四川省宜賓市2024年中考數學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．2的絕對值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：故答案為：A.【分析】根據絕對值的性質，正數的絕對值是是它本身.2．下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】A3．某校為了解九年級學生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數據判斷正確的是（）A．方差為0 B．眾數為75C．中位數為77.5 D．平均數為75【答案】B【解析】【解答】解：這組數據按照從小到大的順序排列為：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，

故平均數為；

方差為

75出現的次數最多，故眾數為75；

第5和第6個數都是75，故中位數是75；

故選項ACD都錯誤，B選項正確；

故答案為：B.【分析】根據平均數和方差計算公式計算并判斷AD，根據中位數和眾數的定義可判斷BC.4．如圖，AB是⊙O的直徑，若，則的度數等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】【解答】解：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=60°，

∴∠ABC=90°－∠CAB=30°.

故答案為：A.【分析】根據圓周角定理的推論求出∠DAB和∠ACB，即可得到結論.5．元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數是（）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天【答案】D【解析】【解答】解：快馬追上慢馬的天數是x天，

根據題意得：240x=150(x+12)

解得：x=20.

∴快馬追上慢馬的天數是20天.

故答案為：D.

【分析】設快馬追上慢馬的天數是x天，利用路程=速度×時間，結合快馬追上慢馬時兩馬跑的路程相同，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論.6．如果一個數等于它的全部真因數（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數稱為完美數．例如：6的真因數是1、2、3，且，則稱6為完美數．下列數中為完美數的是（）A．8 B．18 C．28 D．32【答案】C【解析】【解答】解：A、8的真因數是1，2，4，和為1+2+4=7≠8，故不是完美數，故不符合題意；

B、18的真因數是1，2，3，6，9，且1+2+3+6+9=21≠18，故不是完美數，故不符合題意；

C、28的真因數是1，2，4，7，14，且1+2+4+7+14=28，故是完美數，故符合題意；

D、32的真因數是1，2，4，8，16，且1+2+4+8+16=31≠32，故不是完美數，故不符合題意；故答案為：C.【分析】按照定義，分別計算出各個選項的真因數并求和，再與原數據比較，即可得到結論.7．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點【答案】B【解析】【解答】解：把圖形圍成立方體如圖所示，設正方體的棱長為1，則AD=1，，

∵，

∴與頂點A距離最遠的頂點是C

故答案為：C.【分析】可以把展開圖圍成正方體，再分別計算出AB，AC，AD，AE，即可得到結論.8．某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為（）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【解析】【解答】解：設用x個大箱，y個小箱裝荔枝，由題意得：

4x+3y=32

故.故x=2，y=8，2+8=10；

x=5，y=4，5+4=9；

x=8，y=0，x+y=8.

8<9<10，

故答案為：C.【分析】根據題意：用x個大箱，y個小箱裝荔枝，且每個箱都裝滿，可得4x+3y=32，計算出x，y的值，即可得到最大箱數；9．如圖，內接于⊙O，BC為⊙O的直徑，AD平分交⊙O于D．則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：連接BD、CD，AD饒點D逆時針旋轉90°得A'D，連接A'B，如圖：

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=∠BDC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=45°，

∵∠BCD=∠BAD，∠CAD=∠CBD，

∴∠BCD=∠CBD=45°，

∴BD=DC，在四邊形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°

∴∠ACD+∠ABD=180°.

∵∠ADA'=∠CDB=90°，

∴∠ADC=∠A'DB，

又A'D=AD，BD=CD，

∴△A'DB≌△ADC(SAS)，

∴∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，

∴∠A'BD+∠ABD=180°.

∴A'，B，A三點共線，

∴在△A'DA中，，AA'=AB+A'B=AB+AC，

∴.

