目錄

第一章集合與函數概念............................................................5

1.1集合..........................................................................5

1.1.1集合的含義與表示........................................................5

知識要點......................................................................5

要點一.集合的含義：......................................................5

要點二.集合的表示：......................................................5

能力拓展......................................................................6

拓展一.元素與集合的關系（難點）........................................6

拓展二.集合中的元素具有互異性應用（難點）.............................8

試題分類......................................................................8

分類一.集合的含義.......................................................8

分類二.元素與集合的關系...............................................10

分類三.集合的表示......................................................14

集合的關系.......................................................................19

知識要點.....................................................................19

要點一：子集，真子集，集合相等.........................................19

要點二：空集............................................................20

要點三：利用Venn圖來表示集合之間的關系...............................20

能力拓展.....................................................................21

拓展一.子集，真子集個數問題..............................................21

拓展二?包含關系求參數范圍時要注意討論空集..............................22

拓展三.集合相等的計算與證明.............................................23

試題分類.....................................................................23

分類一：子集個數問題....................................................23

分類二.利用集合之間的關系以及性質求解參數的取值范圍...................25

集合的運算.......................................................................30

知識要點.....................................................................30

要點一:交集..............................................................30

要點二:并集..............................................................30

要點三:全集與補集.......................................................31

能力拓展.....................................................................32

拓展一:交、并、補的運算.................................................32

拓展二:含參數的交、并、補運算..........................................33

拓展三:交集、并集的運算性質.............................................33

拓展四:與Venn圖相關的問題.............................................33

拓展五:對結果進行檢驗...................................................34

拓展六:集合的新定義.....................................................34

試題分類.....................................................................35

1.2函數及其表示.................................................................38

函數的概念.......................................................................38

知識要點.....................................................................38

要點一:變量與函數的概念、函數的定義域和值域...........................38

要點二:同一函數（相等函數）.............................................39

要點三:函數的表示方法...................................................40

要點四:分段函數.........................................................42

能力拓展.....................................................................43

拓展一:求函數的定義域...................................................43

拓展二:求函數值.........................................................43

拓展三:求函數的值域.....................................................44

拓展四:映射與---映射...................................................44

試題分類.....................................................................46

分類一:函數解析式求解...................................................46

分類二：分段函數........................................................47

1.3函數的基本性質...............................................................48

函數的單調性.....................................................................48

知識要點.....................................................................48

要點一：函數單調性的定義...............................................48

要點二：函數單調區間...................................................49

能力拓展.....................................................................49

拓展一.函數單調性的證明與判定（重點）................................49

拓展二.常見函數的單調性（重點）.......................................50

拓展三.函數的單調區間（難點）.........................................51

拓展四.單調性為應用（重點、難點）....................................52

試題分類.....................................................................54

分類一.求函數的單調區間.................................................54

分類二.已知函數的單調性求參數的值或范圍................................55

分類三.函數的單調性與最值...............................................58

分類四.通過單調性解抽象函數不等式......................................59

函數的奇偶性.....................................................................63

知識要點.....................................................................63

要點一：奇偶性的定義....................................................63

要點二：奇函數和偶函數的性質...........................................63

能力拓展.....................................................................63

拓展一.利用定義判斷函數的奇偶性（常忽略函數的定義域以及分段函數判斷奇偶

性）.....................................................................63

拓展二.函數的奇偶性與未知數的討論問題..................................64

拓展三.利用函數的奇偶性解決不等式問題。................................64

試題分類.....................................................................65

分類一.判斷函數的奇偶性.................................................65

