第第頁2025年高考數學總復習《概率與統計的綜合運用》專項測試卷帶答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________01求概率及隨機變量的分布列與期望1．（2022?甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望．2．（2024·河南·統考模擬預測）盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．(1)求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率；(2)記取出的3個小球上的最小數字為，求的分布列及數學期望．3．（2024·全國·模擬預測）某科研所計劃招聘兩名科研人員，共有4人報名應聘．科研所組織了專業能力、創新意識和寫作水平三場測試，每場測試滿分100分，每名選手在三場測試中的得分分別按和計入總分，按總分排序，若總分相同，則依次按專業能力、創新意識和寫作水平的得分從高到低排序，前兩名錄取．下表是4名應聘者的三場測試成績：項目選手1選手2選手3選手4專業能力/分85808284創新意識/分80808582寫作水平/分86858688(1)該科研所應招聘哪兩名選手？并說明你的理由．(2)該科研所要求新招聘的兩名科研人員上崗前參加線上培訓．已知專業能力、創新意識和寫作水平各有兩個線上報告，培訓者需從每個項目的兩個報告中選擇一個學習，記新招聘的兩名科研人員參加學習的相同報告的數目為，求的概率分布列和數學期望．4．（2024·全國·模擬預測）班會課上，甲、乙兩位同學參加了“心有靈犀”活動：從5個成語中隨機抽取3個，甲同學負責比劃，乙同學負責猜成語．甲會比劃其中3個，甲會比劃的成語，乙猜對的概率為，甲不會比劃的成語，乙無法猜對．(1)求甲乙配合猜對2個成語的概率；(2)設甲乙配合猜對成語個數為X，求X的分布列和數學期望．02超幾何分布與二項分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）某興趣小組利用所學統計與概率知識解決實際問題．(1)現有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚，其中紅鯉魚有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚記錄相關數據．用X表示其中捉取到紅鯉魚的條數，請寫出X的分布列，并求出X的數學期望．(2)現有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚與黑鯉魚共10條，其中紅鯉魚有條，身為興趣小組隊長的駱同學每次從池塘中捉了1條魚，做好記錄后放回池塘，設事件A為“從池塘中捉取魚3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚”．當時，事件A發生的概率最大，求的值．6．（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）某校高一年級舉行數學史知識競賽，每個同學從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為，且每道題答對與否互不影響.(1)分別求小張，小王答對題目數的分布列；(2)若預測小張答對題目數多于小王答對題目數，求的取值范圍.7．（2024·廣東肇慶·統考一模）在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”組成的序列.現連續發射信號次，每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號1的次數為.(1)當時，求(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變最，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有.根據該不等式可以對事件“”的概率作出下限估計.為了至少有的把握使發射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計信號發射次數的最小值.03概率與其它知識的交匯問題8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知三棱錐的三條側棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側面積的最大值；(2)若在底面上，有一個小球由頂點處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為.若小球滾動3次，記球滾到頂點處的次數為，求數學期望的值.9．（2024·全國·高三階段練習）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點出發沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側棱爬行的概率為．(1)若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點的概率；(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點出現的次數為，求的分布列與數學期望．10．（2024·安徽·蚌埠二中校聯考模擬預測）某從事智能教育技術研發的科技公司開發了一個“AI作業”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試．經過一個階段的試用，為了解“AI作業”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們“向量數量積”知識點掌握情況進行調查，樣本調查結果如下表：甲校乙校使用AI作業不使用AI作業使用AI作業不使用AI作業基本掌握32285030沒有掌握8141226用樣本頻率估計概率，并假設每位學生是否掌據“向量數量積”知識點相互獨立．(1)從兩校高一學生中隨機抽取1人，估計該學生對“向量數量積”知識點基本掌握的概率；(2)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，以表示這2人中使用AI作業的人數，求的分布列和數學期望；(3)從甲校高一學生中抽取一名使用“Al作業”的學生和一名不使用“AI作業”的學生，用“”表示該使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“”表示該使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”，用“”表示該不使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“”表示該不使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關系．（結論不要求證明）04期望與方差的實際應用11．（2024·北京西城·高三統考期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數，求的分布列和數學期望；(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關系.（結論不要求證明）12．（2024·廣東東莞·高三統考期末）某區域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區域中這兩個亞種的數目比例（A種數目比B種數目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區域中有放回的捕捉50個物種C，統計其中A種數目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區域中A種數目為M，B種數目為N，每一次試驗都相互獨立．(1)已知，，證明：，；(2)該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數據（）的平均值和方差，然后部分數據丟失，僅剩方差的數據．