故答案為：A.【分析】連接BD、CD，AD饒點D逆時針旋轉90°得A'D，連接A'B，利用圓周角定理和角平分線證得∠BCD=∠CBD=45°，于是有BD=CD；根據圓內接四邊形對角互補得∠ACD+∠ABD=180°.利用SAS證明△A'DB≌△ADC，∠A'BD=∠ACD，A'B=AC，于是有∠A'BD+∠ABD=180°，即可得A'，B，A三點共線，在等腰直角△A'DA中利用勾股定理即可得到結論.10．如圖，等腰三角形ABC中，，反比例函數的圖象經過點A、B及AC的中點M，軸，AB與y軸交于點N．則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：作過A作AD⊥BC于點D，BC與y軸交于E點，如圖：

設，，

∵BC//x軸，AD⊥x軸，

∴點.

在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴點D是BC的中點，

∴

∵AC的中點為M，

∴，即

∵點M在反比例函數上，

∴

解得：b=﹣3a，或b=a(舍)

∵NE//AD，

∴

故答案為：A.

【分析】作過A作AD⊥BC于點D，BC與y軸交于E點，利用函數表達式設出A、B兩點的坐標，利用D，M是中點，得到點D，C，M的坐標，再把點M坐標代入解析式，A，B兩點橫坐標的關系式，最后利用平行線分線段成比例定理即可求得結果.11．如圖，在中，，以BC為邊作，，點D與點A在BC的兩側，則AD的最大值為（）A． B． C．5 D．8【答案】D【解析】【解答】解：將BA繞點B順時針旋轉90°，得到BE，連接AE，DE，如圖：∵BE=AB，∠ABE=90°，

∴.

∵∠DBC=90°=∠EBA，

∴∠DBE=∠CBA，

又∵BD=BC，AB=BE，

∴△DBE≌△CBA(SAS)

∴DE=AC=2.

在△ADE中，AD<AE+DE

∵當A，D，E三點共線時，AD有最大值，

∴AD的最大值=6+2=8.

故答案為：D.【分析】將BA繞點B順時針旋轉90°，得到BE，連接AE，DE，由“SAS”可證△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性質可得AE，由三角形的三邊關系即可求解.12．如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【解答】解：由圖象可得a<0，c>0，∴b<0.

∵拋物線的圖象交x軸于點、，

∴x=1時，y=0，即a+b+c=0；故選項①正確；

對稱軸為，即，∴b=2a，

∴a+b+c=a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴，故選項②正確；

當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，∵對稱軸為x=﹣1，AB=1－(-3)=4，

∴AC=AB=4或AB=CB=4.

點C（0，c），∴，，

當AC=AB時，，解得：（負數舍去）；

當CB=AB時，，解得：（負數舍去）；

綜上，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故選項③錯誤；

當c=3時，C(0，3)，OC=3，

在OA上取點P，使，則點，.

∴，

又∵∠HOP=∠POA，

∴△HOP∽△POA.

∴，

∴.

∴，當C，P，H三點共線，可以取得最小值.

∴，

故的最小值是，故選項④正確.

綜上，正確的選項是①②④故答案為：C.【分析】拋物線過點(1，0)，求得求得a+b+c=0，即可判斷①；求得對稱軸為直線x=-1，即可求得b=2a，由a+b+c=0，求得c=﹣3a，則a+3b+2c=a<0，即可判斷②；分AC=AB=4和AB=BC=4兩種情況求得c的值即可判斷③；在OA上取點P，使，連接PH，則，于是可證明△HOP∽△POA，即可得，即.則當C、P、H共線時，的值最小，最小值為CH，利用勾股定理求得CH即可判斷④；二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．13．分解因式：．【答案】2(a+1)(a-1)【解析】【解答】解：原式=2（a2-1）=2(a+1)(a-1).

故答案為：2(a+1)(a-1)。

【分析】先利用提公因式法分解因式，然后再用平方差公式法分解到每一個因式都不能再分解為止。14．分式方程的解為．【答案】x=2【解析】【解答】解：

去分母得：x+1-3(x－1)=0解得：x=2

經檢驗，x-1=2-1≠0，

∴x=2是分式方程的解.

