著速度差。抓住“追

及的路程必須用速度差來追”這一道理，結合題中運動物體的地點、運動方向等特點進行具體分析，并借助線段圖來

理解題意，就可以正確解題。

【典型例題】

【例1】中巴車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米，兩車同時從相距60千米的兩地同方向開出，且中巴車在

前。求幾小時后小轎車追上中巴？

【試一試】

1.兄、弟二人從100米跑道的起點和終點同時出發，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米，哥哥在后，每分跑

140米。幾分鐘后哥哥追上弟弟？

2、甲騎自行車從A地到B地，每小時行16千米，1小時后，乙也騎自行車從A地到B地，每小時行20千米，結果兩

人同時到達B地。A、B兩地相距多少二米？

【例2】一輛汽車從甲地開往乙地，要行360千米，開始按計劃以每小時45千米的速度行駛，途中因汽車出故障修車

2小時。因為要按時到達乙地，修好車后必須每小時多行30千米。問：汽車是在離甲地多遠處修車的？

【試一試】

1.小王家離工廠3千米，他每天騎車以每分200米的速度上班，正好準時到工廠。有一天，他出發幾分鐘后，因遇熟

人停車2分鐘，為了準時到廠，后面的路必須每分鐘多行100米。求小工是在離工廠多遠處遇到熟人的？

2、一輛汽車從甲地開往乙地，若每小時行36千米，8小時能到達。這輛車以每小時36千米的速度行駛一段時間后，因

排隊加油用去了15分鐘。為了能在8小時內到達乙地，加油后每小時必須多行7.2千米。加油站離乙地多少千米？

【例3】甲騎車，乙跑步，二人同時從一點出發沿著長4千米的環形公路方向進行晨練。出發后10分鐘，甲便從乙身

后追上了乙，已知兩人的速度和是每分鐘行700米，求甲、乙二人的速度各是多少？

【試一試】

1.爸爸和小明同時從同一-地點出發，沿相同方向在環形跑道上跑步。爸爸每分鐘跑150米，小明每分鐘跑120米，如

果跑道全長900米，問至少經過幾分鐘爸爸從小明身后追上小明？

2、在300米長的環形跑道上，甲、乙二人同時同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。兩人起跑后的第一次

相遇點在起跑線前多少米？

【例4】甲、乙、丙三人都從A地到B地，早晨六點鐘，甲、乙兩人一起從A地出發，甲每小時走5千米，乙每小時

走4千米。丙上午八時才從A地出發，傍晚六點，甲和丙同時到達B地，問丙什么時候追上乙？

【試一試】

1.客車、貨車、小轎車都從A地到B地，貨車和客車一起從A地出發，貨車每小時行50千米，客車每小時行60千米，

2小時后，小轎車才從A地出發，12小時后，小轎車追上了客車，問小轎車在出發后幾小時追上貨車？

2、甲、乙、丙三人都從A地到B地，甲、乙兩人一起從A地出發，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米。4小時后

丙騎自行車從A地出發，用了2小時就追上乙，再用幾小時就能追上甲？

【*例5】甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鐘100米、90米、75米。甲在公路上A處，乙、丙同在公路上B

處，三人同時出發，甲與乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分鐘后，甲和丙又相遇了。求A、B之間的距離。

