第1頁（共1頁）2024年黑龍江省牡丹江市中考數學試卷一、單項選擇題（本題10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列計算正確的是（）A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣23．（3分）由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種4．（3分）某校八年級3班承擔下周學校升旗任務，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學中，選擇兩名擔任升旗手，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數為（）A．100° B．110° C．120° D．130°6．（3分）一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）A．20% B．22% C．25% D．28%7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數的圖象與AB邊交于點D，與AC邊交于點F，與OA交于點E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）A． B． C． D．9．（3分）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點E，則線段EN的長為（）A．8cm B． C． D．10．（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，根據圖象判斷以下結論：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線ycx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個交點（m，n）（m≠0），則m．其中正確的結論是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④二、填空題（本題8個小題，每小題3分，共24分）11．（3分）函數y中，自變量x的取值范圍是12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，CF∥AB，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經過點（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝．14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長為．15．（3分）已知一組正整數a，1，b，b，3有唯一眾數8，中位數是5，則這一組數據的平均數為．16．（3分）若分式方程的解為正整數，則整數m的值為．17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為．18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE分別交BD、CD于點F、M，過點F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點N、P，連接MP．下列四個結論：①AM＝PN；②DM+DNDF；③若P是BC中點，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CEBC．其中正確的結論是．三、解答題（共66分）19．先化簡，再求值：（x），并從﹣1，0，1，2，3中選一個合適的數代入求值．20．如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC，對垂直于地面CD的建筑物AD的高度進行測量，BC⊥CD于點C．在B處測得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至FG處，FG⊥CD于點G，測得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長線交AD于點E，求建筑物AD的高度（結果保留小數點后一位）．（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．某校為掌握學生對垃圾分類的了解情況，在全校范圍內抽取部分學生進行調查問卷，并將收集到的信息進行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調查共抽取了名學生；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“了解較少”所對應的圓心角度數；（3）若全校共有1200名學生，請估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題．22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個內角為60°的菱形BCDE，對角線BD，CE交于點O，連接OA，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．23．如圖，二次函數yx2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．（1）求該二次函數的解析式；（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為．24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：（1）甲車行駛的速度是km/h，并在圖中括號內填上正確的數；（2）求圖中線段EF所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）請直接寫出兩車出發(fā)多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．25．數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數量關系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝．26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產的“黃金地帶”，年總產量占全國總產量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準備在該地購進特級鮮品、特級干品兩種猴頭菇，購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請解答下列問題：（1）特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元？