專題18.3矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】.................................................................1

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】..............................................................2

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】................................................................3

【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】................................................................4

【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】..................................................................5

【題型6添加條件使四邊形是矩形】..............................................................7

【題型7證明四邊形是矩形】.....................................................................8

【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】..........................................................9

【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】........................................................10

【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】..........................................................11

【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】..........................................................12

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)】

定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩

形的對(duì)角線相等：⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，乂是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線

所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】

[^ij11（2023春?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在矩形4BCD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,力￡1BD

于點(diǎn)E.若=3:1,則NE/1C的度數(shù)是（）

A.45°B.36°C.22.5°D.18°

【變式1-1]（2023春?黑龍江雞西八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABC。為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯

中水面與CO的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27。時(shí)，4的大小為.

【變式1-2］（2023春?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得到矩形BMG,點(diǎn)E在4。

上，延長(zhǎng)交GF于點(diǎn)H.

（1）求證：△ABEvaFE”；

（2）連接BH,若NEBC=30。，求乙48”的度數(shù).

【變式1-3］（2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧二中校考期末）如圖，在矩形4BCO中，BC=2AB,點(diǎn)M為邊BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AM繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AN,連接MN,ON.當(dāng)線段ON的長(zhǎng)度最小時(shí)，（MND

的度數(shù)為.

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段女】

［例2］（2023春?黑龍江綏化?八年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）如圖，在矩形4BCD中，=5,AD=3,

動(dòng)點(diǎn)P滿足3SAP,R=SDARCC，則點(diǎn)P到力、B兩點(diǎn)距離之和PA+P8的最小值為（）

A.V29B.V34C.5V2D.V41

【變式2-1］（2023春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形4BCD中，AB=5,AD=12,點(diǎn)尸在對(duì)角線

8D匕且3P=84連接/IP并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接3Q.

AD

（1）求證：是等腰三角形；

⑵求CQ和BQ的長(zhǎng).

【變式2-2】（2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片48CD沿過點(diǎn)C的直線MN折疊，恰使得點(diǎn)

8落在邊的中點(diǎn)E處，且為E=l,則矩形的邊的長(zhǎng)度為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【變式2-3]（2023春?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形4BCD中，4B=2,BC=2AB.AE在邊力。上,

點(diǎn)F在邊8C上，點(diǎn)G、，在對(duì)角線力。上.若四邊形EGF”是菱形，則E。的長(zhǎng)是.

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2023春?河南三門峽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形4BCD中，對(duì)角線相，80相交于點(diǎn)0,若乙AOB=

60S力C的長(zhǎng)為4,則矩形48CD的面枳為（）

A.2V3B.4V3C.8V3D.16

【變式3-1]（2023春?江蘇?八年級(jí)期中）如圖，過矩形MCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)E作MNIIAD,分別交力B和CD于

點(diǎn)M和N,連接BE,DE,已知CN=2,ME=6,則△ENO和△BEM的面積和等于（）

A.10B.12C.14D.16

【變式3-2］（2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形A8C。的周長(zhǎng)為24cm,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

過點(diǎn)。作80的垂線EF,分別交8C、AZ）于點(diǎn)E、F,連接8凡且4/=3cm,則矩形力BC。的面積為（）

【變式3-3］（2023春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O

作OEJ.AC,交A。丁點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFJ.S。，垂足為尸，EF=1,OE=2,6。=4舊，則矩形A6CD

的面積為.

【例4】（2023春?安徽黃山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形力8c。是矩形，其中點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在入軸和y軸

上，連接AC,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（12,5）,乙C4。的平分線與y軸相交于點(diǎn)。，則。點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式4-1］（2023春?廣東陽江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/WC的時(shí)角線人。平

行于x粕I,邊OA與x軸正半軸的夾角為30。，4C=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

【變式,4-2］（2023春?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形0MC,

點(diǎn)4C分別在y軸，％軸的正半軸上，0A=6,0C=3,4DOE=45。，0D,。7;分別交8C,A8于點(diǎn)D,E,

且CO=2,則點(diǎn)E坐標(biāo)為.

