實數?重難點題型

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【知識點1無理數的概念】

無理數：無限不循環小數叫無理數.

無理數常見的三種類型：

（1）開不盡的方根；（2）特定結構的無限不循環小數；（3）含有元的絕大部分數.

【題型1無理數的概念】

【例1】（2021春?漢陰縣期末）下列實數3m-余①也-3.1415,花丁3無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1]（2021春?烏蘇市期末）在實數3.14,-竿，-V9,1.7,V5,0,-n,4.262262226…（兩個6

之間依次增加一個“2”）中，無理數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

]

【變式1-2]（2021春?西雙版納期末）己知下列各數:一，3.14159265,-3,V5,K,0.23,0.3131131113-

9

（每相鄰兩個3之間依次多一個1）,其中無理數一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-3]（2021春?扶溝縣期末）下列各數-0.101001,V7.士一弟V2-V3,0,J而中，無理數的

4乙

個數有（）

A.IB.2C.3D.4

【知識點2實數的分類】

正整數

整數?0

有理數＜負整數有限小數或無限循環小數

實數＜（正分數

分數

負分數

正無理數

無理數無限不循環小數

負無理數

【題型2實數的分類】

【例2】（2021春?裕華區校級期末）把下列數填入相應的集合中.

內，V4f等，0.6＞-%,3.

（1）整數集合；

（2）分數集合;

（3）有理數集合;

（4）無理數集合;

（5）實數集合?

【變式2-1］（2020秋?杭州期中）用序號將下列各數填入相應￡勺集合內.

①一特,②短，③-V5,④0,⑤-倔5，⑥遍⑦-?@o.23,⑨3.14

（1）整數集合｛-｝：

（2）分數集合｛-｝：

（3）無理數集合｛…｝.

【變式2-2］（2020春?贛州期中）把下列各數分別填入相應的集合中

0,-1,V16,3.1415926,-中,2n,V2-1,0，0.15,1-125

（1）整數集合：｛-1

（2）分數集合：｛-｝

（3）有理數集合：｛-I

（4）無理數集合：｛-｝

【變式2-3］（2020秋?海曙區期中）把下列各數的序號填入相應的括號內①?3,②IT,③④-3.14,

?V2,?0,⑧-1,⑨1.3,?1.8080080008-（兩個“8”之間依次多一個“0”）.

2

整數集合{…}:

負分數集合{???}:

正有理數集合{…}:

無理數集合{…}.

【題型3實數的性質】

【例3】（2020春?叢臺區校級月考）已知，〃、〃互為倒數，c、4互為相反數，則一四+GZ+I的平

方根為（）

A.1B.-1C.0D.±1

【變式3-1]（2020春?叢臺區校級月考）已知實數小b,c,d,e,/,且〃，〃互為倒數，c,d互為相反

數，《的絕對值為或，/的算術平方根是8,求：必+空+/+/的值是（）

20

A.-+V2B.--V2C.2+歷或2-⑴口.—

22222

【變式3-2]（2020春?渝中區校級月考）已知x是整數，當卜一后|取最小值時，K的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式3-3]（2021春?營口期末）已知。、〃滿足J-（4+a）2=2021|b-遮則『+必的平方根為.

【題型4實數與數軸的關系】

[ft4]（2021春?德陽期末）如圖，數軸上A,3兩點表示的數分別為-1,V5,且4c=4從則點C所表

示的數為（）

-175

--------------1---------L---1-----1----------->

CAOB

A.-1+遙B.-1-V5C.-2-V5D.1+V5

【變式4-1]（2021春?景縣月考）如圖，將面積為3的正方形放在數軸上，以表示實數1的點為圓心，正

方形的邊長為半徑，作圓交數軸于點A、8,則點A表示的數為（）

A.1—y/3B.y/3—1C.—x/3—1D.y/3+1

【變式4-2]（2021春?單縣期末）數軸上A、。兩點分別對應實數1和2療一1,點A、C關于點“對稱,

3

【例6】（2021春?嘉祥縣期末）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABCQ,求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形48CQ放到數軸上，如圖②，使得點4與-1重合，那么點。在數軸上表示的數為

C.——,B

?D一4???.

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

【變式6-1］如圖，4X4方格中每個小正方形的邊長都為1.

（1）直接寫出圖（I）中正方形ABC。的面積及邊長；

（2）在圖（2）的4X4方格中，畫一個面積為8的格點正方形（四個頂點都在方格的頂點上）；并把圖

（2）中的數軸補充完整，然后用圓規在數軸上表示實數例.

【變式6-2】如圖1,紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形.

5

圖3

（1）拼成的正方形的邊長為_____.

（2）如圖2,以數軸的單位長度的線段為邊作一個直角三角形，以數軸上表示的-1點為圓心，直角三

角形的最大邊為半徑畫弧，交數軸正半軸于點A,那么點A表示的數是_____.

