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專題18.3矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】
【人教版】
?題型梳理
【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】.................................................................1
【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】..............................................................2
【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】................................................................3
【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】................................................................4
【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】..................................................................5
【題型6添加條件使四邊形是矩形】..............................................................7
【題型7證明四邊形是矩形】.....................................................................8
【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】..........................................................9
【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】........................................................10
【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】..........................................................11
【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】..........................................................12
,舉一反三
【知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)】
定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
性質(zhì):①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;②角:矩形的四個(gè)角都是直角;③邊:鄰邊垂直;④對(duì)角線:矩
形的對(duì)角線相等:⑤矩形是軸對(duì)稱圖形,乂是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸,分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線
所在的直線;對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).
【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】
[^ij11(2023春?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知在矩形4BCD中,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,力£1BD
于點(diǎn)E.若=3:1,則NE/1C的度數(shù)是()
A.45°B.36°C.22.5°D.18°
【變式1-1](2023春?黑龍江雞西八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形ABC。為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖,杯
中水面與CO的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27。時(shí),4的大小為.
【變式1-2](2023春?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得到矩形BMG,點(diǎn)E在4。
上,延長(zhǎng)交GF于點(diǎn)H.
(1)求證:△ABEvaFE”;
(2)連接BH,若NEBC=30。,求乙48”的度數(shù).
【變式1-3](2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧二中校考期末)如圖,在矩形4BCO中,BC=2AB,點(diǎn)M為邊BC
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AM繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AN,連接MN,ON.當(dāng)線段ON的長(zhǎng)度最小時(shí),(MND
的度數(shù)為.
【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段女】
[例2](2023春?黑龍江綏化?八年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中)如圖,在矩形4BCD中,=5,AD=3,
動(dòng)點(diǎn)P滿足3SAP,R=SDARCC,則點(diǎn)P到力、B兩點(diǎn)距離之和PA+P8的最小值為()
A.V29B.V34C.5V2D.V41
【變式2-1](2023春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形4BCD中,AB=5,AD=12,點(diǎn)尸在對(duì)角線
8D匕且3P=84連接/IP并延長(zhǎng),交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接3Q.
AD
(1)求證:是等腰三角形;
⑵求CQ和BQ的長(zhǎng).
【變式2-2】(2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形紙片48CD沿過點(diǎn)C的直線MN折疊,恰使得點(diǎn)
8落在邊的中點(diǎn)E處,且為E=l,則矩形的邊的長(zhǎng)度為()
A.1B.V2C.V3D.2
【變式2-3](2023春?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,矩形4BCD中,4B=2,BC=2AB.AE在邊力。上,
點(diǎn)F在邊8C上,點(diǎn)G、,在對(duì)角線力。上.若四邊形EGF”是菱形,則E。的長(zhǎng)是.
【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】
【例3】(2023春?河南三門峽?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在矩形4BCD中,對(duì)角線相,80相交于點(diǎn)0,若乙AOB=
60S力C的長(zhǎng)為4,則矩形48CD的面枳為()
A.2V3B.4V3C.8V3D.16
【變式3-1](2023春?江蘇?八年級(jí)期中)如圖,過矩形MCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)E作MNIIAD,分別交力B和CD于
點(diǎn)M和N,連接BE,DE,已知CN=2,ME=6,則△ENO和△BEM的面積和等于()
A.10B.12C.14D.16
【變式3-2](2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形A8C。的周長(zhǎng)為24cm,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,
過點(diǎn)。作80的垂線EF,分別交8C、AZ)于點(diǎn)E、F,連接8凡且4/=3cm,則矩形力BC。的面積為()
【變式3-3](2023春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,矩形ABC。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O
作OEJ.AC,交A。丁點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFJ.S。,垂足為尸,EF=1,OE=2,6。=4舊,則矩形A6CD
的面積為.
【例4】(2023春?安徽黃山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,四邊形力8c。是矩形,其中點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在入軸和y軸
上,連接AC,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(12,5),乙C4。的平分線與y軸相交于點(diǎn)。,則。點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【變式4-1](2023春?廣東陽江?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形0/WC的時(shí)角線人。平
行于x粕I,邊OA與x軸正半軸的夾角為30。,4C=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.
【變式,4-2](2023春?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考開學(xué)考試)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形0MC,
點(diǎn)4C分別在y軸,%軸的正半軸上,0A=6,0C=3,4DOE=45。,0D,。7;分別交8C,A8于點(diǎn)D,E,
且CO=2,則點(diǎn)E坐標(biāo)為.