【變式4-3](2023春?湖北十堰?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，矩形的頂點(diǎn)A,X分別在％軸，y軸上，OA==

2,/10=4企，將矩形4BC。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

v

A.(4,6)B.(6,4)C.(-6,4)D.(-4,6)

【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】

【例5】(2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)E在邊OC上，AE=AB,過點(diǎn)B作

BFLAE,垂足為心

⑴求證:BF=BC；

(2)若AD=1,AF=2,求四邊形8CE尸的面積.

【變式5-1】(2023春?重慶北陪?八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末)如圖，四邊形A8CD是矩形，連接AC、BD交

于點(diǎn)O,4B4C的角平分線交8D于點(diǎn)￡

DC

（1）尺規(guī)作圖：作N4C。的角平分線交80于點(diǎn)F,連接/凡CE；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形.

證明：???四邊形是矩形

,ABIICD.

T/IE平分/BAC,C/平分N4CD.

：^EA0=^BA0,—?

???在△AE。和ACFO中，

(Z.EAO=Z.FCO

AO=CO.

YZ.AOE=Z.COF

:?公AEO三△CFO(ASA).

又辦。=CO.

???四邊形/ECF是平行四邊形（的四邊形是平行四邊形）.（填判定依據(jù)）

【變式5-2]（2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形力BCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。，且DEIK4C,

CEIBD.

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若AB=1,BC=2,請(qǐng)直接寫出菱形OCED的面積.

【變式5-3]（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)校考期中）如圖，在矩形4BC。中，E為力。邊上一點(diǎn)，連接CE,

產(chǎn)為CE中點(diǎn)，連接Br并延長(zhǎng)交CD于G,N在40邊上，且乙DGN=^BGC.

（1）求證：GF+GN=8產(chǎn)；

（2）連接BN,若乙BNG=9。。,求證：BG±CE.

【知識(shí)點(diǎn)2矩形的判定方法】

①矩形的定義：有?個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形：②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形：

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形“）.

【題型6添加條件使四邊形是矩形】

【例6】（2023春?上海黃浦?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在cMBCD中，AC與相交于點(diǎn)。，要使四邊形HBCD是矩形,

還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）

A.AC1BD；B.Z.OAB=iOAD；C.BA=BO；D.OB=OC.

【變式6-1］（2023春?山西陽泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在包48。。中，對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,

產(chǎn)在4c上，且=連接BE,ED,DF,FB.若添加一個(gè)條件使四邊形3E0F是矩形，則該條件可以是

.（填寫一個(gè)即可）

【變式6-2］（2023春?河北保定?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四過形A8CD中，ADIIBC,Z-D=90°.若再

添加一個(gè)條件，不能推出四邊形48co是矩形的是（）

月|------------------\D

B---------------------C

A.BC=V3CDB.心力=90°C.AD=BCD.AB||CD

【變式6-3］（2023春?北京西城?八年級(jí)北京四中校考期中）如圖，在四邊形A8C。中，對(duì)角線AC,8。相

交干點(diǎn)O,E,F,G,〃分別是邊AB,BC,CQ,OA的中點(diǎn)，只需添加一個(gè)條件，即可證明四邊形

是矩形，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）.

【題型7證明四邊形是矩形】

【例7】（2023春?廣東惠州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形48co中，DE平分〃。氏交48于點(diǎn)E.

（1）尺規(guī)作圖：作NCBD的平分線交CD于點(diǎn)F.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：DE=BF.

（3）在前面2問的基礎(chǔ)上，若AD=BD,求證：四邊形DEB尸是矩形.

【變式7-1］（2023春?浙江溫州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形48CD中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)兒延長(zhǎng)C8至

點(diǎn)E,且BE=CT,OE=AF.求證：平行四邊形48。。是矩形.

【變式7-2］（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中）如圖，團(tuán)ABCD的對(duì)角線AC、8D交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是。C上一點(diǎn),

點(diǎn)F在BE延長(zhǎng)線上，且=EF與CD交于點(diǎn)G.

（1）求證：DFHAC；

（2）連接。E、CF,如果8F=2HB,且G恰好是CO的中點(diǎn)，求證：四邊形C77乃是矩形.

