專題i8.n平行四邊形中的定值、最值問題三大題型

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對平行四邊形中的定值、最值問題

三大題型的理解！

【題型1定值問題】

1.（2024八年級下?浙江金華?期中）如圖，四邊形4BCD和AEFD均為平行四邊形，邊AE,CZ）相交于點P,

邊BC,EF在同一直線上，當點尸從點C出發向點。運動時（點P不與點C,。重合），則aACE的面積與

△PC77的面積差的變化情況是（）

A.先變小后變大B.先變大后變小C.一直變小D.一直不變

2.（2024?湖南株洲?二模）如圖，直線AM平行于N8,定點A在直線MA上，動點8在直線8N上，尸是平面

上一點，且P在兩直線中間（不包括邊界），始終有4PAM="8N,則在整個運動過程中，下列各值①乙4PB；

②P力+PB：③④中，一定為定值的是.（填序號）

A/

3.（2024八年級下?陜西西安?期中）問題探究:

（1）如圖1,平行四邊形ABCD,/A8C=60。，AB=3,BC=5,M、N分別為A。、DC上的點，且DM+ON

=4,則四邊形BMQN的面積最大值是.

（2）如圖2,NAC8=90。，且AC+BC=4,連接48,則△ABC的周長是否存在最小值？若存在，求出最小

值；若不存在，說明理由.

問題解決

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，AD//I3C,對角線AC交8。于0,已知乙4。8=120。，且AC+4Q=1(),

則么A0。與ABOC的周長之和是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值.

4.(2024八年級下.江蘇南通?期中)如圖,在菱形ABCO中，ZABC=60°,AB=2.過點4作對角線8。

的平行線與邊CO的延長線相交于點￡P為邊8。上的一個動點(不與端點B,。重合)，連接見,PE,

AC.

(I)求證：四邊形力石是平行囚邊形；

(2)求四邊形A/比陀的周長和面積：

(3)記△A8P的周長和面積分別為。和S/,APDE的周長和面積分別為C2和S2,在點尸的運動過程中，

試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2,②S1+S2,如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值

的，請直接寫出它的取值范圍.

5.(2024八年級上?浙江杭州?期中)如圖，在△力BC中，AB=AC,點D在邊BC上(不與點氏C重合)，

且BD>CD,過點。作DP1BC,分別交B力的延長線和4c于點P和點Q.

(I)求證：AP=AQ.

(2)若點Q是線段OP的中點，探索AQ與QC的數量關系.

(3)若△ABC的形狀和大小都確定，說說OP+DQ的值是否為定值，如果是定值，直接寫出這個定值的幾何

意義；如果不是定值，說明理由.

6.(2024八年級上?福建泉州?階段練習)如圖所示四邊形力BCD中，力8=BC=CD=DA=4,^BAD=120°,

△AEF為正三角形,點E、尸分別在邊BC、G9上滑動，且E、F不與8、。、。重合.

⑴四邊形ABCD平行四邊形（是或不是）

（2）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有8E=CJ

（3）當點石、F在.BC、CO上滑動時，四邊形4ECF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變

化，求出最大（或最小）值.

7.（2024八年級上?北京海淀.開學考試）如圖1,點B,C分別是NMAN的邊AM,AN上的點，滿足

AB=BC,點P為射線AB上的動點，點D為點B關于直找AC的對稱點，連接PD交AC于點E；交BC干

點F.

⑴在圖1中補全圖形.

（2）求證：ZABE=ZEFC.

（3）當點P運動到滿足PD_LBE的位置時，在射線AC上取點Q,使得AB二BQ,此時篙是否是一個定值，若

是請求出該定值，者不是在請說明理由.

備用圖

8.（2024八年級下.江蘇淮安?階段練習）（I）如果△力BC的面積是S,E是BC的中點，連接力E（圖1）,則

△4EC的面積是；

圖1

y

圖1圖2

（1）如圖1,若m=2?點P在線段48上，LPOA=45%求點P的坐標；

（2）在（1）的條件下，平面內是否存在點Q,使得以4Q,P,0為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，

請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,以。P為對角線作正方形。CPD（。，C,P,。按順時針方向排列），當點P在直線A8上運動時，

關的值是否會發生變化？若不變，請求出其值：若變化，請說明理由.

10.（2024八年級上.吉林向城.期中）如圖：△力BC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點.由點4

向點C運動（P與點A、C不重合），點Q同時以點。相同的速度，由點8向CB延長線方向運動（點Q不

與點B重合），過點P作PE于點E,連接PQ交4BF點。.

（1）若設AP的長為X,則PC=_,QC=_.

（2）當N8QD=30。時、求/1P的長；

（3）過點。作Q/148交48延長線于點F,則EP、FQ有怎樣的數量關系？說明理由.

（4）點P,Q在運動過程中，線段ED的長是否發生變化？如果不變，直接寫出線段￡7）的長；如果變化，請說

明理由.