分類二.奇函數和偶函數的性質.............................................66

分類三.利用奇函數和偶函數的性質求解未知數或函數值或不等式............67

函數性質綜合.....................................................................69

知識要點.....................................................................69

要點一.奇偶性圖像特點...................................................69

要點二.對稱性與周期性..................................................70

能力拓展.....................................................................71

拓展一.單調性的表示形式...............................................71

拓展二.奇偶性與周期性對稱性的條件利用................................71

試題分類.....................................................................72

分類一：函數的定義域，值域，圖象的綜合問題............................72

分類二.函數的奇偶性，周期性，單調性的綜合問題........................74

第二章基本初等函數.............................................................77

2.1一次和二次函數..............................................................77

知識要點.....................................................................77

要點一.一次函數：.......................................................77

要點二.二次函數：.......................................................79

能力拓展.....................................................................82

—.二次不等式.....................................................82

二.最值的分類討論.................................................85

試題分類.....................................................................90

—.一次函數............................................................90

一.一次函數............................................................91

三、重點難點............................................................94

2.1指數函數....................................................................101

知識要點....................................................................101

要點一：指數與指數累的運算............................................101

要點二：指數函數的定義與圖像..........................................101

能力拓展....................................................................102

拓展一.根式或籍的化簡與求值............................................102

拓展二?利用指數函數的圖象和性質比較大小。.............................102

拓展三.與指數函數有關的單調性和奇偶性的綜合問題。....................102

分類習題....................................................................103

分類一.指數與指數哥的運算..............................................103

分類二.指數函數的性質及其圖象和性質...................................104

分類三.指數函數的綜合問題..............................................106

2.2對數函數....................................................................108

知識要點....................................................................108

要點一.對數函數的定義..................................................108

要點二.對數函數的運算..................................................109

能力拓展....................................................................110

拓展一：對數函數有關的函數圖像........................................110

拓展二:對數運算性質的運用..............................................111

拓展三:指數函數與對數函數的關系.......................................113

習題分類....................................................................114

分類一：對數的運算.....................................................114

分類二：對數的性質.....................................................115

題型3.對數的綜合應用.......................................................116

2.3塞函數.......................................................................118

知識要點....................................................................118

要點一.幕函數的定義....................................................118

要點二.暴函數的圖象與性質..............................................118

能力拓展....................................................................119

拓展一：轅函數為圖象及其性質..........................................119

拓展二：利用某函數的性質比較大小......................................120

試題分類....................................................................120

分類一：基函數的性質問題..............................................120

分類二.黑函數的圖象問題（比較大小求解未知數）........................122

第三章函數的應用..............................................................124

3.1函數與方程...................................................................124

知識要點....................................................................124

要點一：零點...........................................................124

要點二：二分法：.......................................................125

能力拓展....................................................................127

試題分類....................................................................129

3.2函數應用題...................................................................133

知識要點....................................................................133

要點一.高一常見函數模型：..............................................133

能力拓展....................................................................136

試題分類....................................................................139

第一章集合與函數概念

1.1集合

1.1.1集合的含義與表示

知識要點

要點一.集合的含義:

一般的，我們把研窕對象統稱為元素?，把一些元素組成的總體叫做集合.給定的集合，集合

的元素必須是確定的.

例1:判斷下列哪些是集合：

（1）中國的直轄市（2）班上全體長得帥的人（3）直線y=x+1上的所有點

解：（1）（3）是，（2）不是.

例2下列各組對象能構成集合的有（）

（1）某校2014級在校的所有高個子女同學

（2）入選2014年世界杯的所有國家

（3）所有的正三角形

（4）1,1,2三個數的全體

（5）與無理數乃無限接近的數的全體

（6）方程2/-3x-2=°的解的全體

（7）小于99且個位與十位上的數字之和是9的一些自然數

（8）不大于10的非負數

A.2個B.3個C.4個D.5個

答案：C2368對

要點二,集合的表示:

列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來

例3：用列舉法表示下列集合：

（I）小于7的所有自然數組成的集合；

（2）方程丁二1的所有實數根組成的集合;