【變式7-3］（2023春?河南周口?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在此4BCD中，對(duì)角線4C、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分

別為。8、。。的中點(diǎn).

(1)求證：

(2)延長(zhǎng)AE至G,使EG=4E,連接CG,延長(zhǎng)C凡交AD于點(diǎn)P,當(dāng)AC=248時(shí)，，試判斷四邊形EGCF是什么

特殊的四邊形，并說明理由.

【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】

【例8】(2023春.江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在四邊形力4c。中，AD//BC,ZABC=ZADC=90°,

對(duì)角線AC,3。交于點(diǎn)O,DE平分NADC交BC于點(diǎn)、E,連接。E.

(1)求證：四邊形A3CZ)是矩形;

(2)若/BDE=150,求NOO公

【變式8-1](2023春?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，四邊形A8CQ的對(duì)角線AC,/切交于點(diǎn)O,其中

AD//BC,AD=BCfAC=2()B,AE平分NBAD交CD于點(diǎn)、E,連接。￡

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵若NOAE=I5。，

①求證：DA=DO=DE；

②直接寫出N。。后的度數(shù).

【變式8-2](2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知矩形ABC。，AB=6,AO=8,將矩形A8CZ)繞點(diǎn)4

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<0<360°)得到矩形AER7,當(dāng)。=。時(shí)，GC=GB.

【變式8-3]（2U23春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形A8C‘。中，AB//CL）,ZC-I10".七為8C

的中點(diǎn)，直線R7經(jīng)過點(diǎn)E,DG_FG于點(diǎn)、G,BFLFG于點(diǎn)F.

（I）如圖I,當(dāng)NBE/=70。時(shí)，求證：DG=BF；

（2）如圖2,當(dāng)算70。時(shí)，若BC=DC,DG=BF,請(qǐng)直接寫出N班泳的度數(shù)：

（3）當(dāng)。G—4廠的值最大時(shí)，直接寫出N8E*的度數(shù).

【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】

【例9】（2023春?安徽合肥?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形4BCD中，O是對(duì)角線8。中點(diǎn).過。點(diǎn)的直

線與矩形的一組對(duì)邊力8,CO分別相交于點(diǎn)RE.

（2）點(diǎn)8'與8關(guān)于直線EF對(duì)稱，連接BE,DB\EB\OB'.

①求證：DB'||0E；

②若718=8,BC=4,且四邊形OEB'O是平行四邊形，求線段EF長(zhǎng).

【變式9-1]（2023春?云南楚雄?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在。ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且

OA=OB.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形;

(2)若AD=4,ZAOD=60°,求AB的長(zhǎng).

【變式9-2](2023春?北京?八年級(jí)校考期中)如圖，在△力BC中，點(diǎn)0、E、尸分別是邊AB、AC.BC的中點(diǎn),

且BC=2AF.

⑴求證：四邊形/WFE為矩形；

(2)若4C=30。，AF=2,寫出矩形ADFE的周長(zhǎng).

【變式9-3](2023春?廣東廣州?八年級(jí)鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試)學(xué)習(xí)新知：如圖1、圖2,尸是矩形所

在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2=BP2+DP2.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中任意選擇一個(gè)，證明：4P2+CP2=BP2+DP2.

(2)應(yīng)用新知：如圖3,在△/1BC中，C4=4,CB=6,。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CO=2,4108=90。，求48

的最小值.

【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】

【例10】(2023春?河北保定?八年級(jí)校考期中)矩形48CD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接AE、DE,以4E、DE為

邊作平行四邊形力EOF.在點(diǎn)￡從點(diǎn)8移動(dòng)到點(diǎn)。的過程中，平行四邊形4EDF的面積()

A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變

【變式10-1】(2023春?江蘇宿遷?八年級(jí)沐陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末)如圖，點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線人C上，

且不與點(diǎn)力、C重合，過點(diǎn)。分別作邊48、力。的平行線，交兩組對(duì)邊于點(diǎn)尸和G、H.四邊形PEOH和四邊

形P98G都是矩形并且面積分別為a.S2,則S/.S2之間的關(guān)系為.