（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．13．（2024·貴州貴陽·高三校聯考階段練習）某校為了慶祝建校100周年，舉行校園文化知識競賽.某班經過層層選拔，還有最后一個參賽名額要在甲?乙兩名學生中產生，該班設計了一個選拔方案：甲，乙兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題，而學生乙能正確回答每個問題的概率均為.甲?乙兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.(1)分別求甲?乙兩名學生恰好答對2個問題的概率；(2)設甲答對的題數為，乙答對的題數為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.05正態分布與標準正態分布14．（2024·全國·模擬預測）某市有20000名學生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復賽），并隨機抽取了100名學生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值和分位數．(2)若所有學生的初賽成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，初賽成績不低于89分的學生才能參加復賽，試估計能參加復賽的人數．(3)復賽設置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分．已知某學生已通過初賽，他在復賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復賽成績為，求的分布列及數學期望．附：若隨機變量服從正態分布，則，，．15．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計算得：.(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.記事件：在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差，求；②護林員在做數據統計時，得出了如下結論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下，求，并判斷護林員的結論是否正確，說明理由.參考公式：若，則.參考數據：.16．已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？06統計圖表及數字特征17．（2022?北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．（Ⅰ）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；（Ⅱ）設是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計的數學期望；（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）18．（2024·江西·高三校聯考階段練習）某學校即將迎來建校80周年，為了增進學生愛校、榮校意識，團委組織學生開展“迎校慶、知校史”的知識競賽活動，共有100名同學參賽.為了解競賽成績的分布情況，將100名同學的競賽成績按，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)用樣本估計總體，求圖中a的值及此次知識競賽成績的分位數；(2)現從競賽成績在的學生中以分層抽樣的方式抽取15人進行培訓，經過一輪培訓后再選取2人擔任主持人工作，求在至少1人來自分數段的條件下，另外1人來自分數段的概率.19．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫療物資生產企業加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產企業在加大生產的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該企業質檢人員從所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.

(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業所生產的口罩的質量指標值的平均數和中位數（中位數精確到0.01）；(3)現規定：質量指標值小于70的口罩為二等品，質量指標值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.20．（2024·全國·高三期末）武漢外國語學校預籌辦“六十周年校慶”慶典活動，需要對參與校慶活動的志愿者進行選拔性面試.現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；(2)估計這100名候選者面試成績的第70百分位數（結果精確到0.1）；(3)在第二，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取6人，然后再從這6人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.07線性回歸與非線性回歸分析21．（2024·吉林·東北師大附中校考模擬預測）2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權.在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔當展現，也是根據我國經濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運動人數累計達到3.46億，實現了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經濟，以冰雪運動為主要內容的冰雪旅游近年來發展迅速，2016至2022六個冰雪季的旅游人次y（單位億）的數據如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關系數（精確到0.01），并回答y與t的線性相關關系的強弱；(2)因受疫情影響，現將2019—2020年度的異常數據剔除，用剩下的5個年度數據（年度代號不變），求y關于t的線性回歸方程（系數精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計值.附注：參考數據：，，，，.參考公式：相關系數，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，22．（2024·全國·高三專題練習）數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數字均含1～9，且不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．參考數據：17500.370.55參考公式：對于一組數據，其經驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.(1)賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓練天數x(天)有關，經統計得到如下數據：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現用作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程；(，用分數表示)(2)小明和小紅玩“對戰賽”，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結束，求隨機變量X的分布列及均值．23．（2024·全國·模擬預測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產生了很大的影響，當然也影響著我們的旅游習慣，鄉村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉村抓住機遇，依托良好的生態環境、厚重的民族文化，開展鄉村旅游．