（2）某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元，特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，購進猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數）折售出，最終獲利1577元，請直接寫出商店的進貨方案．27．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+b與x軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點D，點B在x軸的正半軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，線段OA的長是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一個根．請解答下列問題：（1）求點D的坐標；（2）若線段BC的垂直平分線交直線AD于點E，交x軸于點F，交BC于點G，點E在第一象限，，連接BE，求tan∠ABE的值；（3）在（2）的條件下，點M在直線DE上，在x軸上是否存在點N，使以E、M、N為頂點的三角形是直角邊比為1：2的直角三角形？若存在，請直接寫出△EMN的個數和其中兩個點N的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年黑龍江省牡丹江市中考數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本題10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．2．（3分）下列計算正確的是（）A．2a3?a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2【答案】D【解答】解：A、2a3?a2＝2a5，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故該選項是錯誤的；D、，故該選項是正確的；故選：D．3．（3分）由5個形狀、大小完全相同的小正方體組合而成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖所示，則搭建該幾何體的方式有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【解答】解：由主視圖可知，左側一列最高一層，右側一列最高三層，由左視圖可知，前一排最高三層，后一排最高一層，可知右側第一排一定為三層，可得該幾何體俯視圖如圖所示，故選：C．4．（3分）某校八年級3班承擔下周學校升旗任務，老師從備選的甲、乙、丙、丁四名同學中，選擇兩名擔任升旗手，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：列表如下：甲乙丙丁甲﹣（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）﹣（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）﹣（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）﹣由列表可知，共有12種等可能的結果，其中甲、乙兩名同學同時被選中的情況有2種，則甲、乙兩名同學同時被選中的概率是．故選：A．5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC＝20°，則∠ADC的度數為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BEC＝20°，∴∠CAB＝∠BEC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，故選：B．6．（3分）一種藥品原價每盒48元，經過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為（）A．20% B．22% C．25% D．28%【答案】C【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意，得：48（1﹣x）2＝27，解得：（舍去）；故選：C．7．（3分）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角形．第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形…按照此規(guī)律排列下去，第674個圖中三角形的個數是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解答】解：第1個圖案有4個三角形，即4＝3×1+1，第2個圖案有7個三角形，即7＝3×2+1，第3個圖案有10個三角形，即10＝3×3+1，…，按此規(guī)律擺下去，第n個圖案有（3n+1）個三角形，則第674個圖案中三角形的個數為：3×674+1＝2023（個）．故選：B．8．（3分）矩形OBAC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數的圖象與AB邊交于點D，與AC邊交于點F，與OA交于點E，OE＝2AE，若四邊形ODAF的面積為2，則k的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：過點E作EM⊥OC，則EM∥OB，∴△OME∽△OCA，∴，設，∵OE＝2AE，∴，∴，∴，即，解得：，故選：D．9．（3分）小明同學手中有一張矩形紙片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他進行了如下操作：第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點E，則線段EN的長為（）A．8cm B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10cm，由折疊可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN，∴四邊形AMND是矩形，∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm，∴∠DAN＝∠ANM，∴∠ANM＝∠D′AN，∴EA＝EN，設EA＝EN＝xcm，則EM＝（12﹣x）cm，在Rt△AME中，根據勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，即52+（12﹣x）2＝x2，解得：，即，故選：B．