解：

設小于7的所有自然數組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6）；

設方程一=%的所有實數根組成的集合為B,那么8={0,1}

描述法：用集合元素的共同特征表示集合；

例4:試用描述法表示下列集合：

（1）方程/-2=0的所有實數根組成的集合；

（2）大于10小于20的所有整數組成的集合；

（3）能被3整除且大于4小于15的自然數

（4）由/一9的一次因式組成的集合

（5）一次函數y=x-3和y=-2x+l的圖象的交點組成的集合

解：

設方程犬-2=0的實數根為工，并且滿足條件/一2二0,所以用描述法表示為：

2

{X|X-2=0）;

設大于10小于20的整數為了，它滿足條件X￡N/0VXV20,所以用描述法表示為:

{xeN[10<x<20}

{6,9,12}

{x-3,x+3}

能力拓展

拓展一.元素與集合的關系（難點）

例5.（海淀三新）設A表示集合{2,3,。2+2〃-3}石表示集合他+3,2}若已知

5（=4且5夕A,求實數〃的值.

解：.5EA1L5任8

々2+24-3=5,.,]。=-4或2,

即《

a+3=5,〔。工2,

一.a=-4

例6.（成才之路）已知xyz為非零實數，代數式「二-」二+三+」二的值所構成的集

|x||y||z||xyz|

合是A/,則下列判斷正確的是（）

A.OGMB.2GM

C.Yw"D.4GM

［答案］D

變式1.(成才之路)已知集合A="wR|ar2-3x+l=O,aeR］,若A中元素最多只有一

個，求〃的取值范圍.

［解析］當。=0時，原方程為一3#1=0,尸L符合題意；

3

當QHO時，方程如2—3什1=0為一元二次方程，

9

由題意得4=9-4〃<0,

4

9

即當時，方程有兩個相等的實數根或無實根，

4

9

綜上所述，〃的取值范圍為。=0或42—.

4

變式2.(成才之路)設S是由滿足卜.列條件的實數所構成的集合:①I￡S；②才a￡S,

則」一ES.請回答下列問題:

l-a

(I)若2wS,則S中必有另外兩個數，求出這兩個數;

(2)求證：若aeS,PMl-i-eS；

a

(3)在集合S中，元素能否只有一個？若能，把它求出來；若不能,請說明理由.

［解析］(l)?；2eS,201,——=-leS

1-2

v-1GS,-1*1,.*.——-——=—eS.

1-(-1)2

2

???集合S中的另外兩個數為-1和L

2

(2)

01Gle

,/ae----G5,/.----：—eS

\-a11

即一」=1-久S("0).

a

\-a

若a=0,則_L=lwS,不合題意.「.a=OwS

\-a

所以若awS,則4wS

1—4

（3）集合S中的元素不能只有一個.

證明如下：假設集合S中只有一個元素Q,

則根據題意，知〃二」一,即/一。+1=0

\-a

此方程無實數解，所以。工一!一.

1-67

因此集合S不能只有一個元素.

拓展二.集合中的元素具有互異性應用（難點）

例7.（成才之路）已知集合A中含有三個元素〃?-1,3陽,加2-1,若一1￡4，求實數優的

值.

1

m=-

3

例8.（海淀三新）由實數x,-x,|x|所組成的集合，其元素最多有個.

2

變式1.（海淀三新）已知集合5=｛?b,c｝中的三個元素是△ABC的三邊長，那么AABC

一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

D

變式2.（海淀三新）集合｛3,X,/一2"中，x應滿足的條件是.

XW—1,3,0

試題分類

分類一.集合的含義

基礎：

1.（精講精練）以下元素的全體不能構成集合的是（）

A.中國古代四大發明B.地球上的小河流

C.方程/一1二0的實數解D.周長為10cm的三角形

2.（精講精練）下列各組中的兩個集合M和P,表示同一集合的是（）

A.M={萬},P={3.1415}B.M={2,3},P={(2,3)}

C.A/={x|-1<x<l,x=?7},P={l}D.M={1,7$〃},P=-G|}

3.（海淀三新）下列各組對象

（1）近于0的數的全體；（2）比較小的正整數全體；

（3）平面上到點。的距離等于1的點的全體；（4）正三角形的全體；

（5）、匯的近似值的全體.