通過文旅度假項目考察，該村推出了多款套票文旅產品，得到消費者的積極回應．該村推出了六條鄉村旅游經典線路，對應六款不同價位的旅游套票，相應的價格x與購買人數y的數據如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號ABCDEF價格x/元394958677786經數據分析、描點繪圖，發現價格x與購買人數y近似滿足關系式，即，對上述數據進行初步處理，其中，，，2，…，6．附：①可能用到的數據：，，，．②對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為，．(1)根據所給數據，求關于x的回歸方程．(2)按照相關部門的指標測定，當套票價格時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為“熱門套票”．現有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望．08獨立性檢驗24．（2024·湖北武漢·高三統考期末）數學運算是數學學科的核心素養之一，具備較好的數學運算素養一般體現為在運算中算法合理、計算準確、過程規范、細節到位，為了診斷學情、培養習慣、發展素養，某老師計劃調研準確率與運算速度之間是否有關，他記錄了一段時間的相關數據如下表：項目速度快速度慢合計準確率高102232準確率低111728合計213960(1)依據的獨立性檢驗，能否認為數學考試中準確率與運算速度相關？(2)為鼓勵學生全面發展，現隨機將準確率高且速度快的10名同學分成人數分別為3，3，4的三個小組進行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828其中.25．（2024·陜西榆林·校考模擬預測）由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在工業社會以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業社會以來，地球物種滅絕的速度已經超出自然滅絕率的倍.所以保護動物刻不容緩，全世界都在號召保護動物，動物保護的核心內容是禁止虐待、殘害任何動物，禁止獵殺和捕食野生動物，某動物保護機構為了調查研究人們“保護動物意識的強弱與性別是否有關聯”，從某市市民中隨機抽取名進行調查，得到統計數據如下表：保護動物意識強保護動物意識弱合計男性女性合計(1)根據以上數據，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為人們保護動物意識的強弱與性別有關聯？(2)將頻率視為概率，現從該市女性的市民中用隨機抽樣的方法每次抽取人，共抽取次.記被抽取的人中“保護動物意識強”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.附：26．（2024·全國·高三專題練習）為加快推動旅游業復蘇，進一步增強居民旅游消費意愿，山東省人民政府規定自2023年1月21日起至3月31日在全省實施景區門票減免．據統計，活動開展以來游客至少去過兩個及以上景區的人數占比為90%．某市旅游局從游客中隨機抽取100人（其中年齡在50周歲及以下的有60人）了解他們對全省實施景區門票減免活動的滿意度，并按年齡（50周歲及以下和50周歲以上）分類統計得到如下不完整的2×2列聯表：不滿意滿意總計50周歲及以下5550周歲以上15總計100(1)根據統計數據完成以上2×2列聯表，根據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對全省實施景區門票減免活動是否滿意與年齡有關聯（結果精確到0.01）？(2)現從本市游客中隨機抽取3人了解他們的出游情況，設其中至少去過兩個及以上景區的人數為X，若以本次活動中至少去過兩個及以上景區的人數的頻率為概率，求X的分布列和數學期望．參考公式及數據：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82809與體育比賽規則有關的概率問題27．（2024·吉林·通化市第一中學校校聯考模擬預測）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領的阿根廷隊與姆巴佩率領的法國隊之間展開，法國隊在上半場落后兩球的情況下，下半場連進兩球，2比2戰平進入加時賽，加時賽兩隊各進一球（比分3∶3）再次戰平，在隨后的點球大戰中，阿根廷隊發揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．(1)法國隊與阿根廷隊實力相當，在比賽前很難預測誰勝誰負．賽前有3人對比賽最終結果進行了預測，假設每人預測正確的概率均為，求預測正確的人數X的分布列和期望；(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓練也是平常訓練的重要項目，梅西和其他4名隊友在某次傳接球的訓練中，假設球從梅西腳下開始，等可能地隨機傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．28．（2024·江蘇·高三統考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽于當地時間12月18日進行，最終阿根廷通過點球大戰總比分戰勝法國，奪得冠軍.根據比賽規則：淘汰賽階段常規比賽時間為90分鐘，若在90分鐘結束時進球數持平，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰”的方式決定勝負.“點球大戰”的規則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進球數已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數，則不需要再踢（例如：第4輪結束時，雙方“點球大戰”的進球數比為，則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點球大戰"中雙方進球數持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進球或均不進球，則繼續下一輪，直到出現一方進球另一方不進球的情況，進球方勝出.(1)假設踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門均在門內，在一次“點球大戰"中，求門將在前4次撲出點球的個數的分布列期望；(2)現有甲?乙兩隊在決賽中相遇，常規賽和加時賽后雙方戰平，需要通過“點球大戰”來決定冠軍.設甲隊每名隊員射進點球的概率均為，乙隊每名隊員射進點球的概率均為，假設每輪點球中進球與否互不影響，各輪結果也互不影響.（i）若甲隊先踢點球，求在第3輪結束時，甲隊踢進了3個球并獲得冠軍的概率；（ii）求“點球大戰”在第7輪結束，且乙隊以獲得冠軍的概率.29．（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）全民健身創精彩，健康成長蟩未來.為此某校每年定期開展體育藝術節活動，活動期間舉辦乒乓球比賽.假設甲乙兩人進行一場比賽，在每一局比賽中，都不會出現平局，甲獲勝的概率為（）.(1)若比賽采用五局三勝制，且，則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；(2)若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且，試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大？并說明理由.10決策型問題30．（2021?新高考Ⅰ）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．31．（2024·全國·模擬預測）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液檢驗呈陽性，不患病的呈陰性.