故答案為：x=2.【分析】先將分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后驗根即可.15．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，則這個正五邊形的對角線AC的長是．【答案】【解析】【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴每個內角的度數為：，AB=BC=4，

∴.

在AC上截取AF，使AB=AF=4，如圖：

∴，

∴∠CBF=∠AFB－∠BCA=72°－36°=36°=∠CAB.

又∵∠BCF=∠ACB，

∴△BCF∽△ACB，

∴，即.

解得：（負數舍去）故答案為：.【分析】根據正五邊形的性質得∠B=108°，AB=AC=4，由等腰三角形的性質得∠BAC=∠BCA=36°，在AC上截取AF，使AB=AF=4，計算出∠AFB的度數，根據外角性質得∠CBF=36°=∠CAB，即可證明△BCF∽△ACB，根據相似三角形性質得，代入數據即可得到AC的長.16．如圖，在平行四邊形ABCD中，，E、F分別是邊CD、AD上的動點，且．當的值最小時，則．【答案】17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數字，且每個小球所標數字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數為落入該小孔槽小球上所標的數字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．【答案】乙槽【解析】【解答】解：∵三次操作相同，且總得分是20+10+9=39（分），

∴一次操作的總分，即三個球數字之后為39÷3=13（分），

則有以下情況：

1，3，9；1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7；2，5，6；3，4，6；

其中只有1，4，8這一組能同時滿足三個數組合相加得20，10，9；

4+8+8=20(甲槽)；

8+1+1=10(乙槽)；

1+4+4=9(丙槽)

∴第一次操作甲槽，乙槽，丙槽的數字分數分別為4，8，1；

第二次操作甲槽，乙槽，丙槽的分數分別為8，1，4；

第三次操作甲槽，乙槽，丙槽的分數分別為8，1，4；

∴第二次操作計分最低的是乙槽.

故答案為：乙槽.

【分析】由三次操作三個槽總分是20+10+9=39分，所以一次操作得總分就是13分，再根據三個球得數不相同可以列舉出綜合為13得所有情況，然后再根據各自得分逐一分析比較即可.18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若，則MN的最小值為．【答案】【解析】【解答】解：延長CD到點G，使DG=BM，如圖：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，

又∵BM=DG，AB=AD.

∴△ABM≌△ADG(SAS)，

∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.

∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，

在△GAN和△MAN中，

∴△GAN≌△MAN(SAS)，

∴GN=MN.

設BM=x，MN=y，則GN=y，DG=x，

∵BC=CD=1，

∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，

在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，

即，解得：

∵

∴.

故MN的最小值為

故答案為：.【分析】由∠MAN=45°識別出半角模型，從而構造△GAN≌△MAN，將MN線段進行轉化得到GN，設BM=x，MN=y，再利用勾股方程進行轉化，建立一個關于y的式子，利用不等式的性質求最值即可三、解答題：本大題共7個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）解：

（2）解：

=1【解析】【分析】（1）根據無理數的混合運算法則，先計算非零數的零次冪，特殊角的三角函數值，去絕對值，再進行加減運算即可；

（2）先對括號內部分進行通分運算，再變除為乘，同時對分數的分子分母因式分解，再進行約分即可.20．某校為了落實“五育并舉”，提升學生的綜合素養．在課外活動中開設了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成不完整的統計圖．請結合圖中信息解答下列問題：（1）本次共調查了名學生，并將條形統計圖補充完整；（2）話劇組所對應扇形的圓心角為度；（3）書法組成績最好的4名學生由3名男生和1名女生構成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．【答案】（1）解：40；

C組的人數為：40－4－16－12=8（名）故補全同學統計圖如圖所示：

（2）72（3）解：將1名女生記為A，3名男生分別記為B，C，D.

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6種，

∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為.【解析】【解答】解：（1）4÷10%=40（名）

故本次共調查了40名學生，

故答案為：40.

（2），

故話劇組所對應扇形的圓心角為72度

故答案為：72.

