第2講生活中數學建模

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【本講介紹】

數學建模無處不在。在我們生活中處處能夠看到數學模型影子，本講介紹發生在我們身邊幾個數學建模案例：人行走時步長多大最省力？雨中行走怎樣使淋雨量最小？道路越多越通暢嗎？有獎銷售時抽獎策略問題，“非誠勿擾”女生最正確選擇,網絡文章流行度預測,招聘時穩定匹配等。

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行走步長問題

問題

人在勻速行走時步長多大最省勁？

設人體重為M

，腿重為m

，腿長為l

，速度為v

（固定），單位時間步數為n

，步長為x

（v

=n

x

）。第3頁第4頁

考慮人行走時所消耗能量兩個部分：一部分抬高人體重心，轉化為勢能，另一部分轉化為兩腿轉動動能（全身運動平動能是常數，與步長無關，故不考慮）。

下面分別計算之。

1.重心升高所需能量

記一步中重心升高為δ

，則第5頁

第6頁

于是，單位時間重心升高所需做功為

2.腿運動所需能量

將人行走時腿運動視為均勻直桿（腿）繞腰部轉動，則在單位時間內所需動能為

第7頁其中轉動慣量

，角速度

,故所以人行走時單位時間所做功為第8頁

令解得為檢驗此結果合理性，帶入詳細數值，假定

M/m=4，

l=1

米,

g=9.8米/秒2

,v=1.5米/秒計算得到

n=5.4步/秒

x

=0.28米結果與實際情形差異太大!

第9頁

有些人將腿轉動改為腳直線運動，且將腿質量全部算在腳上，這么得到結果大約是每秒３步，是否合理？

建模小結：本問題關鍵點在于腿部運動合理描述，模型改進方向來自于對結果細致分析。第10頁雨中行走問題

問題

考慮人在雨中沿一直線行走，雨速已知，問人行走速度多大才能使淋雨量最小？單位時間淋雨量最小：雨從頭頂上落下。

但這么做要付出時間代價，值不值就要看詳細降雨量情況與風情況而定了。

淋雨量＝單位時間淋雨量×淋雨時間

跑得越快淋雨量越小？第11頁

設人行走速度(U,0,0)(U>0)，雨速(Vx,Vy,Vz)，行走距離為S，將人視為長方體，前、側、頂面積之比為1:L:T。第12頁單位時間淋雨量為

C·{|U-Vx|,|0-Vy|,|0-Vz|}·{1,L,T}＝C（|U-Vx|+|Vy|·L+|Vz|·T）＝C（|U-Vx|+A）(其中A=|Vy|·L+|Vz|·T)總淋雨量為

R(U)=S/U·C·(|U-Vx|+A)為簡便計，考慮R(U)=S/U·(|U-Vx|+A)

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所以，雨中行走問題抽象成數學問題：

已知S,Vx,A,求U為何值時R(U)達最小值？

下面分幾個情況討論。

（1）Vx<0時（即風從迎面吹來）

R(U)=S/U·(U+|Vx|+A)=S+S·(|Vx|+A)/U此時R(U)關于U遞減，走得越快越好。

第14頁（2）Vx>0時（即風從后面吹來）第15頁

結論當

A<Vx

時，取U=Vx

，其它情況下，U

應盡可能大。

建模小結：決定淋雨量大小有兩個原因：淋雨時間及單位時間淋雨量,忽略后者將造成錯誤結論。第16頁道路越多越通暢嗎？第17頁布雷斯悖論(Braess'sparadox)第18頁

數學家研究結論：假如一個交通網絡上每一條路通行時間都與這條路上車子數量成線性關系，這個交通網絡就一定存在一個納什均衡點。它可能造成全體不利情況發生，即出現布雷斯悖論現象。

真實案例1：德國,斯圖加特市,1969年。

真實案例2：美國，紐約，1990年世界地球日。

真實案例3：韓國，清溪川。第19頁

某人可取得一筆獎金x

,x由他在區間[0,1]

