專題07平面向量真題匯編與預賽典型例題

1.平面直角坐標系中，2是單位向量，向量Z滿足之亮=2,且同2E50+間對任意實數f成立，則團的

取值范圍是.

【答案】[6,2、同

【解析】設向=x,原題轉化為痛￡25（爐+產+4辦

=25（尸+4t）>x4-25x2<=>-100>x4-25x2

5<x2<20V5<|a|<2>/5

2.設。為△ABC的外心，若而=而+2就，則s%N84C的值為.

【答案】①

4

【解析】不失一.般性，設△ABC的外接圓半徑R=2.由條件知，

2AC=AO-AB=BO,①

故AC=]BO=1.

取AC的中點M,則OMJ_AC,結合①知OM_LB。，且8與A位于直線0M的同側.

于是cos/BOC=cosOO。*/MOC）=-sin/MOC=一法=一：.

在△BOC中,由余弦定理得BC=VOB2+OC2-20B-0C-coszBOC=、麗.

進而在AABC中，由正弦定理得sinrBAC=-=^.

2R4

3.在AABC中,M為邊BC的中點,N為線段BM的中點.若乙4=々之女=V?，則赤?前的最小值為

_________________________________O

【答案】V3+1

【解析】

由條件知

__k1k_kk3ki,

AM=-(AB+AC),AN=-AB+-AC

244

故瘋.前=：(3|同「+|而「+4初.》)

由詬?就=|^B||XC|cosA

二2s八A月r*'cotA=2

=畫扇=4

n俞?俞制就|+g而,Q=VJ+L

當|阿=鼻|就|=2x的時,俞?俞的最小值為VJ+L

故答案為：“3+1

4.在矩形4BCD中，AB=2,AD=1,邊DC上(包含點D、C)的動點P與CB延長線上(包含點8)的動點Q滿

足|而|=|所卜則向量應'與而的數量積疝?而的最小值為.

【答案】:

【解析】

不妨設點4(0,0),5(2,0),0(0,1).

設點P(t,1)(0<t<2).

則由|而|=|而I，得Q(2,-t).

故PA=(-t,-1),PQ=(2—t,—t—1),

=>PA-PQ=(-t)(2-t)+-1),

=t2-t+l=(t-1)2+J>J

當t=：時，(PKPQ)min=?

故答案為：-

4

5.在平面直角坐標系xOy中，已知點A、B.在拋物線y2=以上，滿足德?麗=-4,F為拋物線的焦點,則

SAOFA■SAOFB=-----------

【答案】2

【解析】

由題意知點F（L0）.

設4（%，%），8（萬2，%）?于是，/==7.

則一4=OA-OB=x1x2+y1y2=外仇內尸+%為

+8）2=0

=%%=-8.

故邑=（；1。51伍1）（；|0日1%1）=（：1。用"%為1）=2.

2

6.設P是函數y=x+—（x>0）的圖像上任意一點，過點尸分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為

x

A,B,^PAPB的值為.

【答案】-1

,理腦書馬造演顧“魂獨“礴》『詭書士-幽=微-窗w=^-H--

【解析】試題分析:設武，則庶領=一工,即蕾懈之得機所以

您#9心閾腦★:「球.=己凸*器=9通:一六音?

武ii>源，貝！］?爵，所以黑翅”,貴檢;=一,1,應填—1.

考點：向量的數量積公式及運用.

7.【2016年】在△ABC中.而?而+2應.前=.而求sinC的最大值

【答案】二

3

【解析】

由數量積的定義及余弦定理知

AB-AC—cbcosA—b"a-■

類似地，美.就=,

CA，CB=^^..

故已知等式化為睇+c2-a2+2(a2+c2-b2)=3(a2+b2-c2)

=>a2+2&2=3cz.

由余弦定理及基本不等式得：

「下+產"a2+&2-|(a2+2^a.b~b~V2

cost=-------=-------------=--I->2|——=——,

2ab2ab3b6a\3b6a3

=sinC=V1—cos2C<-,

3

當且僅當a：b：c=v多、⑥v'5時，上式等號成立.

因此sinC的最大值產，

3

1.在邊長為8的正方形ABCD中，M是BC的中點，N是AD邊上一點，且DN=3M4,若對于常數小，在正方

形ABCD的標上恰有6個不同的點P,使前?標=m,則實數小的取值范圍是()

A.(—8,8)B.(—1,24)C.(—1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如圖建立直角坐標系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由題意得：

PM-PN=(8-x,4—y)■(—X,2-y)=xz—8x+y2-6y+8=mo(x-4)24-(y—3)2=m+17.即

以(4,3)為圓心，、而iF為半徑的圓與正方形四邊有且僅有6個不同的交點，易由圖形知

4<>/m+17<5=>m6(-1,0).