【題型2最小值問題】

1.（2024八年級下?廣東深圳?期中）如圖，川電，直線。與直線之間的距離為%點A是直線。與。外一點，

點W到直線。的距離為2,點B,。分別是直線/】與直線。上的動點，以點B為圓心，AZ）的長為半徑作弧，再

以點。為圓心，的長為半徑作弧，兩弧交于點C,則點4與點C之間距離的最小值為（）

A

2.(2024八年級下.天津南開?期中)如圖，已知團048c的頂點A,C分別在直線％=2和x=5上，。是坐

3.(2024八年級上.山東濟寧?期中)如圖,已知點4(0,8),F(0,-2),E(0,5),3(-5,0),C為直線七戶上一

動點，則回4c8。的對角線CO的最小值是.

4.(2024八年級上?江蘇泰州?期中)如圖，四邊形48CD中，AB\\CD,BDLCD于點D,BO=24,CD=7,

在80右側的平面內有一點F,ZkBOF的面積是96,當F4+FC的最小值是30時，那么48=

DC

5.（2024八年級上?陜西安康?期中）如圖，在等腰直角三角形中，Z.A=90°,AB=AC,△ABC的面

積等于35,點尸在AB上，點。在4c上，BP=AQ,BC上有一動點M,若要使PM+MQ最小，則該最小值

是.

6.（2024八年級上?山東臨沂?期中）已知如圖，4（1,1）、8（4,2）.C。為大軸上一條動線段，。在C點右邊

且CD=1,當4C+CD的最小值為.

7.（2024八年級下.全國?期中）如圖，在平行四邊形48。。中，△48。是等邊三角形，BD=2,且兩個頂

點8、。分別在％軸，y軸上滑動，連接。。，則。C的最小值是.

8.（2024八年級上?山東濰坊?期中）已知：將酊18CD沿對角線AC折疊，△D4C折至必凡4C位置.

D

(1)證明

(2)如果4C=6cm,B、。兩點間距離為8cm,請在對角線AC上找一點O,使得0B+。產的值最小，并求最

小值;

(3)探索：線段AF與8C滿足什么關系時，點。、C、F在同一條直線上，請給出證明.

9.(2024八年級下.重慶秀山.期中)已知，在平行四邊形43CD中,點M是BC邊上一點,連接AM、DM,

力M=DM且AMJ.DM,點￡是。“上一動點，連接AE.

(1)如圖1,若點E是DM的中點，AE=VW,求平行四邊形ABC。的面積；

(2)如圖2,當HE_L28時，連接CE,求證：AB+CE=AE；

(3)如圖3,以4E為直角邊作等腰RtA/lEr,/-EAF=90°,連接FM,若CM=a,CD=V5,當點E在運

動過程中，請直接寫出AAFM周長的最小值.

10.(2024八年級下?吉林?期中)如圖，1348c?。的對角線AC和8。相交于點O,￡7比1點。口與邊48、CD分

別相交于點E和點F.求證：OE=0F：

【結論應用】若乙4DB=90。，48=5,AD=3,則四邊形ADFE的面積為,EF的最小值為

【題型3最大值問題】

1.（2024八年級下?廣東佛山?期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，ZC=120°,AD=4,AB=2,點、E是

折線BC-CO-。4上的一個動點（不與4、8重合）.則A/1BE的面積的最大值是（）

2.（2024八年級下?江蘇無錫?期中）已知平面直角坐標系中，點A、8在動直線、=mx—3m+4（m為常

數且m工p上，AB=5,點C是平面內一點，以點。、A、B、。為頂點的平行四邊形面積的最大值是（）

A.24B.25C.26D.30

3.（2024八年級下.浙江杭州?期中）如圖，已知乙￥。丫=60。，點A在邊。X上，0/1=4.過點A作力C_LOV

于點C,以/1C為一邊在NXOV內作等邊三角形為8C,點P是△/18C圍成的區域（包括各邊）內的一點，過點

P作PO〃”交OX于點D,作PE〃OX交OP于點E.設。。=a,0E=b,則a+2b的最大值與最小值的和是

4.（2024八年級下.北京豐臺.期中）在等邊△4BC中，人。為邊8C的中線，將此三角形沿八。剪開成兩個

三角形，然后把這兩個三角形拼成一個平行四邊形，如果48=2,那么在所有能拼成的平行四邊形中，對

角線長度的最大值是.

A

5.（2024八年級下.山東濟南?期中）如圖，在口488中，AB=5,AD=3,ZA=60°,E是送4。上且AE

=2DE,尸是射線AB上的一個動點，將線段E”繞點E逆時針旋轉60。，得到EG,連接BG、QG,則8G

一Z）G的最大值為.