(?試一試】

1.甲、乙、丙三人行走的速度分別是每分鐘60米、80米、100米。甲、乙兩人在B地，丙在A地與甲、乙二人同時同

向而行，丙和乙相遇后，又過2分鐘和甲相遇。求A.B兩地的路程。

2、客車、貨車、小轉車的速度分別是每小時60千米、50千米、70千米，客車、貨車在A地，小舔車在H地，三車同

時出發，小轎車與客、貨車相向而行，小轎車和客車相遇1小時后和貨車相遇。求A、B兩地之間的距離。

課外作業

家長簽名：

】.兩地相距800千米，甲車行完全程需16小時，乙車行完全程需10小時，甲車出發3小時后，乙車去追甲車，問乙

車要走多少千米才能追上甲車？

2.育英小學有條300米長的環行跑道，揚揚和寧寧同時從起跑線起跑，揚揚每秒跑6米，寧寧每秒跑4米，揚揚第二

次追上寧寧時兩人各跑了幾圈？

3.甲、乙兩人以每分60米的速度同時、同地、同向步行出發。走15分鐘后甲返回原地取東西，而乙繼續前進。甲取

東西用去5分鐘的時間，然后改騎自行車以每分360米的速度追乙，甲騎車多少分才能追上乙？

4、汽車以每小時30千米的速度從甲地出發，6小時后能到達乙地。汽車出發1小時后原路返回甲地取東西，然后立

即從甲地出發，為了能在原來時間內到達乙地，汽車必須以每小時多少千米的速度從甲地駛向乙地？

5.環湖一周共400米，甲、乙兩人同時從同一點同方向出發，甲過10分鐘第一次從乙身后追上乙，若兩人同時從同一

點反向而行，只要2分鐘就相遇，求甲、乙的速度。

6、甲、乙、丙三人行走的速度分別是每分鐘60米、80米、100米，甲、乙兩人在B地同時同向出發，丙從A地同時

同向出發去追趕甲、乙，丙追上甲以后又過了10分鐘才追上乙，求A、B兩地的路程。

7、A、B兩地相距1800米，甲、乙二人從A地出發，丙同時從B地出發與甲、乙二人相向而行，已知甲、乙、丙三人

的速度分別是每分鐘60米、80米和1()0米，當乙和丙相遇時.甲落后于乙幾米？

第三講行程問題(三)