【變式10-21(2023春?北京西城?八年級(jí)校考期中)如圖，菱形A8CD中，分別延長(zhǎng)DC,8c至點(diǎn)E,凡使CE=CD,

CF=CB,連接DB,BE,EF,FD.

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)若45=4,44=60。，求矩形DBEF的面積.

【變式10-3】(2023春.湖北武漢.八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)￡、G分別是正方形ABC。的A。、BC邊的中點(diǎn),

點(diǎn)八〃在對(duì)角線BO上.若四邊形E尸G”是矩形，則:吵EFGH=______.

§正力塔ABCD

【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】

【例11】(2023春?重慶九龍坡?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在即48CD中，Z,ABC=66°,4F18C于RAF交BD

于E,若DE=248,則ZL4ED的大小是()

D

A.62°B.64°C.66°D.68°

【變式11-1】（2023春?廣東韶關(guān)?八年級(jí)校考期中）如圖，在RtA/8C中，4108=90°,BC=6,點(diǎn)。為

斜邊AB上的一點(diǎn)，連接CD,將△BCD沿。。翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，點(diǎn)”為直角邊4c上一點(diǎn)，連接OF,

將A4D尸沿D尸翻折，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合.若40=5,則4F的長(zhǎng)為（）.

A.IB.V3C.-D.-

24

【變式11-2】（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtAABC中,Z-ACB=90%CD1AB于點(diǎn)、D,

乙1CD=3/BCD,點(diǎn)E是斜邊力B的中點(diǎn)，且6=1,則的長(zhǎng)為（）

A.2B.2&C.3D.3V2

【變式11-3】（2023春?浙江臺(tái)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABC。中，。是BC中點(diǎn)，Z.BAC=^BDC=

90。，AB=AC,^BC=2AD,則NDC8=.

BOC

專題18.3矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】

【人教版】

，題型梳理

【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】.................................................................1

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】..............................................................2

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】................................................................3

【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】................................................................4

【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】..................................................................5

【題型6添加條件使四邊形是矩形】..............................................................7

【題型7證明四邊形是矩形】.....................................................................8

【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】..........................................................9

【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)〕........................................................10

【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積1.........................................................................................................11

【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】..........................................................12

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)】

定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩

形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線

所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】

[?11（2023春?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，己知在矩形4BCD中，對(duì)角線4C,3。相交于點(diǎn)1BD

于點(diǎn)2^/DAE-./RAE=3:1,則/E4c的度數(shù)是（）

A.45°B.36°C.22.5°D.18°

【答案】A

【分析】由矩形的性質(zhì)得出48/0=90°,OA=00,繼而得至1叱。/19=AODA,再求出N0/1E=67.5°,Z.OAD=

22.5°,即可求出乙EAC的度數(shù).

【詳解】解：?.?四邊形48CD是矩形，

/.BAD=90°,0A=0D,

???Z.0AD=Z.0DA,

???LDAE'.Z.BAE=3:1,

zME=-x90°=67.5°,

4

vAE1BD,

/.AED=90°,

LOAD=/-ODA=22.5°,

￡EAC=67.5°-22.5°=45°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023春?黑龍江雞西?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯

中水面與C。的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27。時(shí)，N/1ED的大小為.

【答案】63°

【分析】根據(jù)題意可知4EIIBF,Z.EAB=LABF,448F+27°=90°等量代換求出iE4B,再根據(jù)平行線的

性質(zhì)求出

【詳解】解：如圖：

I)

8

*：AE||BF,

：,LEAB=乙ABF,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB||CD,Z.ABC=90°,

???〃?+27。=90。,

：.LABF=63°,

：,LEAB=63°,

*：AB||CD,

：,LAED=Z.EAB=63°.

故答案為：63。.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.矩形的性質(zhì)：

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)

角線相等.

【變式1-2](2023春?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，將矩形4BCD繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得到矩形BE/G,點(diǎn)E在4。

上，延長(zhǎng)D4交GF于點(diǎn)H.

(1)求證：2ABEWAFEH；

(2)連接8H,若4E8C=30。，求乙48"的度數(shù).