【變式4-3](2023春?湖北十堰?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形的頂點(diǎn)A,X分別在%軸,y軸上,OA==
2,/10=4企,將矩形4BC。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90。,則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)。的坐標(biāo)為()
v
A.(4,6)B.(6,4)C.(-6,4)D.(-4,6)
【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】
【例5】(2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在矩形ABCO中,點(diǎn)E在邊OC上,AE=AB,過點(diǎn)B作
BFLAE,垂足為心
⑴求證:BF=BC;
(2)若AD=1,AF=2,求四邊形8CE尸的面積.
【變式5-1】(2023春?重慶北陪?八年級(jí)西南大學(xué)附中校考期末)如圖,四邊形A8CD是矩形,連接AC、BD交
于點(diǎn)O,4B4C的角平分線交8D于點(diǎn)£
DC
(1)尺規(guī)作圖:作N4C。的角平分線交80于點(diǎn)F,連接/凡CE;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
證明:???四邊形是矩形
,ABIICD.
T/IE平分/BAC,C/平分N4CD.
:^EA0=^BA0,—?
???在△AE。和ACFO中,
(Z.EAO=Z.FCO
AO=CO.
YZ.AOE=Z.COF
:?公AEO三△CFO(ASA).
又辦。=CO.
???四邊形/ECF是平行四邊形(的四邊形是平行四邊形).(填判定依據(jù))
【變式5-2](2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形力BCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)。,且DEIK4C,
CEIBD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若AB=1,BC=2,請(qǐng)直接寫出菱形OCED的面積.
【變式5-3](2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)校考期中)如圖,在矩形4BC。中,E為力。邊上一點(diǎn),連接CE,
產(chǎn)為CE中點(diǎn),連接Br并延長(zhǎng)交CD于G,N在40邊上,且乙DGN=^BGC.
(1)求證:GF+GN=8產(chǎn);
(2)連接BN,若乙BNG=9。。,求證:BG±CE.
【知識(shí)點(diǎn)2矩形的判定方法】
①矩形的定義:有?個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形:②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形:
③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形(或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形“).
【題型6添加條件使四邊形是矩形】
【例6】(2023春?上海黃浦?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在cMBCD中,AC與相交于點(diǎn)。,要使四邊形HBCD是矩形,
還需添加一個(gè)條件,這個(gè)條件可以是()
A.AC1BD;B.Z.OAB=iOAD;C.BA=BO;D.OB=OC.
【變式6-1](2023春?山西陽泉?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在包48。。中,對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E,
產(chǎn)在4c上,且=連接BE,ED,DF,FB.若添加一個(gè)條件使四邊形3E0F是矩形,則該條件可以是
.(填寫一個(gè)即可)
【變式6-2](2023春?河北保定?八年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖,在四過形A8CD中,ADIIBC,Z-D=90°.若再
添加一個(gè)條件,不能推出四邊形48co是矩形的是()
月|------------------\D
B---------------------C
A.BC=V3CDB.心力=90°C.AD=BCD.AB||CD
【變式6-3](2023春?北京西城?八年級(jí)北京四中校考期中)如圖,在四邊形A8C。中,對(duì)角線AC,8。相
交干點(diǎn)O,E,F,G,〃分別是邊AB,BC,CQ,OA的中點(diǎn),只需添加一個(gè)條件,即可證明四邊形
是矩形,這個(gè)條件可以是(寫出一個(gè)即可).
【題型7證明四邊形是矩形】
【例7】(2023春?廣東惠州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平行四邊形48co中,DE平分〃。氏交48于點(diǎn)E.
(1)尺規(guī)作圖:作NCBD的平分線交CD于點(diǎn)F.
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,求證:DE=BF.
(3)在前面2問的基礎(chǔ)上,若AD=BD,求證:四邊形DEB尸是矩形.
【變式7-1](2023春?浙江溫州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平行四邊形48CD中,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)兒延長(zhǎng)C8至
點(diǎn)E,且BE=CT,OE=AF.求證:平行四邊形48。。是矩形.
【變式7-2](2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中)如圖,團(tuán)ABCD的對(duì)角線AC、8D交于點(diǎn)。,點(diǎn)E是。C上一點(diǎn),
點(diǎn)F在BE延長(zhǎng)線上,且=EF與CD交于點(diǎn)G.
(1)求證:DFHAC;
(2)連接。E、CF,如果8F=2HB,且G恰好是CO的中點(diǎn),求證:四邊形C77乃是矩形.