6.（2024八年級下?山東濰坊?期中）在RtA/lBC中，Z.ABC=90°,Z-ACB=30°,將△48C繞點。順時針旋

轉一定的角度。得到△DEC，點4B的對應點分別是點。，E.

（1）當點E恰好在4c上時,如圖L求乙40E的大小;

（2）若a=60。時，點F是邊4c的中點，如圖2.求證：四邊形BEOF是平行四邊形;

（3）當4B=2時，連接4E,AD,設△4OE的面積為S.在旋轉過程中，S是否存在最大值？若存在，請直接

寫出S的最大值；若不存在，請說明理由.

7.（2024八年級?山東濟南?期中）如圖，△APB中,AB=2,ZAPB=90%在AB的同側作正△ABD、1HAAPE

和正ABPC,求四邊形PCDE面棧的最大值.

E

AR

8.(2024八年級下?遼寧沈陽?期中)已知等邊△4BC和等腰△CDE,DC=DE,Z-CDE=120°.

圖1佟2圖3

(1)如圖1,點。在BC上，點E在上，P是BE的中點，連接力。，PD,則線段AD與PD之間的數量關系

為;

(2)如圖2,點D在△4BC內部，點E在△4BC外部，P是BE的中點，連接40、PO,則(1)中的結論是否仍

然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

(3)如圖3,若點。在△ABC內部，點E和點8重合，點P在BC下方，且P8+PC=12,則PO的最大值為.

9.(2024八年級下.河北石家莊?期中)如圖I和圖2,在團力中，為定值，BC=2x(%>0),乙48。和

48co的平分線"小與門交于點G,點￡,尸在直線力。上，線段EF的長為y,圖3是)，與工的函數圖像.

(I)①線段4E與線段。戶的關系是：AEDF(填“V”，">”或“=”)；

②線段A8長為：圖3中〃的值是；

⑵當點廠在線段4E延長線上時，求)，與x的函數關系式并寫出自變量1的取值范圍;

(3)線段AE延長線上有點P,PE=m-BC,填空：

①若771=則當X為時，P,尸兩點重合；

②若要使44x48時，P,尸兩點能夠重合，則機的最大值是.

10.(2024八年級下?重慶渝北?期中)如圖1,在回ABC。中，25=45。，過點C作CE_LA。于點￡,連接

AC,過點。作。以LAC于點凡交CE于點G,連接￡￡

(1)若。G=8,求對角線AC的長；

(2)求證：AF+FG=y/2EF；

(3)如圖2,點尸是直線A3上一動點，過點A作4M_L4C于點M,取線段A4的中點N,作點8關于直線

PM的對稱點夕，連接NB',若AB=10,請直接寫出當N8'取得最大值時P8的長.

專題18.11平行四邊形中的定值、最值問題三大題型

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題,題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對平行四邊形中的定值、最值問題

三大題型的理解！

【題型1定值問題】

1.（2024八年級下.浙江金華?期中）如圖，四邊形/BCD和力EFD均為平行四邊形，邊AE,CD相交于點P,

邊BC,EF在同一直線上，當點P從點C出發向點。運動時（點P不與點C,。重合），則a/ICE的面積與

△PCF的面積差的變化情況是（）

A.先變小后變大B.先變大后變小C.一直變小D.一直不變

【答案】D

【分析】連接8P,由平行四邊形對邊平行且相等可得CDIIAB,BC=AD=EF,由同底等高的兩個三角形

面積相等得到S—cp=S&8CP，由等/氐向高的兩個二角形面積相等得■到SaPBC=S^PEF，推出ISMCP=^APEF?

求出面積差為。即可做出判斷.

【詳解】解：連接BP,

:四邊形48CD和力￡7限均為平行四邊形，

：.CD||AB,BC=AD=EF,

???邊4E,CD相交于點P,邊BC,EF在同一直線上,

??^hACP=S&BCP'S^PBC=S^PEF：

?應何。=S&PEF，

:*S&ACP+S“CE=SNEF+S^pcE'

即SAACE=S“CF，

??SAACE-S^PCF=°，

???當點〃從點C出發向點D運動時，△4CE的面積與APCF的面積差一宜不變.

故答案為：D.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形，平行線，三角形的面積，熟練掌握平行四邊形的性質、平行線間的距

離相等、三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等，是解決問題的關鍵.

2.（2024.湖南株洲.二模）如圖，直線M4平行于N8,定點A在直線上，動點8在直線3N上，。是平面

上一點，且P在兩直線中間（不包括邊界），始終有"4M=乙PBN,則在整個運動過程中，下歹U各值①“PB；

②/M+P3；繪；④S“A8中，一定為定值的是.（填序號）

【答案］??/??

【分析】過點P作PQIIAM,交8'P'7點Q,根據平行線的判定和性質，推出乙1P8=乙APQ+乙BPQ=2^PAM,

判斷①；證明四邊形QP88'為平行四邊形，APP'Q為等腰三角形，推出4P'+P8'=4P'+P'Q+QB'=

AP1+P,P+BP=AP+BP,判斷②；結合圖形，根據線段的變化情況，判斷③和④.

