2025屆全國統一高考數學仿真模擬試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，則A． B． C．10 D．2．集合，2，3，4，5，，，則A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，3．若實數，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．4．記為等差數列的前項和．若，，則A． B． C．1 D．25．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．6．設函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為A． B． C． D．7．函數的區間，的圖像大致為A． B． C． D．8．已知，則A． B． C． D．9．已知向量，，則A．“”的必要條件是“” B．“”的必要條件是“” C．“”的充分條件是“” D．“”的充分條件是“”10．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④11．在中，內角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．12．已知，，成等差數列，直線與圓交于，兩點，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．二項式的展開式中，各項系數的最大值是．14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．15．已知，，則．16．有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球．記表示前兩個球號碼的平均數，記表示前三個球號碼的平均數，則與差的絕對值不超過的概率是．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：優級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯表：優級品非優級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率．設為升級改造后抽取的件產品的優級品率．如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了．根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和為．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2），過的直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與交于，證明：軸．21．（12分）已知函數．（1）當時，求的極值；（2）當時，，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出的直角坐標方程；（2）直線為參數），若與交于、兩點，，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．實數，滿足．（1）證明：；（2）證明：．

答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設，則A． B． C．10 D．因為，則，故，所以．故選：．2．集合，2，3，4，5，，，則A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，因為，2，3，4，5，，，4，9，16，25，，所以，3，．故選：．3．若實數，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．作出不等式組所表示的平面區域，如圖所示：將約束條件兩兩聯立可得3個交點：，，，由得，則可看作直線在軸上的截距，經檢驗可知，當直線經過點，時，最小，代入目標函數可得：．故選：．4．記為等差數列的前項和．若，，則A． B． C．1 D．2，則，解得，又因為，所以公差，故．故選：．5．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．解法一：因為，，點在該雙曲線上，所以，，，所以．解法二：焦點在軸上，可設雙曲線方程為：，則，解得，從而故選：．解法三：點縱坐標相同，所以是通徑的一半即則即，則雙曲線的離心率．故選：．解法四：雙曲線的離心率6．設函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為A． B． C． D．，則，故，所以曲線在點處的切線為，令，解得，令，解得，故所求三角形的面積為．故選：．7．函數的區間，的圖像大致為A． B． C． D．解法一：，則，故為偶函數，故錯誤；（1），故錯誤，正確．故選：．解法二：函數為偶函數。且當時，，因此只有選項符合題意8．已知，則A． B． C． D．解法一：，則，所以，故．故選：．解法二：設，則，即，因此由得，即，故，即，故選：．9．已知向量，，則A．“”的必要條件是“” B．“”的必要條件是“” C．“”的充分條件是“” D．“”的充分條件是“”，，若，則，解得或，故“”的充分條件是“”，故錯誤，正確；若，則，解得，故錯誤．故選：．10．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④①若，因為，，則，若，因為，，則，若不在也不在內，因為，，，所以且，故①正確；②若，則與，不一定垂直，也有可能相交，故②錯誤；③過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因為，過直線的平面與平交于直線，所以，同理可得，所以，因為，，則，因為，，則，又因為，則，故③正確；④與和所成的角相等，則和不一定垂直，故④錯誤；綜上只有①③正確．故選：．11．在中，內角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．解法一：因為，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因為,,所以．故選：．解法二：不妨設，根據題意得，根據余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，則12．已知，，成等差數列，直線與圓交于，兩點，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6因為，，成等差數列，所以，所以直線恒過，因為在圓內，當時，取得最小值，此時，．故選：．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．二項式的展開式中，各項系數的最大值是．解法一：由于，，，，則展開式中系數最大的項一定在下面的5項：，，，，，故系數的最大值為．解法二：根據展開項的通項式為，若第項的系數最大，則，因為,所以,所以系數最大值為故5．14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．故．15．已知，，則．因為，，所以，所以，而，故，即．故64．16．有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球．記表示前兩個球號碼的平均數，記表示前三個球號碼的平均數，則與差的絕對值不超過的概率是．記前三個球的號碼分別為、、，則共有種可能，令則，根據對稱性：或6時，均有2種可能；或5時，均有10種可能；或4時，均有16種可能；故滿足條件的共有56種可能，．故．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：優級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯表：優級品非優級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率．設為升級改造后抽取的件產品的優級品率．如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了．根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根據題目所給數據得到如下的列聯表：優級品非優級品甲車間2624乙車間7030零假設：根據的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產品的優級品率不存在差異，，有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異；零假設：根據的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產品的優級品率不存在差異，，沒有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異．（2）由題意得，，所以，故有優化提升．18．（12分）已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和為．（1）因為，所以，兩式相減可得，即，,又因為，所以，故數列是首項為4，公比為的等比數列，所以；（2），所以，，兩式相減可得：，所以．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點，連結，，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，，，故，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，取，則，3，，同理，平面的一個法向量為，3，，所以，因為，故二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2），過的直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與交于，證明：軸．（1）設橢圓的左焦點為，點在橢圓上，且軸，則，，由勾股定理可知，，故，解得，，故橢圓的方程為；（2）證明：設，，，，，則，即①，又由可得②，結合①②可得，，，，，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸．21．（12分）已知函數．（1）當時，求的極值；（2）當時，，求的取值范圍．（1）當時，，，，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，無極大值；（2）由，得，令，則，當時，，且，，所以，，當時，，所以在，上單調遞增，，故在，上單調遞增，恒成立，即的取值范圍為．