(1)若隨機逐個進行抽檢，直至能確定所有患病白鼠為止，求抽檢次數的期望；(2)若隨機地將白鼠平均分成A，B兩組，首先對A組2只白鼠的血液進行一次混檢，若呈陰性，則可確定B組2只白鼠患病；若呈陽性，再對B組2只白鼠的血液進行一次混檢.若B組混檢呈陰性，則可確定A組2只白鼠患病；若B組混檢也呈陽性，則只需在A，B兩組中各隨機檢驗1只白鼠的血液，便可分辨出所有患病白鼠.求檢驗總次數的期望，并比較上述兩種檢測方案哪個更便捷.32．（2024·云南·高三校聯考階段練習）新冠疫情暴發以來，各級人民政府采取有效防控措施，時常采用10人一組做核酸檢測（俗稱混檢），某地在核酸檢測中發現某一組中有1人核酸檢測呈陽性，為了能找出這1例陽性感染者，且確認感染何種病毒，需要通過做血清檢測，血清檢測結果呈陽性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染.擬采用兩種方案檢測：方案甲：將這10人逐個做血清檢測，直到能確定感染人員為止.方案乙：將這10人的血清隨機等分成兩組，隨機將其中一組的血清混在一起檢測，若結果為陽性，則表示感染人員在該組中，然后再對該組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止；若結果呈陰性，則對另一組中每份血清逐個檢測，直到能確定感染人員為止.把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測的次數記為X.(1)求X的數學期望；(2)如果每次檢測的費用相同，以檢測費用的期望作為決策依據，應選擇方案甲與方案乙哪一種？33．（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學校考階段練習）某學校擬開展了一次趣味運動比賽，比賽由若干個傳統項目和新增項目組成，每位運動員共需參加3個運動項目.對于每一個傳統項目，若沒有完成，得0分；若完成了，得30分.對于新增項目，若沒有完成，得0分；若只完成了1個，得40分，若完成了2個，得90分.最后得分越多者，獲得的獎金越多.現有兩種參賽方案供運動員選擇：【方案一】只參加3個傳統項目；【方案二】參加1個傳統項目和2個新增項目；假設運動員能完成每個傳統項目的概率均為，能完成每個新增項目的概率均為，且運動員參加的每個項目是否能完成相互獨立.(1)若運動員選擇方案一，設最后得分為X，求X的分布與期望；(2)若以最后得分的數學期望為依據，運動員應選擇哪個參賽方案?說明你的理由.11遞推型概率命題34．（2024·貴州貴陽·高三統考期末）有個編號分別為的盒子，第1個盒子中有2個紅球和1個白球，其余盒子中均為1個紅球和1個白球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，現從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，，依次進行．(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率；(2)求從第個盒子中取到紅球的概率；(3)設第個盒子中紅球的個數為，的期望值為，求證：．35．（2024·全國·模擬預測）某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內正確回答出下句得0分．(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數學期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環節的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．①求P2，P3；②證明：數列為等比數列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．36．（2024·山東德州·高三統考期末）某市號召市民盡量減少開車出行，以綠色低碳的出行方式支持節能減排．原來天天開車上班的王先生積極響應政府號召，準備每天在騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種方式出行．從即日起出行方式選擇規則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．(1)設表示事件“在第天，王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率．①求；②用表示；(2)依據值，闡述說明王先生的這種隨機選擇出行方式是否積極響應市政府的號召．37．（2024·全國·模擬預測）網球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網球運動員提高自己的耐力．耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式．某網球俱樂部的運動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練．由訓練計劃知，在封閉集訓期間，若運動員第天進行有氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為；若運動員第天進行無氧訓練，則第天進行有氧訓練的概率為，第天進行無氧訓練的概率為．若運動員封閉集訓的第1天進行有氧訓練與無氧訓練的概率相等．(1)封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數為，求的分布列與數學期望；(2)封閉集訓期間，記某運動員第天進行有氧訓練的概率為，求．12條件概率、全概率公式、貝葉斯公式38．（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯考階段練習）2023年第31屆大學生夏季運動會在成都舉行，中國運動員在賽場上挑戰自我，突破極限，以拼搏的姿態，展競技之美，攀體育高峰．最終，中國代表團以103枚金牌?40枚銀牌?35枚銅牌，總計178放獎牌的成績，位列金牌榜和獎牌榜雙第一，引發了大學生積極進行體育鍛煉的熱情．已知甲?乙兩名大學生每天上午?下午都進行體育鍛煉，近50天選擇體育鍛煉項目情況統計如下：體育鍛煉目的情況（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天10天乙10天10天5天25天假設甲?乙上午?下午選擇鍛煉的項目相互獨立，用頻率估計概率．(1)已知甲上午選擇足球的條件下，下午仍選擇足球的概率為，請將表格內容補充完整；（寫出計算過程）(2)記為甲?乙在一天中選擇體育鍛煉項目的個數差，求的分布列和數學期望；(3)已知在這50天中上午室外溫度在20度以下的概率為，并且當上午的室外溫度低于20度時，甲去打羽毛球的概率為，若已知某天上午甲去打羽毛球，求這一天上午室外溫度在20度以下的概率．39．（2024·全國·高三專題練習）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發布的一款全新聊天機器人模型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術.在測試ChatGPT時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當出現語法錯誤時，ChatGPT的回答被采納的概率為50%.(1)在某次測試中輸入了8個問題，ChatGPT的回答有5個被采納.現從這8個問題中抽取3個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求的分布列和數學期望；(2)已知輸入的問題出現語法錯誤的概率為10%，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率.40．（2024·全國·模擬預測）盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現從盒子中一次摸一個球．不放回．(1)若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次．記摸出的紅球個數為．求隨機變量的分布列和數學期望．(2)若盒中有4個紅球和4個白球，盒中在2個紅球和2個白球．