重慶復旦中學教育集團2024－2025學年度下期3月定時作業初2025屆數學試卷尊重自己！愛護復旦！復旦過去的光榮，將來的燦爛，全賴我們共同愛護，共同發展！同學：今天在考試的時候，不要忘記自己！不要忘記復旦！考場秩序井然，人人潔身自愛．本試卷分為試題卷和答題卷，考試時間120分鐘，滿分150分．請將答案工整地書寫在答題卡上．參考公式：拋物線的頂點公式為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卷上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1.下列比較大小結果正確的是（）A. B.C. D.2.如圖是由幾個相同的小正方體堆砌成的幾何體，從左面看到該幾何體的形狀圖是（）A. B.C. D.3.下列調查中，最適合采用抽樣調查的是（）A.調查某城區是否有新冠病毒感染者 B.對旅客上飛機前的安檢C.教師對某班學生學習能力的調查 D.對某水域的水質情況進行調查4.（原創題）實數在兩個相鄰的整數與之間，則整數是（）A.1 B.2 C.3 D.45.2021年是農歷我國“牛”年，為祝福我們偉大祖國更加繁榮昌盛，同時勉勵新一屆初三人在2021年更加“牛氣沖天”，某同學制作了如下“牛氣圖”．請根據下圖規律，計算第15個圖案中一共有多少個“牛”字？（）A.119 B.120 C.121 D.50506.《九章算術》是古代中國第一部自成體系的數學專著，其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若得到乙所有錢的，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的，則乙也有50錢．問甲、乙各持錢多少？設甲持錢數為錢，乙持錢數為錢，列出關于、的二元一次方程組（）A. B.C. D.7.如圖，已知在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點和點，分別交反比例函數，的圖象于點和點，過點作軸于點，連結，，若的面積與的面積相等，則的值是（）A.2 B. C.1 D.48.如圖，為直徑，點是的中點，過點作于點，交于點，若，，則的半徑長是（）A. B.4 C.5 D.9.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中點，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，則EF的長為（）A. B. C.5 D.10.對于代數式，下列說法正確的是（）①如果存在兩個實數，使得，則②存三個實數，使得③如果，則一定存在兩個實數，使④如果，則一定存在兩個實數，使A.③ B.①③ C.②④ D.①③④二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卷中對應的橫線上．11.在剪紙活動中，小花同學想用一張長方形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形一條邊與長方形的邊重合，如圖所示，則的大小是______度．12.在中，點在上，點在上，且，，．如圖所示，若與相似，則的長是______．13.一條拋物線和的圖象形狀相同，且函數有最小值，頂點坐標是，則此拋物線的函數關系式為______________14.若關于的一元一次不等式組有解且至多有4個整數解，且關于的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．15.如圖，正方形的邊長為2，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相較于點，那么圖中陰影部分①的周長為______，陰影部分①②的總面積為______．16.將二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，所得新函數的圖象與直線的圖象恰有2個公共點時，則b的取值范圍為___________．三、解答題：（本大題8個小題，第17題16分，其余每題10分，共86分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卷中對應的位置上．17計算：（1）；（2）；（3）；（4）．18.如圖，在中，．（1）求作邊的垂直平分線，交于點，交于點，連接．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作痕跡）（2）若，求的度數，請根據以下的思路完成下列填空．解：，______（等邊對等角），又是的垂直平分線，______（垂直平分線的性質），，，______（等量代換）．．，．（三角形的內角和為）．______．由上述證明可得：在等腰三角形（腰長大于底邊長）中，作一條腰的垂直平分線交另一腰于一點，當此點與此等腰三角形頂點的距離與底邊長度相等時，則這個等腰三角形的頂角為______度，人們稱具有此特征的等腰三角形為“黃金三角形”．19.西蜀圖書室近日購進甲、乙兩種圖書，每本甲圖書的進價比每本乙圖書的進價高20元，花780元購進甲圖書的數量與花540元購進乙圖書的數量相同．