【答案】(1)見解析；

(2)15°.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出718=OC,^.BAE=ZD=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出乙EFH=

乙D=90°,再證明△ABE三匕FEH(AAS)即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4HE8=乙EBC=30。，由全等三角形的性質(zhì)得出4￡778=乙EBH=^(180°-

30c)=75°,再計(jì)算即可得出答案.

【詳解】(1)解：???四邊形48co是矩形，

：,AB=DC,乙BAE=乙。=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：FE=DC,/-EFH=ZD=90°,

：,AB=FE,乙BAE=4EFH,

???在矩形8EFG中,GFIIBE,

：.LAEB=乙FHE,

在A/18E和△FE”中，

(/.AEB=乙FHE

NB4E=乙EFH,

(AB=FE

：,LABEFE//(AAS),

(2)解：???四邊形A8C0是矩形，

：.AD||BC,

:.乙HEB=乙EBC=30°,

■:公ABE=^FEH,

；?BE=EH,

?"EHB=乙EBH=*180°-30°)=75°,

'：LBAH=90。，

."ABH=90°-乙EHB=15°,即乙48"的度數(shù)為15。.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出全等是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧二中校考期末)如圖，在矩形中，BC=2AB,點(diǎn)、M為邊BC

上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力N,連接MN,DN.當(dāng)線段ON的長(zhǎng)度最小時(shí)，乙MND

的度數(shù)為.

I)

N

R--------------K

【答案】75°

【分析】線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力E,連接EN交/W于G,連接。N,首先證明

4EM(5AS),可得7V=Z.B=9UQ,則當(dāng)〃N1七7V時(shí)，"/V的長(zhǎng)度最小，然后設(shè)七'G=Q,AD=2b,則48=

AE=b,求出HE=EN=力，可得△/EN是等腰直角三角形，再證明△4MN是等邊三角形，求出/ENM=15。,

進(jìn)而可求NMNO的度數(shù).

【詳解】解：如圖，線段4?繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力町連接EN交力。于G,連接ON,則4?=HE,

乙BAE=60°,

???線段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力N,

：,AM=AN,Z-MAN=60°,

又=乙BAE-/-MAE=60°-Z-MAE=/-EAM,

：.LABM三△4EM(SAS),

：.AAEN=Z.B=90°,

?,?當(dāng)DN_LEN時(shí)，ON的長(zhǎng)度最小，

設(shè)EG=a,AD=2b,=AE=b,

*：LBAE=60°,

：.LEAG=30°,

；"G=2EG=2a,

：.DG=AD-AG=2b-2a,

'：LAGE=90°-Z-EAG=60°,

工乙NGD=Z.AGE=60°,

：.^NDG=30°,

；?NG=-DG=b-a,

2

:,EN=EG+NG=a+b-a=b,

：.AE=EN,

???A4EN是等腰宜角三角形,

Az/IJVF=45°,

*：AM=ANf4AMN=60。，

???AAMN是等邊三角形，

.??乙4NM=60°,

?LENM=60。-45。=15°,

?；DN工EN,即ZEND=90。，

?"MND=乙END-乙ENM=90,-15°=75°,

故答案為:75°.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。直角三角形的性質(zhì)，等腰

直角三角形以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出當(dāng)DN1EN時(shí)，DN的長(zhǎng)度最小是解答本題的關(guān)鍵.

【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】

【例2】（2023春?黑龍江綏化?八年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中）如圖，在矩形ABCD中，48=5,AD=3,

動(dòng)點(diǎn)P滿足3s“AB=S」.CD，則點(diǎn)P到＜、B兩點(diǎn)距離之和P4+PB的最小值為（）

A.V29B.V34C.5V2D.V41

【答案】D

【分析】首先由35。48=5口.CD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與4B平行且與4B的距離是2的直線，上，作4關(guān)于直線1的

對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,連接8巴貝UBE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.然后在直角三角形力BE中，由勾股定理求得

EE的值，即P4十P8的最小值.

【詳解】解：如圖，作力關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)E,連接力E,連接BE,則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.

