泰州市民興中英文學校2025年春學期九年級月度獨立作業數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意：所有答案必須填寫在答題卡上，寫在試卷上無效一．選擇題（每小題3分，共6小題）1.若實數a滿足，的化簡結果是（）A.1 B.2 C. D.2.如圖，在的正方形網格中，有3個被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中選擇1個涂黑，使涂黑的小正方形組成的新圖形是軸對稱圖形，則可選擇的小正方形有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個3.下列計算正確的個數是（）①；②；③；④；⑤；A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.擲一個質地均勻的骰子，骰子的六面上分別是1至6的點數，骰子朝上一面的點數不小于1，這個事件是（）A.必然事件 B.不可能事件C.隨機事件 D.不確定性事件5.在下列函數中，同時具備以下三個特征的是（）①圖像經過點；②圖像經過第三象限；③當時，y的值隨x的值增大而增大A. B. C. D.6.如圖，菱形的邊長為是邊的中點，是邊上的一個動點，將線段繞著點逆時針旋轉得到，連接，，則的最小值為（）．A. B. C. D.二．填空題（每小題3分，共10小題）7.在函數中，自變量x的取值范圍是__________．8.用科學記數法表示________．9.已知，且，則________．10.若，則的值是_____________．11.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．12.某校為了解九年級學生每周課外閱讀情況，隨機抽取該年級50名學生進行調查，繪制了如圖所示的頻數分布直方圖（每組數據包括左端點但不包括右端點），則這50名學生課外閱讀時間的中位數范圍在______．

13.已知：m、n是方程兩根，則_____．14.若拋物線與x軸有公共點，則a的取值范圍是_____．15.已知中，直角邊，為斜邊上的中線，點G為邊上任意一點，分別以點B、點G為圓心，以長和長為半徑作弧，兩弧交于點E，若點E恰好落在上，則________．16.如圖，中，，，射線從射線開始繞點逆時針旋轉角，與射線相交于點，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數為________．三．解答題（共10小題）17.（1）計算：（2）解方程：18.如圖是我國2019~2022年汽車銷售情況統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）2022年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量_____________（精確到）；這4年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是___________年；（2）小明說：新能源汽車2022年的銷售量超過前3年的總和，所以2022年新能源汽車銷售量的增長率比2021年高．你同意他的說法嗎？請結合統計圖說明你的理由．19.小明從兩副完全相同的手套（分左、右手）中任取兩只．請用畫樹狀圖或列表的方式求這兩只手套恰好配成一副的概率．20.已知命題：“在中，如果，的延長線交于點E，那么．”該命題是真命題還是假命題？若是真命題，給出證明過程；若是假命題，舉出反例．21.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝8，AD＝10，點P是邊BC上的動點．現將紙片折疊，使點A與點P重合，折痕與邊AD、AB分別交于點E、F．（1）若BP＝4，求BF長；（2）要使折痕始終與邊AD、AB有交點，則BP取值范圍是______．22.今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花燃放高度，如圖，小李從B點出發，沿坡度的山坡走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水平距離80米的C點觀看，此時煙花在與B、C同一水平線上的點D處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點D的正上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為，亮亮在C處測得E點的仰角為，（點A、B、C、D、E在同一平面內）．煙花燃放結束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現場的垃圾，他們清理時發現剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為米，請你幫他們計算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中）是否屬實？（參考數據：，）23.如圖，在中，，平分交于點E，O為上一點，經過A，E的分別交，于點D，F，連接交于點M．（1）求證：是的切線：（2）若，，求的半徑；（3）若，的半徑為2，求陰影部分面積．