【詳解】解：過點P作PQII4M,交9P，于點Q,

'：MA||NB,

:,PQ||MA||NB,

工人APQ=LPAM.Z-BPQ=乙PBN,

'：LPAM=乙PBN,

:.LAPQ=LPAM=乙BPQ=乙PBN,

：,LAPB=LAPQ+Z.BPQ=2^.PAM,為定值，故①正確：

?:乙P'B'N=Z-MAP=PBN,

：,PB||P'B',

，四邊形QP8夕為平行四邊形，4P'QP=乙BPQ=乙APQ,

：.PB=QB',PP'=P'Q,

：.AP'+P'B'=AP'+P'Q+QB'=AP'+P'P+BP=AP+BP,

???PA+PB為定值,故②正確;

由圖可知，當點。從下往上運動時，AP逐漸減小，

???PA+P8為定值,

，BP逐漸增大，

???黑逐漸減小，不是定值，故③錯誤；

rB

假設NH4M=45。，則：乙4P8=90。，

???△4P8為直角三角形，

???SAW8="4PB，

設PA+PB=m,

/.PA=m—PB,

:?S&APB=\PAPB=\(m-PB〉PB,

「PB不是定值，

???SA4PB的值也不是定值，故④錯誤；

故答案為：①②.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵

是添加輔助線，構造特殊圖形.

3.(2024八年級下.陜西西安.期中)問題探究：

(1)如圖1,平行四邊形A8CZ),ZABC=60°,AB=3,8c=5,M、N分別為40、。。上的點，且DM+ON

=4,則四邊形8MON的面積最大值是.

（2）如圖2,NAC8=90。，且AC+BC=4,連接48,則△43C的周長是否存在最小值？若存在，求出最小

值；若不存在，說明理由.

問題解決

（3）如圖3,在四邊形ABCQ中，AD//BC,對角線AC交8。于。，已知乙4。8=120。，且4C+BQ=10,

【答案】（1）竽：（2）存在，4+2V2：（3）不是，周長之和的最小值為15

【分析】（1）先求出平行四邊形ABCD的面積，利用面積和差關系可得四邊形BMDN的面積=58一苧DM,

則當DM有最小值時，四邊形8MDN的面積有最大值，即可求解：

（2）在RtzlABC中，由勾股定理可求48的長，由線段的和差關系可求解；

（3）如圖3,過點、D作DH〃AC,交BC的延長線于H,過點8作BVJL0H于N,可證四邊形力0〃C是平行四邊

形，可力O=CH,AC=DH,則44。。與48。。的周長之和為10+8/7,由直角三角形的性質可求的長，

即可求解.

【詳解】解：（1）過點B作BE14D,交延長線于E,過點8作BF_LCD,交。C的延長線于F,

?.?四邊形力8co是平行?四邊形，

AAB//CD,AD//BC,AB=CD=3,BC=AD=5,

A￡BAE=乙ABC=60°,乙BCF=Z.ABC=60°,

???=4CBF=30°,

AE=-AB=-CF=-BC=-,

22f22

???BE=苧，BF=三通,

???四邊形/BCD的面積=ADxBE=竽，

???DM+DN=4,

:.DN=4-DM,

:?CN=DC-DN=3-(4-DM)=-1+DM

???四邊形BMDN的面積

=S四邊形ABCD~SAABM~SABCN=一g'苧xAM-3x第xCN=一乎(5-DM)-苧(-14-

DM),

四邊形BMDN的面積=5V3-yDM,

則當DM有最小值時，四邊形8MDN的面積有最大值，

???DM+C/V=4,

ADN=4-DM,

?:DN<3,

.-.4-DM<3,

DM>1.

.?.當Z)M=1時，四邊形BMDN的面積=竽，

故答案為竽；

(2)存在，

設4C=x,

vAC+BC=4,

:.BC=4—x,

???AB=>JAC2+BC2=y/x24-(4-x)2=V2x2-8x+16=j2(x-2)2+8,

2

???ZL48C的周長=AB+BC+AC=4+y/2(x-2)+8f

???當x=2時，448C的周長的最小值為4+2企；

(3)zM。。與480C的周長之和不是定值，

理由如下：如圖3,過點。作O〃〃AC,交8C的延長線于“，過點B作BN1。〃于N,

VAD//BC,DH//AC,

，四邊形ADHC是平行四邊形，

AD=CH,AC=DH,

:.QAOD+CABOC=AD+AO+OD+BC+BOOC=CH+BCAC+BD=BH+BD+DH=10+BHt

設80=x,則4c=DH=10-x,

rAC"DH,

lBDH=Z.BOC=180°-LAOB=60°,

??"BN=30°,

22

22

BN=y/BD-DN=—2x,

???NH=10-BD-DN=10-2-X,

:.BH=7BN?+NH2=J*+(10-棄/=j3(%-5)2+25,

Q/IOD+CABOC=1。+J3(x-5)2+25,

??.A40D與dBOC的周長之和不是定值，

???當x=5時，440。與4B0C的周長之和的最小值為15.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考杳了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，添加恰當輔助線

構造直角三角形是解題的關鍵.