(1)求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元？(2)西蜀圖書室計劃購進甲、乙兩種圖書共70本，總購書費用不超過4000元，則最多購進甲種圖書多少本？20.為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了了解七年級學生對社團活動的喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖．請根據統計圖中的信息，解答下列問題：（1）參加本次問卷調查的學生共有______人．（2）在扇形統計圖中，A組所占的百分比是______，并補全條形統計圖．（3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這4個社團中隨機抽取2個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團恰好是B和C的概率．21.如圖，在中，，，，點從點出發，以的速度沿折線運動，同時點從點出發，以的速度沿線段運動．當點到達點時，、停止運動，連接、．設點運動的時間為，的面積為，（1）直接寫出關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；（2）在平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，并寫出函數的一條性質；（3）結合函數圖象，請直接寫出函數時的取值范圍（保留一位小數，誤差不超過）．22.有一種升降熨燙臺如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數來調整熨燙臺的高度．圖2是這種升降熨燙臺的平面示意圖．AB和CD是兩根相同長度的活動支撐桿，點O是它們的連接點，OA=OC，h（cm）表示熨燙臺的高度．（1）如圖2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；（2）愛動腦筋的小明發現，當家里這種升降熨燙臺的高度為120cm時，兩根支撐桿的夾角∠AOC是74°（如圖2﹣2）．求該熨燙臺支撐桿AB的長度（結果精確到lcm）．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）23.如圖，拋物線與軸分別交于點，點（點在的左側），與軸交于點，直線的圖像過兩點，．（1）求拋物線解析式；（2）點為直線上方拋物線上一點，點為直線上一動點，連接，，，當面積最大時，求點的坐標及的最小值；（3）將拋物線沿射線方向平移后過點，在新拋物線上是否存在一點，使，若存在，請直接寫出新拋物線的表達式和點的坐標；若不存在，請說明理由．24.如圖，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為射線AC上一點，過點D作DE⊥AB于點E，F是BD的中點．(1)如圖1，FE與FC有何關系，并說明理由；(2)如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉，使點D落在△ABC內部，判斷(1)中結論是否還成立？如果不成立，請說明理由，如果成立，請證明；(3)將△ADE繞點A順時針旋轉75°，若CA＝2，且CB⊥BD，連接CE，請直接寫出△CEF的面積．

重慶復旦中學教育集團2024－2025學年度下期3月定時作業初2025屆數學試卷尊重自己！愛護復旦！復旦過去的光榮，將來的燦爛，全賴我們共同愛護，共同發展！同學：今天在考試的時候，不要忘記自己！不要忘記復旦！考場秩序井然，人人潔身自愛．本試卷分為試題卷和答題卷，考試時間120分鐘，滿分150分．請將答案工整地書寫在答題卡上．參考公式：拋物線的頂點公式為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A，B，C，D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卷上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1.下列比較大小結果正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了實數的大小比較法則“正實數大于0、負實數小于0、正實數大于負實數、負實數絕對值大的反而小”、無理數的估算、有理數的乘方、絕對值，熟練掌握實數的大小比較法則是解題關鍵．根據無理數的估算、有理數的乘方、絕對值、實數的大小比較法則逐項判斷即可得．【詳解】解：A、因為，所以，則此項錯誤，不符合題意；B、因為，，所以，則此項錯誤，不符合題意；C、因為，所以，則此項正確，符合題意；D、因為，，所以，則此項錯誤，不符合題意；故選：C．2.如圖是由幾個相同的小正方體堆砌成的幾何體，從左面看到該幾何體的形狀圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：從左面看到該幾何體的形狀圖是：故選：A．【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從左邊看得到的圖象是左視圖．3.下列調查中，最適合采用抽樣調查的是（）A.調查某城區是否有新冠病毒感染者 B.對旅客上飛機前的安檢C.教師對某班學生學習能力的調查 D.對某水域的水質情況進行調查【答案】D【解析】【分析】根據普查及抽樣調查的適用范圍（一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查）依次判斷即可．【詳解】解：A、調查某城區是否有新冠病毒感染者，非常重要,故宜采用普查;B、對旅客上飛機前的安檢，非常重要，故宜采用普查;