【變式7-3](2023春?河南周口?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在此4BCD中,對(duì)角線4C、BD相交于點(diǎn)。,點(diǎn)E、尸分
別為。8、。。的中點(diǎn).
(1)求證:
(2)延長(zhǎng)AE至G,使EG=4E,連接CG,延長(zhǎng)C凡交AD于點(diǎn)P,當(dāng)AC=248時(shí),,試判斷四邊形EGCF是什么
特殊的四邊形,并說明理由.
【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】
【例8】(2023春.江蘇鹽城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在四邊形力4c。中,AD//BC,ZABC=ZADC=90°,
對(duì)角線AC,3。交于點(diǎn)O,DE平分NADC交BC于點(diǎn)、E,連接。E.
(1)求證:四邊形A3CZ)是矩形;
(2)若/BDE=150,求NOO公
【變式8-1](2023春?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,四邊形A8CQ的對(duì)角線AC,/切交于點(diǎn)O,其中
AD//BC,AD=BCfAC=2()B,AE平分NBAD交CD于點(diǎn)、E,連接。£
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
⑵若NOAE=I5。,
①求證:DA=DO=DE;
②直接寫出N。。后的度數(shù).
【變式8-2](2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知矩形ABC。,AB=6,AO=8,將矩形A8CZ)繞點(diǎn)4
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<0<360°)得到矩形AER7,當(dāng)。=。時(shí),GC=GB.
【變式8-3](2U23春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,四邊形A8C‘。中,AB//CL),ZC-I10".七為8C
的中點(diǎn),直線R7經(jīng)過點(diǎn)E,DG_FG于點(diǎn)、G,BFLFG于點(diǎn)F.
(I)如圖I,當(dāng)NBE/=70。時(shí),求證:DG=BF;
(2)如圖2,當(dāng)算70。時(shí),若BC=DC,DG=BF,請(qǐng)直接寫出N班泳的度數(shù):
(3)當(dāng)。G—4廠的值最大時(shí),直接寫出N8E*的度數(shù).
【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)】
【例9】(2023春?安徽合肥?八年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖,在矩形4BCD中,O是對(duì)角線8。中點(diǎn).過。點(diǎn)的直
線與矩形的一組對(duì)邊力8,CO分別相交于點(diǎn)RE.
(2)點(diǎn)8'與8關(guān)于直線EF對(duì)稱,連接BE,DB\EB\OB'.
①求證:DB'||0E;
②若718=8,BC=4,且四邊形OEB'O是平行四邊形,求線段EF長(zhǎng).
【變式9-1](2023春?云南楚雄?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在。ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且
OA=OB.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AD=4,ZAOD=60°,求AB的長(zhǎng).
【變式9-2](2023春?北京?八年級(jí)校考期中)如圖,在△力BC中,點(diǎn)0、E、尸分別是邊AB、AC.BC的中點(diǎn),
且BC=2AF.
⑴求證:四邊形/WFE為矩形;
(2)若4C=30。,AF=2,寫出矩形ADFE的周長(zhǎng).
【變式9-3](2023春?廣東廣州?八年級(jí)鐵一中學(xué)校考開學(xué)考試)學(xué)習(xí)新知:如圖1、圖2,尸是矩形所
在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有以下重要結(jié)論:AP2+CP2=BP2+DP2.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中任意選擇一個(gè),證明:4P2+CP2=BP2+DP2.
(2)應(yīng)用新知:如圖3,在△/1BC中,C4=4,CB=6,。是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且CO=2,4108=90。,求48
的最小值.
【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積】
【例10】(2023春?河北保定?八年級(jí)校考期中)矩形48CD的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接AE、DE,以4E、DE為
邊作平行四邊形力EOF.在點(diǎn)£從點(diǎn)8移動(dòng)到點(diǎn)。的過程中,平行四邊形4EDF的面積()
A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變
【變式10-1】(2023春?江蘇宿遷?八年級(jí)沐陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)校考期末)如圖,點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線人C上,
且不與點(diǎn)力、C重合,過點(diǎn)。分別作邊48、力。的平行線,交兩組對(duì)邊于點(diǎn)尸和G、H.四邊形PEOH和四邊
形P98G都是矩形并且面積分別為a.S2,則S/.S2之間的關(guān)系為.
【變式10-21(2023春?北京西城?八年級(jí)校考期中)如圖,菱形A8CD中,分別延長(zhǎng)DC,8c至點(diǎn)E,凡使CE=CD,
CF=CB,連接DB,BE,EF,FD.