10．（3分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，根據圖象判斷以下結論：①abc2＞0；②b＜2；③若bx1bx2且x1≠x2，則x1+x2＝﹣2；④直線ycx+c與拋物線y＝ax2+bx+c的一個交點（m，n）（m≠0），則m．其中正確的結論是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【解答】解：設拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴abc2＝a?2a?（﹣3a）2＝18a4＞0，故①正確；∵點C的縱坐標在﹣3～﹣2之間，∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即，∴，故②正確；∵，∴，即，∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）＝0，又∵x1≠x2，∴x1+x2＝2，故③錯誤；∵令y相等，則，∴，解得x1＝0（舍），，∴，故④正確；故選：A．二、填空題（本題8個小題，每小題3分，共24分）11．（3分）函數y中，自變量x的取值范圍是x≥﹣3且x≠0【答案】見試題解答內容【解答】解：根據題意得：，解得x≥﹣3且x≠0．故答案為x≥﹣3且x≠0．12．（3分）如圖，△ABC中，D是AB上一點，CF∥AB，D、E、F三點共線，請?zhí)砑右粋€條件DE＝EF，使得AE＝CE．（只添一種情況即可）【答案】DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．【解答】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，∴添加條件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE（AAS），添加條件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE（ASA），故答案為：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）．13．（3分）將拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后，經過點（﹣2，4），則6a﹣3b﹣7＝2．【答案】2．【解答】解：拋物線y＝ax2+bx+3向下平移5個單位長度后得到y(tǒng)＝ax2+bx+3﹣5＝ax2+bx﹣2，把點（﹣2，4）代入得到，4＝a×（﹣2）2﹣2b﹣2，得到2a﹣b＝3，∴6a﹣3b﹣7＝3（2a﹣b）﹣7＝3×3﹣7＝2，故答案為：2．14．（3分）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，CD＝6，BE＝1，則弦AC的長為．【答案】．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝6，∴，設⊙O的半徑為r，則OE＝OB﹣EB＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，∴OA＝5，OE＝4，∴AE＝OA+OE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理得：，故答案為：．15．（3分）已知一組正整數a，1，b，b，3有唯一眾數8，中位數是5，則這一組數據的平均數為5．【答案】5．【解答】解：∵這組數據有唯一眾數8，∴b為8，∵中位數是5，∴a是5，∴這一組數據的平均數為，故答案為：5．16．（3分）若分式方程的解為正整數，則整數m的值為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：，化簡得：，去分母得：x＝3（x﹣1）+mx，移項合并得：（2+m）x＝3，解得：，由方程的解是正整數，得到x為正整數，即2+m＝1或2+m＝3，解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：﹣1．17．（3分）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點O，點E是BC邊的三等分點，連接DE，點P是DE的中點，OP＝3，連接CP，則PC+PE的值為13或．【答案】13或．【解答】解：當CE＞BE時，如圖，∵矩形ABCD，∴點O是BD的中點，∵點P是DE的中點，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，∵點E是BC邊的三等分點，∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18，∵矩形ABCD的面積是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝5，∴，∴PC+PE＝DE＝13；當CE＜BE時，如圖2，∵矩形ABCD，∴點O是BD的中點，∵點P是DE的中點，∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD，∵點E是BC邊的三等分點，∴，BC＝3+6＝9，∵矩形ABCD的面積是90，∴BC×CD＝90，∴CD＝10，∴，∴；故答案為：13或．18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，AE分別交BD、CD于點F、M，過點F作NP⊥AE，分別交AD、BC于點N、P，連接MP．下列四個結論：①AM＝PN；②DM+DNDF；③若P是BC中點，AB＝3，則EM＝2；④BF?NF＝AF?BP；⑤若PM∥BD，則CEBC．其中正確的結論是①②③⑤．【答案】①②③⑤．