PAGE1-第2講集合、復數及常用邏輯用語一、選擇題1．命題“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為()A．若x≠1，則x≠1或x≠－1B．若x＝1，則x＝1或x＝－1C．若x≠1，則x≠1且x≠－1D．若x＝1，則x＝1且x＝－1解析：選C.命題：“若x2＝1，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2≠1”，即“若x≠1，則x≠1且x≠－1”．2．(2024·蓉城名校第一次聯考)設復數z＝x＋yi(x，y∈R)滿意z＝3＋2i2＋i5，則eq\f(y＋2,x＋1)的值為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(1,3)解析：選A.z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi?x＝1，y＝1，所以eq\f(y＋2,x＋1)＝eq\f(3,2).故選A.3．(一題多解)(2024·唐山市摸底考試)設z＝eq\f(i（1－2i）,2－i)，則|z|＝()A.eq\r(5) B．2C.eq\f(\r(41),5) D．1解析：選D.通解：因為z＝eq\f(i（1－2i）,2－i)＝eq\f(2＋i,2－i)＝eq\f(（2＋i）2,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝1，故選D.優解：|z|＝|eq\f(i（1－2i）,2－i)|＝eq\f(|i（1－2i）|,|2－i|)＝eq\f(|i||1－2i|,\r(5))＝eq\f(\r(5),\r(5))＝1，故選D.4．(2024·鄭州市其次次質量預料)已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(?UB)＝()A．(－1，0) B．[0，1)C．(0，1) D．(－1，0]解析：選D.A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以?UB＝{y|y≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故選D.5．(2024·重慶市學業質量調研)已知p：(2－x)(x＋1)>0；q：0≤x≤1，則p成立是q成立的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.若p成立，則x滿意－1<x<2，則p成立是q成立的必要不充分條件，故選A.6．已知復數z1，z2在復平面內對應的點分別為(1，－1)，(3，1)，則eq\f(z2,z1)等于()A．1－2i B．1＋2iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D.eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i解析：選B.因為z1＝1－i，z2＝3＋i，所以eq\f(z2,z1)＝eq\f(3＋i,1－i)＝1＋2i.7．設i為虛數單位，若復數z＝eq\f(a,1－2i)＋|i|(a∈R)的實部與虛部互為相反數，則a＝()A．－5 B．－eq\f(5,3)C．－1 D．－eq\f(1,3)解析：選B.z＝eq\f(a,1－2i)＋|i|＝eq\f(a（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＋1＝eq\f(a,5)＋1＋eq\f(2a,5)i，因為eq\f(a,5)＋1＝－eq\f(2a,5)，所以a＝－eq\f(5,3).8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]解析：選C.因為集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故選C.9．已知i為虛數單位，若復數z滿意(1＋i)z＝2－i，則z在復平面內的對應點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A.z＝eq\f(2－i,1＋i)＝eq\f(（2－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，則z＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，即z在復平面內的對應點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，位于第一象限．10．已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，則a的取值范圍是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]解析：選C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，則a≤－2，即a的取值范圍是(－∞，－2]，故選C.11．(2024·廣東省七校聯考)已知命題p：?x∈R，x－1≥lgx，命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2，則下列推斷正確的是()A．p∨q是假命題 B．p∧q是真命題C．p∨(綈q)是假命題 D．p∧(綈q)是真命題解析：選D.對于命題p，當x＝10時，x－1≥lgx成立，所以命題p是真命題；對于命題q，當x＝eq\f(π,2)時，sinx＋eq\f(1,sinx)>2不成立，所以命題q是假命題．依據復合命題真假的推斷，可知p∧(綈q)是真命題，故選D.12．下列命題是真命題的是()A．?x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要條件C．設{an}是公比為q的等比數列，則“q>1”是“{an}為遞增數列”的既不充分也不必要條件D．a⊥b的充要條件是a·b＝0解析：選C.當a1<0，q>1時，數列{an}遞減；當a1<0，數列{an}遞增時，0<q<1.A選項當x＝4時，x2與2x明顯相等．B選項由x2＋5x－6>0得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}?{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分條件，D選項，當a＝0或b＝0時，a·b＝0但不垂直．二、填空題13．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實數a的值為________．解析：因為B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，所以a＝1或a2＋3＝1，因為a∈R，所以a＝1.經檢驗，滿意題意．答案：114．若z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)，z1·z2為實數，則a等于________．解析：由z1＝3－2i，z2＝1＋ai(a∈R)，則z1·z2＝(3－2i)(1＋ai)＝3＋3ai－2i－2ai2＝(3＋2a)＋(3a－2)i.因為z1·z2為實數，所以3a－2＝0，解得a＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．命題p：“?x∈R，ax2－2ax＋3>0恒成立”，命題q：“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”，若p∨q為假命題，則實數a的取值范圍是________．解析：因為p∨q為假命題，所以命題p和q都是假命題，命題p是真命題的充要條件是a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－12a<0))?0≤a<3，所以其為假的充要條件是a<0或a≥3，命題q的否定是真命題，即對?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，所以－1≤a<0或a＝3.答案：－