4.(2024八年級下.江蘇南通?期中)如圖，在菱形A4CO中，//WC=60。，AB=2.過點A作對角線所

的平行線與邊C。的延長線相交于點￡P為邊4。上的一個動點(不與端點4,。重合)，連接南，PE,

AC.

（1）求證：四邊形七是平行四邊形；

（2）求四邊形的周長和面積；

（3）記△八8P的周長和面積分別為C/和S/,△PDE的周長和面積分別為。2和S2，在點P的運動過程中，

試探究下列兩個式子的值或范闈：①C1+C2,②S1+S2,如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值

的，請直接寫出它的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）。ABDE的周長為：4+4V3,面積為2舊；

（3）①8+2百<。1+。2<6+2百+2?；②S1+S2的值為定值，這個定值為百

【分析】（1）利用菱形的性質得：AB〃DE,由兩組對邊分別平行的四邊形可得結論；

（2）設對角線AC與BD相交于點0.根據直角三角形30。角的性質得AC的長，由勾股定理得OB的長和

BD的長，根據平行四邊形的性質可得其周長和面積；

（3）①先根據三角形的周長計算G+C2=2AB+BD+AP+PE=4+2g+AP+PE,確定AP+PE的最大值和最小值

即可；

根據軸對稱的最短路徑問題可得：當P在D處時，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4,由圖形可知：當P

在點B處時，AP+PE的值最大，構建直角三角形計算即可；

②S|+S2的值為定值，這個定值為百，根據面積公式可得結論.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CD是菱形，

J.AB//CD,

即AB//DE.

*：BD//AE,

:.四邊形ABDE是平行四邊形.

（2）解：設對角線4C與40相交于點O.

;四邊形A8CQ是菱形，ZABC=60°,

??.N3Q="C=3（）。，ACVBD.

在RsAOB中，AO=^AB=\,

：.OB=y[3.

:,BD=2BO=2?

，用ABDE的周長為：2AB+2BD=4+4g,

期ABDE的面積為：BD-AO=2V3X|=2V3.

(3)?VC1+C2=AB+PB+AP+PD+PE+DE=2AB+BD+AP+PE=4+2V3+AP+PE,

??P和人關于直線8。對稱，

???當夕在。處時，AP+PE的值最小，最小值是2+2=4,

當P在點4處時，4P+PE的值最大，如圖2,

過E作EG_L8O,交8。的延長線于G,

VZBDE=150°,

???NEQG=30。，

,:DE=2,

；?EG=l,DG=遮,

RtAPEG中，BG=2^+6=3?

由勾股定理得：尸七=Ji?+(375)2=V28=2近，

.?/P+PE的最大值是：2+2夕，

TP為邊8。上的一個動點(不與端點8,。重合)，

.*.4+4+2V3<C/+C2<4+2V3+2+2V7,即8+273<C/+C2<6+2V3+2V7；

(寫對一邊的范圍給一分)

②S1+S2的值為定值，這個定值為國；

理由是：S,+S2=^BP-A0+1PD-A0=1AO(fiP+PD)=|x2v*3x1=V3.

圖1圖2

【點睛】考查了菱形的性質，直角三角形30度角的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積和周長

公式，解（1）的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，解（2）的關鍵是計算0A和OB的長，解（3）的關

鍵是作輔助線，構建直角三角形.

5.（2024八年級上?浙江杭州?期中）如圖，在△4BC中，AB=AC,點。在邊BC上（不與點B,C重合），

且BD>CD,過點。作DPJL8C,分別交BA的延長線和AC于點尸和點Q.

⑴求證:AP=AQ.

（2）若點Q是線段DP的中點，探索AQ與QC的數量關系.

（3）若△48。的形狀和大小都確定，說說DP+OQ的值是否為定值，如果是定值，直接寫出這個定值的幾何

意義；如果不是定值，說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）QC=24Q：證明見解析

Q）DP+OQ的值是定值，這個定值是邊上的高的2倍

【分析】（1）根據等腰三角形性質得出NB=NC,根據余角性質得出上42P=4CQD=4P,即可證明結論;

（2）過點P作PEIIBC,交C4的延長線于點E,證明4E=4P=4Q,得出QE=24Q,證明△EQP三△CQD,

得出QE=QC,即可得出結論；

（3）過點A作4M1BC于點M,延長4M至點E,使/IM=ME,連接CE,延長QO交CE于點F,證明△AMB三

△EMC,得出匕8=證明四邊形Z1EFP為平行四邊形，得出/IE=PF=24M,證明8C垂直平分4E,

得出CQ=CF,說明OQ=OF,即可得出PD+OQ=PO+DF=PF.