（3）如圖3,網格中每個小正方形的邊長為1,若能把陰影部分剪拼成一個新的正方形，求新的正方形

的面積和邊長.

【變式6-3]（2020秋?瑞安市期中）如圖（1）,在4X4的方格中，每個小正方形的邊長為1.

（1）求圖（1）中正方形ABCD的面積；

（2）如圖（2）,若點A在數軸上表示的數是-1,以A為圓心，AQ為半徑畫圓弧與數軸的正半軸交于

點￡則點E所表示的數是.

6

實數?重難點題型

短儲千一五三

【知識點1無理數的概念】

無理數：無限不循環小數叫無理數.

無理數常見的三種類型：

（1）開不盡的方根；（2）特定結構的無限不循環小數；（3）含有7T的絕大部分數.

【題型1無理數的概念】

[ft1]（2021春?漢陰縣期末）下列實數3m0,V2,-3.1415,炳，工中，無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整

數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.由此即可判定選

擇項.

【解答】解：Y是分數，屬于有理數；

O

0,炳=3,是整數，屬于有理數；

-3.1415是有限小數,屬于有理數;

無理數有3TT,y/2,共3個.

故選：C.

【變式（2021春?烏蘇市期末）在實數3.14,一竿，-V9,1.7,V5,0,-n,4.262262226-（兩個6

之間依次增加一個“2”）中，無理數有（)

7

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據無理數的三種形式求解..

【解答】解：在實數3.14,一竿，-V9=-3,1.7,瓜0,4.262262226-（兩個6之間依次增加

一個“2”）中，無理數有叮，-n,4.262262226-（兩個6之間依次增加一個“2”），一共3個.

故選：B.

【變式1-2]（2021春?西雙版納期末）已知下列各數：3.14159265,-3,V5,n,0.23,0.3131131113-

9

（每相鄰兩個3之間依次多一個1）,其中無理數一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據無限不循環小數是無理數即可判斷無理數的個數.

【解答】解：V5,K,0.3131131113-（每相鄰兩個3之間依次多一個1）是無理數，

故選：C.

【變式1-3]（2021春?扶溝縣期末）下列各數-0.101001,V7,-一弟V2-V3,0,6石中，無理數的

4乙

個數有（）

A.IB.2C.3D.4

【分析】根據無理數的定義即可判斷.

【解答】V-0.101001是有限小數,

???-0.101001不是無理數，

???夕是無限不循環小數，

???6是無理數，

1

V-=0.25是有限小數，

4

???；不是無理數，

4

??丁是無限不循環小數，

???—?是無理數，

.?.或-百是無限不循環小數，

???式-6是無理數，

???（）是整數，

??.（）不是無理數,

8

?.?俄=4是整數，

???舊不是無理數,

，無理數有3個，

故選：C.

【知識點2實數的分類】

正整數

整數0

有理數負整數有限小數或無限循環小數

實數正分數

分數

.負分數

正無理數

無理數無限不循環小數

負無理數

【題型2實數的分類】

【例2】（2021春?裕華區校級期末）把下列數填入相應的集合中.

0.6,-3.

（I）整數集合;

（2）分數集合:

（3）有理數集合：

（4）無理數集合：

（5）實數集合.

【分析】有理數和無理數統稱為實數；整數和分數統稱為有理數；常見的無理數有n家族，開方開不盡

的數，無限不循環小數，逐一分析判斷即可.

【解答】解：（1）整數集合遮，3；

（2）分數集合0.6,

（3）有理數集合或,0.6,-p3；

（4）無理數集合V5,亨；

57r?Q

（5）實數集合V5,V4,—,0.6,一本3.

【變式2-1】（2020秋?杭州期中）用序號將下列各數填入相應的集合內.

②VL③一@0.⑤@V8.⑦一今@0.23,(§)3.14

X乙*

9

（1）整數集合｛???｝:

（2）分數集合｛-｝：

（3）無理數集合｛-｝.

【分析】根據實數的分類：實數分為有理數、無理數.或者實數分為正實數、0、負實數?進行填空?

【解答】解：（1）整數集合｛③④⑥…｝;

（2）分數集合（①⑧⑨…｝;

（3）無理數集合[②⑤⑦…｝.

故答案為：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦.

【變式2-2]（2020春?贛州期中）把下列各數分別填入相應的集合中

0,-1,代，3.1415926,一中,2mV2-1,0.13O3OO3OOO3-,0.15,V-125

（1）整數集合：｛…｝

（2）分數集合：｛…｝

（3）有理數集合：｛…｝

（4）無理數集合：｛…｝

【分析】（1）根據整數的定義選出即可；

（2）根據負數和分數的定義選出即可；

（3）根據有理數的定義選出即可；

（4）根據無理數的定義選出即可.

