試題PAGE1試題深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高一下第二次月考數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘分值：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.{2} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,2,3,4}2.設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值等于（）A B. C.2 D.3.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（）A.1 B. C. D.4.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）①的值為0.005；②估計成績低于60分的有25人；③估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；④估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86．A.②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③5.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是A.若，則∥B.若∥，∥，則∥C.若∥，則∥D.若是異面直線，∥，∥，則∥6.在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.7.解放碑是重慶的標(biāo)志建筑物之一，因其特存的歷義內(nèi)涵，仍牽動著人們敬仰的目光，在海內(nèi)外具有非凡的影響.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點C，D，E處分別測得頂點的仰角為，且，則解放碑的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.8.如圖，在中，AD=2DB，，與交于，，則為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的按比例給分，有選錯的得0分.9.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A.是鈍角三角形B.的面積是的面積的2倍C.是等腰直角三角形D.的周長是10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，，，則只有一解C若，則D.若為銳角三角形，則11.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點，則（）A.直線，為異面直線B.二面角的余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式組的解集為______.13.若10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個數(shù)據(jù)的平方和是______．14.如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，點是半圓弧上的動點(不包括端點)，點是半圓弧上的動點(不包括端點)，若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是__．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足.（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求在方向上的投影向量.16.某科研課題組通過一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表及直方圖：周跑量（周）人數(shù)周跑量（周）人數(shù)，100，150，120，60，130，30，180，10，220（1）請補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量頻率分布直方圖；（2）將周跑量在，，，，，區(qū)間內(nèi)的跑步愛好者依次記為，，三個組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個組中抽取40人，求這三個組分別抽取的跑步愛好者人數(shù)；（3）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，估計樣本的下四分位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）．17.在銳角中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）求取值范圍.18.如圖所示，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形.，F(xiàn)為CD的中點.（1）證明：平面BCE；（2）證明：平面平面CDE；（3）求直線AD和平面BCE所成的角的正弦值.19.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求的值；（2）判斷并用定義法證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（3）不等式對任意恒成立，求實數(shù)取值范圍深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高一下第二次月考數(shù)學(xué)試題時間：120分鐘分值：150分一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.{2} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,2,3,4}【答案】C【解析】【分析】由集合的并運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得1,2,3,4.故選：C2.設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，，又，∴，解得.故選：B3.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，利用給定等式建立方程，解方程求出復(fù)數(shù)z即可計算作答.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，則，因，即，即，則，解得，因此，，所以.故選：B4.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨?知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的（）①的值為0.005；②估計成績低于60分的有25人；③估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；④估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86．A.