【詳解】（1）解：=AB=4C,

=Z.C,

■:DP1BC,

：,LB+ZP=zC4-Z-CQD=90°,

：,LAQP=乙CQD=乙P,

：.AP=AQ.

⑵解：過點。作PEII8C,交。的延長線于點￡,如圖所示：

則，PEQ=4C,Z.APE=Z.B,

'：AB=AC,

:?乙B=乙C,

LPEQ=/.APE,

*.AE=AP=AQ,

:.QE=2AQ,

???點Q是線段DP的中點，

:,PQ=DQ,

■:乙PEQ=幺C,乙PQE=LCQD,

**AEQP=△CQD?

:,QE=QC,

：.QC=2AQ.

(3)解：OP+OQ的值是定值，這個定值是8。邊上的高的2倍.

理由：過點A作力MJLBC于點M,延長力何至點K,使=ME,連接CE,延KQ。交CE于點八如圖所示:

*：AB=AC,AM1BC,

=CM,

???//1MB=NCME,AM=EM,

：.LAMBdEMC,

工乙B=乙ECM,

：.AB\\CE,

*：AM1BC,PD1BC,

,\AE\\PF,

???四邊形力E”為平行四邊形,

：,AE=PF=2AMt

=ME,AM1CM,

JSC垂直平分4E,

:?CQ=CF,

?：CD1FQt

:,DQ=DF,

：?PD+DQ=PD+DF=PF,

：.PD+DQ=2AMt

即DP4-OQ的值是定值，這個定值是8c邊上的高的2倍.

【點睛】本題主要考杳了平行四邊形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰

三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，余角的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定

和性質.

6.（2024八年級上八建泉州?階段練習）如圖所示四邊形A8CD中,AB=8C=CD=DA=4,Z-BAD=120°,

△AEF為正三角形，點E、尸分別在邊BC、CD上滑動，且E、尸不與B、C、。重合.

⑴四邊形ABCD平行四邊形（是或不是）

（2）證明不論E、尸在8C、C。上如何滑動，總有8E=CF：

⑶當點￡、F在BC、C。上滑動時，四邊形4ECF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變

化，求出最大（或最小）值.

【答案】（1）是

（2）見解析

（3）四邊形AECF的面積不變，為定值“5

【分析】（1）根據48=8。=￡?。=。4=4可知四邊形力8。。是平行四邊形，即可得答案；

（2）根據平行四邊形及匕84。=120°,可證得△ABC^^ACO為等邊三角形，則484c=60°,/.ABE=44=

60。，AC=AB,再結合△AEF是等邊三角形，進而證得41=43,利用ASA即可證明△力BE三A4CF,即可

得結論；

（3）根據△ABE=△ACF,得SMM=^AACF?故由S四邊形.ECF=S&AEC+^LACF=S*EC+^^ABE=

可知四邊形AEC尸的面積是定值，作4718c于H點，由等邊三角形的性質求得B，=2,進而求得AH即可求

得SMBC，可得定值?

【詳解】（1）解：四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：

?；AB=HC=CD=DA=4,

???四邊形4BCD是平行四邊形，

故答案為：是；

（2）證明：由（1）知四邊形ABCD為平行四邊形，則4?||CD,AD||BC,

*：Z.BAD=120°,AB||CD,AD||BC,

：,LABC=乙ADC=60°,

又?.?4B=BC=CD=DA=4,

??.AABGflU力。。為等邊三角形，

：.LBAC=600,Z4=60°,AC=AB,

???ARE尸是等邊三角形，

：,LEAF=60°,

Azi+Z-EAC=60°,Z3+匕EAC=60°,

AZI=43,

又=44=60。，AC=AB,

:,hABE三△4CF（ASA）.

：.BE=CF：

（3）四邊形力EC尸的面積不變，為定值4g.

理由如下：由（2）得△48E三△［（?八則SMBE=SM"，

故S四邊形AECF=S&AEC+S4ACF=$AAEC+S&ABE=S^ABC'是定值,

作HH18C于，點，

?：LBAC=60°,AB=AC=4

；?BH=\BC=2,則力H=yjAB2-BH2=2百，

S

??S四邊形AECF=hABC=^BC-AH=4后

綜上，四邊形AECF的面枳不變，為定值4百.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質，三角形全等的判定與性質，等邊三角形的判定及性質，勾股

定理，綜合性較強，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

7.（2024八年級上?北京海淀?開學考試）如圖1,點B,C分別是NMAN的邊AM,AN上的點，滿足

AB=BC,點P為射線AB上的動點，點D為點B關于直找AC的對稱點，連接PD交AC于點E；交BC干

點F.