(1)求證:四邊形是矩形;
(2)若45=4,44=60。,求矩形DBEF的面積.
【變式10-3】(2023春.湖北武漢.八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)£、G分別是正方形ABC。的A。、BC邊的中點(diǎn),
點(diǎn)八〃在對(duì)角線BO上.若四邊形E尸G”是矩形,則:吵EFGH=______.
§正力塔ABCD
【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】
【例11】(2023春?重慶九龍坡?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在即48CD中,Z,ABC=66°,4F18C于RAF交BD
于E,若DE=248,則ZL4ED的大小是()
D
A.62°B.64°C.66°D.68°
【變式11-1】(2023春?廣東韶關(guān)?八年級(jí)校考期中)如圖,在RtA/8C中,4108=90°,BC=6,點(diǎn)。為
斜邊AB上的一點(diǎn),連接CD,將△BCD沿。。翻折,使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處,點(diǎn)”為直角邊4c上一點(diǎn),連接OF,
將A4D尸沿D尸翻折,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合.若40=5,則4F的長(zhǎng)為().
A.IB.V3C.-D.-
24
【變式11-2】(2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在RtAABC中,Z-ACB=90%CD1AB于點(diǎn)、D,
乙1CD=3/BCD,點(diǎn)E是斜邊力B的中點(diǎn),且6=1,則的長(zhǎng)為()
A.2B.2&C.3D.3V2
【變式11-3】(2023春?浙江臺(tái)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在四邊形ABC。中,。是BC中點(diǎn),Z.BAC=^BDC=
90。,AB=AC,^BC=2AD,則NDC8=.
BOC
專題18.3矩形的判定與性質(zhì)【十一大題型】
【人教版】
,題型梳理
【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】.................................................................1
【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】..............................................................2
【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】................................................................3
【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】................................................................4
【題型5利用矩形的性質(zhì)證明】..................................................................5
【題型6添加條件使四邊形是矩形】..............................................................7
【題型7證明四邊形是矩形】.....................................................................8
【題型8利用矩形的性質(zhì)與判定求角度】..........................................................9
【題型9利用矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)〕........................................................10
【題型10利用矩形的性質(zhì)與判定求面積1.........................................................................................................11
【題型11利用直角三角形斜邊中線求解】..........................................................12
,舉一反三
【知識(shí)點(diǎn)1矩形的性質(zhì)】
定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
性質(zhì):①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;②角:矩形的四個(gè)角都是直角;③邊:鄰邊垂直;④對(duì)角線:矩
形的對(duì)角線相等;⑤矩形是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸,分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線
所在的直線;對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).
【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度】
[?11(2023春?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,己知在矩形4BCD中,對(duì)角線4C,3。相交于點(diǎn)1BD
于點(diǎn)2^/DAE-./RAE=3:1,則/E4c的度數(shù)是()
A.45°B.36°C.22.5°D.18°
【答案】A
【分析】由矩形的性質(zhì)得出48/0=90°,OA=00,繼而得至1叱。/19=AODA,再求出N0/1E=67.5°,Z.OAD=
22.5°,即可求出乙EAC的度數(shù).
【詳解】解:?.?四邊形48CD是矩形,
/.BAD=90°,0A=0D,
???Z.0AD=Z.0DA,
???LDAE'.Z.BAE=3:1,
zME=-x90°=67.5°,
4
vAE1BD,
/.AED=90°,
LOAD=/-ODA=22.5°,
£EAC=67.5°-22.5°=45°.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
【變式1-1](2023春?黑龍江雞西?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形ABCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖,杯
中水面與C。的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27。時(shí),N/1ED的大小為.
【答案】63°
【分析】根據(jù)題意可知4EIIBF,Z.EAB=LABF,448F+27°=90°等量代換求出iE4B,再根據(jù)平行線的
性質(zhì)求出
【詳解】解:如圖:
I)
8
*:AE||BF,
:,LEAB=乙ABF,
???四邊形ABC。是矩形,
:.AB||CD,Z.ABC=90°,
???〃?+27。=90。,
:.LABF=63°,
:,LEAB=63°,
*:AB||CD,
:,LAED=Z.EAB=63°.
故答案為:63。.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟記矩形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.矩形的性質(zhì):
①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有;②角:矩形的四個(gè)角都是直角;③邊:鄰邊垂直;④對(duì)角線:矩形的對(duì)
角線相等.
【變式1-2](2023春?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,將矩形4BCD繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得到矩形BE/G,點(diǎn)E在4。
上,延長(zhǎng)D4交GF于點(diǎn)H.