【解答】解：＞/16=4,7^125=-5,

（1）整數集合：｛0,V16,7^125，-）:

（2）分數集合：｛一本3.1415926,0.15,…｝:

（3）有理數集合：｛0,一1V16,3.1415926,0.15,

（4）無理數集合：｛-V7,2mV2-1,0，…）.

故答案為：0,V16,7^125：3.1415926,0.15；0,-1,V16,3.1415926,0.15,--125；-V7,

2m&一1,0.13O3OO3OOO3-.

【變式2-3】（2020秋?海曙區期中）把下列各數的序號填入相應的括號內①?3,②m③=方，?-3.14,

孰②?0,,⑧-1,⑨1.3,⑩1.8080080008…（兩個“8”之間依次多一個“0”）.

10

整數集合｛???｝:

負分數集合｛,,?）:

正有理數集合｛…｝:

無理數集合｛…｝.

【分析】根據有理數的定義及分類方法即可得出答案.

【解答】解：???在多二一3,

乂???整數有正整數和負整數，

，整數有：⑥?,

根據負分數的定義知負分數有：④，

根據正有理數的定義知正有理數有：0@，

???無理數是指無限不循環小數，

???無理數有②⑤@，

故答案為①?⑥@,④，⑦⑨，②⑤⑩.

【題型3實數的性質】

【例3】（2020春?叢臺區校級月考）己知，〃、人互為倒數，c、4互為相反數，則一病+VF包+1的平

方根為（）

A.IB.-1C.0D.±1

【分析】直接利用倒數的定義以及相反數的定義分別分析得出答案.

【解答】解：???〃、〃互為倒數，c、d互為相反數，

：.ab=\fc+d=0,

則-4-y/c+d+1

=-1+0+1

=0.

故選：C.

【變式3-1】（2020春?叢臺區校級月考）己知實數小b,c,d,e,f,且小〃互為倒數，c,d互為相反

數,e的絕對值為企，/的算術平方根是8,求;而+等+/+次的值是（）

A.2+亞B.2-&C.3+孤或3-e口.Y

22222

【分析】直接利用倒數以及互為相反數、絕對值、算術平方根的定義分別分析得出答案.

【解答】解：???〃，〃互為倒數，c,d互為相反數，。的絕對值為魚，/的算術平方根是8,

：?ab=l,c+d=O,e=±VLf=64,

=1+0+2+4

13

=T-

故選：D.

【變式3-2]（2020春?渝中區校級月考）已知x是整數，當吐儂|取最小值時，x的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據絕對值的意義，由于后最接近的整數是5,可得結論.

【解答】解：：代V后V癡，4.52=20.25,16,

.,.4.5<V23<5,

?“一局|取最小值時，x=5.

故選：C.

【變式3-3]（2021春?營口期末；已知a、b滿足J-（4+=2021|b-遮|,則/+貶的平方根為.

【分析】由二次根式6中必須可得，-（4+。）22。，得4+。=0后，。、〃的值就可求解，最終求

得結果.

【解答】解：由題意可得-（4+〃）22o,

；?（4+a）r0,

而（4+〃）220,

，4+。=0,

解得〃=-4,

V5=0,

解得b=V3,

???/+/的平方根為±J（-4）2+（V3）2=±719.

故答案為：土舊.

【題型4實數與數軸的關系】

[ft4]（2021春?德陽期末）如圖，數軸上A,B兩點表示的數分別為?I,y，且AC=A8,則點C所表

示的數為（)

12

-14

-----------------------1----------------L-----1---------1------------------>.

CAOB

A.-l+VSB.-1—\/5C.-2—\/5D.14-V5

【分析】設點C表示的數為x,根據題意列出方程，求出方程的解得到工的值，即可確定出點C的數即

可.

【解答】解：設點C表示的數-

根據AC=AB得：V5—（-1）=-l-x,即有+1=-I-x.

解得：x=-2-V5,

則點C表示的數為-2-遙.

故選：C,

【變式4?1】（2021春?景縣月考）如圖，將面積為3的正方形放在數軸上，以表示實數1的點為圓心，正

方形的邊長為半徑，作圓交數地于點A、，，則點A表示的數為（）

A.l-x/3B.6-1C.D.V3+1

【分析】根據算術平方根的定義以及數軸的定義解答即可.

【解答】解：???正方形的面積為3,

???正方形的邊長為VI，

即圓的半徑為0,

，點A表示的數為

故選：A.

【變式4-2］（2021春?單縣期末）數軸上A、。兩點分別對應實數1和26-1,點A、。關于點B對稱,

則下列各數中，與點4所對應的數最接近的是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接根據中點坐標公式即可得出結論.