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出的直角坐標方程；（2）直線為參數），若與交于、兩點，，求的值．（1）因為，所以，因為，，故的直角坐標方程為，即．（2）將為參數），代入，整理得：，設方程的兩根分別為，，由△，得，由根與系數的關系得，，依題意及直線參數方程的幾何意義得，解得：．[選修4-5：不等式選講]23．實數，滿足．（1）證明：；（2）證明：．證明：（1），則；（2），當且僅當，時，等號成立，故，原式得證．2025屆全國統一高考數學仿真模擬試卷（文科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，2．設，則A． B．1 C． D．23．若實數，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．4．等差數列的前項和為，若，A． B． C．1 D．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．6．已知雙曲線的兩個焦點分別為、，且經過點，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．7．曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為A． B． C． D．8．函數的區間，的圖像大致為A．B． C． D．9．已知，則A． B． C． D．10．已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．611．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④12．在中，內角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數在，上的最大值是14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．15．已知，，則．16．曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．17．（12分）已知等比數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數列的通項公式．18．（12分）某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：優級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯表：優級品非優級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的估級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率．設為升級改造后抽取的件產品的優級品率．如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了．根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求點到的距離．20．（12分）已知函數．（1）求的單調區間；（2）若時，證明：當時，恒成立．21．（12分）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，直線與交于，證明：軸．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數方程]22．（10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出的直角坐標方程；（2）直線為參數），若與交于、兩點，，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．實數，滿足．（1）證明：；（2）證明：．

答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，則A．，2，3， B．，2， C．， D．，2，，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，則，2，3，．故選：．2．設，則A． B．1 C． D．2解法一：，則．故選：．解法二：3．若實數，滿足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．作出不等式組所表示的平面區域，如圖所示：將約束條件兩兩聯立可得3個交點：，，，由得，則可看作直線在軸上的截距，經檢驗可知，當直線經過點，時，最小，代入目標函數可得：．故選：．4．等差數列的前項和為，若，A． B． C．1 D．解法一：，則，解得．故選：．解法二：利用等差數列的基本量由，根據等差數列的求和公式，，.解法三：特殊值法不妨取等差數列公差，則，則.故選：D解法四：【構造法】：設的公差為，利用結論是首項為，公差為的等差數列，則，，則，所以.故選：D解法五：根據題意，故選：D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是A． B． C． D．甲、乙、丙、丁四人排成一列共有種可能，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的情況有種可能，故．故選：．6．已知雙曲線的兩個焦點分別為、，且經過點，則雙曲線的離心率是A．4 B．3 C．2 D．解法一：因為雙曲線的兩個焦點分別為、，且經過點，所以，，，則雙曲線的離心率．故選：．解法二：點縱坐標相同，所以是通徑的一半即則即，則雙曲線的離心率．故選：．解法三：雙曲線的離心率解法四：根據焦點坐標可知，根據焦點在y軸上設雙曲線方程為，則，則，所以7．曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為A． B． C． D．因為，所以，曲線在處的切線斜率，故曲線在處的切線方程為，即，則其與坐標軸圍成的面積．故選：．8．函數的區間，的圖像大致為A． B． C． D．解法一：，則，故為偶函數，故錯誤；（1），故錯誤，正確．故選：．解法二：函數為偶函數。且當時，，因此只有選項符合題意9．已知，則A． B． C． D．解法一：，則，所以，故．故選：．解法二：設，則，即，因此由得，即，故，即，故選：．10．已知直線與圓交于，兩點，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6直線，即，所以直線恒過點，圓，即，圓心為，半徑，當最小時，點到直線的距離應最大，即時，最小，此時，．故選：．11．已知、是兩個平面，、是兩條直線，．下列四個命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④①若，因為，，則，若，因為，，則，若不在也不在內，因為，，，所以且，故①正確；②若，則與，不一定垂直，也有可能相交，故②錯誤；③過直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因為，過直線的平面與平交于直線，所以，同理可得，所以，因為，，則，因為，，則，又因為，則，故③正確；④與和所成的角相等，則和不一定垂直，故④錯誤；綜上只有①③正確．故選：．12．在中，內角，，所對邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．解法一：因為，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因為為三角形內角，則（賀雷穎添加）．故選：．解法二：不妨設，根據題意得，根據余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數在，上的最大值是2，，，，，所以當，時，取得最大值，．故2．14．已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比．故．15．已知，，則64．解法一：因為，所以，而，故，解得．故64．解法二：根據題意有，設，則，解得，所以，所以，所以.16．曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．令，則，令，則，因為，故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，因為，（1），時，，若使得有兩個不同零點，則的范圍為．故．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．17．（12分）已知等比數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數列的通項公式．解法一：（1）因為，所以，兩式相減可得：，即，所以等比數列的公比，又因為，所以，；（2）因為，所以．解法二：（1）因為,故，所以即故等比數列的公比為，故，故，故.（2）由等比數列求和公式得.18．（12分）某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下：優級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯表：優級品非優級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的估級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率．設為升級改造后抽取的件產品的優級品率．如果，則認為該工廠產品的優級品率提高了．根據抽取的150件產品的數據，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根據題目所給數據得到如下的列聯表：優級品非優級品甲車間2624乙車間7030零假設：根據的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產品的優級品率不存在差異，，有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異；零假設：根據的獨立性檢驗，認為甲、乙兩車間產品的優級品率不存在差異，，沒有的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異．（2）由題意得，，所以，故有優化提升．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求點到的距離．：（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行