(1)求證:2ABEWAFEH;
(2)連接8H,若4E8C=30。,求乙48"的度數(shù).
【答案】(1)見解析;
(2)15°.
【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出718=OC,^.BAE=ZD=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出乙EFH=
乙D=90°,再證明△ABE三匕FEH(AAS)即可;
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4HE8=乙EBC=30。,由全等三角形的性質(zhì)得出4£778=乙EBH=^(180°-
30c)=75°,再計(jì)算即可得出答案.
【詳解】(1)解:???四邊形48co是矩形,
:,AB=DC,乙BAE=乙。=90°,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì),得:FE=DC,/-EFH=ZD=90°,
:,AB=FE,乙BAE=4EFH,
???在矩形8EFG中,GFIIBE,
:.LAEB=乙FHE,
在A/18E和△FE”中,
(/.AEB=乙FHE
NB4E=乙EFH,
(AB=FE
:,LABEFE//(AAS),
(2)解:???四邊形A8C0是矩形,
:.AD||BC,
:.乙HEB=乙EBC=30°,
■:公ABE=^FEH,
;?BE=EH,
?"EHB=乙EBH=*180°-30°)=75°,
':LBAH=90。,
."ABH=90°-乙EHB=15°,即乙48"的度數(shù)為15。.
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正確得出全等是解題的關(guān)鍵.
【變式1-3](2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧二中校考期末)如圖,在矩形中,BC=2AB,點(diǎn)、M為邊BC
上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力N,連接MN,DN.當(dāng)線段ON的長(zhǎng)度最小時(shí),乙MND
的度數(shù)為.
I)
N
R--------------K
【答案】75°
【分析】線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力E,連接EN交/W于G,連接。N,首先證明
4EM(5AS),可得7V=Z.B=9UQ,則當(dāng)〃N1七7V時(shí),"/V的長(zhǎng)度最小,然后設(shè)七'G=Q,AD=2b,則48=
AE=b,求出HE=EN=力,可得△/EN是等腰直角三角形,再證明△4MN是等邊三角形,求出/ENM=15。,
進(jìn)而可求NMNO的度數(shù).
【詳解】解:如圖,線段4?繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力町連接EN交力。于G,連接ON,則4?=HE,
乙BAE=60°,
???線段AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力N,
:,AM=AN,Z-MAN=60°,
又=乙BAE-/-MAE=60°-Z-MAE=/-EAM,
:.LABM三△4EM(SAS),
:.AAEN=Z.B=90°,
?,?當(dāng)DN_LEN時(shí),ON的長(zhǎng)度最小,
設(shè)EG=a,AD=2b,=AE=b,
*:LBAE=60°,
:.LEAG=30°,
;"G=2EG=2a,
:.DG=AD-AG=2b-2a,
':LAGE=90°-Z-EAG=60°,
工乙NGD=Z.AGE=60°,
:.^NDG=30°,
;?NG=-DG=b-a,
2
:,EN=EG+NG=a+b-a=b,
:.AE=EN,
???A4EN是等腰宜角三角形,
Az/IJVF=45°,
*:AM=ANf4AMN=60。,
???AAMN是等邊三角形,
.??乙4NM=60°,
?LENM=60。-45。=15°,
?;DN工EN,即ZEND=90。,
?"MND=乙END-乙ENM=90,-15°=75°,
故答案為:75°.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),含30。直角三角形的性質(zhì),等腰
直角三角形以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),求出當(dāng)DN1EN時(shí),DN的長(zhǎng)度最小是解答本題的關(guān)鍵.
【題型2利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)】
【例2】(2023春?黑龍江綏化?八年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考期中)如圖,在矩形ABCD中,48=5,AD=3,
動(dòng)點(diǎn)P滿足3s“AB=S」.CD,則點(diǎn)P到<、B兩點(diǎn)距離之和P4+PB的最小值為()
A.V29B.V34C.5V2D.V41
【答案】D
【分析】首先由35。48=5口.CD,得出動(dòng)點(diǎn)P在與4B平行且與4B的距離是2的直線,上,作4關(guān)于直線1的
對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,連接8巴貝UBE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.然后在直角三角形力BE中,由勾股定理求得
EE的值,即P4十P8的最小值.
【詳解】解:如圖,作力關(guān)于直線,的對(duì)稱點(diǎn)E,連接力E,連接BE,則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離.
E、
-----------------iC
AB
設(shè)中邊上的高是h.