【專題導引】

很多稍復雜的應用題，運用算術方法解答有一定困難，列方程解答就比較容易。

列方程解答行程問題的優點是可以使未知的數直接參加運算，列方程時能充分利用我們熟悉的數量關系，因此，對于

一些較復雜的行程問題，我們可以用題中已知的條件和所設的未知數，根據自己最熟悉的等量關系列出方程，方便解

題。

【典型例題】

【例1】一輛汽車從甲地開往乙地，平均每小時行20千米。到乙地后又以每小時30千米的速度返回甲地，往返一次

共用7.5小時。求甲、乙兩地間的路程。

【試一試】

1.汽車從甲地開往乙地送貨，去時每小時行30千米，返回時每小時行40千米。往返一次共用8小時45分，求甲、乙

兩地間的路程。

2.一架飛機所帶的燃料最多可用9小時，飛機去時順風，每小時可飛1500千米，返回時逆風，每小時可飛1200千米。

這架飛機最多飛出多少千米就要往回飛？

【例2】一個通訊員騎自行車需要在規定時間內把信件送到某地，每小時走15千米可早到0.4小時，如果每小時走

12千米就要遲到0.25小時，他去某地的路程有多遠？

【試一試】

1.小李由鄉里到縣城辦事，每小時行4千米，到預定到達的時間時，離縣城還有1.5千米。如果小李每小時走5.5千

米，到預定到達的時間時，又會多走4.5千米。鄉里距縣城多少千米？

2、小王騎摩托車從B地到A地去開會。如果每小時行50千米，就要遲到0.2小時，如果每小時行60千米，就會早到

1小時，求A、B兩地的距離。

【例3】東、西兩地相距5400米，甲、乙從東地，丙從西地同時出發，相向而行。甲每分鐘行55米，乙每分鐘行60

米，丙每分鐘行70米。多少分鐘后乙正好走到甲、丙兩人之間的中點處？

【試一試】

l.A.B.C三地在一條直線上如圖所示：

ABC

A.B兩地相距2千米，甲、乙兩人分別從A.B兩地同時向C地行走，甲每分鐘走35米，乙每分鐘走45米。經過幾分

鐘B地在甲、乙兩人之間的中點處？

2、東、西兩鎮相距60千米。甲騎車行全程要4小時，乙騎車行全程要5小時。現在兩人同時從東鎮到西鎮去，經過

多少小時后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

【例4】快、慢兩車同時從A地到B地，快車每小時行54千米，慢車每小時行48千米。途中快車因故停留3小時。

結果兩車同時到達B地。求A、B兩地間的距離。

【試一試】

1.甲每分鐘行120米，乙每分鐘行80米，二人同時從A店出發去B店，當乙到達B店時，甲已在B店停留了2分鐘。

A店到B店的路程是多少米？

2、甲、乙二人同時從學校騎車出發去江邊，甲每小時行15千米，乙每小時行20千米。途中乙因修車停留了24分鐘，

結果二人同時到達江邊。從學校到江邊要行多少千米？

【*例5】一位同學在360米長的形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米。求他

后一半路程用了多少時間？

【試一試】

1.小明在420米長的環形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑8米，后一半時間每秒跑6米。求他后一半路程

用了多少時間？

2、小華在240米長的跑道上跑了一個夾回，已知他前一半時間每秒跑6米，后一半時間每秒跑4米。求他返回時用了

多少秒？

課外作業

家長簽名：

1.甲每小時行4千米，2小時后，乙以每小時8千米的速度追趕甲，幾小時后可趕上？

2.兩地相距900千米，快慢兩車從兩地同時相對開出，5小時相遇。快車每小時行80千米，慢車每小時行多少千米？

3.師、徒二人加工一批零件。師傅每小時加工35個，徒弟每小時加工28個。師傅先加工了這批零件的一半后，剩下

的由徒弟去加工，二人共用18小時完成了加工任務。問：這批零件共有多少個？

4.玲玲從家到縣城上學，她以每分50米的速度走了2分后，發現按這個速度走下去要遲到8分，7是她加快了速度，

每分多走10米，結果到學校時，離上課還有5分。玲玲家到學校的路程是多少米？

5.老師今年32歲，學生今年8歲。再過幾年老師的年齡是學生年齡的3倍？

6、兄、弟二人同時從家往學校走，哥哥每分鐘走9()米，弟弟每分鐘走70米，出發1分鐘后，哥哥發現少帶鉛筆盒，則

原路返回，取后立即出發，結果與弟弟同時到達學校。問他們家離學校多遠？

7、甲、乙兩地相距205千米，小王開汽車從甲地出發，計劃5小時到達乙地。他前一半時間每小時行36千米，為了

按時到達乙地，后一半時間必須每小時行多少千米？

第四講行程問題(四)

【專題導引】

通過前面對行程應用題的學習，同學們可以發現，行程問題大致分為以下三種情況：

相向而行：相遇時間;距離?速度和

相背而行：相背距離二速度和義時間

同向而行：追及時間=追及距離;速度差

如果上述的幾種情況交織在一起，組成的應用題將會豐富多彩、千變萬化。解答這些問題時，我們還是要理清題中已

知條件與所求的數量關系，同時采用“轉化”、“假設”等方法，把復雜的數量關系轉化為簡單的數量關系，把一個復

雜的問題轉化為幾個簡單的問題逐一進行解決。

【典型例題】

【例1】甲、乙兩地相距420千米，一輛汽車從甲地開到乙地共用了8小時，途中，有一段路在整修路面，汽車行咬

這段路時每小時只能行20千米，其余時間每小時行60千米。求正在整修路面的一段路長多少千米？

【試一試】

L一輛汽車從甲城到乙城共行駛395千米，用了5小時。途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。已知汽