②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③【答案】B【解析】【分析】由所有組頻率之和為1求得a，再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結(jié)果.【詳解】對于①，由，得.故①正確；對于②，估計成績低于60分的有人.故②錯誤；對于③，由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故③正確；對于④，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m，則，解得：，故④正確.故選：B5.已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中錯誤的是A.若，則∥B.若∥，∥，則∥C.若∥，則∥D.若是異面直線，∥，∥，則∥【答案】C【解析】【詳解】對于A，利用垂直于同一直線的兩個平面互相平行，可知A正確；對于B，利用平行于同一平面的兩個平面互相平行，可知B正確；對于C，α、β相交時，若m，n與交線平行，則m∥n，故C不正確；對于D，若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，可得α內(nèi)的兩條相交直線平行于β，則α∥β，故D正確.故選：C．6.在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別是正三棱柱上、下底面中心，則的中點是該三棱柱外接球的球心，求出球半徑后可得體積．【詳解】如圖，分別是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，則的中點是該三棱柱外接球的球心，外接球半徑．其中點為外接圓圓心，為外接圓半徑，為正三角形，（是邊中點）．所以外接球半徑．從而外接球體積為．故選：D．7.解放碑是重慶的標(biāo)志建筑物之一，因其特存的歷義內(nèi)涵，仍牽動著人們敬仰的目光，在海內(nèi)外具有非凡的影響.我校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點C，D，E處分別測得頂點的仰角為，且，則解放碑的高約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案【詳解】由題知，設(shè)，則，又，所以在中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得故選：B.8.如圖，在中，AD=2DB，，與交于，，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，利用三點共線和三點共線分別表示，根據(jù)平面向量基本定理求解即可【詳解】∵AD=2DB，，∴，同理，向量還可以表示，所以解得，所以，所以，，所以為，故選：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的按比例給分，有選錯的得0分.9.如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A.是鈍角三角形B.的面積是的面積的2倍C.是等腰直角三角形D.的周長是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用斜二測畫法的方法進(jìn)行求解判斷.【詳解】根據(jù)斜二測畫法可知，在原圖形中，O為的中點，，因為，所以，,，則是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示：所以的周長是，面積是4，故A錯誤，C，D正確.在中，，過作軸垂線，垂足為，，所以，所以的面積是，的面積是，的面積是的面積的倍，故B錯誤.故選：CD10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題是真命題的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，，，則只有一解C.若，則D.若為銳角三角形，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A、C：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理運(yùn)算分析即可；對于B：根據(jù)三角形解得個數(shù)的結(jié)論分析判斷；對于D：根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：由，由正弦定理可得，則，因為，則，可得，即，所以為等腰三角形，故A正確；對于選項B：若，，，則，所以有兩解，故B錯誤；對于選項C：若，有正弦定理可得，則，即，因為，則，可得，所以，故C正確；對于選項D：若為銳角三角形，則，可得，且，，則在上單調(diào)遞增，所以，又因為，則，可得，所以，故D正確．故選：ACD11.如圖，棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是棱AD，，CD的中點，則（）A.直線，為異面直線B.二面角的余弦值為C.直線與平面所成角的正切值為D.過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】BC【解析】【分析】證明，說明四點共面，判斷A；作出二面角的平面角，計算其余弦值，可判斷B；找到直線與平面所成角，解直角三角形可得其正切值，判斷C；作出過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，求其面積判斷D.【詳解】對于A，連接，則為矩形，則，而點E，G分別是棱AD，CD的中點，故，則四點共面，故直線，不是異面直線，A錯誤；對于B，連接交于點O，連接，平面平面，故，又平面，故平面,即為二面角的平面角，又，故，B正確；對于C，由于平面，故即為直線與平面所成角，而故，C正確；對于D，連接，則,則梯形即為過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，而，故等腰梯形的高為，故等腰梯形的面積為，即過點B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為，D錯誤，故選：BC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式組的解集為______.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，分別求得不等式和的解集，即可求解.【詳解】由題意，不等式，即，解得或；又由，即，解得，所以不等式的解集為或.即原不等式的解集為.【點睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.若10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，標(biāo)準(zhǔn)差是2，則這10個數(shù)據(jù)的平方和是______．【答案】80【解析】【分析】確定數(shù)據(jù)的方差，根據(jù)方差的計算公式化簡，即可得答案.【詳解】由題意可設(shè)這10個數(shù)據(jù)為，其方差為，則，故，故答案為：.14.