24.某公司自主設計了一款成本為100元的保暖襯衣，并投放市場進行試銷售，當售價為每件160元時，每月可銷售200件．為了吸引更多買家，該公司采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降低1元，則每月可多銷售5件，設該保暖襯衣的售價單價為元，每月銷售量為件．（1）求出與之間的函數關系式；（2）設該店每月獲得的利潤為元，當銷售單價為多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？（3）該店店主決定每月從利潤中捐出780元資助貧困學生，為了保證捐款后每月利潤不低于11000元，請直接寫出該保暖襯衣銷售單價的取值范圍．25.【概念發現】對于平面上的圖形S，先將其向上平移a個單位，再將平移后的圖形沿著直線翻折得到圖象，記此變換過程為圖形S的滑動對稱變換．若在另一圖形T上存在一動點C，圖形上存在一動點D，記長度的最大值為，長度的最小值為．（1）【理解應用】如圖1，平面直角坐標系中，，記線段為圖形S，先將線段向上平移1個單位，再沿著直線翻折得到線段，記線段為圖形，則圖形S的（_____，_____）滑動對稱變換得到圖形．記原點O為圖形T，則_________，________；（2）【思維提升】如圖2，在坐標平面內，半徑為2，圓心，記為圖形S，線段記為圖形T，圖形S的滑動對稱變換得到圖形，求與的值．（3）【拓展延伸】如圖3，記直線的圖象為圖形S，反比例的圖象為圖形T，圖形S的滑動對稱變換得到圖形，則___________；26.如圖，在平行四邊形中，，F為的中點，于E，設．（1）當時，求的長；（2）當時，①是否存在正整數k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．②連接，當取最大值時，求的值．

泰州市民興中英文學校2025年春學期九年級月度獨立作業數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意：所有答案必須填寫在答題卡上，寫在試卷上無效一．選擇題（每小題3分，共6小題）1.若實數a滿足，的化簡結果是（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次根式的性質，絕對值的意義，掌握這兩方面知識是關鍵；由a的范圍可化簡二次根式及絕對值，從而求解．【詳解】解：∵，∴．故選：B．2.如圖，在的正方形網格中，有3個被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中選擇1個涂黑，使涂黑的小正方形組成的新圖形是軸對稱圖形，則可選擇的小正方形有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】B【解析】【分析】根據軸對稱的概念作答．“如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形”．【詳解】解：選擇一個正方形涂黑，使得4個涂黑的正方形組成軸對稱圖形，如圖，共有3個，故選：B3.下列計算正確的個數是（）①；②；③；④；⑤；A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】本題考查冪的運算，解題的關鍵是掌握負整數指數冪、零指數冪的計算、，，即可．【詳解】∵，∴，①正確；∵，∴②錯誤；∵，∴，③錯誤；∵，∴，④錯誤；∵，∴，⑤錯誤；∴正確的有：①．故選：A．4.擲一個質地均勻的骰子，骰子的六面上分別是1至6的點數，骰子朝上一面的點數不小于1，這個事件是（）A.必然事件 B.不可能事件C.隨機事件 D.不確定性事件【答案】A【解析】【分析】本題考查了事件的分類，掌握事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件是解題的關鍵．根據必然事件的定義判斷即可．【詳解】解：骰子上的點數都，骰子朝上一面的點數不小于1是必然事件，故選：A．5.在下列函數中，同時具備以下三個特征的是（）①圖像經過點；②圖像經過第三象限；③當時，y值隨x的值增大而增大A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據二次函數、正比例函數、一次函數及反比例函數的圖像和性質進行判斷即可．【詳解】A.，當時，，經過點；圖像經過第三、四象限；對稱軸為軸，開口向下，當時，y的值隨x的值增大而增大；所以同時具備①②③三個特征,符合題意；B.圖像經過第二、四象限，故不符合題意；C.圖像經過第一、二、四象限，故不符合題意；D.，當時，y的值隨x的值增大而減小，故不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數、正比例函數、一次函數及反比例函數的圖像和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．6.如圖，菱形的邊長為是邊的中點，是邊上的一個動點，將線段繞著點逆時針旋轉得到，連接，，則的最小值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接、、，，證明，連接構造，在，證明，求出的長度即可，過點作的延長線于，在中，由菱形的性質可知，由此即可求出的長度，在中即可求出的長，于是就可以求出的最小值．