E、

-----------------iC

AB

設(shè)中邊上的高是h.

3ShPAB=SaABCD，

.??3x-AB-h=ABAD,

2

???4）=3,

???h=-AD=2,

3

???動(dòng)點(diǎn)P在與48平行且與48的距離是2的直線/上，

在Rt“8E中，vAB=5,/IF=2+2=4,

:.BE=y/AB2+AE2=V52+42=同，

即PA+P8的最小值為聞.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的

性質(zhì).得出動(dòng)點(diǎn)尸所在的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2023春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=5,4D=12,點(diǎn)P在對(duì)角線

80上，且BP=B4連接4P并延長(zhǎng)，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接BQ.

（1）求證：aPOQ是等腰三角形：

⑵求CQ和BQ的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）CQ=3,BQ=3后

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得ZBAP=乙BPA,由矩形的性質(zhì)可得zlBIICDJB=CD=5,AD=BC=

12即"AP=乙PQD,進(jìn)而得到乙DPQ=乙PQD,有等角對(duì)等邊可得P0=PQ即可證明結(jié)論；

（2）由矩形的性質(zhì)可得乙BCD=90。,運(yùn)用勾股定理可得80=13,然后根據(jù)線段的和差可得CQ=3；最后在

RtA8CQ中運(yùn)用勾股定理即可解答.

【詳解】（1）證明：???8P=BA,

=^.BPA,

???四邊形是矩形，

：.AB\\CD,AB=CD=5,AD=BC=12,

：.LBAP=乙PQD,

'：LBPA=Z.DPQ,

:?乙DPQ=乙PQD,

：,PD=PQ,

???APDQ是等腰三角形.

（2）解：???四邊形4BCD是矩形，

：,LBCD=90°,

：.DC2+BC2=BD2,

.*.52十122=BD2,

:.BD=13,

VBP=BA=5,

:,PD=DQ=8,

:.CQ=3；

■:乙BCQ=90。，

：,CQ2+BC2=BQ2,

???32+122=BQ2,解得：BQ=3/17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答

本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形紙片48CD沿過點(diǎn)C的直線MN折疊，恰使得點(diǎn)

B落在邊4。的中點(diǎn)E處，且AE=1,則矩形的邊48的長(zhǎng)度為（）

A.1B.>[2C.6D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4。=BC,AB=CD,乙4=乙。=90。，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出BC=4。=2AE=

2,AE=DE,利用SAS證明△8AE三△CDE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，可得BE=BC=2,再

根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CE,

???四邊形A8CD是矩形，

:.AD=BC,AB=CD,乙力=4。=90°,

???點(diǎn)E為4。的中點(diǎn),AE=1,

BC=AD=2AE=2,AE=DE,

AE=DE

乙4=，

AB=CD

BAE^△CDF(SAS),

:.BE=CE,

由折疊的性質(zhì)得，BC=EC,

???BE=BC=2,

???AB=>JBE2-AE2=V22-I2=A/3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、

矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2023春?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,矩形4BCD中,AB=2,IC=2AB.點(diǎn)E在邊力。上,

點(diǎn)、F在邊BC上，點(diǎn)G、”在對(duì)角線AC上.若四邊形EGFH是菱形，則ED的長(zhǎng)是.

AD

G

H

B

【答案】|

【分析】連接以.交AC于點(diǎn)O,連接占C,首先根據(jù)題意證明出△力。占三△CO"(AAS),進(jìn)而得到A占CE,然

后設(shè)EO=x,^\AE=CE=4-x,在Rt△CDE中利用勾股定理求解即可.

【詳解】如圖所示，連接交4C于點(diǎn)。，連接EC，

???四邊形ABC”是矩形

：.ADIIBC

：.LEAO=ZFCO,Z.AEO=乙CFO

???四邊形EG/，是菱形

：.0E=OF

.??ZMO￡*W(AAS)

：.AE=CF

,：AC1EF

：?CE=CF

：.AE=CE

*：AB=2,BC=2AB=4

???四邊形ABCD是矩形

：.CD=AB=2,AD=BC=4

???設(shè)=^lAE=CE=4-x

???在RtaCOE中，DE2+CD2=CE2

：.x2+22=(4-x)2

?.?解得％=5

的長(zhǎng)是|.

