數列第六章第3講等比數列及其前n項和【考綱導學】1．理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式．2．能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．3．了解等比數列與指數函數的關系．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷12

同一個公比q

等比中項a1qn－1

3．等比數列的性質已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝____.(2)等比數列{an}的單調性：當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數列{an}是____數列；當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數列{an}是____數列；當q＝1時，數列{an}是________．(3)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，其公比為____．(4)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數列，其公比為____．am·an

遞增遞減常數列qm

qn

2．(2018年齊齊哈爾模擬)在等比數列{an}中，已知a3＝3，a3＋a5＋a7＝21，則a5＝(

)A．6 B．9C．12 D．18【答案】A4．(2018年北京校級模擬)設等比數列{an}滿足a2＝4，a3a4＝128，則a6＝________.【答案】64

5．(教材習題改編)在9與243中間插入兩個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這兩個數為________．【答案】27,811．特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.3．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比數列(例如，當公比q＝－1且n為偶數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比數列；當q≠－1或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)總成立．××××××課堂考點突破2等比數列的基本運算【考向分析】等比數列的基本運算是高考的常考內容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中、低檔題．常見的考向：(1)求首項a1，公比q或項數n；(2)求通項公式或特定項；(3)求前n項和．【答案】(1)B

(2)B等比數列的判定與證明【規律方法】(1)證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可．(2)利用遞推關系時要注意對n＝1時的情況進行驗證．【跟蹤訓練】1．已知數列{an}的前n項和為Sn，在數列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數列；(2)求數列{bn}的通項公式．等比數列的性質及應用【規律方法】(1)在等比數列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數列的性質“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，可以減少運算量．(2)等比數列的項經過適當的組合后構成的新數列也具有某種性質，例如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數列，公比為qk(Sk≠0)．【答案】(1)A

(2)C

課后感悟提升31．(2018年浙江)已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1＞1，則(

)A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【答案】B【解析】a1，a2，a3，a4成等比數列，由等比數列的性質可知，奇數項符號相同，偶數項符號相同，a1＞1，設公比為q，當q＞0時，a1＋a2＋a3＋a4＞a1＋a2＋a3，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立，即a1＞a3，a2＞a4或a1＜a3，a2＜a4不成立，排除A，D；當q＝－1時，a1＋a2＋a3＋a4＝0，ln(a1＋a2＋a3)＞0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立，所以q≠－1；當q＜－1時，a1＋a2＋a3＋a4＜0，ln(a1＋a2＋a3)＞0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)不成立；當q∈(－1,0)時，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)能夠成立．故選B．3．(2018年新課標Ⅲ)等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.4．(2017年新課標Ⅱ)已知等差數列{a