【詳解】解：如圖所示，取的中點，連接、、，，∵四邊形是菱形，，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵點是中點，點是的中點，，，∴三角形是等邊三角形，，∴，∵，，，，，，，∵，，∴，則，在中，，如下圖所示，過點作的延長線于，在中，，由菱形可知，∴，則，且，∴，則，在中，，∴，∴的最小值為．故選：C．【點睛】本題主要考查菱形的性質與全等三角形，勾股定理，直角三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，解直角三角形的綜合運用，將線段的長度的最小是轉換到三角形中，根據三角形邊長的關系求解是解題的關鍵．二．填空題（每小題3分，共10小題）7.在函數中，自變量x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵要有意義，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數大于等于0是解題的關鍵．8.用科學記數法表示________．【答案】【解析】【分析】先確定左邊第一個非零數字前面零的個數，取其相反數得到n值；將小數點點在左邊第一個非零數字后面，確定a值，寫成的形式即可．本題考查了絕對值小于1的數的科學記數法，按照左邊第一個非零數字前面零的個數，取其相反數得到n值；將小數點點在左邊第一個非零數字后面，確定a值，確定這兩個關鍵要素是解題的關鍵．【詳解】解：∵，故答案為：．9.已知，且，則________．【答案】##50度【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點，運用相似三角形的性質得到是解此題的關鍵．根據，得到，根據三角形的內角和定理求出的度數，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．10.若，則的值是_____________．【答案】【解析】【分析】先將代數式去括號，合并同類項，然后將式子的值整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴．故答案為：3．【點睛】本題考查了整式的加減化簡求值，掌握合并同類項法則以及去括號法則是解題的關鍵．11.如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正多形的內角和和內角以及弧長公式，根據六邊形是正六邊形，根據正多邊內角和等于，求出內角，再根據弧長公式即可得出答案．【詳解】解：∵六邊形正六邊形，∴，∴，故答案為：．12.某校為了解九年級學生每周課外閱讀情況，隨機抽取該年級50名學生進行調查，繪制了如圖所示的頻數分布直方圖（每組數據包括左端點但不包括右端點），則這50名學生課外閱讀時間的中位數范圍在______．

【答案】【解析】【分析】根據題意和直方圖中的數據，求出中位數所在范圍即可．本題考查頻數分布直方圖、中位數的求法，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【詳解】解：∵對50名學生進行調查，∴中位數為第25、26位學生課外閱讀的時間的平均數，∵，∴中位數范圍在內，故答案為：．13.已知：m、n是方程的兩根，則_____．【答案】16【解析】【分析】根據m、n是方程的兩根，即可得到，，，，從而得到，，代入計算即可得到答案．【詳解】解：∵m、n是方程的兩根，∴，，，，∴，，∴，故答案為：16．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數的關系，熟知一元二次方程根的定義，根與系數的關系，并根據題意將所求代數式變形是解題關鍵．14.若拋物線與x軸有公共點，則a的取值范圍是_____．【答案】且【解析】【分析】由該拋物線與x軸有公共點，得且，即可求解；【詳解】解：根據題意，得且，解得且．故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程與二次函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，如果方程有根，說明函數與x軸有交點，兩者互化，要充分運用這一點來解題．15.已知中，直角邊，為斜邊上的中線，點G為邊上任意一點，分別以點B、點G為圓心，以長和長為半徑作弧，兩弧交于點E，若點E恰好落在上，則________．【答案】1【解析】【分析】由勾股定理求出的長，過點D作于M，求出，連接交于點F，由作圖可知，求出的長，證明，得出，求出的長，由勾股定理可得出答案．【詳解】解：∵中，直角邊，∴，∵為斜邊上的中線，∴，過點D作于M，∵，∴，∴，連接交于點F，由作圖可知，∴垂直平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴故答案為：1.【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．16.如圖，中，，，射線從射線開始繞點逆時針旋轉角，與射線相交于點，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數為________．