故答案為：I

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2023春?河南三門峽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形48CD中，對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)0,若乙4。8=

60c,4C的長(zhǎng)為4,則矩形4BCD的面積為（）

A.2V3B.4V3C.8A/3D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分，以及N/108=60。，可得△AOB是等邊三角形，進(jìn)而在△4BC中

可得2C8=30。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得8c=2V3,即可求得矩形的面積.

【詳解】解：???四邊形48C0是矩形，

???0A=OC=OB.Z-ABC=90°,

???LAOB=60。,AC=4,

AAOB是等邊三角形,

???Z.BAC=60°,

???在△ABC中，Z-ACB=30°,

2,

:.BC=2V3>

???矩形A8CD的面積是A8x=2x2V3=4百，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)判定，掌

握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023春?江蘇?八年級(jí)期中）如圖，過矩形對(duì)角線力。上一點(diǎn)E作MNMD,分別交和CO于

點(diǎn)M和N,連接BE,OE,已知CN=2,ME=6,則△END和△的面積和等于（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】作EG1BC于G,交4D于廣，根據(jù)矩形的對(duì)角線平分矩形面積的性質(zhì)得到ABEM的面積等于aDEN,

然后求解即可.

【詳解】解：作EG1BC于G,交AD于F.

則有四邊形BGEM,四邊形CNEG,四邊形Z1MEF,四邊形。尸EN都是矩形，

=

S、BMES&BGE，SRCGE=S&CEN，S&AME=S^AEF，S^DNE=S^DEFBAABC=^￡^ADC?

S'ABC-SAAEM一SACGE=^6.ADC~^^AEF~S&CNE?

"S四邊形BGEM=S四切形DNEF

???BM=CN=2,ME=6,

S、BEM=S^DEN=~X2X6=6?

:.△E/VD^IABEM的面積和=6+6=12,

【點(diǎn)睛】本題主要考會(huì)矩形的性質(zhì)，正確添加輔助線以及利用矩形對(duì)角線平分矩形面積得到△8EM的面積等

于ADEN是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為24cm,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

過點(diǎn)。作BD的垂線E尸，分別交BC、AD于點(diǎn)、E、F,連接8凡電4尸=3cm,則矩形ABCD的面積為（）

C.32cm2D.36cm2

【答案】C

【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可證E尸為線段8。的垂直平分線，即得出8尸=。￡再根據(jù)矩形ABC。的周長(zhǎng)

為24cm,可求出AB+力。=12cm.設(shè)BF=DF=xcm,則力B=(9-%)cm.在中，根據(jù)勾股定

理可列出關(guān)于x的等式，解出工的值，即可求出A8和A。的長(zhǎng)度，最后根據(jù)矩形的面積公式求解即可.

【詳解】解：???四邊形力BC。為矩形，

：.0B=OD,Z-BAF=90°,

■:EF1BD,

???E/為線段80的垂直平分線，

：,BF=DF.

???矩形48。。的周長(zhǎng)為24cm,

.\AB+AD=12cm.

設(shè)OF=DF=xcm,則HS=12-AD=12-AF-DF=(9-x)cm.

???在Rt^BA廠中，AB2+AF2=BF2,

A(9-X)2+32=+/,

解得：x=5,

.*.AB=9—5=4cm?AD=3+5=8cm,

???矩形48CD的面積為4x8=32cm2.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí).證明EF為線段BD的垂直

平分線，得出BF=D尸是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，矩形A8C。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作0E_L4C,交4D于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作“J.BO,垂足為尸，EF=1,OE=2,BD=473,貝!矩形ABCD

的面積為.

【答案】12V3

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可求出。。和。4的長(zhǎng)度，SAAOE=^AOXOE,SADOE=^ODXEF,則S-m=

SAAOE+SAME，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求出矩形ABC。的面枳，矩形A3CO的面枳=4xS^o。.