C、教師對某班學生學習能力的調查,工作量較小，故宜采用普查;D、對某水域的水質情況進行調查,

宜采用抽樣調查;故選D．【點睛】題目主要考查抽樣調查及普查的適用范圍，理解抽樣調查及普查的適用范圍是解題關鍵．4.（原創題）實數在兩個相鄰的整數與之間，則整數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次根式的減法、無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵．先計算二次根式可得，再根據無理數的估算即可得．【詳解】解：，∵，∴，∵實數在兩個相鄰的整數與之間，∴，故選：C．5.2021年是農歷我國“牛”年，為祝福我們偉大祖國更加繁榮昌盛，同時勉勵新一屆初三人在2021年更加“牛氣沖天”，某同學制作了如下“牛氣圖”．請根據下圖規律，計算第15個圖案中一共有多少個“牛”字？（）A.119 B.120 C.121 D.5050【答案】B【解析】【分析】本題考查了圖形類規律探索，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．第①④個圖案中“牛”字的個數依次為、、、，歸納類推出一般規律，由此即可得．【詳解】解：由圖可知，第①個圖案中“牛”字的個數為（個），第②個圖案中“牛”字的個數為（個），第③個圖案中“牛”字個數為（個），第④個圖案中“牛”字的個數為（個），歸納類推得：第個圖案中“牛”字個數為個，其中為正整數，則第15個圖案中“牛”字的個數為，故選：B．6.《九章算術》是古代中國第一部自成體系的數學專著，其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若得到乙所有錢的，則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的，則乙也有50錢．問甲、乙各持錢多少？設甲持錢數為錢，乙持錢數為錢，列出關于、的二元一次方程組（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了列二元一次方程組，找準等量關系是解題關鍵．根據甲若得到乙所有錢的，則甲有50錢可列方程為，根據乙若得到甲所有錢的，則乙也有50錢可列方程為，由此即可得．【詳解】解：由題意，可列二元一次方程組為，故選：B．7.如圖，已知在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點和點，分別交反比例函數，的圖象于點和點，過點作軸于點，連結，，若的面積與的面積相等，則的值是（）A.2 B. C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的綜合，熟練掌握反比例函數的應用是解題關鍵．過點作軸于點，先根據一次函數的解析式求出，再根據反比例函數可得的面積為1，利用三角形的面積公式可得，從而可得點的坐標，代入計算即可得．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，對于一次函數，當時，，即，∵點位于反比例函數的圖象上，且軸于點，∴的面積為，∵的面積與的面積相等，∴，即，∴，將代入一次函數得：，∴，將點代入反比例函數得：，故選：D．8.如圖，為的直徑，點是的中點，過點作于點，交于點，若，，則的半徑長是（）A. B.4 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，弧、圓心角、弦之間的關系，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先根據垂徑定理和點C是弧的中點得從，而得出，再利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：連接，如圖，設的半徑為r，∵，為的直徑，，，點是的中點，，，，解得：的半徑長是，故選C．9.如圖，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中點，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，則EF的長為（）A. B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，EG，作EH⊥BG于H，易證△CDF≌△BDG，可得BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，可證明GH∥AC，得到∠HBE＝∠A＝60°，解直角三角形求得BH、EH，然后根據勾股定理求得GE，再根據等腰三角形底邊三線合一性質可得EF＝EG，即可求得EF的長，即可解題．