【答案】或或【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，翻折變換（折疊問題），分三種情況討論是解題的關鍵．根據折疊的性質可得：，，然后分三種情況：當時；當時；當時；分別進行計算即可解答．【詳解】解：由折疊得：，，分三種情況：當時，如圖：，是的一個外角，，；當時，當和位于射線的同側時，如圖：，，；當時，，是的一個外角，，此種情況不成立；當時，如圖：，，是的一個外角，，；綜上所述：若是等腰三角形，則的度數為或或，故答案為：或或．三．解答題（共10小題）17.（1）計算：（2）解方程：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據完全平方公式和平方差公式進行化簡即可；（2）根據解分式方程的步驟解答即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：，，，檢驗：把代入，∴是原分式方程的解．【點睛】本題考查整式的乘法和解分式方程，解題的關鍵是掌握完全平方公式和平方差公式．18.如圖我國2019~2022年汽車銷售情況統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：（1）2022年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的_____________（精確到）；這4年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是___________年；（2）小明說：新能源汽車2022年的銷售量超過前3年的總和，所以2022年新能源汽車銷售量的增長率比2021年高．你同意他的說法嗎？請結合統計圖說明你的理由．【答案】（1）26，2022年（2）不同意．理由見詳解【解析】【分析】（1）將圖中數據分別計算年我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比即可求解；（2）求出2021、2022年新能源汽車銷售量的增長率即可求解．【小問1詳解】2022年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，2021年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，2020年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，2019年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：，這4年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是2022年．故答案為：26，2022年；【小問2詳解】不同意．理由如下：2022年新能源汽車銷售量的增長率為：，2021年新能源汽車銷售量的增長率為：，年新能源汽車銷售量的增長率比2021年低．【點睛】本題主要考查了條形統計圖，折線統計圖，準確從統計圖獲取信息是解題的關鍵．19.小明從兩副完全相同的手套（分左、右手）中任取兩只．請用畫樹狀圖或列表的方式求這兩只手套恰好配成一副的概率．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及這兩只手套恰好配成一副的結果數，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中這兩只手套恰好配成一副的結果有8種，∴這兩只手套恰好配成一副的概率為．20.已知命題：“在中，如果，的延長線交于點E，那么．”該命題是真命題還是假命題？若是真命題，給出證明過程；若是假命題，舉出反例．【答案】真命題，見解析【解析】【分析】本題考查的是線段垂直平分線的判定，熟記到線段兩端點的距離相等的點在線段垂直平分線上是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的判定定理判斷即可．【詳解】解：是真命題，理由如下：∵，∴點A在的垂直平分線上，∵，∴點B在的垂直平分線上，∴直線是的垂直平分線，∴．21.如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝8，AD＝10，點P是邊BC上的動點．現將紙片折疊，使點A與點P重合，折痕與邊AD、AB分別交于點E、F．（1）若BP＝4，求BF的長；（2）要使折痕始終與邊AD、AB有交點，則BP的取值范圍是______．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根據折疊的性質，矩形的性質，可得，AF＝PF、，在中，勾股定理即可求解．（2）BP最小時，E、D重合，由折疊的性質知：AE=PE，在Rt△PEC中，利用勾股定理可求得PC的長，進而可求得BP的值，即BP的最小值；BP最大時，F、B重合，根據折疊的性質即可得到AB=BP=8，即BP的最大值為8；根據上述兩種情況即可得到BP的取值范圍．【小問1詳解】由題意得，AF＝PF、，∵，∴．∵在中，，BP＝4，∴．∴．【小問2詳解】解：分兩種情況：如圖，當E、D重合時，BP的值最小；根據折疊的性質知：AE=PE=10，∵在Rt△PEC中，PE=10，EC=8，∴PC=6，∴BP=10-6=4；當F、B重合時，BP的值最大；根據折疊的性質，即可得到AB=BP=8，即BP的最大值為8．