現甲、乙、丙三人依次從號盒中摸出一個球并放入號盒，然后丁從號盒中任取一球．已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．13高等背景下的概統問題41．（2024·江蘇南京·高三期末）設（X，Y）是一個二維離散型隨機變量，其所有可能取值為（ai，bj），其中i，j∈N*.記pij=P（X=ai，Y=bj）是隨機變量（X，Y）的聯合分布列.與一維的情形相似，二維分布列可以如下形式表示：（X，Y）b1b2…a1p11p12…a2p21p22……………現將3張卡片等可能地放入A，B兩盒，記A盒中的卡片數為X，B盒中的卡片數為Y，求（X，Y）的聯合分布列.42．（2024·江蘇常州·校考一模）設是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機變量的聯合分布列，與一維的情形相似，我們也習慣于把二維離散型隨機變量的聯合分布列寫成下表形式；現有個球等可能的放入編號為的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數為，落入第2號盒子中的球的個數為．(1)當時，求的聯合分布列，并寫成分布表的形式；(2)設且，求的值．（參考公式：若，則）43．（2024·江蘇南京·模擬預測）公元1651年，法國一位著名的統計學家德梅赫（Demere）向另一位著名的數學家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優秀的科學家都給出了正確的解答．該問題如下：設兩名運動員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止．獎金該怎么分才合理？這三位數學家給出的答案是：如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．(1)規定如果出現無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．若，，，，求．(2)記事件為“比賽繼續進行下去乙贏得全部獎金”，試求當，，時比賽繼續進行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由．規定：若隨機事件發生的概率小于0.06，則稱該隨機事件為小概率事件．參考答案01求概率及隨機變量的分布列與期望1．（2022?甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學校的總得分，求的分布列與期望．【解析】（1）甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學校每場比賽獲勝的概率如下表：第一場比賽第二場比賽第三場比賽甲學校獲勝概率0.50.40.8乙學校獲勝概率0.50.60.2甲學校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，①甲學校3場全勝，概率為：，②甲學校3場獲勝2場敗1場，概率為：，所以甲學校獲得冠軍的概率為：；（2）乙學校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：，，，，則的分布列為：01020300.160.440.340.06的期望．2．（2024·河南·統考模擬預測）盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．(1)求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率；(2)記取出的3個小球上的最小數字為，求的分布列及數學期望．【解析】（1）記“取出的個小球上的數字兩兩不同”為事件，先確定個不同數字的小球，有種方法，然后每種小球各取個，有種取法，所以.（2）由題意可知，的可取值為，當時，分為兩種情況：只有一個數字為的小球、有兩個數字為的小球，所以；當時，分為兩種情況：只有一個數字為的小球、有兩個數字為的小球，所以；當時，分為兩種情況：只有一個數字為的小球、有兩個數字為的小球，所以，所以的分布列為：所以.3．（2024·全國·模擬預測）某科研所計劃招聘兩名科研人員，共有4人報名應聘．科研所組織了專業能力、創新意識和寫作水平三場測試，每場測試滿分100分，每名選手在三場測試中的得分分別按和計入總分，按總分排序，若總分相同，則依次按專業能力、創新意識和寫作水平的得分從高到低排序，前兩名錄取．下表是4名應聘者的三場測試成績：項目選手1選手2選手3選手4專業能力/分85808284創新意識/分80808582寫作水平/分86858688(1)該科研所應招聘哪兩名選手？并說明你的理由．(2)該科研所要求新招聘的兩名科研人員上崗前參加線上培訓．已知專業能力、創新意識和寫作水平各有兩個線上報告，培訓者需從每個項目的兩個報告中選擇一個學習，記新招聘的兩名科研人員參加學習的相同報告的數目為，求的概率分布列和數學期望．【解析】（1）4名選手的總分，結果如下：選手1得分（分），選手2得分（分），選手3得分（分），選手4得分（分）．因為，且選手1的專業能力測試成績高于選手3，所以應錄取選手4和1．（2）的可能取值為0，1，2，3，其中，，，．所以的概率分布列為：0123所以．4．（2024·全國·模擬預測）班會課上，甲、乙兩位同學參加了“心有靈犀”活動：從5個成語中隨機抽取3個，甲同學負責比劃，乙同學負責猜成語．甲會比劃其中3個，甲會比劃的成語，乙猜對的概率為，甲不會比劃的成語，乙無法猜對．(1)求甲乙配合猜對2個成語的概率；(2)設甲乙配合猜對成語個數為X，求X的分布列和數學期望．【解析】（1）甲乙配合猜對2個成語，則需要抽中2個或3個甲會比劃的成語，記事件A為甲乙配合猜對2個成語，可得，所以甲乙配合猜對2個成語的概率為．（2）由題意，隨機變量可能的取值為，可得，，，．所以的分布列為0123數學期望．02超幾何分布與二項分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）某興趣小組利用所學統計與概率知識解決實際問題．(1)現有甲池塘，已知小池塘里有10條鯉魚，其中紅鯉魚有4條．若興趣小組捉取3次，每次從甲池塘中有放回地捉取一條魚記錄相關數據．用X表示其中捉取到紅鯉魚的條數，請寫出X的分布列，并求出X的數學期望．(2)現有乙池塘，已知池塘中有形狀大小相同的紅鯉魚與黑鯉魚共10條，其中紅鯉魚有條，身為興趣小組隊長的駱同學每次從池塘中捉了1條魚，做好記錄后放回池塘，設事件A為“從池塘中捉取魚3次，其中恰有2次捉到紅鯉魚”．當時，事件A發生的概率最大，求的值．【解析】（1）由題可得：，，，，可得：每次捉到紅鯉魚的概率為．易知，；；；．分布列如表所示：X0123所以．（2）每次捉魚，捉到紅鯉魚的概率為，則捉到黑鯉魚的概率為．所以，其中且，令，則，解得或，故在上，為增函數，在上，為減函數，所以．又因為且，而當時，，當時，，所以，所以，綜上所述：事件A發生的概率最大時.6．（2024·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）某校高一年級舉行數學史知識競賽，每個同學從10道題中一次性抽出4道作答.小張有7道題能答對，3道不能答對；小王每道答對的概率均為，且每道題答對與否互不影響.(1)分別求小張，小王答對題目數的分布列；(2)若預測小張答對題目數多于小王答對題目數，求的取值范圍.【解析】（1）設小張答對的題目數為，可知隨機變量服從超幾何分布，的取值分別為1，2，3，4.有，，，，故小張答對的題目數的分布列為X1234P設小王答對的題目數為，可知隨機變量服從二項分布，的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，.故小王答對的題目數的分布列為Y01234P（2）由（1）可知，而，所以，若預測小張答對的題目數多于小王答對的題目數，則，即，可得.7．（2024·廣東肇慶·統考一模）在數字通信中，信號是由數字“0”和“1”組成的序列.現連續發射信號次，每次發射信號“0”和“1”是等可能的.記發射信號1的次數為.(1)當時，求(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變最，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有.