【解答】解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝45°，如圖，作PG⊥AD于G，則四邊形ABPG是矩形，∴PG＝AB＝AD，∵∠GPN+∠GNP＝90°＝∠GNP+∠DAM，∴∠GPN＝∠DAM，又∵PG＝AD，∠PGN＝90°＝∠ADM，∴△PGN≌△ADM（ASA），∴AM＝PN，①正確，故符合要求；如圖，作HF⊥DF交AD于H，連接CF，∴∠DHF＝45°＝∠ADB，∴DF＝HF，∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°，BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∵∠BPF+∠BAF＝360°﹣∠ABP﹣∠AFP＝180°，∠BPF+∠FPC＝180°，∴∠BAF＝∠FPC，∴∠BCF＝∠FPC，∴PF＝CF＝AF，∴PN﹣PF＝AM﹣AF，即FN＝FM，∵∠HFN+∠NFD＝90°＝∠DFM+∠NFD，∴∠HFN＝∠DFM，∵HF＝DF，∠HFN＝∠DFM，FN＝FM，∴△HFN≌△DFM（SAS），∴HN＝DM，由勾股定理得，，∵DH＝HN+DN＝DM+DN，∴，②正確，故符合要求；∵P是BC中點，AB＝3，∴，如圖，連接AP，由勾股定理得，，，解得，，設EM＝x，則，BE＝3+x，由勾股定理得，，∵，∴，整理得，x2﹣2x﹣24＝0，解得，x＝6或x＝﹣4（舍去），∴，BE＝9，∵，∴，解得，，③正確，故符合要求；由題意知，∠BPF＞90°，∴△BPF、△NFA不相似，BF?NF≠AF?BP，④錯誤，故不符合要求；∵PM∥BD，∴∠CPM＝∠CBD＝45°，∠CMP＝∠CDB＝45°，設PC＝CM＝a，BC＝CD＝AD＝AB＝b，CE＝c，則DM＝b﹣a，BE＝b+c，PE＝a+c，，∵AF＝PF，∠AFN＝90°＝∠PFM，FN＝FM，∴△AFN≌△PFM（SAS），∴，∵∠ADM＝90°＝∠ECM，∠AMD＝∠EDC，∴△AMD∽△EDC，∴，即，解得，，同理，△ANF∽△EPF，∴，即，同理，△DMF∽△BAF，∴，即，∴，將代入得，，整理得，，解得，，∴，⑤正確，故符合要求；故答案為：①②③⑤．三、解答題（共66分）19．先化簡，再求值：（x），并從﹣1，0，1，2，3中選一個合適的數代入求值．【答案】，取x＝﹣1，原式．【解答】解：．∵x≠0且x≠3，∴x＝﹣1或x＝1或x＝2．當x＝﹣1時，原式．20．如圖，某數學活動小組用高度為1.5米的測角儀BC，對垂直于地面CD的建筑物AD的高度進行測量，BC⊥CD于點C．在B處測得A的仰角∠ABE＝45°，然后將測角儀向建筑物方向水平移動6米至FG處，FG⊥CD于點G，測得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延長線交AD于點E，求建筑物AD的高度（結果保留小數點后一位）．（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】17.5米．【解答】解：根據題意可知四邊形BEDC是矩形，∴DE＝BC＝1.5m．如圖，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．∵，∴．∵BE＝EF+BF，∴∴AE≈16．∴AD＝AE+DE＝17.5（米）答：建筑物AD的高度約為17.5米．21．某校為掌握學生對垃圾分類的了解情況，在全校范圍內抽取部分學生進行調查問卷，并將收集到的信息進行整理，繪制成如圖所示不完整的統(tǒng)計圖，其中A為“非常了解”，B為“了解較多”，C為“基本了解”，D為“了解較少”．請你根據圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次調查共抽取了50名學生；（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“了解較少”所對應的圓心角度數；（3）若全校共有1200名學生，請估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題．【答案】（1）50；（2）36°，圖形見詳解；（3）480名．【解答】解：（1）這次被調查的學生人數為：（20+8+5）÷（1﹣34%）＝50（名）；（2）“了解較少”所對應的圓心角度數為：，50×34%＝17（人）補全圖形如下：（3）（名），估計全校有多少名學生“非常了解”垃圾分類問題有480名．22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC為邊向△ACB外作有一個內角為60°的菱形BCDE，對角線BD，CE交于點O，連接OA，請用尺規(guī)和三角板作出圖形，并直接寫出△AOC的面積．【答案】作圖見解析，△AOC的面積為12或36．【解答】解：當∠CBE＝60°時，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，∵菱形BCDE，∠CBE＝60°，∴∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°，∵BC＝12，∴，∵∠OCB＝60°，∴∠COF＝30°，∴，∴△AOC的面積為；當∠BCD＝60°時，所作圖形如圖，作OF⊥BC，垂足為F，如圖2，∵菱形BCDE，∠BCD＝60°，∴∠COB＝90°，∠BCO＝30°，∵BC＝12，∴，，∴，，∴△AOC的面積為；綜上，△AOC的面積為12或36．23．如圖，二次函數yx2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，﹣3），連接BC．（1）求該二次函數的解析式；（2）點P是拋物線在第四象限圖象上的任意一點，當△BCP的面積最大時，BC邊上的高PN的值為．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：，解得，∴二次函數的解析式為；（2）令y＝0，則，解得：x1＝﹣1，x2＝6，∴點B的坐標為（6，0），∴，設直線BC的解析式為y＝mx+n，代入得：，解得，∴直線BC的解析式為，過點P作PD⊥x軸交BC于點D，如圖，設點P的坐標為，則點D的坐標為，∴，∴，∴△PBC最大為，∴，故答案為：．24．一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：（1）甲車行駛的速度是70km/h，并在圖中括號內填上正確的數；（2）求圖中線段EF所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）請直接寫出兩車出發(fā)多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．【答案】（1）70，300；（2）y＝120x﹣300；（3）或．【解答】解：（1）由圖可知，甲車小時行駛的路程為（200﹣180）km，∴甲車行駛的速度是，70×（4）＝300（km），填圖如下：故答案為：70；（2）由圖可知E，F的坐標分別為，（4，180），設線段EF所在直線的函數解析式為y＝kx+b，則，解得，∴線段EF所在直線的函數解析式為y＝120x﹣300；（3）由題意知，A、C兩地的距離為：，乙車行駛的速度為：，C、B兩地的距離為：50×4＝200（km），A、B兩地的距離為：300﹣200＝100（km），設兩車出發(fā)x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分兩種情況，當甲乙相遇前時：200﹣50x＝3（100﹣70x），解得；當甲乙相遇后時：200﹣50x＝3（70x﹣100），解得；綜上可知，兩車出發(fā)或時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．