綜上所述，BP的取值范圍是．故答案為∶．【點睛】本題考查了矩形的性質、折疊的性質以及勾股定理，注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．22.今年除夕夜小李和亮亮相約去看煙花，并測量煙花的燃放高度，如圖，小李從B點出發，沿坡度的山坡走了260米到達坡頂A點，亮亮則沿B點正東方向到達離A點水平距離80米的C點觀看，此時煙花在與B、C同一水平線上的點D處點燃，一朵朵燦爛的煙花在點D的正上方E點綻放，小李在坡頂A處看煙花綻放處E的仰角為，亮亮在C處測得E點的仰角為，（點A、B、C、D、E在同一平面內）．煙花燃放結束后，小李和亮亮來到煙花燃放地幫忙清理現場的垃圾，他們清理時發現剛才燃放的煙花盒子上的說明書寫著煙花的燃放高度為米，請你幫他們計算一下說明書寫的煙花燃放高度（圖中）是否屬實？（參考數據：，）【答案】說明書寫的煙花燃放高度屬實【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題．過作于，根據矩形的性質得到，，，設，，根據勾股定理得到，米，根據米，米，求得米，得到，根據三角函數的定義即可得到結論．【詳解】解：過作于，于，則四邊形是矩形，，，，在中，米，，設，，，，米．米，∵米，米，米，，，，在中，，，，，，（米．∵在即425與435的范圍內，答：說明書寫的煙花燃放高度屬實．23.如圖，在中，，平分交于點E，O為上一點，經過A，E的分別交，于點D，F，連接交于點M．（1）求證：是的切線：（2）若，，求的半徑；（3）若，的半徑為2，求陰影部分面積．【答案】（1）見解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）連接，根據角平分線的性質及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出即可；（2）由勾股定理可得出答案．（3）先利用等腰三角形的性質與角平分線，三角形內角和定理，求出，從而求得，即可由扇形面積公式得，再由直角三角形的性質與勾股定理求出，從而求得，即可由求解．【小問1詳解】證明：連接，平分交于點，，，，，，，又是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：由（1）知，是的切線，∴∴設，，，解得，，即圓的半徑為3．【小問3詳解】解：如圖，連接，∵∴∵平分∴∴∵∴∴∵∴∴∴由（1）知，是的切線，∴∴∴∴∴∴．【點睛】本題主要考查切線的判定和性質，勾股定理，扇形面積，三角形面積，等腰三角形的性質，三角形外角性質，角平分線，三角形內角和定理等知訓．熟練掌握切線的判定定理和勾股定理是解題的關鍵．24.某公司自主設計了一款成本為100元的保暖襯衣，并投放市場進行試銷售，當售價為每件160元時，每月可銷售200件．為了吸引更多買家，該公司采取降價措施，據市場調查反映：銷售單價每降低1元，則每月可多銷售5件，設該保暖襯衣的售價單價為元，每月銷售量為件．（1）求出與之間的函數關系式；（2）設該店每月獲得的利潤為元，當銷售單價為多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？（3）該店店主決定每月從利潤中捐出780元資助貧困學生，為了保證捐款后每月利潤不低于11000元，請直接寫出該保暖襯衣銷售單價的取值范圍．【答案】（1）（2）當銷售單價為150元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是12500元（3）【解析】【分析】對于（1），根據銷售量等于原銷售量加上每月增加銷售量可得關系式；對于（2），總利潤等于單件利潤乘以銷售量列出二次函數，再討論極值；對于（3），先表示出每月的利潤，再根據不等關系得出不等式，然后求出一元二次方程的解，最后根據二次函數圖象的性質求出解集即可．【小問1詳解】解：根據題意，得；【小問2詳解】解：根據題意，得．∵，∴拋物線開口向下，二次函數有最大值，即當時，．所以當銷售單價為150元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是12500元；【小問3詳解】解：．根據題意可知．當，解得．∵拋物線開口向下，∴的解集是．【點睛】本題主要考查了求一次函數的關系式，求二次函數關系式，二次函數圖象的性質，根據等量關系得出函數關系式是解題的關鍵．25.【概念發現】對于平面上的圖形S，先將其向上平移a個單位，再將平移后的圖形沿著直線翻折得到圖象，記此變換過程為圖形S的滑動對稱變換．若在另一圖形T上存在一動點C，圖形上存在一動點D，記長度的最大值為，長度的最小值為．（1）【理解應用】如圖1，平面直角坐標系中，，記線段為圖形S，先將線段向上平移1個單位，再沿著直線翻折得到線段，記線段為圖形，則圖形S的（_____，_____）滑動對稱變換得到圖形．記原點O為圖形T，則_________，________；（2）【思維提升】如圖2，在坐標平面內，半徑為2，圓心，記為圖形S，線段記為圖形T，圖形S的滑動對稱變換得到圖形，求與的值．（3）【拓展延伸】如圖3，記直線的圖象為圖形S，反比例的圖象為圖形T，圖形S的滑動對稱變換得