中任意地抽取。假如他滿意，能夠領取x

獎金而不再抽取；假如他不滿意，能夠放棄這個x

而重新抽取。這個抽取過程可重復

3次,第三次抽取后不得放棄。問他應該采取何種策略以期取得最多獎金？有獎銷售抽獎策略第20頁

設該抽獎人采取策略為：其中X1

,X2,X3

均為在[0,1]上均勻分布隨機變量。該人目標為取得獎金H期望達最大值。

第21頁計算期望：令則H=g(X1,X2,X3),依據期望計算公式有第22頁

以下我們換一個方法計算贏利期望。★條件期望方法第一次抽獎獲獎期望為第二次抽獎獲獎期望為

第23頁

第三次抽獎獲獎期望為

所以第24頁

令

解得：

a=5/8,b=1/2

最大期望獎金為：

最優停頓問題，比如“不可召回秘書招聘問題”。第25頁《非誠勿擾》女生”最優選擇”總共面試n人，不選擇前k人，從第k+1人起，一旦有比前面更優異男生，則選擇。策略

怎樣確定K，使選到最中意男生概率最大？

對于某個固定k，能選到最正確男生總概率為：第26頁

1/e

大約等于37%，即k/n＝37%——37%法則！

按此策略，找到最中意男生概率也是37%！用x

來表示k/n

值，而且假設n

充分大，則上述公式能夠近似表示為積分形式：

建模小結：生活中處處有數學建模身影。第27頁【問題】“怎樣在一篇文章被發出前就判斷它會否流行”ThePulseofNewsinSocialMedia:ForecastingPopularity【基本思緒】確定文章內容關鍵原因。統計這些關鍵原因取不一樣值時對文章流行度影響，并將各取值賦以不一樣分值。利用統計方法建立并優化“內容關鍵原因”對“流行度”影響程度數值模型。利用模型預測某篇文章在推特上流行度。網絡文章流行度預測第28頁4個判斷關鍵要素：1、信息類別第29頁2、客觀程度用軟件判斷樣本標題及摘要客觀程度，并為其設定分值0或者1。3、提及人物和地名4、新聞起源第30頁預測模型：其中：T—流行度（t-density）S—信息起源t-density

分值C—信息類別t-density

分值Ent

max—文中提及人名或地名中最大t-density值結論：來自可靠信息源、提及名人而且談論流行話題建模啟示：對建立評價類模型含有經典意義。第31頁假設在一個n男n女聯誼會上配對跳舞，每個人都按自己喜好程度對全部異性排一個次序，沒有并列，比如：【問題】是否存在一個穩定配對？

假如存在，是否唯一？怎樣求？穩定匹配問題及算法ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD第32頁

穩定匹配（Stablematching）：每個人當前配對對象恰好是他（她）在當前現實中最優選擇。

不穩定匹配：存在這么一個男生和一個女生，他們都認為對方比自己當前配對對象更優。ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD{(A,w),(B,x),(C,y),(D,z)}×

{(A,z),(B,x),(C,w),(D,y)}√第33頁羅伊德·沙普利(LloydShapley)美國著名數學家和經濟學家年因在穩定配對和市場設計方面貢獻獲諾貝爾經濟學獎1923年6月2日~第34頁

Gale-Shapley算法：

第一輪：每位男生向各自最中意女生發出邀請，然后每個女生在向其發出邀請男生中選擇自己最中意；

第二輪，還未配正確男生向其第二喜歡女生（不論該女生是否已配對）發出邀請，然后每個女生在向其發出邀請男生以及上一輪已選擇男生中選擇一個最中意；

第三輪，……

第35頁第一輪：(A,w)(B,x)(C,x)(D,y),x拒絕C第二輪：(A,w)(B,x)(C,w)(D,y),w拒絕A第三輪：(A,x)(B,x)(C,w)(D,y),x拒絕A第四輪：(A,y)(B,x)(C,w)(D,y),y拒絕A第五輪：(A,z)(B,x)(C,w)(D,y)

ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD第36頁幾個問題：1、算法是否能在有限步結束？

是。因為每一個男生最多發出n次邀請，必定能夠邀請到女生，所以算法在有限輪后會結束。2、選擇先后對雙方是否有區分？

是。對先選一方有利。3、穩定配對是否唯一？

未必。見上面例子。4、算法得到配對是否穩定？

是。ABCDwxwyxyyxyzzwzwxzwxyzAABDBCA