第67講圓錐曲線離心率題型全歸納

知識梳理

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關系．

x2y2

2、利用線段長度的大小建立不等關系．F,F為橢圓1(ab0)的左、右焦

12a2b2

22

點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線xy的

PPF1ac,acF,F1(a0,b0)

12a2b2

左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．

PPF1ca

x2y2

3、利用角度長度的大小建立不等關系．F,F為橢圓1的左、右焦點，P為

12a2b2

橢圓上的動點，若FPF，則橢圓離心率e的取值范圍為sine1．

122

4、利用題目不等關系建立不等關系．

5、利用判別式建立不等關系．

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．

7、利用基本不等式，建立不等關系．

二、函數法：

1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數

關系式；

2、通過確定函數的定義域；

3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．

三、坐標法：

由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．

必考題型全歸納

題型一：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式

例1．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦

點，雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲

線C2的離心率為（）

A．3B．2C．5D．6

【答案】C

【解析】設雙曲線C2的實半軸長為a，由雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，

可得橢圓的長半軸為3a，半焦距為c，設P為橢圓與雙曲線在第一象限的交點，設|PF1|x，

xy6a

|PF2|y，則，可得x4a,y2a，

xy2a

222

由題意P在以F1F2為直徑的圓上，所以xy4c，

c

所以可得20a24c2，即離心率e5，

a

故選：C

x2y2

例2．（2024·湖南·高三校聯考階段練習）已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點分

a2b2

別為F1,F2，經過F2的直線交橢圓C于P,Q兩點，O為坐標原點，且

OPOF2PQ0,PF22F2Q，則橢圓C的離心率為.

51

【答案】/5

33

3

【解析】因為OPOF2PQ0,PF22F2Q，所以OPOF2PF20，

2

3

即OPOF2OF2OP0，

2

π

所以OPOFOFc，所以FPF.

21122

設F2Qx，則PF22x，所以PF12a2x,QF12ax，

222222

由PF1|PQ|QF1得(2a2x)(3x)(2ax)，

24a

所以a3x，所以PFa,PF，

2313

△222

在RtPF1F2中，由PF1PF2F1F2，

22

242c5

得aa(2c)，所以e.

33a3

5

故答案為:.

3

x2y2

例3．（2024·海南海口·高三統考期中）已知雙曲線C:1a0,b0的左頂點為A，

a2b2

22

右焦點為Fc,0，過點A的直線l與圓xcy2ca相切，與C交于另一點B，且

π

BAF，則C的離心率為（）

6

53

A．3B．C．2D．

22

【答案】A

22

【解析】顯然圓xcy2ca的圓心為Fc,0，半徑為ca，令直線l與圓相切的切

點為D，連接FD，

π

則FDAB，有DAF，而|AF|ac，又|AF|2|FD|，因此ac2(ca)，解得

6

c3a，

c

所以雙曲線C的離心率為e3.

a

故選：A

x2y2

變式1．（2024·貴州·校聯考模擬預測）已知右焦點為F的橢圓E：1ab0上

a2b2

的三點A，B，C滿足直線AB過坐標原點，若BFAC于點F，且BF3CF，則E的

離心率是（）

2731

A．B．C．D．

2522

【答案】A

【解析】設橢圓左焦點為F1c,0，連接AF1，BF1，CF1，

設CFm，m0，結合橢圓對稱性得AF1BF3m，

由橢圓定義得AF2a3m，CF12am，則AC2a2m.

因為OFOF1，OAOB，

則四邊形AF1BF為平行四邊形，

則AF1∥BF，而BFAC，故AF1AC，

222222

則AF1ACCF1，即9m2a2m2am，

a222

整理得m，在RtFAF中，AFAFFF，

3111

2222

即9m22a3m2c，即a22aa2c，

c2

∴a22c2，故e.

a2

故選：A

變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學校考模擬預測）已知雙曲線C：

x2y2

1(a0,b0)的右焦點為F，過F分別作C的兩條漸近線的平行線與C交于A，B兩

a2b2

點，若|AB|23b，則C的離心率為

【答案】32/23

【解析】如圖所示：

bx2y2

設直線方程為yxc與雙曲線方程1(a0,b0)聯立，

aa2b2

a2c2b3

解得x,y，

2c2ac

因為|AB|23b，

b3

所以223b，

2ac

即b223ac，即c223aca20，

c

解得e32，

a

故答案為：32

x2y2

變式3．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）雙曲線C:1a,b0的左焦點為F，直

a2b2

2

線FD與雙曲線C的右支交于點D，A，B為線段FD的兩個三等分點，且OAOBa

2

（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為.