【詳解】解：延長FD至點G，使得DG＝DF，連接BG，EG，作EH⊥BG于H，在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∴GH∥AC∵∠A＝60°，∴∠HBE＝∠A＝60°，∵BE＝2，∴BH＝BE＝1，HE＝BE＝，∴GH＝BG+HB＝4+1＝5，∴EG＝，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，勾股定理等，本題中求證△CDF≌△BDG是解題的關鍵．10.對于代數式，下列說法正確的是（）①如果存在兩個實數，使得，則②存在三個實數，使得③如果，則一定存在兩個實數，使④如果，則一定存在兩個實數，使A.③ B.①③ C.②④ D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據二次函數的性質，根的判別式一一判斷即可；【詳解】解：①如果存在兩個實數p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，則ax2+bx+c=a（x-p）（x-q），錯誤，理由：x=p或q時，ap2+bp+c與aq2+bq+c不一定=0，；

②存在三個實數m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c，錯誤，理由：最多存在兩個實數m≠n，使得am2+bm+c=an2+bn+c；

③如果ac＜0，則一定存在兩個實數m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，正確，理由：∵ac＜0，則△＞0，拋物線與x軸有兩個不同的交點，故一定存在兩個實數m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c；

④如果ac＞0，則一定存在兩個實數m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，錯誤，理由：∵ac＞0，∴△不一定＞0，拋物線可能與x軸沒有交點，結論不一定成立；

故選：A．【點睛】本題考查二次函數與x軸的交點、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答題卷中對應的橫線上．11.在剪紙活動中，小花同學想用一張長方形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與長方形的邊重合，如圖所示，則的大小是______度．【答案】【解析】【分析】本題考查了多邊形內角與外角，正多邊形的內角和，熟練掌握正多邊形的內角和公式是解題的關鍵．根據正五邊形的內角和公式和鄰補角的性質即可得到結論．【詳解】解：，故答案為：．12.在中，點在上，點在上，且，，．如圖所示，若與相似，則的長是______．【答案】或6【解析】【分析】此題考查相似三角形的性質，題目只說兩個三角形相似并沒有說明對應角，應該分兩種情況討論．根據題意可得或，或，然后利用比例的性質求出即可．【詳解】解：∵與相似，而，若，則，即，解得；若，則，即，解得；綜上所述，的長為或6．故答案為或6．13.一條拋物線和的圖象形狀相同，且函數有最小值，頂點坐標是，則此拋物線的函數關系式為______________【答案】【解析】【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，關鍵是掌握拋物線的解析式為．因為頂點坐標是，因此設拋物線的解析式為，由條件可以得出，代入解析式就可以求出結論．【詳解】解：∵圖象頂點坐標為，設函數解析式是．∵形狀與拋物線相同，且函數有最小值，∴，因而解析式是：．故答案為：．14.若關于的一元一次不等式組有解且至多有4個整數解，且關于的分式方程的解是非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．【答案】21【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組、解分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．先解一元一次不等式組，根據不等式組有解且至多有4個整數解可得，再解分式方程，根據分式方程的解是非負整數可得非負整數，且，，由此即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵關于一元一次不等式組有解且至多有4個整數解，∴，解得，，方程兩邊同乘以得：，解得，∵關于的分式方程的解是非負整數，∴非負整數，且，，即非負整數，且，，∴所有滿足條件的整數的值為，∴所有滿足條件的整數的值之和為，故答案為：21．15.如圖，正方形的邊長為2，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相較于點，那么圖中陰影部分①的周長為______，陰影部分①②的總面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】連接、，作于，根據等邊三角形的性質得到，解直角三角形求出、，根據扇形面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：連接、，作于，，為等邊三角形，，，∴，∴陰影部分①的周長陰影部分①②的總面積，，故答案為：；．