根據該不等式可以對事件“”的概率作出下限估計.為了至少有的把握使發射信號“1”的頻率在0.4與0.6之間，試估計信號發射次數的最小值.【解析】（1）由已知，所以；（2）由已知，所以，若，則，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使發射信號“1”的頻率在與之間，則，解得，所以估計信號發射次數的最小值為1250；綜上，，估計信號發射次數的最小值為1250.03概率與其它知識的交匯問題8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知三棱錐的三條側棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側面積的最大值；(2)若在底面上，有一個小球由頂點處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為.若小球滾動3次，記球滾到頂點處的次數為，求數學期望的值.【解析】（1）因為三條側棱，，兩兩垂直，且，，，且三棱錐的外接球半徑，則以、、為長、寬、高的長方體的體對角線為外接球的直徑，即，所以，當且僅當時取等號，所以三棱錐的側面積，當且僅當時取等號，即三棱錐的側面積的最大值為.（2）依題意的可能取值為、、，則，，，所以.9．（2024·全國·高三階段練習）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點出發沿棱爬行，記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側棱爬行的概率為．(1)若螞蟻爬行次，求螞蟻在下底面頂點的概率；(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點出現的次數為，求的分布列與數學期望．【解析】（1）記螞蟻爬行次在底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底面，結合題意易得，，是等比數列，首項為，公比為，（2）結合題意易得：，當時，螞蟻第3次、第5次都在處，當時，螞蟻第3次在處或第5次在處，設螞蟻第3次在處的概率為，設螞蟻第5次在處的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，設螞蟻不過點且第3次在的概率為，由對稱性知，，，又，得，，，的分布列為：012的數學期望.10．（2024·安徽·蚌埠二中校聯考模擬預測）某從事智能教育技術研發的科技公司開發了一個“AI作業”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試．經過一個階段的試用，為了解“AI作業”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們“向量數量積”知識點掌握情況進行調查，樣本調查結果如下表：甲校乙校使用AI作業不使用AI作業使用AI作業不使用AI作業基本掌握32285030沒有掌握8141226用樣本頻率估計概率，并假設每位學生是否掌據“向量數量積”知識點相互獨立．(1)從兩校高一學生中隨機抽取1人，估計該學生對“向量數量積”知識點基本掌握的概率；(2)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，以表示這2人中使用AI作業的人數，求的分布列和數學期望；(3)從甲校高一學生中抽取一名使用“Al作業”的學生和一名不使用“AI作業”的學生，用“”表示該使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“”表示該使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”，用“”表示該不使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“”表示該不使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”．直接寫出方差DX和DY的大小關系．（結論不要求證明）【解析】（1）在兩所學校被調查的200名學生中，對“向量數量積”知識點基本掌握的學生有140人，所以估計從兩校高一學生中隨機抽取1人．該學生對“向量數量積”知識點基本掌握的概率為（2）依題意，，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故（3）由題意，易知服從二項分布，，服從二項分布，，故.04期望與方差的實際應用11．（2024·北京西城·高三統考期末）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學生和大學生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學生和80名大學生，統計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學生80604020大學生30202010假設大學生和中學生對跑步軟件的喜愛互不影響.(1)從該地區的中學生和大學生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數，求的分布列和數學期望；(3)記樣本中的中學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關系.（結論不要求證明）【解析】（1）從該地區的中學生和大學生中各隨機抽取1人，這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.（2）因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.（3），證明如下：，，所以.，，所以.數據：，，，，，，，，對應的平均數為所以所以.12．（2024·廣東東莞·高三統考期末）某區域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調查該區域中這兩個亞種的數目比例（A種數目比B種數目少），某生物研究小組設計了如下實驗方案：①在該區域中有放回的捕捉50個物種C，統計其中A種數目，以此作為一次試驗的結果；②重復進行這個試驗n次（其中），記第i次試驗中的A種數目為隨機變量（）；③記隨機變量，利用的期望和方差進行估算．設該區域中A種數目為M，B種數目為N，每一次試驗都相互獨立．(1)已知，，證明：，；(2)該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（），并計算了數據（）的平均值和方差，然后部分數據丟失，僅剩方差的數據．（ⅰ）請用和分別代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值．【解析】（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，則，，，，所以，.（2）（ⅰ）由（1）可知，則的均值，的方差，所以，解得或，由題意可知：，則，所以，；（ⅱ）由（ⅰ）可知：，則，則，由題意可知：，解得，且，則，所以的分布列中概率值最大的隨機事件對應的隨機變量的取值為15.13．（2024·貴州貴陽·高三校聯考階段練習）某校為了慶祝建校100周年，舉行校園文化知識競賽.某班經過層層選拔，還有最后一個參賽名額要在甲?乙兩名學生中產生，該班設計了一個選拔方案：甲，乙兩名學生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題，而學生乙能正確回答每個問題的概率均為.甲?乙兩名學生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.(1)分別求甲?乙兩名學生恰好答對2個問題的概率；(2)設甲答對的題數為，乙答對的題數為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.【解析】（1）由題意，知甲恰好答對2個問題的概率為，乙恰好答對2個問題的概率為.（2）的可能取值為1，2，3，則；；.所以，.易知~，所以，.因為且，甲的平均水平更好，也比乙更穩定.