【答案】10

2

【解析】由題意得Fc,0，取AB中點M，連接OM，設雙曲線C的右焦點為F1，連接DF1，

2

因為OAOBa，所以OMAB，

2

又A，B為線段FD的兩個三等分點，所以EMDM，即M為FD的中點，

又O為FF1的中點，所以DF1//OM，故F1DFD，

2

設DF12m，則OMm，又OAOBa，

2

11

由勾股定理得AMBMa2m2，則DF6AM6a2m2，

22

122

由雙曲線定義得DFDF12a，即6am2m2a①，

2

222

在RtDFF1中，由勾股定理得DF1DFFF1，

2

即12222②，

6am4m4c

2

1

由①得3a2m2am，兩邊平方得7a24am20m20，

2

a7

解得m或a（負值舍去），

210

ac10

將m代入②得5a22c2，故離心率為.

2a2

故答案為：10

2

x2y2

變式4．（2024·河南開封·統考模擬預測）已知A是雙曲線C:1(a0,b0)的右頂點，

a2b2

9

點P(2,3)在C上，F為C的左焦點，若APF的面積為，則C的離心率為．

2

【答案】2

139

【解析】由題設知：|AF|ac，則Sy|AF||AF|，

APF2P22

3

所以ac3且ca，易知：0a，

2

49

又1，故4b29a2a2b2，且a2b2c2，

a2b2

所以4(c2a2)9a2a2(c2a2)，則a413a2c2(a24)(3a)2(a24)，

化簡得a33a24a6(a1)(a22a6)0，解得a1或a17（舍），

c

綜上，a1，故c2，則離心率為2.

a

故答案為：2

變式5．（2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內

放置兩個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相

切的平面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為.

【答案】3

2

【解析】如圖所示：

1

由題意可得BF1,BO2，所以sinBOF，

2

OM1

又因為sinODM，結合BOFODM可知

ODOD

OM11

sinODMsinBOF，

ODOD2

所以ODa2，而2b2，即b1，

c3

所以ca2b222123，所以離心率e.

a2

3

故答案為：.

2

x2y2

變式6．（2024·陜西西安·校考三模）已知雙曲線C：1a0,b0的左焦點為F，

a2b2

過F的直線與圓x2y2a2相切于點Q，與雙曲線的右支交于點P，若PQ2QF，則雙

曲線C的離心率為.

【答案】13

2

【解析】由題知，記右焦點為F1，過F1做F1M//OQ如圖所示，

QF與圓x2y2a2相切，

OQPF，OQa，

OFc，FQc2a2b，

O為FF1中點，F1M//OQ，

∽△

故FQOFMF1，且相似比為1:2，

即F1M2a，QMb，

PQ2QF2b，

PMb，PF3b，

x2y2

在雙曲線1中，有PFPF12a，

a2b2

PF13b2a，

F1M//OQ，OQPF，

F1PM為直角三角形，

222

F1MPMPF1，

22

即2ab23b2a，

化簡可得2b3a，上式兩邊同時平方，將b2c2a2代入可得4c213a2，

c13

則2c13a，即離心率e.

a2

故答案為：13

2

x2y2

變式7．（2024·河北·高三校聯考期末）雙曲線C：1(a0,b0)的左焦點為F，右頂

a2b2

點為A，過A且垂直于x軸的直線交C的漸近線于點P，PO恰為PFA的角平分線，則C的

離心率為．

【答案】2

【解析】設Fc,0，作出圖像，如下圖：

根據題意易知PAb，且PAFA，又FAca，

222

所以由勾股定理可得：PFFAPAcab2，

又PO恰為PFA的角平分線，

PFFO

所以根據角平分線性質定理可得：，

PAAO

22

cabc222

，又bca，

ba

2

cac2a22c22acc2

，

c2a2c2a2a2

2e22e2e2

e2，即e，

e21e21

2

e，即e2e20，

e1

又e1，

所以解得：e2.

故答案為：2.

