【1】線性方程組的求解是高等代數中的一個重要部分，一個線性方程組是否有解的問題其本質上指的是這個線性方程組所對應的兩個矩陣(系數矩陣和增廣矩陣)的秩是否相同的問題。常規來說，求解線性方程組所采用的方法應為消元法，但是對于一些只需要解決解的判定和解的個數的問題和一些無解的方程組，只需要求解出兩個矩陣的秩，利用線性方程組有解判別定理而不需要求解出線性方程組的解，即可解決問題，這樣就可以大大降低難度，從而達到事半功倍的效果，進而也凸顯展示出了矩陣的秩在判別線性方程組解的問題中的重要性。例4請說明下列方程組是否有解:解:令r2-3r1，r2-3r1于是顯然,24，判別出此線性方程組無解。求解該題時若首先采用消元法計算其解，將會有一定的繁瑣性，足以說明矩陣的秩在求解線性方程組中發揮的“橋梁”的作用。例5設有線性方程組問取什么值時,此方程組有唯一解；無解;有無窮多個解。解法一令令設增廣矩陣為A，系數矩陣為B，則線性方程組只有一個解未知量的個數，本題中未知量的個數為3，從而3,則?λ3+λ≠0時滿足條件,即λ≠0且λ≠-3即為所求。線性方程組沒有解（系數矩陣的秩加一等于增廣矩陣的秩）,本題中當2,1時符合條件,即λ0即為所求。線性方程組有無窮解未知量的個數,本題中23時,此時λ-3即為所求。解法二:利用克拉默法則,由于系數矩陣為方陣,故當≠0時，方程組有唯一解，由此得,當時,即且時方程組有唯一解。兩問的解法同解法一。通過兩種解法的對比我們可以發現矩陣的秩在解決此類帶有待定系數的線性方程組解的判別類的問題時更具有優勢,相比于克拉默法則其計算量更小且適用范圍更廣。因此當我們遇到線性方程組的解的判定問題時,首要考慮的是這種方法。例6已知是階對稱矩陣,為維實列向量,證明若則可逆的充要條件是;若,則的充要條件是方程組有解；,則可逆的充要條件是無解解:由于所以可逆,,從而可逆的充要條件是;必要性:由于,再結合,可知于是可知方程組有解,即有解；充分性:由于有解，從而也有解,即有,另外有解也說明有解,于是可知,而顯然=,于是;必要性:若可逆,則的行向量組線性無關,從而,又由于,所以知無解;充分性:由于,若無解,可知,于是;若,則,取轉置結合有可知方程組有解,特別地,也有解,這就與已知產生了矛盾,所以,即可逆.求極大線性無關組求解矩陣的極大線性無關組的方法:給定一個矩陣,求列向量的極大線性無關組，我們需要把矩陣化為階梯形（通過初等行變換）從而得出矩陣的秩即可確定極大線性無關組的個數,然后找到主元(每個非零行的第一個非零元素)所在的列,則其原矩陣的列即為所求。對于給定的一個向量組來說,我們要把它們寫成列向量的樣子并做成矩陣,然后依據上述方法求這個矩陣的列向量的極大線性無關組即可。例7矩陣為顯然它是一個階梯形矩陣,其秩為3,從而有三個主元,分別為,它們分別在第1,2,4列,從而第1,2,4列即為所求。判別向量組的線性相關性某個向量組線性相關性的得出等價于相應的其次線性方程組(1)是否存在非零解，從而等價于(1)的系數矩陣=的秩是多少的問題。即有:向量組線性相關向量組線性無關,,,解:設原問題即等價于是否有非零解的問題,也就是其系數矩陣的秩是否為4的問題,線性相關。五、結語矩陣的秩不僅從數量上反映了矩陣的屬性，而且是一個在初等變換下保持不變的量。首先本論文主要系統的歸納了矩陣秩的幾種求解求解方法以及每種方法的適用條件，這樣以后在求解一個具體問題中矩陣的秩時，我們便可以迅速判斷出采用哪種方法更快速有效，其次，在這里總結了一些常見的秩等式與秩不等式，熟練的掌握這些知識對我們解決問題會起到事半功倍的作用。最后，在本論文中，介紹了矩陣的秩的一些簡單應用，其中最為重要的是矩陣的秩可以用來判別線性方程組的解，這有利于我們更好的學習線性方程組。因此掌握好這些知識點，在遇到具體的問題時我們便可以靈活的采用恰當的方法去解決，一些較為復雜的問題也可以迎刃而解了。

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