車在高遠公路上每小時行105千米，在普通公路上每小時行55千米，求汽車在高速公路上行駛了多少千米？

2、小明家離體育館2300米，有一天，他以每分鐘10()米的速度去體育館看球賽，出發幾分鐘后發現，如果以這樣的

速度走下去一定遲到，他馬上改用每分鐘180米的速度跑步前進，途中共用15分鐘，準時到達了體育館。問：小明是

在離體育館多遠的地方開始跑步的？

【例2】客、貨兩車同時從甲、乙兩站相對開出，客車每小時行54千米，貨車每小時行48千米，兩車相遇后仍以原

速前進。到達對方站后立即返回，兩車再次相遇時客車比貨車多行21.6千米。甲、乙兩站間的路程是多少千米？

【試一試】

1.快、慢兩車同時從甲、乙兩地相對開出并往返行駛。快車每小時行80千米，慢車每小時行45千米。兩車第二次相

遇時，快車比慢車多行了210千米。求甲、乙兩地之間的路程。

2.甲、乙兩地相距216千米，客、貨兩車同時從甲、乙兩地相向而行。已知客車每小時行58千米，貨車每小時行50

千米，到達對方出發點后立即返回，兩車第二次相遇時，客車比貨車多行多少千米？

【例3】兩地相距460千米，甲列車開出2小時后，乙列車與甲列車相向開出，經過4小時與甲列車相遇。己知甲列

車每小時比乙列車多行10千米。求甲列車每小時行多少千米？

【試一試】

1.甲、乙兩地相距680千米，快車從甲地向乙地開出，2小時后，慢車從乙地與快車相向開出，并經過5小時與快車

相遇。已知快車每小時比慢車多行8千米，求快車每小時行多少千米？

2、師、徒二人合做264個零件，徒弟先做4小時后又和師傅合做了8小時才完成了任務。已知徒弟每小時比師傅少做

3個，師傅每小時做多少個零件？

【例4】小明和小軍同時從學校和少年宮出發，相向而行，小明每分鐘走90米，兩人相遇后，小明再走4分鐘到達少

年宮，小軍再走270米到達學校。小軍每分鐘走多少米？

【試一試】

1.小強和小東同時從甲、乙兩地出發，相向而行，小強每小時行15千米。兩人相遇后，小強再走2小時到達乙地，小

東再走45千米到達甲地、小東每小時行多少千米？

2、甲、乙二車同時從A、B兩地出發相向而行。甲車每小時行45千米。兩車相遇后，乙車再行135千米到A地，甲車

再行2小時到B地，求乙車行全程共用了幾小時？

【*例5】甲、乙兩地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人騎自行車從甲地到乙地后沿原路返回，