其中能構成集合的組數有！）

A.2組B.3組C.4組D.5組

4.（優化方案）下列各組對象中不能構成集合的是（）

A.水滸書業的全體員工

B.（優化方案）的所有書刊

C.2010年考入清華大學的全體學生

D.美國NBA的籃球明星

5.（優化方案）若集合M={mA,c},M中元素是△48C的三邊長，則△A/3C一定不是（）

A.銳角二角形D.直角二角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

能力提升

6.（成才之路）設“Z?eR,集合{1,a+b,a}=[0,-,/小則人。=（）

a

A.1B.-I

C.2D.-2

7.（優化方案）若以正實數x,y,z,M，四個元素構成集合A,以A中四個元素為邊長構成

的四邊形可能是（）

A.梯形B.平行四邊形

C.菱形D.矩形

8.（優化方案）下列集合中，不同于另外三個集合的是（）

A.{0}B.{ylr=（）|c.（x\x=0}D.{尸0}

9.（優化方案）下列各組集合，表示相等集合的是（）

（1）加={（3,2）},N=[（2,3）}；

（2）2={3,2},N={2,3}；

（3）M={（1,2）},N={1,2}.

A.（1）B.（2）C.（3）D.以上都不對

10.（優化方案）由實數工，-x,正，一寸了所組成的集合里面元素最多有個.

11.（優化方案）已知M={2,a,b},N={2〃,2,b2},且M=N,試求。與b的值.

12.設y=JC+ar+Z?,A={x|>,=%}=={(〃,〃)},

參考答案：

1?5BDADD

6-9CADB

10解析：4rgx|,而-G=-x,故集合里面元素最多有2個.

答案：2

11解：根據集合中元素的互異性，有

a=b2

b=2a

1

a=—

解得

再根據集合中元素的互異性,

12.解：由A={〃}得冗2+公+。=x的兩個根x^=x2=a,

即/+(。-l)x+/?=0的兩個根=x2=a,

??xx-\-x2=\—a=2a,得a=一,xix2=/?=—,

分類二.元素與集合的關系

基礎練習:

1.（精講精練）給出下列關系：（1）1e/?；（2）V2e2；（3）3EN*：（4）OsZ.其中

正確的個數是（）

A.lB.2C.3D.4

2.（成才之路）設xeN,且則x的值可能是（）

x

A.0B.1

C.-ID.（）或1

3.（成才之路）若集合A含有兩個元素0,1,貝U（）

A.IcAB.Oe>4

C.D.2GA

4.（成才之路）給出以下關系式：（1）石￡A；（2）2.5￡Q；（3）OG0；（4）—

其中正確的個數是（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

5.（海淀三新）卜.列命題中真命題的個數是（）

（1）Oe0；（2）0G{0}；（3）0e{0}；（4）0e{a}.

A.1B.2C.3D.4

能力提升：

6.（成才之路）集合4={田），=/+1},集5={（乂），）|），=/+1}",8|支￡R,），ER）.關

于元素與集合關系的判斷都正確的是（）

A.2GAJ12GB

B.（1,2）GA且（1,2）e3

C.2GA且（3/0）￡8

D.（3,10）eAh2eB

7.（優化方案）若所有形如〃+&伙OEQ、bwQ）的數組成集合M,對于X=—二產，

3-5V2

y=3+\/Lr,則有（）

A.xeM,yeMB.XGAf,

C.xeM,yeMD.x^M,y^M

8.設集合M={xeR\x<3>/3）,a=2瓜則（）

A.a色MB.aeM

C.{a}eA/D.{a\a=2}eM

9.（優化方案）對于集合4={2,4,6},若OEA貝監一"A,那么〃的取值是.