所以選擇學生甲.05正態分布與標準正態分布14．（2024·全國·模擬預測）某市有20000名學生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復賽），并隨機抽取了100名學生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值和分位數．(2)若所有學生的初賽成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，，初賽成績不低于89分的學生才能參加復賽，試估計能參加復賽的人數．(3)復賽設置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分．已知某學生已通過初賽，他在復賽中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復賽成績為，求的分布列及數學期望．附：若隨機變量服從正態分布，則，，．【解析】（1）樣本平均數．因為前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，設分位數為，則，解得．（2）因為學生的初賽成績近似服從正態分布，其中，，所以，所以，所以估計能參加復賽的人數為．（3）所有可能的取值為0，30，40，60，70，100，，，，，，，所以的分布列為030406070100，所以的數學期望為55．15．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計算得：.(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.記事件：在森林公園內再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態分布的均值與方差，求；②護林員在做數據統計時，得出了如下結論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態分布.在這個條件下，求，并判斷護林員的結論是否正確，說明理由.參考公式：若，則.參考數據：.【解析】（1）樣本均值，樣本方差.（2）①由題意可得，樹干直徑（單位：近似服從正態分布.在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區間的概率是，所以.②若樹干直徑近似服從正態分布，在森林公園內再隨機選一棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區間的概率是，則.此時事件發生的概率遠小于①中根據測量結果得出的概率估計值.事件是一個小概率事件，但是第一次隨機選取的12棵生長了4年的紅松樹，事件發生了，所以認為護林員給出的結論是錯誤的.16．已知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.1．（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數記為，求的期望和方差；（2）18世紀30年代，數學家棣莫弗發現，當比較大時，二項分布可視為正態分布．此外，如果隨機變量，令，則．當時，對于任意實數，記．已知下表為標準正態分布表（節選），該表用于查詢標準正態分布對應的概率值．例如當時，由于，則先在表的最左列找到數字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數字0.5636便是的值．0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？【解析】（1）由題意可得，隨機變量X服從二項分布，則，，（2）①由于（1）中二項分布的n值增大，故可以認為隨機變量X服從二項分布，由（1）可得，，可得，則，則，由標準正態分布性質可得，，故，故，在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率為；②查表可得，，則，即，又，故座位數至少要1016個，，故閱覽室座位至少需要添加22個．06統計圖表及數字特征17．（2022?北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．（Ⅰ）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；（Ⅱ）設是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計的數學期望；（Ⅲ）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成績中有4次獲得優秀獎，用頻率估計概率，則甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率．（Ⅱ）用頻率估計概率，則乙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率為，丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，．（Ⅲ）由題中數據可知，乙與丙獲得優秀獎的概率較大，均為，且丙投出過三人成績中的最大值，在三人中有一定優勢，故如果發揮較好的話丙獲得的概率估計值最大．18．（2024·江西·高三校聯考階段練習）某學校即將迎來建校80周年，為了增進學生愛校、榮校意識，團委組織學生開展“迎校慶、知校史”的知識競賽活動，共有100名同學參賽.為了解競賽成績的分布情況，將100名同學的競賽成績按，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)用樣本估計總體，求圖中a的值及此次知識競賽成績的分位數；(2)現從競賽成績在的學生中以分層抽樣的方式抽取15人進行培訓，經過一輪培訓后再選取2人擔任主持人工作，求在至少1人來自分數段的條件下，另外1人來自分數段的概率.【解析】（1）由圖可知，，解得，又，，所以此次知識競賽成績的分位數位于區間，設為x，則，解得，所以此次知識競賽成績的分位數為.（2）從競賽成績在的學生中以分層抽樣的方式抽取15人，其中競賽成績在分數段，，的人數分別為，，，則至少有1人來自分數段的情況共有種，選取2人中1人來自分數段，另外1人來自分數段的情況有種，故在至少1人來自分數段的條件下，另外1人來自分數段的概率為.19．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫療物資生產企業加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產企業在加大生產的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該企業質檢人員從所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：，，，…，，得到如下頻率分布直方圖.

(1)求出直方圖中m的值；(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業所生產的口罩的質量指標值的平均數和中位數（中位數精確到0.01）；(3)現規定：質量指標值小于70的口罩為二等品，質量指標值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【解析】（1）由，得.（2）平均數為.設中位數為，質量指標值位于之間的頻率為0.4，位于之間的頻率為0.7，所以，，且，解得.故可以估計該企業所生產口罩的質量指標值的平均數為71，中位數為73.33.（3）由頻率分布直方圖可知，質量指標小于70的頻率為0.4，大于70的頻率為0.6，所以100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個.又抽樣比為，由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品有個、二等品有個.記這3個一等品為，2個二等品為，則從5個口罩中抽取2個，所以可能的樣本點的有：，，，，，，，，，，共10個等可能的樣本點，其中恰有1個口罩為一等品包含的樣本點有：，，，，，，共6種.