25．數學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．（1）當點D在線段BC上時，如圖①，求證：BD+EF＝AB；分析問題：某同學在思考這道題時，想利用AD＝AE構造全等三角形，便嘗試著在AB上截取AM＝EF，連接DM，通過證明兩個三角形全等，最終證出結論：推理證明：寫出圖①的證明過程：探究問題：（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖②：當點D在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接寫出線段BD，EF，AB之間的數量關系；拓展思考：（3）在（1）（2）的條件下，若AC＝6，CD＝2BD，則EF＝10或18．【答案】（1）證明見解析過程；（2）圖②：AB＝BD﹣EF，圖③：AB＝EF﹣BD；（3）10或18．【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D在直線BC上，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，過點E作EF∥BC，交直線AB于點F．在AB邊上截取AM＝EF，連接DM．如圖1，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠B＝60°．又∵∠EAD＝60°，∴∠EFB＝∠EAD．又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，∴∠BAD＝∠AEF．又∵AD＝AE，AM＝EF，∴△DAM≌△AEF（SAS）．∴AF＝DM．∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．∵∠B＝60°，∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．∴△BMD是等邊三角形．∴BD＝BM＝DM，∵AB＝AM+BM，∴AB＝EF+BD；（2）解：圖②：AB＝BD﹣EF，證明如下：如圖2.1所示，在BD上取點H，使BH＝AB，連接AH并延長到點G使AG＝AF，連接DG，∵∠ABC＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴∠BAH＝60°，∵線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAH＝∠DAE，∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，又∵AG＝AF，∴△FAE≌△GAD（SAS），∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，∵BD∥EF，∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，∵∠DHG＝∠AHB＝60°，∴△DHG是等邊三角形，∴DH＝DG＝EF，∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；圖③：AB＝EF﹣BD，證明如下：如圖2.2所示，在EF上取點H使AH＝AF，∵EF∥BC，∴∠F＝∠ABC＝60°，∵AH＝AF，∴△AHF是等邊三角形，∴∠AHF＝∠HAF＝60°，∴∠AHE＝120°，∵將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠EAH，∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，又∵AD＝AE，∴△EAH≌△ADB（AAS），∴BD＝AH，AB＝EH，∵AH＝FH，∴BD＝HF，∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；（3）解：如圖3.1所示，∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，∴，∴BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，∴，由（1）可知，BD+EF＝AB，∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；如圖3.2所示，當點D在線段BC的延長線上時，∵CD＜BD，與CD＝2BD矛盾，∴不符合題意；如圖3.3所示，當點D在線段CB的延長線上時，∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，∴BD＝BC＝6，由（2）可知，AB＝EF﹣BD，∵AB＝2BC＝12，∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．綜上所述，EF＝10或18，故答案為：10或18．26．牡丹江某縣市作為猴頭菇生產的“黃金地帶”，年總產量占全國總產量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準備在該地購進特級鮮品、特級干品兩種猴頭菇，購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元．請解答下列問題：（1）特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元？（2）某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元，特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，該商店有哪幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，購進猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數）折售出，最終獲利1577元，請直接寫出商店的進貨方案．【答案】（1）特級鮮品猴頭菇每箱進價為40元，特級干品猴頭菇每箱進價為150元；（2）有3種方案，詳見解析；（3）特級干品猴頭菇40箱，特級鮮品猴頭菇40箱．【解答】解：（1）設特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價分別是x元和y元，則，解得：，故特級鮮品猴頭菇每箱進價為40元，特級干品猴頭菇每箱進價為150元；（2）解：設商店計劃購