數列第六章第2講等差數列及其前n項和【考綱導學】1．理解等差數列的概念．2．掌握等差數列的通項公式與前n項和公式．3．能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題．4．了解等差數列與一次函數的關系．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．等差數列的概念(1)如果一個數列從第____項起，每一項與它的前一項的差等于____________，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的________．公差通常用字母d表示．數學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數)，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數)．(2)若a，A，b成等差數列，則A叫做a，b的等差中項，且A＝________.2

同一個常數公差a1＋(n－1)d

(n－m)d

3．等差數列的有關性質已知數列{an}是等差數列，Sn是{an}的前n項和．(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有am＋an＝ap＋aq.(2)等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{an}是______數列；當d＜0時，{an}是________數列；當d＝0時，{an}是________．(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為________的等差數列．(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．遞增遞減常數列md

大小1．設數列{an}是等差數列，若a3＋a4＋a5＝12，則a1＋a2＋…＋a7等于(

)A．14 B．21C．28 D．35【答案】C2．(2018年宜昌模擬){an}是首項a1＝1，公差d＝3的等差數列，若an＝2020，則n等于(

)A．671

B．672

C．673 D．674【答案】D3．(2018年北京模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4＋a10＝4，則S13＝(

)A．13 B．14C．26 D．52【答案】C4．在等差數列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n＝8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為________．1．要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列．2．注意區分等差數列定義中同一個常數與常數的區別．3．求等差數列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數”這一隱含條件．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．(

)(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．(

)(4)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數．(

)(5)等差數列的前n項和公式是常數項為0的二次函數．(

)×√√××

課堂考點突破2等差數列基本量的運算【答案】(1)A

(2)B

【規律方法】(1)等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題．(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．【跟蹤訓練】1．(2018年榆林模擬)等差數列{an}的前n項和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50.(1)求通項公式{an}；(2)求前n項和Sn，并求S3.等差數列的判定與證明【規律方法】等差數列的四個判定方法：(1)定義法：證明對任意正整數n都有an＋1－an等于同一個常數．(2)等差中項法：證明對任意正整數n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據定義得出數列{an}為等差數列．(3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數n恒成立，根據定義判定數列{an}為等差數列．(4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據Sn，an的關系，得出an，再使用定義法證明數列{an}為等差數列．等差數列的性質及應用【答案】(1)A

(2)60

【答案】(1)B

(2)130

課后感悟提升31個技巧——利用等差數列的性質巧妙設項若奇數個數成等差數列，可設中間三項為a－d，a，a＋d；若偶數個數成等差數列，可設中間兩項為a－d，a＋d，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元．2個思想——方程思想和函數思想(1)等差數列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d.(2)等差數列{an}中，an＝an＋b(a，b為常數)，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)，均是關于“n”的函數，充分運用函數思想，借助函數的圖象、性質簡化解題過程．4種方法——等差數列的判斷方法(1)定義法；(2)等差中項法；(3)通項公式法；(4)前n項和公式法．1．(2018年新課標Ⅰ)記Sn為等差數列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(

)A．－12

B．－10

C．10

D．12【答案】B2．(2018年北京)設{an}是等差數列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式