題型二：圓錐曲線第一定義

x2y2

例4．（2024·湖南株洲·高三校考階段練習）已知F1,F2分別為雙曲線E:1(a0,b0)

a2b2

的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A,B兩點（點A在第一象限），延長AF2交E于點

π

C，若BFAC,FBF，則雙曲線E的離心率為．

2123

【答案】3

【解析】由題意A,B關于原點對稱，又F1,F2也關于原點對稱，所以四邊形AF1BF2是平行四

π

邊形，所以FAFFBF,AFAC，所以△ACF為等邊三角形，

1212311

則AF1CF1，則ACF1F2，由雙曲線的定義，得AF1AF22a，

F1F22cπ

所以AF14a,AF22a，則etan3．

AF22a3

故答案為：3．

x2y2

例5．（2024·山西大同·高三統考開學考試）已知橢圓C1(ab0)的左、右焦點

1a2b2

分別為F1，F2，點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ||F1F2|，且四邊形PF1QF2

4

的面積為a2，則C的離心率為．

9

【答案】7

3

【解析】因為點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ||F1F2|，

所以四邊形PF1QF2為矩形，即PF1PF2，

所以S2S|PF||PF|，

PF1QF2△PF1F212

PF1PF22a

由橢圓定義與勾股定理知：，

222

PF1|PF2|4c

242222c7

所以|PF1||PF2|2b，所以a2b2(ac)，所以，

9a3

7

即C的離心率為．

3

故答案為：7

3

y2x2

例6．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓E:1ab0的上、下焦點分別為F1、

a2b2

F2，焦距為23，與坐標軸不垂直的直線l過F1且與橢圓E交于A、B兩點，點P為線段AF2

的中點，若ABF2F2PB90，則橢圓E的離心率為．

【答案】63/36

【解析】因為點P為線段AF2的中點，ABF2F2PB90，則ABBF2，

△

所以，ABF2為等腰直角三角形，

設ABBF2mm0，則AF22m，

由橢圓的定義可得ABBF2AF2AF1AF2BF1BF24a22m，

所以，m422a，

所以，BF12am2a422a222a，

22

由勾股定理可得222，即222，

BF1BF2F1F2222a422a4c

c

整理可得c63a，因此，該橢圓的離心率為e63.

a

故答案為：63.

x2y2

變式8．（2024·全國·高三專題練習）F1，F2是橢圓E：1ab0的左，右焦點，

a2

b2

點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足F1MNF2MN45，3NF14NF2，則

橢圓E的離心率為.

5

【答案】

7

【解析】因為F1MNF2MN45，

所以F1MF2M，則MN是F1MF2的角平分線，

FMFN

所以11，

F2MF2N

又因為3NF14NF2，

F1M4

所以，設F1M4x,F2M3x，

F2M3

由橢圓定義得F1MF2M2a，

2

即4x3x2a，解得xa，

7

86

則FMa,FMa，

1727

22

862

則aa4c，

77

c225c5

所以，則e，

a249a7

5

故答案為：

7

x2y2

變式9．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦

a2b2

3

點分別為F,F，過F斜率為的直線與C的右支交于點P，若線段PF恰被y軸平分，則C

12141

的離心率為（）

123

A．B．C．2D．3

23

【答案】C

【解析】如圖，設PF1交y軸與A，A為PF1的中點，

△

因為O為F1F2的中點，故AO為PF1F2的中位線，

則AO∥PF2，而AOF1F2，則PF2F1F2,

33

因為直線PF的斜率為，故Rt△PFF中，tanPFF，

1421124

故設|PF2|3t，則|F1F2|4t,|PF1|5t，

結合雙曲線定義以及P在雙曲線右支上，即有4t2c,|PF1||PF2|2a2t，

c

則2ac,e2，

a

故選：C

變式10．（2024·內蒙古赤峰·高三統考開學考試）已知F1，F2分別為雙曲線Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第一

a2b2

π

象限），延長AF交E于點C，若BFAC，FBF，則雙曲線E的離心率為（）

22123

A．3B．2C．5D．7

【答案】A

π

【解析】結合雙曲線的對稱性可知，FAF，AFAC，

1231

△

所以ACF1為等邊三角形，則AF1CF1，則ACF1F2.

AF4aAF2a

由雙曲線的定義，得AF1AF22a，所以1，2，

F1F22cπ

則tan3.