（1）在圖1中補全圖形.

（2）求證：ZABE=ZEFC.

⑶當點P運動到滿足PDJ_BE的位置時，在射線AC上取點Q,使得AB=BQ,此時篙是否是一個定值，若

備用圖

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）是定值當，理由見解析

【分析】（1）根據要求畫出圖形即可.

（2）證明44E5三44E0（SSS）,推出乙48E=匕0,證明40〃BC,推出NO二即可解決問題.

⑶結論：蕓=1,是一個定值.如圖2中，作QK〃AD交PD于K,連接6K.證明四邊形BCQK是平行四邊

形，4BEK是等腰直角三角形即可解決問題.

【詳解】解：（1）圖形如圖1所示：

7ECN

圖I

(2)證明：???8,。關于/C對稱，

:.AB=AD,BE=DE,,:AE=AE,

AAEB=AAEO(SSS),

??.Z.ABE=Z.D,

???BA=BC,

^BAC—^ACB=乙CAD,

???AD//BC,

/D=Z.EFC,

???Z.ABE=Z-EFC.

(3)結論：除=與是一個定值.

理由：如圖2中，作QK〃40交PD于K,連接6K.

圖2

VAD//QK,

二Z.EAD=Z.EQK,

?:AE=EQ,Z,AED=Z.QEK,

???AAED=AQEK(ASA),

AD=KQ,

-AB=BC=AD,AD//BC,

BC=KQ,BC//KQ,

???四邊形8CQK是平行四邊形，

:.CQ=BK,CQ//BK,

vPDLBE,

???乙DEB=90°,

???Z.AEB=/-AED=45。，

乙EBK=Z-AEB=45°,

vZ.BEK=90°,

二/BEK是等腰直角三角形，

:.BK=y[2BE=或。E,

CQ=鼻DE,

?.D..E.—..D..E...——V2

,,CQ-y/2DE-2,

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判

定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，構造特殊四邊形解

決問題，屬于中考壓軸題.

8.（2024八年級下.江蘇淮安?階段練習）（1）如果△/8C的面積是S,E是的中點，連接AE（圖1）,則

△4EC的面積是；

圖1

（2）若任意四邊形48co的面積是5,E、尸分別是一組對邊48,CO的中點，連接”，CE（圖2）,則四邊

形r的面積是.

D

圖2

(3)如圖3,延長△A8C的邊8C至IJ點〃，延長邊&4到點后，延長48到點產，使=BC,AE=CAf8"=AB,

得到△/)￡￡若△48。的面積=10,則△0￡1?的面積=.

拓展與應用

(4)團力BCO的面積為2,AB=a,8C=匕，點E從點4出發沿力8以每秒u個單位長的速度向點8運動.點尸從

點B出發沿8c以每秒把個單位的速度向點C運動.E、F分別從點4B同時出發，當其中一點到達端點時，

a

另一點也隨之停止運動.請問四邊形OEB尸的面積的值是否隨著時間士的變化而變化？若不變.請寫出這個

值—，并寫出理由；若變化，說明是怎樣變化的.

圖4

【答案】⑴*(2)|；(3)70；(4)不變，值為1,理由見解析

【分析】(1)根據中線的性質進行求解即可；

(2)如圖2,連接4C,由題意知，CE是△力8c底邊48的中線，AF是△4C0底邊CO的中線，貝US—EC=[S-BC，

=f

S&ACF=QSAACD，根據S四邊形AECF=S^AEC+^^ACF2^^ABC+^AACD^計算求解即可；

(3)如圖3,連接A。、BE、CF,由中線的性質可得，SAACD-^AABE~^^BCF=S^ABC，S^ADE=^^ACD,^^BEF—

SAABE，S^CDF=S^BCF，根據=^^ACD+S^ADE+^bABE+$4BEF+^hBCF+^ACDF+48c=7s邛8(：'

計算求解即可;

（4）由題意知，4E=vt,BF=^t,MCF=匕一祚，如圖4,過。作OM1AB于M,DN1BC于N,由幾械。=

221

ABxDM-BCxDN—2,可求DM——,DN——,根據S四邊形口屬卜=SgABCD—S&ADE—S^CDF=2--i4Ex

DM—,F又DN,計算求解即可.