根據古典概型可知，這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率為.20．（2024·全國·高三期末）武漢外國語學校預籌辦“六十周年校慶”慶典活動，需要對參與校慶活動的志愿者進行選拔性面試.現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a，b的值；(2)估計這100名候選者面試成績的第70百分位數（結果精確到0.1）；(3)在第二，第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取6人，然后再從這6人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自同一組的概率.【解析】（1）因為第三、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，解得.（2）因為前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為，所以第70百分位數在第三組，且為；（3）第二、第五兩組志愿者分別有人，人，故按分層抽樣抽得第二組人數5人，分別設為，第五組抽得1人，設為，這6人中選出2人，所有的情況有，共有15種情況，其中選出的兩人來自同一組有10種情況，故選出的兩人來自同一組的概率.07線性回歸與非線性回歸分析21．（2024·吉林·東北師大附中校考模擬預測）2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權.在申冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔當展現，也是根據我國經濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的戰略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運動人數累計達到3.46億，實現了“帶動三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產，可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經濟，以冰雪運動為主要內容的冰雪旅游近年來發展迅速，2016至2022六個冰雪季的旅游人次y（單位億）的數據如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代號t123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y與t的相關系數（精確到0.01），并回答y與t的線性相關關系的強弱；(2)因受疫情影響，現將2019—2020年度的異常數據剔除，用剩下的5個年度數據（年度代號不變），求y關于t的線性回歸方程（系數精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計值.附注：參考數據：，，，，.參考公式：相關系數，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，【解析】（1）由參考數據計算得所以，因為，所以線性相關性不強.（2）五組數據的均值分別為，，關于的線性回歸方程為令，則，因此，在沒有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計值為億.22．（2024·全國·高三專題練習）數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內的數字均含1～9，且不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．參考數據：17500.370.55參考公式：對于一組數據，其經驗回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.(1)賽前小明進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓練天數x(天)有關，經統計得到如下數據：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現用作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程；(，用分數表示)(2)小明和小紅玩“對戰賽”，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結束，求隨機變量X的分布列及均值．【解析】（1）解:因為，所以.因為，所以，所以，所以，所以所求回歸方程為.（2）隨機變量X的所有可能取值為3，4，5，，，.所以隨機變量X的分布列為X345P.23．（2024·全國·模擬預測）近三年的新冠肺炎疫情對我們的生活產生了很大的影響，當然也影響著我們的旅游習慣，鄉村游、近郊游、周邊游熱鬧了許多，甚至出現“微度假”的概念．在國家有條不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某鄉村抓住機遇，依托良好的生態環境、厚重的民族文化，開展鄉村旅游．通過文旅度假項目考察，該村推出了多款套票文旅產品，得到消費者的積極回應．該村推出了六條鄉村旅游經典線路，對應六款不同價位的旅游套票，相應的價格x與購買人數y的數據如下表．旅游線路奇山秀水游古村落游慢生活游親子游采摘游舌尖之旅套票型號ABCDEF價格x/元394958677786經數據分析、描點繪圖，發現價格x與購買人數y近似滿足關系式，即，對上述數據進行初步處理，其中，，，2，…，6．附：①可能用到的數據：，，，．②對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為，．(1)根據所給數據，求關于x的回歸方程．(2)按照相關部門的指標測定，當套票價格時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為“熱門套票”．現有三位游客，每人從以上六款套票中購買一款旅游，購買任意一款的可能性相等．若三人買的套票各不相同，記三人中購買“熱門套票”的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望．【解析】（1）散點集中在一條直線附近，設回歸直線方程為，，，則，，所以回歸直線方程為．因為，，所以，則，，所以．綜上，y關于x的回歸方程為．（2）由題意知B，C，D，E為“熱門套票”，則三人中購買“熱門套票”的人數X服從超幾何分布，X的可能取值為1，2，3，且，，．X的分布列如下．X123P．08獨立性檢驗24．（2024·湖北武漢·高三統考期末）數學運算是數學學科的核心素養之一，具備較好的數學運算素養一般體現為在運算中算法合理、計算準確、過程規范、細節到位，為了診斷學情、培養習慣、發展素養，某老師計劃調研準確率與運算速度之間是否有關，他記錄了一段時間的相關數據如下表：項目速度快速度慢合計準確率高102232準確率低111728合計213960(1)依據的獨立性檢驗，能否認為數學考試中準確率與運算速度相關？(2)為鼓勵學生全面發展，現隨機將準確率高且速度快的10名同學分成人數分別為3，3，4的三個小組進行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828其中.【解析】（1）零假設數學考試中準確率與運算速度無關，，依據的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即數學考試中準確率與運算速度無關（2）記“甲在3人一組”為事件，則需從除甲以外的9人中任選2人與甲形成一組，再從剩下7人中任選3人形成一組，最后4人形成一組，所以，記“甲在3人一組，且乙在4人一組”為事件，則需從除甲、乙以外的8人中任選2人與甲形成一組，再從剩下6人中任選3人與乙形成一組，最后3人形成一組，所以，由條件概率公式，則，即甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率為25．（2024·陜西榆林·校考模擬預測）由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長.在