【解答】解：???點4與C關于點B對稱，

13

，點3是線段AC的中點，

1402A/3-1r~

:.點B所對應的實數為——--=V3,

V1<V3<2,且1.52=2.25V3,

???與點B所對應的數最接近的是2.

故選：B.

【變式4-3]（2021春?銅官區期末）已知數軸上點A、8分別表示短、V3,若點C也在數軸上，且AC'=

2AB,則點C所表示的數為（）

A.3企-2百B.2V3-V2

C.遍+企或3或-2百D.3企-2國或2百-企

【分析】數軸上兩個不同的點之間的距離可以用右邊點代表的數減去左邊點代表的數，本題由于不知道

AC兩點的位置,可以用AC兩個點代表的數的差的絕對值來表示AC之間的距離，進而列出一個一元一

次方程求解出。點所代表的數

【解答】解：設數軸上點C所表示的數為x

由題人C=2人從AC=\x-V2\,AB=取一立

可得魚1=2（V3-V2）

???土（X-A/2）=2（V3-V2）

???x=3加-2b或26-&,C點表示的數為3聲-26或2百-可得。選項為正確答案

故選：

【題型5利用數軸化簡】

（ft5]（2020秋?二七區校級月考）實數A,8在數軸上的位置，如圖所示，那么化簡|a+計H?a|+W的

結果為.

-?------?_?------?

〃0b

【分析】借助數釉判斷出〃，4c?的符號，進行絕對值和立力根的化簡即可.

【解答】解：由數軸知：a+b<（）,〃vo,

.\\a+b\+\-a\+Vb^=—（a+b）-a+b

=-a-b-a+h

=-2a.

故答案為：?2〃.

14

【變式5-1](2020秋?東坡區月考)實數〃力在數軸上對應點AI的位置如圖，化簡：|〃+目-必-師時.

BA

----1------------------------->

b0a

【分析】根據數軸判斷出。、”的正負情況以及絕對值的大小，然后利用算術平方根和絕對值的性質解答

即可.

【解答】解:由圖可知,bVOVa,且同〈|州

所以，

所以，|a+0--火。一b)3

=-a-b-a-(a-b)

=-a-b-a-a+b

=-3a.

【變式5-2](2021?玉田縣二模)如圖，數軸上有A、B、C三個點，它們所表示的數分別為八b、c三個

數，其中力〈(),且〃的倒數是它本身，且a、c滿足(c-4)2+|?+3|=0.

——1-----------1-------------------------------1----------->

ABC

(1)計算：a2-2.-正的值；

(2)若將數軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數.

【分析】(1)利用非負數的性質求出〃與。的值，代入原式計算即可求出值；

(2)根據a.%的值，確定出中點坐標，進而求出與C重合的點即可.

【解答】解：(1)V(c-4)2+|?+3|=0,

Ac-4=0,。+3=0,

解得：a=~3,c=4,

則原式=/-2。一五=(-3)2-2X(-3)-A/4=9-(-6)-2=13；

(2),：b<Qt且方的倒數是它本身,

:?b=-1,

Ya=-3,

???-3和-1重合，-3和-1的中點為-2,

Vc=4,

???與點C重合的點表示的數是?8；

故答案為：(I)13：(2)-8.

15

【變式5-3]（2021春?雨花區期中）實數。、b、c在數軸上的位置如圖所示，其中c為8的立方根，求代

數式值+\b-〃|+J（b-c）2一|2〃|的值.

________I1114

ba~~0c

【分析】根據c為8的立方根，求得c=2,因為。VO,b-a<0,b-c<0,2b<0,根據負數的絕對值

等于它的相反數化簡即可.

【解答】解：為8的立方根，

:?c=2,

Va<0,b-a<0,h-c<0,2b<（）,

???原式=同+步?。|+止?。|?|2例

=-a+a~b+c~b+2b

=c

=2.

【題型6實數的應用】

【例6】（2021春?嘉祥縣期末）如圖①是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.

（1）求出這個魔方的棱長；

（2）圖①中陰影部分是一個正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長.

（3）把正方形ABC。放到數軸上，如圖②，使得點A與-1重合，那么點。在數軸上表示的數為一.

C.——,B

]。:』?????[.

-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

【分析】（1）根據立方體的體積公式，直接求棱長即可；

（2）根據棱長，求出每個小正方體的邊長，進而可得小正方形的對角線，即陰影部分圖形的邊長，即可

得解；

（3）用點A表示的數減去邊長即可得解.

【答案】解：（1）設魔方的楂長為X，

則9=8,解得：4=2；

（2）???棱長為2,

???每個小立方體的邊長都是1,

16

??.正方形ABCD的邊長為：V2,

2

:?S正方形ABCD=（V2）=2;

（3）丁正方形ABC。的邊長為或，點4與-1重合，

???點。在數軸上表示的數為：-I—或，

故答案為：-1—

【變式6-1］如圖，4