【詳解】（1）解：由題意知，4E是A/BC底邊BC的中線,

??SMEC=5sMBC=p

故答案為：-\

（2）解：如圖2,連接AC,

圖2

由題意知.C￡1是△4BC底邊42的中線，力「是△4CO底邊C。的中線,

??SAAEC=2^AABC，S—CF=FAACD，

?1s

??S四邊形AECF=S&AEC+S^ACF=3(SgBC+SMCD)=-，

故答案為："

（3）解：如圖3,連接AD、BE、CF,

圖3

由中線的性質可得，ShACD=S^ABE=S^BCF=S&ABLSMDE=SMC。，^^BEF=^^CDF=S^BCF，

:,SADEF=SAA。+S^ADE+S&ABE+S^BEF+^^BCF+S&CDF+S4ABe=NS^ABC=7S=70,

故答案為：70；

（4）解：四邊形DEB尸的面積的值不變，這個值為2,理由如下：

由題意知，AE=vt,BF=—t,MCF=b——t,

aa

如圖4,過〃作〃Ml/18于M,DN工BC于N,

圖4

?；S^ABCD=ABxDM=BCxDN=2,

：.axDM=bxDN=2,解得DM=；,DN/

=2-^AExDM-lCFxDN一物

??S四邊形DE8F=SOABCD-^hADE~S^CDF=2-*￡X；-；X（bX

=

Tb1>

，四邊形OE3F的面積的值不變，這個值為1.

【點睛】本題考查了中線的性質，平行四邊形，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

9.（2024八年級下?廣東珠海?期中）在平面直角坐標系xOy中，直線y=-％+機（巾>0）與％軸，y軸分別

交于力，8兩點，點P在直線4B上.

811圖2

(1)如圖1,若m=2或，點P在線段48上，LPOA=45°,求點P的坐標；

⑵在(1)的條件下，平面內是否存在點Q,使得以4Q,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，

請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,以0P為對角線作正方形。CPDCO,C,P,。按順時針方向排列)，當點P在直線48上運動時，

意的值是否會發生變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

【答案】(1)P(魚，V2)

(2)存在，點。的坐標為(四,一或〕或(3或，企)或(一企，或)

(3器=爭值不變,理由見解析

【分析】(1)根據一次函數解析式及已知條件可得A(2/,0),B(0,2V2),A0=BO=2五,由勾股定理

確定AB=4,結合等腰三角形三線合一的性質得出0片AP=8片2,過點P作尸C_Lx軸，繼續利用等腰三角

形的性質即可得出結果；

(2)分三種情況分析：①以A。為對角線時；②以AP為對角線時；③以0P為對角線時；利用平行四邊形

的性質分別進行分析求解即可；

(3)過。作交PC的延長線于M,連8M,利用正方形的性質及全等三角形的判定和性質得出

/M4P=90。，結合勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：y=-x+m,

當x=0時，y=m,

當v=0時，x=m,

.\A(m,0),B(0,m),

Vm=2vL

I"(2V2,0),B(0,2V2),

：.AO=HO=2\f2,

：.AB=y/AO2+BO2=4,

VZPOA=45°,N8OA=90°,

.?.OP垂直平分4B,

.?.OP=AP=BP=2,

過點尸作/CJ_x軸,

???NPOA=NHO=45。，

:?PC=OC=AC=&,

???P（或，①；

（2）解：①以AO為對角線時，

點Qi與點戶關于x軸對稱，

???Qi（VI,一&）；

②以4P為對角線時，四邊形AQ2Po為平行四邊形，

:?Q2P=0A=2V2,

VP（V2,V2）,

??.Q2（3企,企）;

③以。尸為對角線時，四邊形AD出。為平行四邊形，

:?Q3P=0A=2V2,

VP（1,1）,

A（?3（-V2,V2）；

綜上可得：點Q的坐標為（注,-或）或（3企,企）或（-&,企）；

（3）如圖所示，過。作OM_LO尸交尸。的延長線于M,連BM,

，四邊形OCPQ是正方形，

：.OC=PC,NOCP=90°,

NOPC=45。

*/NMOP=90。，

/.ZOMP=ZOPM=45°,

：.OP=OM,

：,CP=CM.

VZ（〃?，0）,B（0,m）,

OA=OB=m.

???N8Q4=NMOP=90。，

/.NPOA=/MOB,

:ZOA三&MOB,

???NO4P=NOBM=135。，

NMBP=90。,

*/CP=CM,

：.BC=CP=—OP,

2

?BCV2

??一=一.

OP2

【點睛】題目主要考杳?次函數的綜合問題及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的

性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

10.（2024八年級上?吉林白城期中）如圖：△4BC是邊長為6的等邊三角形，P是/4C邊上一動點.由點A

向點C運動(P與點力、C不重合)，點。同時以點P相同的速度，由點8向CB延長線方向運動(點。不

與點8重合)，過點尸作PEIAB于點E,連接PQ交AB于點D.

(I)若設4P的長為-則PC=_,QC=_.

(2)當NBQD=30。時，求4P的長;

(3)過點Q作Q尸_LAB交48延長線F點立則EP、FQ有怎樣的數量關系？說明理由.

(4)點P,Q在運動過程中，線段E。的長是否發生變化？如果不變，直接寫出線段EO的長；如果變化，請說

明理由.

【答案】(1)6-%,6+%

(2)2

(3)EP=FQ

(4)3

【分析】本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，熟練全等三

角形判定是解答此題的關鍵.

(1)