AF22a3

故選：A

x2y2

變式11．（2024·廣東·高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：1（a0，b0），

a2b2

斜率為3的直線l過原點O且與雙曲線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經過雙曲

線的一個焦點，則雙曲線C的離心率為（）

31

A．B．31C．231D．232

2

【答案】B

【解析】設雙曲線C的左焦點F，右焦點為F，P為第二象限上的點，

連接PF，PF，QF，QF，

根據雙曲線的性質和直線l的對稱性知，四邊形PFQF為平行四邊形.

因為以PQ為直徑的圓經過雙曲線的一個焦點，

所以PFQF，即四邊形PFQF為矩形，

由直線l的斜率為3，得POF60，

又POFOc，則POF是等邊三角形，所以PFc.

在Rt△PFQ中，PQ2c，則FQ3c，故PF3c，

又由雙曲線定義知PF|PF|2a，所以3cc2a，

c2

則e31.

a31

故選：B.

y2x2

變式12．（2024·河南·統考模擬預測）已知雙曲線E:1(a0)的上焦點為F1，點P

a28

在雙曲線的下支上，若A(4,0)，且PF1|PA|的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（）

697697

A．2或B．3或C．2D．3

2525

【答案】D

2

【解析】設雙曲線E的下焦點為F2c,0，可知ca8，

則PF1PF22a，即PF1PF22a，

則22，

PF1|PA|PF2|PA|2aAF22ac162aa242a

當且僅當A,P,F2三點共線時，等號成立，

由題意可得a2242a7，且a0，

因為faa2242a在0,上單調遞增，且f17，

所以方程a2242a7，且a0，解得a1，

c

則ca283，所以雙曲線E的離心率為e3.

a

故選：D.

變式13．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線具有光學性質，從雙曲線一個焦點發出的光線

經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左?右焦點分別為F1,F2，從F2發出的光線經過圖中的A，B兩點

a2b2

5

反射后，分別經過點C和D，且cosBAC,ABBD0，則E的離心率為（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

【答案】B

【解析】由題意知延長CA,DB則必過點F1,如圖：

AFAF2a

由雙曲線的定義知12，

BF1BF22a

55

又因為cosBAC，所以cosFAB，

13113

因為ABBD0，所以ABBD，

AF213m2a

設AF113m,m0，則AB5m,BF112m，因此，

BF212m2a

從而由AF2BF2AB得13m2a12m2a5m，所以a5m，

122

則BFa，BFa，F1F22c，

1525

22

又因為222，所以1222，

BF1BF2F1F2aa2c

55

37

即37a225c2，即e，

5

故選：B.

x2y2

變式14．（2024·甘肅酒泉·統考三模）已知雙曲線E:1(a0,b0)的右焦點為F，

a2b2

過點F的直線l與雙曲線E的右支交于B，C兩點，且CF3FB，點B關于原點O的對稱

點為點A，若AFBF0，則雙曲線E的離心率為（）

231010

A．3B．C．D．

332

【答案】D

【解析】設雙曲線的左焦點為F1，連接AF，AF1，BF1，如圖所示，

又因為AFBF0，所以AFBF，

所以四邊形AF1BF為矩形，

設|BF|t，則|CF|3t，

由雙曲線的定義可得：|BF1|2at，|CF1|2a3t，

又因為CBF1為直角三角形，

222222

所以|BC||BF1||CF1|，即(4t)(2at)(2a3t)，解得ta，

所以|BF1|3a，|BF|a，

△

又因為BFF1為直角三角形，|FF1|2c，

222222

所以|BF||BF1||FF1|，即：a9a4c，

c25c10

所以，即e.

a22a2

故選：D.

x2y2

變式15．（2024·山西呂梁·統考二模）已知雙曲線C：1（a0，b0）的左、右

a2b2

焦點分別為，，直線與交于，兩點，，且△的面積為2，

F1F2ykxCPQPF1QF10PF2Q4a

則C的離心率是（）

A．3B．5C．2D．3

【答案】B

【解析】如圖，若在第一象限，因為，所以，

PPF1QF10PF1QF1

△22

由圖形的對稱性知四邊形PF1QF2為矩形，因為PF2Q的面積為4a，所以PF1PF28a，

又因為PF1PF22a，所以PF14a，PF22a，

222c

在Rt△PFF中，4a2a2c，解得e5．

12a

故選：B

題型三：圓錐曲線第二定義

例7．（2024·全國·高三專題練習）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線

的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的

比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線；當0e1時，軌跡為橢圓；當e1時，軌跡為拋物

(x4)2y21

線；當e1時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率e等于（）

254x5

145

A．B．C．D．5

554

【答案】B

(x4)2y2(x4)2y21

【解析】因為254x255，

4x

4

(x4)2y24

所以255，

x

4

254

表示點x,y到定點4,0的距離與到定直線x的距離比為，

45

4

所以e.