去時用了4小時12分，返回時用了3小時48分。已知自行車上坡是每小時行10千米，求自行車下坡時每小時行多

少千米？

(?試一試】

1.某學生乘車上學，步行回家，途中共需1.5小時；如果往返都坐車，途中只需30分鐘。如果往返都步行，途中共需

多少時間？

2、一輛汽車把貨物從城市運往小區，往返共用15小時，去時所用的時問是返回的1.5倍，去時比回來時每小時慢12

千米。這輛汽車往返共行了多少千米？

課外作業

家長簽名：

1.甲、乙兩人從相隔50千米的兩地同時相背而行，甲每小時行6千米，10小時后兩人相距150千米，乙每小時走多

少千米？

2.某汽車原計劃每小時行駛50千米，因有急事，將速度提高到每小時60千米，結果比原計劃提早到1小時，則汽車

行駛的這段路程是多少千米？

3、龜、兔進行10000米賽跑，兔子的速度是龜的速度的5倍。當它僅從起點一起出發后，龜不停地跑，兔子跑到某一

地點開始睡覺。兔子醒來時，龜已經領先它5000米。免于奮起直追，但龜到達終點時，兔子仍落后100米。那么兔子

睡覺期舊龜跑了多少米？

4.甲、乙兩車同時從相距160千米的兩站相向開出，到達對方站后立即返回，經過4小時兩車在途中第二次相遇。相

遇時甲車比乙車多行120千米。求兩車的速度。

5.小明家離學校2300米，哥哥從家中出發，5分鐘后弟弟從學校出發，二人相向而行。弟弟出發10分鐘后與哥哥相

遇，如果哥哥每分鐘比弟弟多行20米，他們每分鐘各行多少米？

6、快、慢兩車同時從甲、乙兩地相向而行，4小時相遇。已知快車每小時行65千米，慢車每小時行25千米，求慢車

行完全程共用了多少小時？

7、南、北兩鎮之間全是山路，某人上山每小時走2千米，下山時每小時走5千米，從南鎮到北鎮要走38小時，從北

鎮到南鎮要走32小時，兩鎮之間的路程是多少千米？從南鎮到北鎮的上山路和下山路各是多少千米？

第四章數論與整除

第一講數字趣味題

【專題導引】

0、1.2.3.4.5.6.7、8、9是我們最常見的國際通用的阿拉伯數字（或稱為數碼）。數是由十個數字中的一個或幾

個根據位值原則排列起來，表示事物的多少或次序.

數字和數是兩個不同的概念，但它們之間有密切的聯系。這里所講的數字問題是研究一個若干位數與其他各位

數字之間的關系。數字問題可采用下面的方法：

1.根據已知條件，分析數或數字的特點，尋找其中的規律。

2.將各種可能一一列舉，排除不符合題意的部分，從中找出符合題意的結論。

3、找出數中數字之間的相差關系和倍數關系，轉化成“和倍”、“差倍”等問題。

4、條件復雜時，可將題中條件用文字式、豎式表示，然后借助文字式、豎式進行分析推理。

【典型例題】

【例1】一個兩位數的兩個數字和是10.如果把這個兩位數的兩個數字對調位置，組成一個新的兩位數（我們稱新數

為原數的倒轉數），就比原數大72。求原來的兩位數。

【試一試】

1.一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的3倍。如果把這兩個數字對調位置，組成一個新的兩位數，與原數的差

為54。求原數。

2.一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的2倍。如果把這兩個數字對調位置，組成一個新的兩位數，與原數的和