10.（成才之路）若二eA,且集合A中只含有一個元素。，則。的值為.

11.（海淀三新）若方程V+M〃=0（機，〃ER）的解集為{-2,—1},則

）7^-______,72=_______.

12.己知（1）逐tR：（2）1eQ；（3）0={0}；④0任N：（5）兀EQ；（6）-3GZ.

其中正確的個數為.

13.已知集合A含有兩個元素〃一3和2。一1,若一3EA,試求實數。的值.

14.（成才之路）已知集合A含有三個元素1,0,工，若則實數x

15.（成才之路）若所有形如3a+@（a￡Z.0￡Z）的數組成集合A,判斷-6+2應是不

是集合A中的元素.

16.（優化方案）集合A是由形如加十石〃（加wZ,〃￡Z）的數構成的，試判一!■尸是不是

2-V3

集合人中的元素？

17.（成才之路）某研究性學習小組共有8位同學，記他們的學號分別為123,…，8.現指

導老師決定派某些同學去市圖書館查詢有關數據，分派H勺原則為：若X號同學去，則8—1

號同學也去.請你根據老師的要求回答下列問題：

⑴若只有一個名額，請問應該派誰去？

⑵若有兩個名額，則有多少種分派方法？

參考答案：

1-5CBBAA

6-8CB

9.答案：2或4

10.答案：-1土正

由題意，得二"二〃

\+a

〃2+2a-l=0且。。-1,

/.a=-1±V2

11.答案：3,2

12.答案:3

解：(3)錯誤，。是元素，｛0｝是一個集合；(4)0wN；(5)乃任。,(1)(2)(6)正確.

13.答案：。的值為()或一1.

解：?.?-3wA,

-3=4一3或一3=2。一L

若一3二。-3,則〃=0,

此時集合A含有兩個元素一3,一1,符合題意.

若一3=2。-1,則0=-],

此時集合A含有兩個元素-4,一3,符合題意.

綜上所述，滿足題意的實數〃的值為()或T.

14.答案：一1

解：*/X2GA,：.X2=l,或f=0,或12=其

.\x=±\,ifcv=0.

當x=0,或x=l時，不滿足集合中元素的互異性，

/.x=-1.

15.解:是.理由如下：因為在3。+回。eZ,〃eZ中，令。=-2,〃=1即可得到-6+2近,

所以-6十2是不是集合A中的元素.

16.解：----j==2+y/3=2+5/3x1,而2,1eZ,

2-V3

2+V3GA.

即產GA.

2-V3

17.解:木題實質是考查集合中元素的特性，只有一個名額等價于戶8—x,有兩個名額則為

斕18-x

⑴分派去圖書館查數據的所有同學構成?個集合，記作則有

若只有一個名額，即M中只有一個元素，必須滿足E—x,故x=4,所以應該派學號為4

的同學去.

(2)若有兩個名額，即M中有且僅有兩個不同的元素X和8—耳，從而全部含有兩個元素的集

合M應含有1,7或2,6或3,5.也就是有兩個名額的分派方法有3種.

分類三,集合的表示

基礎練習：

1.(優化方案)下列命題正確的有()

(1)很小的實數可以構成集合；

⑵集合｛yly=/T｝與集合｛*.,))及=/一1｝是同一個集合；

(3)1,3,色,|-,|,0.5這些數組成的集合有5個元素；

242

⑷集合｛(x,y)l^<0,xyeR｝是指第二和第四象限內的點集.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

2.(優化方案)集合｛(x,y)|y=2x-l｝表示()

A.方程丁=2尸1

B.點(x,y)

C.平面直角坐標系中的所有點組成的集合

D.函數)，=2x-l圖象上的所有點組成的集合

3.(精講精練)方程組J'_2)'"3的解集是()

2x+y=\l

A.(5,l)B.{1,5)C.{(1,5))D.{(5,1)}

4.(成才之路)由大于一2且小于11的偶數所組成的集合是()