【分析】（1）用條形統計圖中A的人數除以扇形統計圖中A的百分比可得本次調查的學生人數，求出C組的人數，補全條形統計圖即可；

（2）用360°乘本次調查中C組的人數所占的百分比，即可得出答案；

（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及剛好抽到1名男生與1名女生的結果數，再利用概率公式可得出答案.21．如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且，BE與AD交于點F．求證：．【答案】證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，

在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE(SAS)

∴AD=BE.22．宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側是岷江，右側是金沙江，正面是長江）．某同學在數學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上；在B處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度CD的值（結果精確到1米）．（參考數據：，，，，，）【答案】解：過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，如圖所示：

∵AB//CD，

∴AE//BF.

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AB=EF=100m，

設AE=BF=xm，

由題意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.

在Rt△ACE中，m，

在Rt△BDF中，m，

在Rt△AED中，m，

∵DE=EF+DF.

∴0.39x=100+0.33x，

解得：，

∴CD=CE+DE=0.33x+0.39x=0.72x=1200(m)

∴長江口的寬度CD的值約為1200m.【解析】【分析】過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，證明四邊形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分別在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用銳角三角函數的定義求出CE、DF和DE的長，從而列出關于x的方程，進行計算即可解答.23．如圖，一次函數．的圖象與反比例函數的圖象交于點．（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）利用圖象，直接寫出不等式的解集；（3）已知點D在x軸上，點C在反比例函數圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．【答案】（1）解：∵反比例函數的圖象經過點A(1，4)，

∴k=1×4=4，

∴.

∵反比例函數的圖象經過點B(n，-1)，

∴，

∴n=﹣4.

∴B（-4，-1）.

∵一次函數的圖象經過點A(1，4)和B(-4，-1)，

∴

解得：

∴y=x+3.（2）解：由圖象可知，x＜-4或0<x<1時，，

故不等式的解集為x＜-4或0<x<1.（3）設點C的坐標為：，點D(x，0)，

∵A(1，4)，B（-4，-1），

當AB為對角線時：由中點坐標公式得：

解得：，則點；

當AC為對角線時，，

解得：，則點；

AD為對角線時，

解得：，則點；

綜上，點C的坐標為：或或.【解析】【分析】（1）由待定系數法即可求解；

（2）觀察函數圖象即可求解；同一自變量下，函數值大的函數的圖象位于函數值小的函數的圖象的上方；

（3）點C的坐標為：，點D(x，0)，設根據平面直角坐標系中平行四邊形的性質，對角線的交點即對角線的中點，再分①AB為對角線，②AC為對角線，③AD為對角線時，由中點坐標公式得同一個中點的縱坐標，從而到關于m的方程，求解即可.24．如圖，內接于⊙O，，過點A作，交⊙O的直徑BD的延長線于點E，連結CD．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若，求CD和DE的長．【答案】（1）證明：連接并延長AO交BC于點F，連接OC，如圖：

則OB=OC

∵AB=AC，

∴AF垂直平分BC，即AF⊥BC，BF=CF

∵AE//BC，

∴AE⊥AF，

∵OA是⊙O的半徑，且AE⊥OA，

∴AE是⊙O的切線.（2）解：OB=OA，

∴∠BAF=∠ABE，

∴，

∴，

∴AF=2BF.

∴

∴，

∵BF2+OF2=OB2，

∴，

解得：，

故，

∵OB=OD，BF=CF，

∴.

∵AE//BF，

∴，

∵OA=OD=OB，

∴.

∴.

∴，.【解析】【分析】（1）連接并延長AO交BC于點F，連接OC，根據OB=OC，AB=AC，可得AF垂直平分BC，根據平行線的性質可得AE⊥AF，即可根據切線的判定定理得到結論；

（2）由OB=OA結合正切的定義可證得AF=2BF，在△ABF中利用勾股定理可求出BF和AF的長，再在△OBF中利用勾股定理可求出OB和OF的長，利用中位線定理即可求出CD的長，利用平行線分線段成比例可求出OE的長，利用OE-OD，即可求得DE長.25．如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）在y軸上是否存在