【詳解】???四邊形A8C。為矩形，

AOD=OB=OA=OC=-BD=26，

2

■:EFLBD,0E1AC

?'?S^A0E=^AOxOF=x2A/3x2=2V3?

SRDOE=|ODxEF=ix2V3xl=V3,

,,?SAAOD=S&AOE+SADOE=2?+6=3v5，

???四邊形ABC。為矩形，

???矩形ABCD的面積=4xS&AOD=4x3V3=12V3,

故答案為：1275

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練地掌握矩形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】

【例4】（2023春?安徽黃山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABC。是矩形，其中點(diǎn)力和點(diǎn)C分別在％軸和y軸

上，連接力。，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（12,5）,N&4。的平分線與y軸相交于點(diǎn)D,則D點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（0,蔡）

【分析】利用勾股定理求出AC=13,作DE14;于點(diǎn)區(qū)如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=D。，證明

ADO=RtA/lDE（HL）,推出4E=40=12,得到CE=1,設(shè)0。=DE=m,利用勾股定理構(gòu)建方程

求解即可.

【詳解】解：；四邊形A8C0是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（12,5）,

：.QA=12,。。=5,Z.AOC=90°,

：.AC=VS2+122=13,

作。￡147于點(diǎn)E,如圖,

YDA是4C40的平線，

:,DE=DO,

'：AD=AD,

AVXLADO三Rt△力。￡(HL),

-*?AE=AO=12,

：.CE=13-12=1,

設(shè)0。=DE=m,則CD=5-m,

在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理可得：CE2-^-DE2=CD2,

即1+nt?=(5-m)2,解得m=y,

???D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,蔡）;

故答案為：（0,裝）.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練學(xué)

握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023春?廣東陽江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。48c的對(duì)角線AC平

行于x軸，邊04與工軸正半軸的夾角為30。，AC=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是一.

【答案】0，等）

【分析】由矩形的性質(zhì)得出乙4。。=90。，由平行線的性質(zhì)得出，NQ4C=30。，由含30。角的直角三角形的

性質(zhì)得出04,再求出O。、AD,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖所示：

???四邊形O八BC是矩形，

???NAOC=90°,

,?YC〃x軸，

??.NOAC=30°,NOD4=90。，

VXC=6,

：.0C=^AC=3,

，O4=V5OC=3收

???。。=：。4=等，

22

??"。=75。。=（

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（?，?

故答案為:信手）.

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形性質(zhì).理解矩形性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)是關(guān)鍵.

【變式,4-2］（2023春?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形OMC,

點(diǎn)4C分別在y軸，％軸的正半軸上，。4=6,OC=3,/.DOE=45°,OD,OE分別交8C,48于點(diǎn)。，E,

且CD=2,則點(diǎn)E坐標(biāo)為.

【答案】弓,6）

【分析】過點(diǎn)￡作EF1。。，過點(diǎn)F作『N1OC,并延長(zhǎng)N尸交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)MF=ON=x,根據(jù)三角

形全等得到￡^=用7=6-人則尸（與6-%），求出直線。。解析式，代入點(diǎn)尸（匕6-嗎求出工,即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EF1。。，過點(diǎn)尸作尸N1OC,并延長(zhǎng)Nr交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如下圖：

貝IJNEF。=vFNO=90°,???乙OFN+乙EFM=90°,zOFN+Z.FON=90°

"FON=乙EFM

在矩形048c中，ABHOC,0A=BC=6,0C=AB=3

AzM=乙FNO=90°

???四邊形BCNM為矩形

:,MN=BC=6,CD//MN,BM=CN

：,AM=ON

'：LDOE=45°

，AEF。為等腰直角三角形，EF=OF

/.AFON"EFM

：,MF=ON,EM=FN

設(shè)MF=ON=x,則EM=FN=6—F(x,6-x)

設(shè)宜線OD解析式為y=kx

由題意可知。(3,2),代入y=kx得,3k=2,解得k=泉

又*?點(diǎn)/(%6-％)在直線OD上，：.6-x=1x

解得％=3即=ON=蔡，F(xiàn)N=EM=孩

：.AE=AM-EM=-

5

???點(diǎn)E坐標(biāo)為6