5

故選：B

x2y2

例8．（2024·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線1(a,b0)的左、右焦點分別

a2b2

為F1F2，P為左支上一點，P到左準線的距離為d，若d、|PF1|、|PF2|成等比數列，則其

離心率的取值范圍是（）

A．[2，)B．(1，2]C．[12，)D．(1，12]

【答案】D

2

【解析】|PF1|d|PF2|，

|PF1||PF2|

e，即|PF2|e|PF1|①，

d|PF1|

又|PF2||PF1|2a②．

2a2ae

由①②解得：|PF|，|PF|，

1e12e1

又在焦點三角形F1PF2中：|PF1||PF2||F1F2|，

2a(e1)

即：2c，即e22e10，

e1

解得：12e12，

又e1，

1e12，

故選：D．

x2y2

例9．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:1a0,b0的右焦點為F，過F

a2b2

且斜率為3的直線交C于A、B兩點，若AF4FB，則C的離心率為（）

5679

A．B．C．D．

8555

【答案】B

x2y2

【解析】設雙曲線C:1的右準線為l，

a2b2

過A、B分別作AMl于M，BNl于N，BDAM于D，

如圖所示：

因為直線AB的斜率為3，

所以直線AB的傾斜角為60，

1

∴BAD60，ADAB，

2

111

由雙曲線的第二定義得：AMBNADAFFBABAFFB，

e22

又∵AF4FB，

35

∴FBFB，

e2

6

∴e

5

故選：B

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）

x2y2

例10．（2024·云南曲靖·高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：1a0,b0虛軸

a2b2

的一個頂點為D，直線x3a與C交于A，B兩點，若△ABD的垂心在C的一條漸近線上，

則C的離心率為.

【答案】91

7

【解析】如圖，設△ABD的垂心為H，則有DHAB,

不妨設D(0,b),則H(x,b)，

b

因為H在漸近線yx上，所以H(a,b)，

a

直線x3a與C交于A，B兩點，

9a2y2

所以1，解得y22b，

a2b2

所以A(3a,22b),B(3a,22b),

又因為ADBH,

(221)b(221)b

所以kk1，

ADBH3a2a

b26cb291

整理得，，所以e1，

a27aa27

91

故答案為:.

7

x2y2

例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知橢圓C：1ab0

a2b2

的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫

13

坐標為c．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．

316

1

【答案】/0.5

2

【解析】Fc,0，

設Ax1,y1,Bx1,y1，

1

因為點P是線段AB的中點，P的橫坐標為c，

3

2ccy1y2

所以x1x2,P,，

332

y1y2y1y2

3yy

則k2212，

PFxx4c

12c8c

23

由直線l與C相交于A，B兩點，

x2y2x2y2

得111,221，

a2b2a2b2

x2y2x2y2

兩式相減得11220，

a2b2a2b2

xxxxyyyy

即121212120，

a2b2

2

y1y2y1y2b

所以2，

x1x2x1x2a

yyb2b2xxb22c

1212

即kl2，所以kl22，

x1x2aay1y2a3y1y2

b22c3yyb23

12

則klkPF22，

a3y1y28c4a16

b23

所以，

a24

cb21

所以離心率e1.

aa22

1

故答案為：.

2

x2y2

例12．（2024·山東濟南·高三統考開學考試）已知橢圓C：1ab0的上頂點為

a2b2

B，兩個焦點為F1，F2，線段BF2的垂直平分線過點F1，則橢圓的離心率為．

1

【答案】/0.5

2

【解析】

如圖，設BF2的垂直平分線與BF2交于點H，

cb

由題，F1c,0，F2c,0，B0,b，則H,，

22

b

0

2b0bb

kFH，k，

1cBF2

c3cc0c

2