3ShPAB=SaABCD,
.??3x-AB-h=ABAD,
2
???4)=3,
???h=-AD=2,
3
???動(dòng)點(diǎn)P在與48平行且與48的距離是2的直線/上,
在Rt“8E中,vAB=5,/IF=2+2=4,
:.BE=y/AB2+AE2=V52+42=同,
即PA+P8的最小值為聞.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題,三角形的面積,矩形的性質(zhì),勾股定理,兩點(diǎn)之間線段最短的
性質(zhì).得出動(dòng)點(diǎn)尸所在的位置是解題的關(guān)鍵.
【變式2-1](2023春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形ABCD中,AB=5,4D=12,點(diǎn)P在對(duì)角線
80上,且BP=B4連接4P并延長(zhǎng),交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接BQ.
(1)求證:aPOQ是等腰三角形:
⑵求CQ和BQ的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析
(2)CQ=3,BQ=3后
【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)可得ZBAP=乙BPA,由矩形的性質(zhì)可得zlBIICDJB=CD=5,AD=BC=
12即"AP=乙PQD,進(jìn)而得到乙DPQ=乙PQD,有等角對(duì)等邊可得P0=PQ即可證明結(jié)論;
(2)由矩形的性質(zhì)可得乙BCD=90。,運(yùn)用勾股定理可得80=13,然后根據(jù)線段的和差可得CQ=3;最后在
RtA8CQ中運(yùn)用勾股定理即可解答.
【詳解】(1)證明:???8P=BA,
=^.BPA,
???四邊形是矩形,
:.AB\\CD,AB=CD=5,AD=BC=12,
:.LBAP=乙PQD,
':LBPA=Z.DPQ,
:?乙DPQ=乙PQD,
:,PD=PQ,
???APDQ是等腰三角形.
(2)解:???四邊形4BCD是矩形,
:,LBCD=90°,
:.DC2+BC2=BD2,
.*.52十122=BD2,
:.BD=13,
VBP=BA=5,
:,PD=DQ=8,
:.CQ=3;
■:乙BCQ=90。,
:,CQ2+BC2=BQ2,
???32+122=BQ2,解得:BQ=3/17.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答
本題的關(guān)鍵.
【變式2-2](2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形紙片48CD沿過點(diǎn)C的直線MN折疊,恰使得點(diǎn)
B落在邊4。的中點(diǎn)E處,且AE=1,則矩形的邊48的長(zhǎng)度為()
A.1B.>[2C.6D.2
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出4。=BC,AB=CD,乙4=乙。=90。,根據(jù)中點(diǎn)的定義得出BC=4。=2AE=
2,AE=DE,利用SAS證明△8AE三△CDE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì),可得BE=BC=2,再
根據(jù)勾股定理求解即可.
【詳解】解:如圖,連接CE,
???四邊形A8CD是矩形,
:.AD=BC,AB=CD,乙力=4。=90°,
???點(diǎn)E為4。的中點(diǎn),AE=1,
BC=AD=2AE=2,AE=DE,
AE=DE
乙4=,
AB=CD
BAE^△CDF(SAS),
:.BE=CE,
由折疊的性質(zhì)得,BC=EC,
???BE=BC=2,
???AB=>JBE2-AE2=V22-I2=A/3,
故選:C.
【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握折疊的性質(zhì)、
矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式2-3](2023春?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,矩形4BCD中,AB=2,IC=2AB.點(diǎn)E在邊力。上,
點(diǎn)、F在邊BC上,點(diǎn)G、”在對(duì)角線AC上.若四邊形EGFH是菱形,則ED的長(zhǎng)是.
AD
G
H
B
【答案】|
【分析】連接以.交AC于點(diǎn)O,連接占C,首先根據(jù)題意證明出△力。占三△CO"(AAS),進(jìn)而得到A占CE,然
后設(shè)EO=x,^\AE=CE=4-x,在Rt△CDE中利用勾股定理求解即可.
【詳解】如圖所示,連接交4C于點(diǎn)。,連接EC,
???四邊形ABC”是矩形
:.ADIIBC
:.LEAO=ZFCO,Z.AEO=乙CFO
???四邊形EG/,是菱形
:.0E=OF
.??ZMO£*W(AAS)
:.AE=CF
,:AC1EF
:?CE=CF
:.AE=CE
*:AB=2,BC=2AB=4
???四邊形ABCD是矩形
:.CD=AB=2,AD=BC=4
???設(shè)=^lAE=CE=4-x
???在RtaCOE中,DE2+CD2=CE2
:.x2+22=(4-x)2
?.?解得%=5
的長(zhǎng)是|.