為132。求原數。

【例2】把數字6寫到一個四位數的左力，再把得到的五位數加上8000,所得的和正好是原來四位數的35倍。原來的

四位數是多少？

【試一試】

1.有一個三位數，如果把數字4寫在它的前面可得到一個四位數，寫在它的后面也能得到一個四位數，已知這兩個四

位數相差2889,求原來的三位數。

2.把數字8寫在一個三位數的前面得到一個四位數，這個四位數恰好是原三位數的21倍。原三位數是多少？

【例3】如果一個數，將它的數字倒排后所得的數仍是這個數，我們稱這個數為對稱數。例如22、565、1991、20702

等都是對稱數。求在C1000中共有多少個對稱數？

【試一試】

1.有一個四位數的對稱數，四位數字之和為1（）,十位數字比個位數字多3,求這個四位數。

2.在對稱數中，年份數1991不僅是一個稱數，而且還可以寫成兩個對稱數的積，即1991=11X181。在1000年~2019

年中除1991年外，還有哪些數既是對彌數，又可以寫成兩個或三個對稱數的積？

【例4】一個六位數的末位數字是7,如果把7移到首位，其他五位數字順序不動，新數就是原來數的5倍，原來的六

位數是多少？

【試一試】

1.如果把數字6寫在一個數的個位數字后面，得到的新數比原數增加了6000o原數是多少？

2、有一個六位數，它的個位數字是6,如果把6移至第一位，其余數字順序不變，所得新六位數是原數的4倍。原六

位數是多少？

［例5］某地區的郵政編碼可用AABCCD表示，已知這六個數字的和是11,A與D的和乘以A等于B,D是最小的非零

自然數，這個郵政編碼是多少？

【試一試】

1.一個三位數，個位上的數字是十位上數字的4倍，十位上的數字是百位上數字的2倍。這個三位數必定是多少？

有一個六位數，其中右邊三個數字的和恰好等于末尾的兩位數。求這個六位數。

課外作業

家長簽名：

1.有一些兩位整數，所有數字和是4,這樣的兩位整數一共有幾個？

2.498與7的數字之和是28,那么它們和的數字之和是多少？你發現什么規律？

3.一個兩位數，十位上的數字比個位上數字少2。如果把這兩個數的個位與十位上的數字對調，所得的新兩位數與原

數和是154。求原數。

4.有一個三位數，它的個位數字是3,如果把3移到百位，其余兩位依次改變，所得的新數與原數用差171。求原來的

三位數。

5、在五位數中，既是對稱數，又可以寫成兩個對稱數的積的最小的數是多少？

6、在一個兩位數的兩個數字中間加一個U,那么，所得的三位數比原數大6倍。求這個兩位數。

*7、求各位上數字之和等于34的最小的四位數。

第二講分解質因數（一）

【專題導引】

一個自然數的因數中，為質數的因數叫做這個數的質因數。

把一個合數，用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如：24=2X2X2X3,75=3X5X5。

我們數學課本上介紹的分解質因數，是為求最大公因數、最小公倍數服務的。其實，把一個數分解成質因數相乘的形

式，能啟發我們尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。

【典型例題】

【例1】把18個蘋果平均分成若干份，每份大于1個，小于18個。一共有多少種不同的分法？

【試一試】

1.有60個同學分成人數相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于6人，不多于15人，有哪幾種分法？

2、195個同學排成長方形隊伍做早操，行數和列數都大于1,共有幾種排法？

【例2】寫出若干個連續的自然數，使它的積是15120。

【試一試】

1.有一個長方體，它的長、寬、高是三個連續的自然數，且體積是39270立方厘米，求這個長方體的表面積。

2.有4個孩子，恰好一個比一個大1歲，4人的年齡積是3024,問這4個孩子中最大的幾歲？

【例3】將下面八個數平均分成兩組，使這兩組數的乘積相等。

2.5、14、24、27、55、56、99

【試一試】

1.有三個自然數a、b、c,已知aXb=30,bXc=35,cXa=42,求aXbXc的積是多少？

2、把4。、44、45、63、65、78、99、105這八個數平均分成兩組，使兩組四個數的乘積相等。

【例4】王老師帶領一班同學去植樹，學生恰好分成4組，如果王老師和學生每人植樹一樣多，那么他們一共植了539

棵。這個班有多少個學生？每人植樹多少棵？

【試一試】

1.3月12日是植樹節，李老師帶領同學排成兩路人數相等的縱隊去植樹，已知李老師和同學們每人植樹的棵數相等,

一共植了111棵樹，求有多少個同學？

2、小青去看電影，他買的票的排數與座位號數的積是391,而且排數比座位號數大6,小青買

的電影票是幾排幾座？

【?例5】下面的算式里，口里數字各不相同，求這四個數字的和。

□□XOD=2019

[?試一試】

1.在下面算式的框內，各填入一個數字，使算式成立。

□□□X0=20.9

2.下面四張小紙片各蓋住一個數字，如果這四個數字是連續的偶數，請寫出這個完整的算式。

□□xan=i288

課外作業

家長簽名：

1.100以內的質數有哪些？

2.51-()-()……4,在括號內填入適當的數，使等式成立，共有幾種不同的填法？

3.甲數比乙數大9,兩個數的積是792,求甲、乙兩數分別是多少？

4.四個連續奇數的積是19305,這四個奇數各是多少？

5、把3Q、33、42.52.65、66、67、78、105九個數分成三組，使每個組的數的乘積相等，寫出這三組數。

6、把一籃蘋果分給4人，使四人的蘋果數一個比一個多2,且他們的蘋果個數之積是1920,這籃蘋果共有幾個？

*7、在下面算式里，四個小紙片各蓋住一個數字，被蓋住的四個數字總和是多少？

第三講分解