2.在邊長為8的正方形ABC。中，M是BC的中點，N是AD邊上一點，且DN=3M4,若對于常數nt,在正方

形ABCD的標上恰有6個不同的點P,使南?麗=m,則實數小的取值范圍是()

A.(-8,8)B.(-L24)C.(-1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如圖建立直角坐標系，A(0,0),M(8,4)，M0,2),P(x,y).由題意得：

PM-PN=(8—%,4—y)■(―x,2—y)=xz—8x+y2-6y+8=m<=>(x—4)2+(y-3)2=m+17.即

以(4,3)為圓心，、而E為半徑的圓與正方形四邊有且僅有6個不同的交點，易由圖形知

3.在邊長為8的正方形ABCD中，M是BC的中點，N是AD邊上一點，且DN=3M4,若對于常數m,在正方

形ABCD的標上恰有6個不同的點P,使前?麗=?n,則實數小的取值范圍是()

A.(—8,8)B.(—1,24)C.(—1,8)D.(0,8)

【答案】C

【解析】

如圖建立直角坐標系，A(0,0),M(8,4),N(0,2),P(x,y).由題意得：

PM-PN=(8—x,4—y)■(―x,2—y)=x2—8x+y2-6y+8=m<=>(x—4)2+(y-3)2=m+17.即

以(4,3)為圓心，、而FT7為半徑的圓與正方形四邊有且僅有6個不同的交點，易由圖形知

4<伽+17<5=>m6(-1,0).

4.已知點P、Q在AABC內，且「4+2「8+3「。=2(?4+3「8+5「。=0,則昌IPO等I于().

|Ab|

B.C.—

31

【答案】A

【解析】

由逾設知又38：5901/>：5313尸=1:2:3,5鉆“：SACAQ：5UBQ=2:3:5,

故SA43P=S^BQ—":B'所以PQ〃4B.

rzc_S，八muc_

,J

-\-_ECP-6^BCQ-5，

故答案為：A

5.已知向量aJ.麗，且|西=|阿=24。若te[0,i],則卜說-而|+昌布-(l-t)網的最小值為

)o

A.2^/193B.26C.24您D.24

【答案】B

【解析】

作正方形OACB,聯結對角線A8,令D、E分別為對角線AB、邊08上點，使得

tAB-AO=OD,^BO-(1-t)BA=ED,EB=10,OD=DC.

故|t而-A0\+\^B0-(1-t)B^|=|麗+|閑<|FC|=26..

6.給定平面向量(1,1).則平面向量(/,/)是將向量(1,1)經過()變換得至U的.

A.順時針旋轉60。

B.順時針旋轉120。

C.逆時針旋轉60。

D.逆時針旋轉120°

【答案】C

【解析】

設兩向量所成的角為8.

則cose=(2了管?=

V2XV2

于是，6=60c.

又，,<0,'>0,06[0,180[,a從而，選項C正確.

22

7.設〃、b、。為同一平面內的三個單位向量，且”_Lb.則(c-〃)?(c-。)的最大值為().

A.1+V2B.l-y/2C.V2-1D.1

【答案】A

【解析】

由〃_Lb,|a|=|Z?|=|c|=L知|〃+。|二、2

設向量c與a+b的夾角為。.貝!j(c-a)'(c-b)=c2-c'(a+b)-^a-b=\c\2-\c\\a+b\cos0

=1-\2cosd<l+\^2f

當且僅當cos0=-l,即0=兀時，上式等號成立.

故(c-〃)?(c-。)的最大值為1+在.選A.

8.設|詬|=10.若平面上點尸滿足，對于任意tCR有|而一t而|之3,則萬鼠麗的最小值為,此

時而+而=.

【答案】-166

【解析】

^\AP-tAB\23可知點尸到直線AB的距離為3.

設的中點為O.由極化恒等式得：

2222

PA-PB=-4{(R4+PB)-(PA-4PB)}=-{(2PO)4-10}>-{36-100}=-16.

止匕時|正+方|=6.

,;

9.在4ABC中，AB=5,AC=4,且AB-AC=12,設P為平面ABC上的一點，則PA?(PB+PC)的最小值

是.

【答案】一個

【解析】

由A8=5,AC=4,且AB,AC=12得cosA=：.

如圖，以A為坐標原點，4方￥軸建立直角坐標系，則C(4,0),B(3,4),

設P(x,y),則萬?(兩+PC)=(-X,-y)?(7-2x,4-2y)=2x2—7x+2y2—4y

=2(x-J2+2(y-l)2-^.

即京(PB+元)的最小值是一Y.

故答案為：一言

10.設0(0,0),A(l,0),B(0,1),點P是線段AB上的一個動點，AP=AAB,若麗?麗之麗?麗，

則實數、的取值范圍是.

41

【答案】1--<2<1

2

【解析】

試題分析：由題意得OA=(1,0)