A.{JC|—3<x<11,xeQ)

B.{x|-3vJV<11}

C.{x|-3<x<11,x=2k,kEN}

D.{x|—3<x<l1,x=2k,ksZ\

5.(海淀三新)下列各選項中的M與。表示同一個集合的是()

A.M={XGRIX2+O.O1=O}.P={AIX2=0}

2

B.M={(X,y)\y=x+l,xeR},P={(x,)，)|x=V+],xgR}

2

C.M={y|y=/+]/eR},P={t\/=(y-l)+l,yeR}

D.M={JAx=2k,kGZ},P={x|x=4Z+2.kwZ}

能力提升：

6.(成才之路)對集合{1,5,9,13,17}用描述法來表示，其中正確的一個是()

A.{x|x是小于18的正奇數}

B.{x\x=4k+\,keZ,且攵<5}

C.{x|尸4L3,reN,.131<5}

D.{x|.￥=4S-3,SGN*1=1.5<5}

4

7.(成才之路)已知集合A=A={xeN]——「Z},試用列舉法表示集合A=

x-3

8.（成才之路）用適當方法表示下列集合:

⑴由所有非負奇數組成的集合；

⑵由所有小于10的奇數且又是質數的自然數組成的集合;

⑶平面直角坐標系中，不在x軸上的點的集合.

9.（優化方案）用適當的方法表示下列集合：

（1）所有被3整除的整數；

（2）圖中陰影部分點（含邊界）的坐標的集合（不含虛線）；

⑶滿足方程A=|x|,XGZ的所有x的值構成的集合B.

10.（優化方案）已知集合A="￡R|6￡+2,VH=0},其中OER.若1是集合A中的一個

元素，請用列舉法表示集合A

11.（1）用描述法表示圖中陰影部分（不含邊界）的點構成的集合;

y

02x

3x-2>l

(2)用圖形表示不等式組的解集.

2x-l<5

參考答案：

I-5ADDDC

6.D

7.

答案：{124,5,7}

4

解析：要使「一wZ,必須X-3是4的約數.而4的約數有-4,-2,-1,124六個,

x—3

則戶一1,1,2,4,5,7,要注意到元素x應為自然數，故A={l,2,4,5,7}

8.答案：

(l){x|產2〃+1,/?GN).

(2){3,5,7}.

(3){(x,y)\xER,ywRlL"。}.

9.解：

(I){xIx=3n,nGZ)；

(2){(x,y)|TWx?2,-<y<1,目箝，NO}；

⑶片{R|.V=MXGZ}.

10.解:

?:1是集合4中的一個元素，

???1是關于工的方程必?+2第曰=。的一個根，

???4X12+2x1+1=0,即〃=一3

方程即為-31+2升1=0,

解這個方程，得玉=1,乂二一,，

~3

???集合A={_：,]}

11.(1){(x,y)|0<x<2,0<y<1}.

3x-2>1,,x>1,

⑵由<，得7

2x-l<5,xv3,

用圖形可表示為:

集合的關系

知識要點

要點一：子集，真子集，集合相等

定義：對于兩個集合A8如果集合A中任意一個元素都是A的元素，這是我們就說這兩個

集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記做AG3.

真子集定義：如果A口3,但存在元素且則稱A是4的真子集，記做A^B

集合相等：如果集合A是集合3的子集，集合3也是集合A的子集，則集合A與集合4

的元素是一樣的，那么我們稱為A和8相等，記做A=3.

例1：用適當的符號填空：

{等腰三角形}{等邊三角形}

{菱形}{平行四邊形}

{乂x<_1}{d_1}

{xeZ\x=2k-],keZj{xGZ|X=2/+1,/GZ)

參考答案：(1)金(2)g(3)注(4)=

例2：若集合M={x￡RI爛6},。二石，則下列表示法中正確的是()

A.[a]^MB.a桂MC.[a}eMD.a^M

參考答案：A

例3：已知集合加={刈一6<x<\/3,xeZ),則下列集合是集合M的子集的為()

A.P={-3,0,l}

B.0={-1,0,1,2)

C./?={y\-7r<y<-1,yGZ)

D.S=(X||A-|<>/3,XGN}

參考答案：D

要點二：空集

空集：我們把不含任何元素的集合叫空集，記做0.空集是任何集合的子集.