如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，點是半圓弧上的動點(不包括端點)，點是半圓弧上的動點(不包括端點)，若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】先由余弦定理求出，從而得到，確定BC的中點E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，再證明出為AD的中點，N為的中點，即EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，從而確定當(dāng)點與點N重合時，三棱錐的外接球半徑最小，點P與或重合，此時最長，故三棱錐的外接球半徑最大，畫出圖形，求出相應(yīng)的外接球半徑和表面積，最后結(jié)合點是半圓弧上的動點(不包括端點)，故最大值取不到，求出表面積的取值范圍.【詳解】因為，由余弦定理得：，因為，由勾股定理逆定理得：，直四棱柱中，底面為平行四邊形，故⊥CD，點是半圓弧上的動點(不包括端點)，故BC為直徑，取BC的中點E，則E為三棱錐的外接球球心在平面的投影，設(shè)與AD相交于點M，與相交于點N，連接EM，ED，則EM=ED因為，故，，故三角形DEM為等邊三角形，，即為AD的中點，同理可得：N為的中點，連接EN，則EN⊥平面ABCD，故球心在線段EN上，顯然，當(dāng)點與點N重合時，三棱錐的外接球半徑最小，假如點P與或重合，此時最長，故三棱錐的外接球半徑最大，如圖1，點P與點N重合，連接OC，設(shè)，則OE=2-R，，由勾股定理得：，即，解得：，此時外接球表面積為；如圖2，當(dāng)點P與或重合時，連接，其中，設(shè)，則，由勾股定理得：，，故，解得：，此時外接球半徑為，故外接球表面積為，但因為點是半圓弧上的動點(不包括端點)，故最大值取不到，綜上：的取值范圍是.故答案為：【點睛】幾何體外接球問題，通常要找到幾何體的一個特殊平面，利用正弦定理或幾何性質(zhì)找到其外心，求出外接圓的半徑，進(jìn)而找到球心的位置，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，再求解外接球表面積或體積.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足.（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求在方向上的投影向量.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)模長及夾角得出向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)向量數(shù)量積求模長；（3）先根據(jù)垂直得出數(shù)量積，再根據(jù)數(shù)量積計算投影向量即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】由，得，所以.故.【小問3詳解】由題意得，即，得，所以.因為，所以，在方向上的投影向量：16.某科研課題組通過一款手機(jī)軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表及直方圖：周跑量（周）人數(shù)周跑量（周）人數(shù)，100，150，120，60，130，30，180，10，220（1）請補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖；（2）將周跑量在，，，，，區(qū)間內(nèi)的跑步愛好者依次記為，，三個組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個組中抽取40人，求這三個組分別抽取的跑步愛好者人數(shù)；（3）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，估計樣本的下四分位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】（1）答案見解析（2）14；22；4（3）四分位數(shù)約為21.2，眾數(shù)為32.5，平均數(shù)為28.5【解析】【分析】（1）先分別求出，的頻率和，的頻率，由此能補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖．（2）利用用分層隨機(jī)抽樣的方法組合頻率分布直方圖能求出這三個組分別抽取的跑步愛好者人數(shù)．（3），的頻率為0.22，，的頻率為0.13，，由此能求出樣本的下四分位數(shù)，由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)和平均數(shù)．【小問1詳解】，的頻率為，，的頻率為，全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖如下：【小問2詳解】將周跑量在，，，，，區(qū)間內(nèi)的跑步愛好者依次記為，，三個組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個組中抽取40人，，，，，，區(qū)間內(nèi)的頻率分別為：0.35，0.55，0.1，，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人，，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人，，內(nèi)抽取的跑步愛好者人數(shù)為人．【小問3詳解】由頻率分布表得，的頻率為，，的頻率為，，樣本的下四分位數(shù)約為21.2，由頻率分布直方圖得眾數(shù)為，由頻率分布布估計平均數(shù)為：．17.在銳角中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別利用余弦定理或者正弦定理對原式進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角形面積公式，求得，即可求得；（2）利用正弦定理，將bc轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合的范圍，求得該三角函數(shù)值域，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】方法一：因為；又因為，所以，即；又因為為銳角三角形，所以.方法二：，所以，即，，則，得；因為為銳角三角形，所以.【小問2詳解】由正弦定理得：，因為為銳角三角形，所以，即所以，所以，即.18.如圖所示，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形.，F(xiàn)為CD的中點.（1）證明：平面BCE；（2）證明：平面平面CDE；（3）求直線AD和平面BCE所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取CE中點M，連結(jié)MF，BM，先利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，從而證得四邊形ABMF是平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論.（2）先利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，然后利用面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論.（3）取線段DE的中點P，連接BP，先證得直線AD和平面BCE所成的角就是直線BP