故答案為:I
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,菱形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是
熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).
【題型3利用矩形的性質(zhì)求面積】
【例3】(2023春?河南三門峽?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在矩形48CD中,對(duì)角線AC,80相交于點(diǎn)0,若乙4。8=
60c,4C的長(zhǎng)為4,則矩形4BCD的面積為()
A.2V3B.4V3C.8A/3D.16
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分,以及N/108=60。,可得△AOB是等邊三角形,進(jìn)而在△4BC中
可得2C8=30。,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得8c=2V3,即可求得矩形的面積.
【詳解】解:???四邊形48C0是矩形,
???0A=OC=OB.Z-ABC=90°,
???LAOB=60。,AC=4,
AAOB是等邊三角形,
???Z.BAC=60°,
???在△ABC中,Z-ACB=30°,
2,
:.BC=2V3>
???矩形A8CD的面積是A8x=2x2V3=4百,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理,等邊三角形的性質(zhì)判定,掌
握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式3-1](2023春?江蘇?八年級(jí)期中)如圖,過矩形對(duì)角線力。上一點(diǎn)E作MNMD,分別交和CO于
點(diǎn)M和N,連接BE,OE,已知CN=2,ME=6,則△END和△的面積和等于()
A.10B.12C.14D.16
【答案】B
【分析】作EG1BC于G,交4D于廣,根據(jù)矩形的對(duì)角線平分矩形面積的性質(zhì)得到ABEM的面積等于aDEN,
然后求解即可.
【詳解】解:作EG1BC于G,交AD于F.
則有四邊形BGEM,四邊形CNEG,四邊形Z1MEF,四邊形。尸EN都是矩形,
=
S、BMES&BGE,SRCGE=S&CEN,S&AME=S^AEF,S^DNE=S^DEFBAABC=^£^ADC?
S'ABC-SAAEM一SACGE=^6.ADC~^^AEF~S&CNE?
"S四邊形BGEM=S四切形DNEF
???BM=CN=2,ME=6,
S、BEM=S^DEN=~X2X6=6?
:.△E/VD^IABEM的面積和=6+6=12,
【點(diǎn)睛】本題主要考會(huì)矩形的性質(zhì),正確添加輔助線以及利用矩形對(duì)角線平分矩形面積得到△8EM的面積等
于ADEN是解決本題的關(guān)鍵.
【變式3-2](2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,矩形ABCD的周長(zhǎng)為24cm,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,
過點(diǎn)。作BD的垂線E尸,分別交BC、AD于點(diǎn)、E、F,連接8凡電4尸=3cm,則矩形ABCD的面積為()
C.32cm2D.36cm2
【答案】C
【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可證E尸為線段8。的垂直平分線,即得出8尸=。£再根據(jù)矩形ABC。的周長(zhǎng)
為24cm,可求出AB+力。=12cm.設(shè)BF=DF=xcm,則力B=(9-%)cm.在中,根據(jù)勾股定
理可列出關(guān)于x的等式,解出工的值,即可求出A8和A。的長(zhǎng)度,最后根據(jù)矩形的面積公式求解即可.
【詳解】解:???四邊形力BC。為矩形,
:.0B=OD,Z-BAF=90°,
■:EF1BD,
???E/為線段80的垂直平分線,
:,BF=DF.
???矩形48。。的周長(zhǎng)為24cm,
.\AB+AD=12cm.
設(shè)OF=DF=xcm,則HS=12-AD=12-AF-DF=(9-x)cm.
???在Rt^BA廠中,AB2+AF2=BF2,
A(9-X)2+32=+/,
解得:x=5,
.*.AB=9—5=4cm?AD=3+5=8cm,
???矩形48CD的面積為4x8=32cm2.
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),線段垂直平分線的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí).證明EF為線段BD的垂直
平分線,得出BF=D尸是解題關(guān)鍵.
【變式3-3](2023春?安徽蕪湖?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,矩形A8C。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。,過點(diǎn)。
作0E_L4C,交4D于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作“J.BO,垂足為尸,EF=1,OE=2,BD=473,貝!矩形ABCD
的面積為.
【答案】12V3
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì),可求出。。和。4的長(zhǎng)度,SAAOE=^AOXOE,SADOE=^ODXEF,則S-m=
SAAOE+SAME,根據(jù)矩形的性質(zhì),即可求出矩形ABC。的面枳,矩形A3CO的面枳=4xS^o。.
