第八章實數(shù)數(shù)學活動學習目標

古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們認為“萬物皆數(shù)”，即一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比表示。后來畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線的長不能表示為整數(shù)或整數(shù)之比(即不是有理數(shù))，對此它們感到惶恐不安。由此，引發(fā)了第一次數(shù)學危機。

事實上，“不是有理數(shù)”是可以證明的，下面給出一種證明方法。

假設(shè)是有理數(shù)，那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p，q使得于是兩邊平方得由2q2是偶數(shù)，得p2是偶數(shù)，而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)。

因此可設(shè)p=2r(r是正整數(shù))代入上式，得4r2=2q2，即即q2=2r2所以q也是偶數(shù)，這樣，p，q都是偶數(shù)，與假設(shè)p，q互質(zhì)矛盾。這個矛盾說明，不能寫成分數(shù)的形式，即不是有理數(shù)。

歷史上，人們對無理數(shù)的認識經(jīng)歷了曲折、漫長的過程，直到19世紀下半葉，才終于給出了無理數(shù)的嚴格定義。這時，實數(shù)的理論體系才建立起來，持續(xù)兩千多年的第一次數(shù)學危機終于結(jié)束了。探究新知2.估算A0紙的長與寬

如圖，同學們應(yīng)該記得在前面的課時中我們將兩個面積為1的小正方形沿對角線裁成四個直角三角形，然后沿直角邊拼接成一個面積為2的大正方形的活動.探究新知2.估算A0紙的長與寬問題1：小正方形的對角線長是多少?問題2：大正方形的對角線和邊的長分別是多少?問題3：小正方形和大正方形的對角線和邊的長的比分別是多少?你得出了一個什么結(jié)論?

探究新知2.估算A0紙的長與寬按照國際標準，A系列紙為長方形，A0紙的面積為1m2.將A0紙沿長邊對折、裁開，便成A1紙；將A1紙沿長邊對折、裁開；便成A2紙，將A2紙沿長邊對折、裁開，便成Ａ3紙；將A3紙沿長邊對折、裁開，便成A4紙.……探究新知2.估算A0紙的長與寬問題2：根據(jù)前面給出的閱讀內(nèi)容，猜想這些小長方形屬于哪一類紙?問題1：這張A0的紙此時被折成了幾個小長方形?活動1：取一張A0紙，將其連續(xù)沿長邊對折四次并展開，然后展示給學生觀察.屬于A4紙16個問題3：這些小長方形的長寬與A0紙的長寬有什么關(guān)系?A0紙的長寬分別是A4紙長寬的4倍.探究新知2.估算A0紙的長與寬活動2：讓學生準備一張A4紙，按圖中所展示的方式折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)?ABCDFABCDABCDABCDFFFEE問題1：AC

與

AB

有什么大小關(guān)系?問題2：

AB與

AF

的比值為多少?那么

AC

與

AF的比值呢?AC＝AB

探究新知2.估算A0紙的長與寬問題3：根據(jù)問題2可以得到A4紙的長與寬有什么關(guān)系?

問題4：根據(jù)活動1中的問題3推算A0紙的長寬比為多少?

探究新知2.估算A0紙的長與寬答：A0紙的長是1189毫米，寬是841毫米。設(shè)A0紙寬為xm，長為m。所以解得

探究新知3.口算求立方根我國著名數(shù)學家華羅庚有一次在飛機上看到他的助手閱讀的雜志上有一道智力題:一個數(shù)是59319，求它的立方根，華羅庚脫口而出:39。探究新知3.口算求立方根你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？確定結(jié)果的位數(shù)．確定各個數(shù)位上的數(shù)字．找到兩個整數(shù)，使無理數(shù)介于它們之間，估計出這個無理數(shù)的大小.探究新知3.口算求立方根13

=1103

=10001003

=100000059319確定結(jié)果是幾位數(shù)．1因為103<59319<1003所以10

<<100所以是個兩位數(shù)探究新知3.口算求立方根2確定各個數(shù)位上的數(shù)字．593199自然數(shù)立方數(shù)最后一位數(shù)字000111288327746445125562166734338512297299個位數(shù)是9探究新知3.口算求立方根59319因為33<59<43所以

的十位上的數(shù)是3．因為103=1000，所以應(yīng)該劃去后三位數(shù)字319，只考慮59的立方根的大小。十位數(shù)是3這個數(shù)字是39

33=27，43=64，由此你能確定