例題：

1.下列四個集合中，是空集的是（）

A.*|x+3=3｝B.｛（x,y）|y2=-x2,x,yeR｝

C.｛x\x2<0｝D.｛x|x2-x+l=O,xe/?｝

參考答案：D

2.下列式子中，正確的是（）

A.R'GRB.Zo｛^|x<0,xeZ）

C.空集是任何集合的真子集D.0G｛0｝

參考答案：D

要點三：利用Venn圖來表示集合之間的關系

Venn圖：我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖叫Venn圖.這樣，集合的包

含關系可以表示為：

1.設U=｛四邊形｝,M=｛正方形｝,7=｛矩形｝,戶二｛平行四邊形｝,G=｛梯形）,

試用Venn圖來表示。、M、T、P、H的關系

答案：U、M、T、P、H的關系用Venn圖表示為

2.已知集合P和。的關系，如圖所示，則（）

A.P>Q

B.QQP

C.P=Q

D.PQQ

答案：B

能力拓展

拓展一.子集，真子集個數問題

若一個集合含有〃個元素，則它的子集個數為2〃，真子集個數為2〃-1,非空子集個數為

2”一1,非空真子集個數為2”-2.

例題：

1.集合A的子集中，含有元素0的了集共有（）

A.2個B.4個

C.6個D.8個

答案：B

解析：A的子集共8個，含有元素。的和不含元素。的子集各占一半，有4個.

2.集合A={x|04xv3上LreN}的真子集個數是（）

A.16B.8C.7D.4

答案：C

解析：A=U|0<x<3±LrGN）={0,h2},

???真子集有7個.

3.滿足{“b}^A^{a,b,c,目的集合A有個

A.1B.2

C.3D.4

答案：C

解析：{a,〃}cA,cieA,beA,

又hc,J）,

:?c,d不能同時為集合A的元素，

二.A={?b]\a,b,c}^a,b,d}共3個.

也可以看做求{c,d}的真子集子集個數，為22-1個

拓展二.包含關系求參數范圍時要注意討論空集

例題：

1.(成才之路)設集合A={M—2人5},8=3〃?+1穌2〃一1}.

(1)若3GA,求實數機的取值范圍；

(2)當x￡Z時，求A的非空真子集個數；

(3)當x￡R時，不存在元素x使與同時成立，求實數〃?的取值范圍.

[解析I⑴當〃即用<2時，8=0,滿足BuA

當〃rH<2〃T,即m22時，要使B<^A成立，

m+\>-2

只需，即2WmW3.

2m-1<5

綜上，當BeA時，〃z的取值范圍是{，〃"2K3}.

⑵當xeZ時，A={-2,一1,0,1,2,3,4,5},

，集合A的非空真子集個數為28-2=254.

(3)xeR,且A={x|-24145},

5={x|加+1<x<2/n—1},

又不存在元素不使xG4與xe8同時成立，

，當3=0,即加+1〉2〃L1,得m<2時，符合題意;

當即"rHW2"Ll,得加22mz2時，

m>2in>2

,或，，解得一>4.

m+1>52m-1<-2

綜上，所求ni的取值范圍是{m\m<2或機>4).

2.(成才之路)設集合4={x|1<x<4},B=\x\t^\<x<2m+3],若求實數

用的取值范圍.

解：①當6+1>2〃升3,即m<一2時，B=0符合題意；

②當〃rH<2〃計3,即〃?2—2時，B手0.

m+\>\\

由3u4,得《，解得