【點睛】本題考查的是扇形面積、弧長的計算、等邊三角形的判定和性質，正方形性質，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．16.將二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，所得新函數的圖象與直線的圖象恰有2個公共點時，則b的取值范圍為___________．【答案】-3＜b＜1或b＞【解析】【分析】求出翻折后的函數解析式，畫出新圖象示意圖，根據示意圖分類討論即可；分三段：如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有一個公共點；當直線y＝x+b過點A時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點；當直線y＝x+b與拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．【詳解】解：∵二次函數解析式為y＝x2-2x-3，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則拋物線y＝x2-2x-3與x軸的交點為A（﹣1，0），B（3，0），把拋物線y＝x2-2x-3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y＝-x2+2x+3（﹣1≤x≤3），如圖，當直線y＝x+b過點B時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有一個公共點，∴3+b＝0，解得b＝﹣3；當直線y＝x+b過點A時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，∴﹣1+b＝0，解得b＝1；∴當﹣3＜b＜1時，拋所得新函數的圖象與直線y＝x+b的圖象恰有2個公共點時，當直線y＝x+b與物線y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切時，直線y＝x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即﹣（x﹣1）2+4＝x+b有兩個相等的實數解，整理得x2﹣x+b﹣3＝0，∴Δ＝12﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝，當b＞時，拋所得新函數的圖象與直線y＝x+b的圖象恰有2個公共點時，故答案為：-3＜b＜1或b＞．【點睛】此題主要考查了翻折的性質，一元二次方程根的判別式，拋物線的性質，確定翻折后拋物線的關系式；利用數形結合的方法是解本題的關鍵，畫出函數圖象是解本題的難點．三、解答題：（本大題8個小題，第17題16分，其余每題10分，共86分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卷中對應的位置上．17.計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）3（2）（3）（4）【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數值的運算、負整數指數冪與零指數冪、完全平方公式、分式的混合運算等知識，熟練掌握運算法則是解題關鍵．（1）先計算算術平方根、化簡絕對值、特殊角的正切值，再計算加減法即可得；（2）先計算負整數指數冪與零指數冪、乘方，再計算乘法、化簡絕對值，最后計算加減法即可得；（3）先計算多項式乘以多項式、完全平方公式，再計算整式的加減即可得；（4）先計算括號內的分式加法，再計算分式的除法即可得．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】解：原式．【小問3詳解】解：原式．【小問4詳解】解：原式．18.如圖，在中，．（1）求作邊的垂直平分線，交于點，交于點，連接．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作痕跡）（2）若，求的度數，請根據以下的思路完成下列填空．解：，______（等邊對等角），又是的垂直平分線，______（垂直平分線的性質），，，______（等量代換）．．，．（三角形的內角和為）．______．由上述證明可得：在等腰三角形（腰長大于底邊長）中，作一條腰的垂直平分線交另一腰于一點，當此點與此等腰三角形頂點的距離與底邊長度相等時，則這個等腰三角形的頂角為______度，人們稱具有此特征的等腰三角形為“黃金三角形”．【答案】（1）圖見解析（2），，，，36【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規作圖、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、三角形的內角和定理等知識，熟練掌握尺規作圖和等腰三角形的性質是解題關鍵．