【詳解】???四邊形A8C。為矩形,
AOD=OB=OA=OC=-BD=26,
2
■:EFLBD,0E1AC
?'?S^A0E=^AOxOF=x2A/3x2=2V3?
SRDOE=|ODxEF=ix2V3xl=V3,
,,?SAAOD=S&AOE+SADOE=2?+6=3v5,
???四邊形ABC。為矩形,
???矩形ABCD的面積=4xS&AOD=4x3V3=12V3,
故答案為:1275
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理,熟練地掌握矩形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【題型4利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)】
【例4】(2023春?安徽黃山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,四邊形ABC。是矩形,其中點(diǎn)力和點(diǎn)C分別在%軸和y軸
上,連接力。,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12,5),N&4。的平分線與y軸相交于點(diǎn)D,則D點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【答案】(0,蔡)
【分析】利用勾股定理求出AC=13,作DE14;于點(diǎn)區(qū)如圖,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=D。,證明
ADO=RtA/lDE(HL),推出4E=40=12,得到CE=1,設(shè)0。=DE=m,利用勾股定理構(gòu)建方程
求解即可.
【詳解】解:;四邊形A8C0是矩形,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(12,5),
:.QA=12,。。=5,Z.AOC=90°,
:.AC=VS2+122=13,
作。£147于點(diǎn)E,如圖,
YDA是4C40的平線,
:,DE=DO,
':AD=AD,
AVXLADO三Rt△力。£(HL),
-*?AE=AO=12,
:.CE=13-12=1,
設(shè)0。=DE=m,則CD=5-m,
在直角三角形CDE中,根據(jù)勾股定理可得:CE2-^-DE2=CD2,
即1+nt?=(5-m)2,解得m=y,
???D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,蔡);
故答案為:(0,裝).
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),熟練學(xué)
握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.
【變式4-1](2023春?廣東陽江?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形。48c的對(duì)角線AC平
行于x軸,邊04與工軸正半軸的夾角為30。,AC=6,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是一.
【答案】0,等)
【分析】由矩形的性質(zhì)得出乙4。。=90。,由平行線的性質(zhì)得出,NQ4C=30。,由含30。角的直角三角形的
性質(zhì)得出04,再求出O。、AD,即可得出結(jié)果.
【詳解】解:如圖所示:
???四邊形O八BC是矩形,
???NAOC=90°,
,?YC〃x軸,
??.NOAC=30°,NOD4=90。,
VXC=6,
:.0C=^AC=3,
,O4=V5OC=3收
???。。=:。4=等,
22
??"。=75。。=(
???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(?,?
故答案為:信手).
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):矩形性質(zhì).理解矩形性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)是關(guān)鍵.
【變式,4-2](2023春?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州草橋中學(xué)校考開學(xué)考試)如圖,平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形OMC,
點(diǎn)4C分別在y軸,%軸的正半軸上,。4=6,OC=3,/.DOE=45°,OD,OE分別交8C,48于點(diǎn)。,E,
且CD=2,則點(diǎn)E坐標(biāo)為.
【答案】弓,6)
【分析】過點(diǎn)£作EF1。。,過點(diǎn)F作『N1OC,并延長(zhǎng)N尸交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,設(shè)MF=ON=x,根據(jù)三角
形全等得到£^=用7=6-人則尸(與6-%),求出直線。。解析式,代入點(diǎn)尸(匕6-嗎求出工,即可求解.
【詳解】解:過點(diǎn)E作EF1。。,過點(diǎn)尸作尸N1OC,并延長(zhǎng)Nr交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如下圖:
貝IJNEF。=vFNO=90°,???乙OFN+乙EFM=90°,zOFN+Z.FON=90°
"FON=乙EFM
在矩形048c中,ABHOC,0A=BC=6,0C=AB=3
AzM=乙FNO=90°
???四邊形BCNM為矩形
:,MN=BC=6,CD//MN,BM=CN
:,AM=ON
':LDOE=45°
,AEF。為等腰直角三角形,EF=OF
/.AFON"EFM
:,MF=ON,EM=FN
設(shè)MF=ON=x,則EM=FN=6—F(x,6-x)
設(shè)宜線OD解析式為y=kx
由題意可知。(3,2),代入y=kx得,3k=2,解得k=泉
又*?點(diǎn)/(%6-%)在直線OD上,:.6-x=1x
解得%=3即=ON=蔡,F(xiàn)N=EM=孩
:.AE=AM-EM=-
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