（1）分別以點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作直線，交于點，交于點，連接，由此即可得；（2）先根據等腰三角形的性質可得，再根據線段垂直平分線的性質可得，根據等腰三角形的性質可得，根據等量代換可得，根據等腰三角形的性質可得，然后根據三角形的外角性質可得，從而可得，最后根據三角形的內角和定理求解即可得．【小問1詳解】解：作邊的垂直平分線，交于點，交于點，連接，如圖所示：．【小問2詳解】解：，∴（等邊對等角），又是的垂直平分線，∴（垂直平分線的性質），，，∴（等量代換）．．，．（三角形的內角和為）．∴．由上述證明可得：在等腰三角形（腰長大于底邊長）中，作一條腰的垂直平分線交另一腰于一點，當此點與此等腰三角形頂點的距離與底邊長度相等時，則這個等腰三角形的頂角為36度，人們稱具有此特征的等腰三角形為“黃金三角形”．故答案為：，，，，36．19.西蜀圖書室近日購進甲、乙兩種圖書，每本甲圖書的進價比每本乙圖書的進價高20元，花780元購進甲圖書的數量與花540元購進乙圖書的數量相同．(1)求甲、乙兩種圖書每本的進價分別是多少元？(2)西蜀圖書室計劃購進甲、乙兩種圖書共70本，總購書費用不超過4000元，則最多購進甲種圖書多少本？【答案】（1）甲種圖書每本的進價為65元，乙種圖書每本的進價是45元；（2）最多購進甲種圖書42本．【解析】【詳解】解：（1）設乙種圖書每本的進價為x元，則甲種圖書每本的進價是（x＋20）元，由題意得，＝，解得：x＝45，經檢驗，x＝45是原分式方程的解，且符合題意，則x＋20＝65．答：甲種圖書每本的進價為65元，乙種圖書每本的進價是45元；（2）設購進甲種圖書m本，則購進乙種圖書為（70﹣m）本，由題意得，65m＋45(70﹣m)≤4000，解得：m≤42.5，∵m為整數，且取最大值，∴m＝42．答：最多購進甲種圖書42本．20.為了落實國家“雙減”政策，某中學在課后服務時間里，開展了音樂、體操、誦讀、書法四項社團活動．為了了解七年級學生對社團活動的喜愛情況，該校從七年級全體學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一項社團活動”的問卷調查，每人必須選擇一項社團活動（且只能選擇一項）．根據調查結果，繪制成如下兩幅統計圖．請根據統計圖中的信息，解答下列問題：（1）參加本次問卷調查的學生共有______人．（2）在扇形統計圖中，A組所占的百分比是______，并補全條形統計圖．（3）端午節前夕，學校計劃進行課后服務成果展示，準備從這4個社團中隨機抽取2個社團匯報展示．請用樹狀圖法或列表法，求選中的2個社團恰好是B和C的概率．【答案】（1）（2），作圖見解析（3）【解析】【分析】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖信息關聯，列表法或畫樹狀圖法求概率；（1）根據組的人數除以占比得出總人數；（2）根據總人數求得組的人數，進而求得占比，以及補全統計圖；（3）根據列表法或畫樹狀圖法求概率，即可求解．【小問1詳解】解：參加本次問卷調查的學生共有（人）；【小問2詳解】解：A組人數為人A組所占的百分比為：補全統計圖如圖所示，【小問3詳解】畫樹狀圖法如下圖列表法如下圖

ABCDA

B

C

D

由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結果，它們出現的可能性相等，選中的2個社團恰好是B和C的情況有兩種．∴P（選中的2個社團恰好是B和C）．21.如圖，在中，，，，點從點出發，以速度沿折線運動，同時點從點出發，以的速度沿線段運動．當點到達點時，、停止運動，連接、．設點運動的時間為，的面積為，（1）直接寫出關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；（2）在平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，并寫出函數的一條性質；（3）結合函數圖象，請直接寫出函數時的取值范圍（保留一位小數，誤差不超過）．【答案】（1）（2）見解析．函數的一條性質：當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小（3）或【解析】【分析】本題考查了一次函數與二次函數的應用、反比例函數的圖象與性質等知識，熟練掌握函數圖象法是解題關鍵．（1）分兩種情況：①和②，利用三角形的面積公式求解即可得；（2）利用描點法畫出兩段函數的圖象，再寫出函數的增減性即可得；（3）畫出函數的圖象，求出兩個函數的交點的橫坐標，結合函數圖象即可得．【小問1詳解】解：由題意可知，點從點出發運動到點所需時間為，從點出發運動到點所需時間為；點從點出發到點所需時間為，∴．當點與點相遇時，，解得，則分以下兩種情況：①如圖，當點在上，即時，，則；②如圖，當點在上，即時，，∴，則，綜上，．【小問2詳解】解：在平面直角坐標系中，畫出函數的圖象如下：函數的一條性質：當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小．【小問3詳解】解：畫出函數圖象如下：當時，聯立，解得（經檢驗，是方程組的解），即此時函數與的交點的橫坐標為；當時，聯立，解得（經檢驗，是方程組的解）或（舍去），即此時函數與的交點的橫坐標為；結合函數圖象可知，在內，當函數時，的取值范圍為或．22.有一種升降熨燙臺如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數來調整熨燙臺的高度．圖2是這種升降熨燙臺的平面示意圖．AB和CD是兩根相同長度的活動支撐桿，點O是它們的連接點，OA=OC，h（cm）表示熨燙臺的高度．（1）如圖2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；（2）愛動腦筋的小明發現，當家里這種升降熨燙臺的高度為120cm時，兩根支撐桿的夾角∠AOC是74°（如圖2﹣2）．求該熨燙臺支撐桿AB的長度（結果精確到lcm）．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）【答案】（1）55；（2）150cm．【解析】【分析】（1）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性質求得∠OAC，然后解直角三角形即可求解；（2）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性質求得∠OAC，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）過點B作BE⊥AC于E，∵OA=OC，∠AOC=120°，∴∠OAC=∠OCA==30°，∴h=BE=AB?sin30°=110×=55；（2）過點B作BE⊥AC于E，∵OA=OC，∠AOC=74°，∴∠OAC=∠OCA==53°，∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150（cm），即該熨燙臺支撐桿AB的長度約為150cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，作出輔助線構造直角三角形，弄清題中的數據是解本題的關鍵．23.如圖，拋物線與軸分別交于點，點（點在的左側），與軸交于點，直線的圖像過兩點，．（1）求拋物線解析式；（2）點為直線上方拋物線上一點，點為直線上一動點，連接，，，當面積最大時，求點的坐標及的最小值；（3）將拋物線沿射線方向平移后過點，在新拋物線上是否存在一點，使，若存在，請直接寫出新拋物線的表達式和點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）點的坐標為，的最小值為3（3）存在，此時新拋物線的表達式為；點的坐標為或【解析】【分析】（1）先求出，代入可得直線的解析式為，再求出，從而可得，然后根據點的坐標，利用待定系數法求解即可得；（2）過點作軸，交于點，先求出直線的解析式為，再設點的坐標為，則點的坐標為，根據的面積等于，利用二次函數的性質求最值即可得；過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，兩條平行線交于點，解直角三角形可得，從而可得，則當點共線時，的值最小，最小值為，由此即可得；（3）根據二次函數圖像的平移規律可得新拋物線的表達式，再過點作軸于點，解直角三角形可得，則，據此建立方程，解方程即可得．【小問1詳解】解：將代入拋物線得：，∴，將點代入直線得：，∴直線的解析式為，將代入直線得：，解得，∴，∵，∴，又∵點在軸上，且點在點的左側，∴，將點，代入拋物線得：，解得，所以拋物線的解析式為．【小問2詳解】解：如圖，過點作軸，交于點，設直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，設點的坐標為，則點的坐標為，∴，∵，，∴的邊上的高與的邊上的高之和為，∴的面積為，由二次函數的性質可知，在內，當時，的面積取得最大值，最大值為4，此時，點的坐標為．如圖，過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，兩條平行線交于點，則，，∵，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，由垂線段最短可知，當點共線時，的值最小，最小值為，此時，又∵，，軸，∴，∴，即的最小值為3，綜上，當面積最大時，點的坐標為，的最小值為3．【小問3詳解】解：∵，，∴將拋物線沿射線方向平移后過點，即先將拋物線向右平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，∴新拋物線的表達式為，即為．如圖，過點作軸于點，設點的坐標為，則，∵，，∴，在中，，∴，且是銳角，∴，且是銳角，∴點一定在點的右側，∴，∴，在中，，∴，即，整理得：或，解得或（舍去）或或（舍去），當時，，此時點的坐標為；當時，，此時點的坐標為；綜上，存在這樣的點，此時新拋物線的表達式為；點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用、二次函數圖像的平移、解直角三角形、一元二次方程的應用等知識，熟練掌握二次函數的圖像與性質是解題關鍵．24.如圖，Rt△ABC中，CA＝CB，∠AC